CLASSES DE PCSI, et 3 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE Exercice : Circuit R-L-C en régime sinusoïdal Etude de l intensité En très basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et l inductance comme un court-circuit ; en très haute fréquence, c est l inductance qui se comporte comme un interrupteur ouvert et le condensateur comme un court-circuit On obtient donc dans les deux cas, un circuit ouvert et on en déduit que l intensité est nulle aux très basses comme aux très hautes fréquences L impédance complexe du circuit s écrit : Z R G + R + r + jlω + jcω R G + R +r + j(lω Cω ) L amplitude complexe de l intensité est donc donnée par : I E Z On obtient alors I m I (R G + R + r) + (Lω Cω ) R G + R + r + j(lω Cω ) et on constate donc que I m passe par un maximum lorsque l expression figurant au dénominateur est minimale, c est à dire pour Lω Cω 0 La pulsation de résonance est donc Z R G + R + r LC On a donc à la résonance : I m Max R G + R + r Le circuit est alors équivalent à une résistance, le déphasage entre l intensité i(t) et la tension e(t) est don nul D après les définitions de et de x, on peut écrire : I Comme L + j( Lω x 0 C x ) % ' Q, on obtient bien la forme demandée : I C + jq(x x ) % ' et En utilisant l expression de la question, on a : I m + Q (x x ) I mmax + Q (x x ) Les pulsations de coupure sont donc données par Q(x x ) ±, c est à dire x ± x Q 0 On obtient alors deux équations du second degré n ayant chacune qu une seule solution positive ; celles-ci s écrivent : x, ± Q + 4Q +! Les pulsations de coupure sont alors : ω, ± Q + 4Q + et on a donc Δω ω - ω % Q 3 Sur la courbe représentant les variations de I m en fonction de la fréquence, on lit une fréquence de résonance f 0,60 khz Graphiquement on détermine des fréquences de coupure f,4 khz et f,04 khz, soit Δf 800 Hz Le facteur de qualité est donc Q f 0 Δf,0 CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE
On obtient donc pour l inductance de la bobine, L circuit, L Q C 497 Ω D où r R R G 7 Ω Etude de la tension aux bornes de C I 4 On a U C jcω LCω + j Cω 4π Cf 0 9,90- H et pour la résistance totale du 4 D après les expressions de et Q, on a LCω ω ω x et C L expression obtenue en 4 se 0 Q met donc sous la forme : U C x + j x Q 5 On en déduit U m U C ( x ) + x Q + x Q % '+ x 4 On obtient donc lorsque ω, c est à dire x : U m Q 5 U m passe par un maximum lorsque la fréquence varie à condition que le polynôme P(x) + x Q % '+ x 4 possède un minimum sur l intervalle ]0, + [ Ceci se produit si Q < 0, c est à dire pour Q > La valeur x R de x pour laquelle se produit la résonance vérifie : P!(x) x Q + % x ' 0 On obtient donc : x R - Q La résonance quand elle a lieu, se produit donc pour une pulsation différente de, inférieure à (On retrouve ω R pour Q >>) La valeur maximale de U m est alors : U mmax! Q % + Q Q 4 Q Q 4 6 D après l expression obtenue pour U C, on a ψ argu C arg( x - j x Q ) j On en déduit ψ arg() 0 pour ω 0, ψ arg(- Q ) π pour ω et ψ arg( x ) - π pour ω On peut donc déterminer la fréquence propre f 0 du circuit en recherchant sur le graphe représentant les variations de ψ en fonction de la fréquence, la valeur de f pour laquelle ψ π 6 Sur la courbe représentant les variations de U m, on lit : U m (f 0) 8,0 V D autre part pour la fréquence propre f 0,6 khz, on a U m (f f 0 ) Q 6,0 V On en déduit Q et on retrouve bien le résultat obtenu à partir de la courbe de résonance d intensité CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE
Exercice : Circuits en régime sinusoïdal A Mesure d'une capacité La résistance et le condensateur étant parcourus par la même intensité, on a: U R eff U Ceff R Z C RCω Soit numériquement RCω 0,84, d où l on tire C, µf La tension aux bornes du condensateur est en retard de l intensité On obtient donc diagramme de Fresnel ci-contre D après la construction de Fresnel précédente : U Geff U Reff +U Ceff D où la tension efficace délivrée par le générateur : U Geff 6,53 V π par rapport à 3 On remarque sur le diagramme de Fresnel que la tension u G est en retard par rapport à l intensité et on lit : tanϕ ug /i U C eff U Reff -,9 On a donc ϕ ug /i arctan(-,9) - 0,87 rad 3 D après la relation du diviseur de tension on a: U C U G jcω R + jcω Le déphasage de la tension u C par rapport à la tension u G est donc ϕ uc /u G D où ϕ uc /u G - arctan(rcω) + jrcω - arg( + jrcω) 4 Le signal (b) passe par son maximum après le signal (a) et est donc en retard de phase par rapport à (a) D après la question précédente, la tension u C est en retard par rapport à la tension u G : u G est donc représentée par la courbe (a) et la tension u C par la courbe (b) 4 L'avance temporelle de u G correspond à carreau sur l oscillogramme, alors que la période est représentée par 9 carreaux Le déphasage entre u C et u G vaut donc: ϕ uc /u G π 9-0,698 rad Il vient donc d après la question 3: RCω tan π 9 0,839 On retrouve bien le même résultat qu à la question et on obtient donc C, µf B Circuit bobine-condensateur 5 L admittance complexe de la bobine est Y B r + jlω r r + (Lω) j Lω r + (Lω) L admittance complexe de l association de la bobine et du condensateur est donc : r Y Y B + jcω r + (Lω) + jω C L % ' r + (Lω) 5 Pour que la tension u(t) et l intensité i(t) soient en phase l impédance complexe, et donc l admittance complexe, du dipôle constitué de l association de la bobine et du condensateur doit être réelle L Il faut donc réaliser la condition : C r + (Lω) r On a alors Y r + (Lω) rc L et cette association est donc équivalente à une résistance r Y L rc!! L Vérification de l homogénéité ce la relation : on sait que [rc] T ω % On a donc bien rc% [Lω], de la dimension d une impédance 3 CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE
