DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 1 / 41
Première partie I Mathématiques financières puissance et logarithme Intérêts composés Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 2 / 41
puissance et logarithme Chapitre Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 3 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. α = 1 2 x 1 2 = x est la racine carrée de x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. α = 1 2 x 1 2 = x est la racine carrée de x Voici quelques règles de calcul : 1. Si x, y sont deux nombres réels strictement positifs et α 0 alors x = y α x 1 α = y Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. α = 1 2 x 1 2 = x est la racine carrée de x Voici quelques règles de calcul : 1. Si x, y sont deux nombres réels strictement positifs et α 0 alors x = y α x 1 α = y 2. de même (xy) α = x α y α Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. α = 1 2 x 1 2 = x est la racine carrée de x Voici quelques règles de calcul : 1. Si x, y sont deux nombres réels strictement positifs et α 0 alors x = y α x 1 α = y 2. de même (xy) α = x α y α 3. (x α ) β = x αβ Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction puissance Soit x un nombre réel strictement positif et α un réel alors on appelle x α x puissance α. Sur les calculatrices cette fonction s obtient par la x n ou par la fonction ˆ. α = 0 x 0 = 1 α = 2 x 2 = x x est le carré de x α = 3 x 3 = x x x est le cube de x. α = 1 x 1 = 1 x est l inverse de x. α = 1 2 x 1 2 = x est la racine carrée de x Voici quelques règles de calcul : 1. Si x, y sont deux nombres réels strictement positifs et α 0 alors x = y α x 1 α = y 2. de même (xy) α = x α y α 3. (x α ) β = x αβ Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 4 / 41
Fonction logarithme Soit x > 0 on note ln(x) le logarithme népérien de x Voici quelques propriétés de la fonction logarithme. Elle s obtient avec la touche ln sur une calculatrice. Voici quelques règles de calcul 1. La propriété que nous allons utiliser dans ce cours est la suivante ln(x t ) = tln(x) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 5 / 41
Fonction logarithme Soit x > 0 on note ln(x) le logarithme népérien de x Voici quelques propriétés de la fonction logarithme. Elle s obtient avec la touche ln sur une calculatrice. Voici quelques règles de calcul 1. La propriété que nous allons utiliser dans ce cours est la suivante ln(x t ) = tln(x) 2. Si x > 0 et y > 0 alors ln(x y) = ln(x) + ln(y) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 5 / 41
Fonction logarithme Soit x > 0 on note ln(x) le logarithme népérien de x Voici quelques propriétés de la fonction logarithme. Elle s obtient avec la touche ln sur une calculatrice. Voici quelques règles de calcul 1. La propriété que nous allons utiliser dans ce cours est la suivante ln(x t ) = tln(x) 2. Si x > 0 et y > 0 alors ln(x y) = ln(x) + ln(y) 3. Si x > 0 alors en posant e = 2.71828182846... y = ln(x) e y = x. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 5 / 41
Intérêts composés Changement de la période de capitalisation Chapitre Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 6 / 41
Intérêts composés Changement de la période de capitalisation Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 7 / 41
Intérêt composé Un capital C est placé avec des intérêts composés au taux x% [0, 1] par période de capitalisation. La valeur acquise au bout d un temps t (exprimé en période) est A t = C + I t = C (1 + x) t Valeur acquise On place C = 3000 e à un taux annuel de x = 12%. Calculez la valeur acquise au bout de t = 7 ans C + I 7 = C(1 +.12) 7 = 6632.044 6632.04e Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 8 / 41
Période mensuelle Période mensuelle J emprunte un capital de C = 1000e à un taux mensuel de 1% pendant 12 mois. Quel est le coût de cet emprunt à la fin de la période, quel est le taux d intérêt annuel équivalent? C + I 12 = 1000 (1 + 1 100 )12 = 1126.825 1126.82e Le coût total de cet emprunt est de I t C = 1126.82 1000 Le taux d intérêt annuel équivalent de ce prêt est de 1126.82 1000 1000 12.68% 12% Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 9 / 41
