Cours FONCTIONS AFFINES 0 ACTIVITE / Δx Exemple : On a représenté la fonction f définie par f ( x ) x dans un repère orthonormal. Déterminer graphiquement, puis par le calcul, dans chacun des cas : Δx Lorsqu'une valeur variable x passe d'une valeur x à une valeur x, la différence x x est l'accroissement de x. On note Δx x x x x x x 6 x x 0 x x 6 Lecture graphique ( Placer les points de la courbe d abscisses x et x ) Calcul y y y y y y y y
Exemple : On a représenté la fonction f définie par f ( x) x+ dans un repère orthonormal. Déterminer graphiquement, puis par le calcul, x x x x 6 x x 0 x x 6 Lecture graphique ( Placer les points de la courbe d abscisses x et x ) dans chacun des cas : Δx Calcul y y y y y y y y Que constate-t-on? Généralisation : Calculer f ( x) f( x) x x pour chacun des exemples, x et x étant des réels quelconques.
I - EXEMPLES Exemple Dans une bibliothèque, l'abonnement annuel est de 0. Pour chaque livre emprunté, on paie 0,5. On note h la fonction exprimant la dépense annuelle pour un abonné de cette bibliothèque. Un lecteur a emprunté x livres cette année. Quelle est sa dépense h (x)? Exemple On note R le rayon d'un disque et p la fonction exprimant le périmètre du disque. Quel est le périmètre p(r) d'un disque de rayon R? Exemple On dispose d'un ressort de longueur 0 cm. Pour une masse m comprise entre 0 et 00 g accrochée au ressort, l'allongement du ressort est proportionnel à cette masse. On note l la fonction exprimant la longueur du ressort. On a accroché une masse m. Quelle est la longueur l (m) du ressort? II PROPORTIONALITE Vocabulaire et notation : Lorsqu'une valeur variable y passe d'une valeur y à une valeur y, la différence y y est l'accroissement de la variable y. On note y y Exercice : Montrer que dans ces trois exemples, l'accroissement des valeurs images prises par la fonction est proportionnelle à l'accroissement de la variable. III - FONCTIONS AFFINES DEFINITION DEFINITION Une fonction f définie sur IR est dite affine s il existe deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre réel x, f ( x ) a x + b. THEOREME Soit ( O, I, J ) un repère du plan. La représentation graphique d une fonction affine définie par f ( x ) a x + b est une droite D d équation y a x + b.
CAS PARTICULIERS Si b 0, la fonction est dite linéaire. Si a 0, la fonction est constante. Droite passant par l origine Droite parallèle a l axe des abscisses IV SENS DE VARIATION d une FONCTION AFFINE Soit f une fonction affine définie par f ( x ) a x + b Si a < 0 alors f est décroissante Si a > 0 alors f est croissante Si a 0 alors f est constante V CARACTERISATION d une FONCTION AFFINE THEOREME Une fonction f est une fonction affine si et seulement si Δx est constant. VI SIGNE d une FONCTION AFFINE Cas où a > 0 : b x + a Signe de a x+b 0 + Cas où a < 0 : b x + a Signe de a x+b + 0
Exo FONCTIONS AFFINES EXERCICE ) Soit la fonction affine f : x a x 5. a) Calculer les images de,, - et 5 par cette fonction. b) Calculer l antécédent de -8 par cette fonction. ) Soit la fonction affine g : x a x. a) Calculer les images de,, - et 5 par cette fonction. b) Calculer l antécédent de par cette fonction. EXERCICE Représenter dans ce repère ces fonctions affines : - En bleu, la fonction f : x a x + ; - En rouge, la fonction g : x a -x + ; - En vert, la fonction h : x a x + ; - - - - O - - En gris, la fonction k : x a - x +. - - EXERCICE On a représenté dans un repère la fonction affine. a. Compléter en lisant sur le graphique : f() f( ) f(-) f( ) f(-) f( ) - 5 b. Déterminer graphiquement f(0) et f(). - - - - O c. En déduire un système de deux équations à deux inconnues a et b, en posant f (x) a x + b. - d. Retrouver rapidement a et b. EXERCICE
EXERCICE 5 Pour chaque question, entourez la bonne réponse. / Soit f définie sur IR par : f(x) x 5. L image de par f est : 7 / Soit f définie sur IR par : f(x) x 5. L antécédent de par f 7 est : / La représentation graphique de la fonction g définie sur IR par : g(x) x + passe par le point : / La représentation graphique de la fonction h définie sur IR par : x +7 h(x) a pour ordonnée à l origine : 5/ La fonction affine k définie sur IR par : x est : 6/ La fonction affine k définie sur IR par : x admet pour tableau de signes : 7/ On sait que la fonction f est linéaire et que f( - ). Alors f est définie par : 8/ On sait que la fonction f est affine et que f( - ). Alors f est définie par : 9/ On sait que la fonction f est affine et que f() 5 et f() 7. Alors f est définie par : 0/ / La fonction h définie sur IR par : h(x) 5 -x a pour coefficient directeur : A ( ; - ) B ( 0 ; - ) C ( ; 0 ) D ( - ; 0 ) 7 Décroissante sur IR. Croissante sur IR. Décroissante sur x - + - 0 + x - + 0 - + ] - ; ] et croissante x sur [ ; + [. - - 0 + + 7 Croissante sur ] - ; ] et décroissante sur [ ; + [. x - + - 0 + - x + x - x - x + x + x - x + x - x + x + x + x + 5 - - 5
EXERCICE 6 Autres exos EXERCICE 7