6 Comme u G et u sont en en phase, l impédance de l association bobine-condensateur est donc réelle et, d après la question 5, de valeur r D après la loi du diviseur de tension on a donc : U m r! U Gm r! + R 3 On obtient donc r R 300 Ω L inductance L de la bobine est alors : L rr C, soit numériquement L 0,4 H 6 La condition de la question 5 étant réalisée, il vient ω L Numériquement on obtient ω 643 rads - et f,00 Hz 63 On a I eff U eff r! I Ceff L C r U m r! avec U m,0 V d après l oscillogramme Numériquement I eff 4,7 ma Cω U m 4 ma ; I B eff U m Z B Exercice 3 : Suspension d'une automobile U m r + (Lω) U m C 4 ma L A Régime libre La force de rappel T exercée par le ressort sur le point matériel M est donnée par : T - k(l L 0 ) e z Comme L z z 0, la condition d équilibre dans le référentiel terrestre galiléen du point matériel M soumis à son poids et à la force T, s écrit, en projection sur Oz : - k(z eq z 0 L 0 ) mg 0 On a donc : z eq z 0 + L 0 - mg k En ajoutant au bilan des forces la force de frottement F f, la ème loi de Newton appliquée au point M donne, en projection sur Oz : m z - mg k(z z 0 L 0 ) h( z z B ) Ici z B 0 et, d après la question précédente, k( z 0 + L 0 ) - mg kz eq Il vient donc : m z + h z + kz kz eq Cette équation se met sous la forme canonique : Avec k m et h m Q, soit Q m h mk h z+ Q z+ω 0 z ω 0 z eq On a T 0 π π m k, soit numériquement : T 0,04 s 3 Le régime critique est obtenu lorsque le discriminant de l équation caractéristique est nul, c est à dire lorsque Q Ce régime est le régime pour lequel le retour à l équilibre s effectue le plus rapidement (Ceci permet de procurer un meilleur confort aux passagers du véhicule) D après l expression de Q donnée question, l amortissement critique correspond donc à h mk Numériquement : h 4,490 3 kgs - 3 Dans le cas du régime critique, la solution générale de l équation du mouvement est de la forme z(t) (At + B) e t + zeq, c est à dire Z(t) (At + B) e t 4 CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE
D après les condition initiales : B Z(0) 0 On a alors Z (0) A - V 0 D où finalement : Z(t) - V 0 t e t L allure des variations de Z(t) est représentée ci contre 3 L élongation est extrémale à l instant où Z s annule, c est à dire pour - V 0 ( - t) e t 0, soit t La variation maximale de longueur du ressort est donc ΔL max V 0e - Numériquement : ΔL max 7,3 cm 4 Lorsque le véhicule est chargé, la masse du point M devient m m + Δm, le facteur de qualité prend donc la nouvelle valeur Q (m + Δm)k h On obtient donc numériquement : Q 0,537 m + Δm m, puisque h mk On a maintenant Q >, le mouvement du châssis est donc un mouvement d oscillations pseudo-sinusoïdales 4 La pseudopériode T des oscillations est donnée par T T 0 4 Q La période propre est maintenant T 0 π m + Δm, s Avec la valeur trouvée pour Q on obtient k T 3,05 s La pseudopériode dans ces conditions est environ 3 fois supérieure à la période propre B Test du contrôle technique 5 En tenant compte des variations de la cote du point B, l équation différentielle du mouvement de M devient : m z - mg k(z z 0 Z B L 0 ) h( z z B ) k(z z eq ) - h z + kz B + h z B Comme z Z, z Z et z B Z B, cette équation se met bien sous la forme : m Z + h Z + kz kz B + h Z B 6 En représentation complexe, l équation du mouvement devient : (- mω + jhω + k)z(t) (k + jhω) Z B (t), soit encore: (- ω + jσω + ) Z m ( + jσω ) On en déduit la fonction de transfert : H Z m 6 Il vient donc H Z m ω 0 ( + 4σ ω ) ( ω 0 ω ) + 4σ ω 0 ω + jσω ω + jσω 63 En l absence d amortissement, σ 0 et on obtiendrait : Z m ω L amplitude des oscillations deviendrait alors infinie pour la pulsation ω La suspension doit donc obligatoirement comporter un amortisseur 64 A très basse fréquence, pour ω <<, Z m : le ressort garde une longueur constante égale à sa longueur à l équilibre et le véhicule suit les ondulations de la route 5 CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE
A très haute fréquence, pour ω >>, Z m 0 : la voiture n oscille pas et le châssis reste à une altitude constante On constate que, malgré l amortissement, H présente une résonance pour une pulsation ω R de l ordre de Lorsque les ondulations de la route génèrent des oscillations de pulsation ω, il faut donc éviter que cette pulsation soit proche de ω R Pour que la suspension absorbe efficacement les variations de hauteur de la route, H doit être le plus faible possible La pulsation propre doit donc vérifier << ω Exercice : Résonances d intensité et de la tension aux bornes du condensateur 6 CLASSES DE PCSI 05/06 - CORRIGÉ DS N 4 DE PHYSIQUE