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C C(1 + x)
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C C(1 + x) C(1 + x) 2
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C C(1 + x) C(1 + x) 2 C(1 + x) 3
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C C(1 + x) C(1 + x) 2 C(1 + x) 3 C(1 + x) 4
Exemple intérêts composés Capital 0 1 2 3 4 5 C C(1 + x) C(1 + x) 2 C(1 + x) 3 C(1 + x) 4 Valeur acquise(t=5) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 10 / 41
Intérêts simples ou composés simple Les intérêts simples ne portent que sur le capital initial. composés Les intérêts composés portent sur la composition du capital et de ses intérêts. Soit C un capital placé à un taux annuel de x %. La somme du capital et de ses intérêts se calculent de la façon suivante. fin année simples composés 0 C C 1 C(1 + x) C(1 + x) 2 C(1 + 2x) C(1 + x) 2 3 C(1 + 3x) C(1 + x) 3 n C(1 + nx) C(1 + x) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 11 / 41
1 0 1 2 3 intérêts simples intérêts composés intérêts simples intérêts composés 0 2 4 6 8 10 Figure : Comparaisons intérêts simples et composés Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 12 / 41
Intérêts composés Changement de la période de capitalisation Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 13 / 41
A = C(1 + x) t Les différents cas une équation une inconnue.? = C(1 + x) t Calcul de la valeur acquise en fonction du capital, du taux et de la durée. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 14 / 41
A = C(1 + x) t Les différents cas une équation une inconnue. A =? (1 + x) t Calcul de la valeur actuelle en fonction de la valeur acquise, du taux et de la durée. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 14 / 41
A = C(1 + x) t Les différents cas une équation une inconnue. A = C(1 + x)? Calcul de la durée en fonction du capital de la valeur acquise, et du taux. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 14 / 41
A = C(1 + x) t Les différents cas une équation une inconnue. A = C(1 +? ) t Calcul du taux d intérêts en fonction du capital, de la valeur acquise et de la durée. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 14 / 41
Les différents cas A = C(1 + x) t une équation une inconnue.? = C(1 + x) t Calcul de la valeur acquise en fonction du capital, du taux et de la durée. A =? (1 + x) t Calcul de la valeur actuelle en fonction de la valeur acquise, du taux et de la durée. A = C(1 + x)? Calcul de la durée en fonction du capital de la valeur acquise, et du taux. A = C(1 +? ) t Calcul du taux d intérêts en fonction du capital, de la valeur acquise et de la durée. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 14 / 41
Valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d un capital C à verser dans 2 ans et 3 mois d une valeur de A t = 1000 eplacé à un taux annuel x = 3% avec des intérêts composés. A t = C(1 + x) t Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 15 / 41
Valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d un capital C à verser dans 2 ans et 3 mois d une valeur de A t = 1000 eplacé à un taux annuel x = 3% avec des intérêts composés. A t = C(1 + x) t C = A t (1 + x) t Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 15 / 41
Valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d un capital C à verser dans 2 ans et 3 mois d une valeur de A t = 1000 eplacé à un taux annuel x = 3% avec des intérêts composés. A t = C(1 + x) t C = C = A t (1 + x) t 1000 (1 +.03) 2+ 3 12 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 15 / 41
Valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d un capital C à verser dans 2 ans et 3 mois d une valeur de A t = 1000 eplacé à un taux annuel x = 3% avec des intérêts composés. A t = C(1 + x) t C = C = A t (1 + x) t 1000 (1 +.03) 2+ 3 12 935.66e Si je place la somme de 935.66 e à 3% par an avec des intérêts composés alors dans 2 ans et 3 mois je disposerai de la somme de 1000e. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 15 / 41
Calcul du taux d intérêt Je place 1000 ependant 2 ans et 6 mois avec des intérêts composés. A la fin de ce prêt la valeur acquise est de 1076.70e, quel est le taux annuel? A t = C(1 + x) t Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 16 / 41
Calcul du taux d intérêt Je place 1000 ependant 2 ans et 6 mois avec des intérêts composés. A la fin de ce prêt la valeur acquise est de 1076.70e, quel est le taux annuel? A t = C(1 + x) t 1076.70 = 1000(1 + x) 2.5 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 16 / 41
Calcul du taux d intérêt Je place 1000 ependant 2 ans et 6 mois avec des intérêts composés. A la fin de ce prêt la valeur acquise est de 1076.70e, quel est le taux annuel? A t = C(1 + x) t 1076.70 = 1000(1 + x) 2.5 (1 + x) 2.5 = 1076.70 1000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 16 / 41
Calcul du taux d intérêt Je place 1000 ependant 2 ans et 6 mois avec des intérêts composés. A la fin de ce prêt la valeur acquise est de 1076.70e, quel est le taux annuel? A t = C(1 + x) t 1076.70 = 1000(1 + x) 2.5 (1 + x) 2.5 = 1076.70 1000 ( 1076.70 (1 + x) = 1000 ) 1 2.5 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 16 / 41
Calcul du taux d intérêt Je place 1000 ependant 2 ans et 6 mois avec des intérêts composés. A la fin de ce prêt la valeur acquise est de 1076.70e, quel est le taux annuel? A t = C(1 + x) t 1076.70 = 1000(1 + x) 2.5 (1 + x) 2.5 = 1076.70 1000 ( 1076.70 (1 + x) = 1000 1 + x = 1.030002 ) 1 2.5 Le taux d intérêt annuel est donc x 0.0300 soit 3.00%. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 16 / 41
Calcul de la durée Je place 2000eavec des d intérêts composés de 2% annuel. La valeur acquise à la fin est de 2111.93e, durée du prêt? C + I t = C(1 + x) t 2111.93 = 2000(1 + 2 100 )t (1 + 2 100 )t = 2111.93 2000 (1.02) t = 2111.93 2000 tln(1.02) = ln( 2111.93 2000 ) t = ln(1.055965) ln(1.02) 2.750 Le durée de ce prêt de 2.750 années. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 17 / 41
Intérêts composés Changement de la période de capitalisation Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 18 / 41
Calcul des taux d intérêts Quand la périodicité de la capitalisation est modifiée, il faut calculer un taux pour cette nouvelle période. semestriel il y a n = 2 périodes par an trimestrielle il y a n = 4 périodes par an mensuel il y a n = 12 périodes par an. cas général on spécifie le nombre n de période par an. On distingue deux méthodes de calcul : Le taux proportionnel Le taux équivalent Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 19 / 41
Taux proportionnel Souvent le taux proportionnel est utilisé, c est un taux proportionnel à la durée. Pour un taux de x% annuel, on désigne par n le nombre d annuités par an. nom n taux par période x semestriel 2 2 x mensuel 12 12 x général n n Table : Calcul de taux proportionnel On a fait un emprunt à un taux de 5%, on désire avoir des annuités mensuelles avec un taux proportionnel, ce taux par mois sera de 0.05 12 0.417% Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 20 / 41
Taux équivalent On considère que l on place un même capital de deux façons différentes pour une durée d une année : 1. un au taux x 1 % annuel avec une seule annuité. 2. l autre au taux x n % avec n annuités pendant l année. Les deux taux sont dits équivalents si les deux valeurs acquises sont identiques au bout d un an. C est à dire : (1 + x 1 ) = (1 + x n ) n (1 + x 1 ) 1 n = 1 + x n x n = (1 + x 1 ) 1 n 1 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 21 / 41
Proposition Le taux équivalent x n pour une périodicité de n périodes par année à un taux x 1 annuel est x n = (1 + x 1 ) 1 n 1 Exemple On place un capital avec un taux d intérêts composés de 5% par an. On veut obtenir une capitalisation mensuellle. Quel est le taux mensuel équivalent. On a n = 12 mois dans une année, le taux sur une année est de x 1 = 5 100 le taux mensuel équivalent est de x n = (1 + x 1 ) 1 n 1 0.4% le taux mensuel proportionnel est de x n = 5 100 4 0.42% Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 22 / 41
Le taux équivalent est toujours inférieur au taux proportionnel L écart s accroit avec le nombre de périodes par an. n proportionnel équivalent formule 1 0.12 0.12 (1 + 0.12) 1 1 1 2 0.06 0.058 (1 + 0.12) 1 2 1 3 0.04 0.038 (1 + 0.12) 1 3 1 4 0.03 0.029 (1 + 0.12) 1 4 1 12 0.01 0.0095 (1 + 0.12) 1 12 1 Table : Comparaison des taux proportionnels et équivalents Si on vous propose taux proportionnel ou équivalent pour un prêt que choisirez vous? Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 23 / 41
Chapitre Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 24 / 41
Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 25 / 41
On désigne par annuité une suite de règlements à intervalles de temps constants. Ces annuités peuvent servir à constituer une épargne, à rembourser un prêt. La périodicité de ces annuités est généralement mensuelle ou annuelle. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 26 / 41
Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 27 / 41
Intérêts composés Une personne verse une annuité a epar an en fin de période à un taux de x% avec des intérêts composés. Quel est le capital acquis après t versements. versement durée Annuité Valeur acquise à la fin de période 1 t 1 a a(1 + x) t 1 2 t 2 a a(1 + x) t 2.... t 0 a a(1 + x) 0 Le valeur acquise au bout de t versements (si x 0) est de A t = a+a(1+x)+a(1+x) 2 + +a(1+x) t 1 = a (1 + x)t 1 x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 28 / 41
Versement d un capital fixe chaque période en fin de période. a Annuité : capital versé chaque période t nombre d annuités ou l on a versé le capital x taux d intérêts composés par période Valeur acquise à la fin des t annuités a (1 + x)t 1 x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 29 / 41
Une personne verse une annuité de 1000 epar an en fin de période pendant 5 ans à un taux de 8% avec des intérêts composés. Quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans. versement durée annuité V(5) 1 5 1 a a(1 +.08) 4 2 t 2 a a(1 +.08) 3.... 5 0 a a(1 +.08) 0 Le capital acquis au bout de 5 années est de A t = a ( 1 + (1 +.08) + (1 +.08) 2 + (1 + 0.08) 3 + (1 + 0.08) 4) = = a (1 +.08)5 1.08 = 1000 (1 + 0.08)5 1 1000 5.86660 5866.60e 0.08 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 30 / 41
Paragraphe Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 31 / 41
Une personne a emprunté un capital C de 20000 ependant 10 ans à un taux de 10% avec des intérêts composés. Elle rembourse son prêt par des annuités annuelles. Pour chaque période, ces annuités sont composées d amortissements c est à dire d une partie du remboursement du capital. d intérêts c est à dire du paiement du coût du prêt. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 32 / 41
constantes Emprunt : capital de C esur n annuités à x % par période, des intérêts composés. A chaque période, il rembourse une annuité a. On note C i le capital emprunté à la fin de la i-ème période. 1. fin de la première période, C 1 = C(1 + x) a. 2. fin de la seconde période, C 2 = C 1 (1 + x) a = C(1 + x) 2 a((1 + x) + 1). 3. fin de la n-ème période, le capital emprunté sera C n C n = C n 1 (1 + x) a = C(1 + x) n a (1 + x)n 1 x A la fin du prêt le capital emprunté doit être nul C n = 0 a = Cx 1 (1 + x) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 33 / 41
constantes C capital emprunté a annuité constante versée en fin de période x taux d intérêts composés par période n nombre de périodes Le capital est remboursé avec des annuités constantes en choisissant comme annuité par période : a = Cx 1 (1 + x) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 34 / 41
Annuité constante On emprunte C 0 = 10000 euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx 10000 0.05 = 2309.75 1 (1 + x) n 1 1.05 5 n durée annuité C 0 5 0 C 0 = 10000 1 4 a C 1 = C 0 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 35 / 41
Annuité constante On emprunte C 0 = 10000 euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx 10000 0.05 = 2309.75 1 (1 + x) n 1 1.05 5 n durée annuité C 0 5 0 C 0 = 10000 1 4 a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 35 / 41
Annuité constante On emprunte C 0 = 10000 euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx 10000 0.05 = 2309.75 1 (1 + x) n 1 1.05 5 n durée annuité C 0 5 0 C 0 = 10000 1 4 a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 35 / 41
Annuité constante On emprunte C 0 = 10000 euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx 10000 0.05 = 2309.75 1 (1 + x) n 1 1.05 5 n durée annuité C 0 5 0 C 0 = 10000 1 4 a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a 4 1 a C 4 = C 3 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 35 / 41
Annuité constante On emprunte C 0 = 10000 euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx 10000 0.05 = 2309.75 1 (1 + x) n 1 1.05 5 n durée annuité C 0 5 0 C 0 = 10000 1 4 a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a 4 1 a C 4 = C 3 (1 + x) a 5 0 a C 5 = C 4 (1 + x) a = 0 Table : Annuité constante Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 35 / 41
Amortissement constant On emprunte un capital de C e sur n périodes avec des intérêts composés de x % par période. A chaque période l emprunteur rembourse C n les intérêts de la période. période 1 A la fin de la première période l emprunteur rembourse C n du capital les intérêts de Cx de la première période L emprunteur rembourse au total A 1 = C n + Cx. A la fin de cette période l emprunteur doit C 1 = C(1 + x) A 1 = C n 1 n. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 36 / 41
période 2 A la fin de la deuxième période l emprunteur rembourse C n 1 n du capital et les intérêts C n x soit au total A 2 = C n + C n 1 n x. A la fin de la deuxième période, l emprunteur doit C 2 = C 1 A 2 = C n 2 n période n A la fin de la n-ème période. Le capital restant du est de C n 1 = C n. Il rembourse C n du capital du. Il rembourse les intérêts de la période C n x Au total il rembourse A n = C n + C 1 nx. A la fin de cette période il devra C n = C n 1 (1 + x) A n = 0 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 37 / 41
Amortissement constant n durée amorti int A i C i 0 n 0 0 A 0 = 0 C 0 = C C 1 n 1 n Cx A 1 = C 1 n + Cx C 1 = C n 1 n 2 n 2 C n C n 1 n x A 2 = C 1 n + C n 1 n x C 2 = C n 2 n Le capital restant du est une suite arithmétique de terme initial le capital emprunté C et de raison C 1 n. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 38 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 2 8 2000 C 1 x = 1800 3800 C 2 = 16000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 2 8 2000 C 1 x = 1800 3800 C 2 = 16000...... Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 2 8 2000 C 1 x = 1800 3800 C 2 = 16000...... 9 1 2000 C 8 x = 400 2400 C 9 2000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 2 8 2000 C 1 x = 1800 3800 C 2 = 16000...... 9 1 2000 C 8 x = 400 2400 C 9 2000 10 0 2000 C 9 x = 200 2200 C 10 = 0 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41
Table : Amortissement constant Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 39 / 41 MathStat Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = 20000 euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de 10000 10 = 2000. n durée A I annuité C 0 10 0 0 0 C 0 = C 1 9 2000 C 0 x = 2000 4000 C 1 = 18000 = C 0 2000 2 8 2000 C 1 x = 1800 3800 C 2 = 16000...... 9 1 2000 C 8 x = 400 2400 C 9 2000 10 0 2000 C 9 x = 200 2200 C 10 = 0
Deuxième partie II Index Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 40 / 41
Intérêt composé épargne constante, 52 amortissement constant, 64 annuité constante, 57 annuités, 50 changement de période de capitalisation, 43 définition, 16 exemple, 27 intérêt simple, 24 taux équivalent, 45 taux proportionnel, 44 Index I Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 3 novembre 2014 41 / 41