Animation Maths au Cycle 2 le 17 octobre 2012, Chaumont Frédéric Castel, Professeur à l'université de Reims, IUFM de Chaumont Avec l'appui précieux des travaux didactiques de Christelle Urbany, Jean-Claude Duperret, Patrick Perrin et Claude Simonnot
Les origines de la géométrie L'origine de la géométrie semble directement liée aux exigences de la vie pratique (fabrication et ornementation d'objets, construction d'habitations, de greniers, de monuments, repérage des parcelles de terrain (crues du Nil), calcul des aires des champs, volume des matériaux de construction ) La géométrie grecque intègre les connaissances antérieures mais rompt radicalement avec le pragmatisme des géométries babylonienne et égyptienne. Au sein de la cité grecque, dans laquelle le développement de la démocratie requiert le débat contradictoire et l'argumentation rationnelle, la géométrie substitue, à l'accumulation de résultats hétéroclites obtenus par des méthodes empiriques, la constitution d'une science abstraite et déductive.
«Le théorème du perroquet» (Denis Guedj) Comme tous les élèves du monde, Jonathan avait croisé Thalès à plusieurs reprises. Chaque fois, le professeur leur avait parlé du théorème, jamais de l homme. D ailleurs, en cours de maths, on ne parlait jamais de personne. De temps en temps, un nom tombait, Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais c était seulement un nom, comme celui d un fromage ou d une station de métro. On ne parlait pas non plus de où ni de quand ça s était fait.
«Le théorème du perroquet» (Denis Guedj) Les formules, les démonstrations, les théorèmes atterrissaient sur le tableau. Comme si personne ne les avait créés, comme s ils avaient été là de tout temps, comme les montagnes ou les fleuves. Encore que les montagnes, elles, n avaient pas été là de tout temps. Et l on arrivait à ceci que les théorèmes avaient l air plus intemporels que les montagnes ou les fleuves! Les maths, ce n était ni l histoire, ni la géographie. C était quoi au juste? La question n intéressait pas grand monde.
PLAN A) Repérage B) Les différents niveaux de géométrie C) Les changements de points de vue D) La géométrie mentale
PARTIE A REPERAGE
Première partie Repérage dans l'espace
Repérage sur soi et par rapport à soi Au début du cycle 1 les enfants confondent le repérage sur eux (le haut de ma tête) et par rapport à eux (au-dessus de ma tête) L'enfant acquiert en premier le repérage sur soi, puis le repérage sur un objet (le haut et le bas de l'armoire)
Repérage sur soi et par rapport à soi L'utilisation des mêmes mots accentue la confusion Le dessus de la table (nom) La lampe est au dessus de la table (préposition)
Repérage sur soi et par rapport à soi Les repères frontaux (devant, derrière) s'acquiert plus facilement que les repères latéraux (gauche, droite)
Repérage par rapport à soi Il s'acquiert progressivement à l'école maternelle lorsque l'enfant arrive à projeter dans l'espace environnant l'orientation de son propre corps.
Le repérage par rapport à une autre personne Il nécessite d'être capable de se projeter mentalement à la place de l'autre personne en prenant en compte l'orientation de cette personne (la difficulté réside dans cette rotation à effectuer mentalement)
Le repérage par rapport à un objet Il dépend de la nature de l'objet suivant que l'objet est orienté (voiture par le sens du déplacement) ou non orienté (table)
Le repérage par rapport à un objet orienté Il est analogue au repérage par rapport à une autre personne (le pneu de la roue arrière droite de ma voiture est dégonflé)
Le repérage par rapport à un objet non orienté Il n'y a plus de projection mentale à la place de l'objet. Il s'agit d'un repérage par rapport à un observateur placé face à l'objet : La fourchette est à gauche de l'assiette. Jules est debout devant l'arbre.
Le repérage par rapport à un objet non orienté Jules se tient debout devant l'arbre. L'observateur est celui qui parle. La fourchette doit être placée à gauche de l'assiette. L'observateur est un convive imaginaire.
Complexité du vocabulaire utilisé pour le repérage relatif «Le cercle est derrière la croix» Pour O, la croix est au premier plan et le cercle au second plan, mais ils sont tous les deux devant lui. «Le cercle est à droite du carré» Pour O, les deux objets sont dans la partie gauche de son champ de vision, mais le carré est plus à gauche que le cercle. O regarde dans le sens de la flêche
Des expressions parfois ambiguës A A et B peuvent dire : «Le bonhomme se tient derrière la chaise» B
Des expressions parfois ambiguës École A B A dit : «B attend devant la grille de l'école»
Où est l'observateur? (1) Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière. Le banc se trouve la fontaine. Le bac à sable est les rochers. Le dolmen est le petit bois. La statue est la balançoire.
Où est l'observateur? (2) L'exercice demande de repérer un objet par rapport à un autre objet. La réponse dépend donc de celui qui regarde.
Où est l'observateur? (3) Mode de représentation -->Place de l'observateur Plan ---> Vue de dessus Photo ---> Face au point de fuite Perspective cavalière ---> Rejeté à l'infini
Plan, Photo ou Figure? L'image fait penser à une photo mais il n'y a pas de point de fuite Perspective cavalière Plan (vue de dessus)
Où est l'observateur? Je ne sais pas répondre! Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière. Le banc se trouve la fontaine. Le bac à sable est les rochers. Le dolmen est le petit bois. La statue est la balançoire.
Quatrième partie Présentation d'une séance réalisée en CE1
Les tétracubes (1) Un tétracube est une figure formée par un assemblage de quatre cubes identiques Trouver tous les tétracubes
Les tétracubes (2)
Les tétracubes (3)
La situation problème Trouver un moyen de mémoriser un assemblage de quatre cartons dans le but de le reproduire
Consigne «Dans la salle polyvalente il y a des assemblages différents qui sont faits avec des cartons. Il y a trois figures différentes. Vous allez devoir les observer attentivement et bien mémoriser comment elles sont fabriquées. Ensuite vous devrez en petit groupe reconstruire une de ces figures.»
PARTIE B LES DIFFERENTS NIVEAUX DE GEOMETRIE
Approche de la géométrie en terme de «niveaux» d action et de pensée Géométrie 1 (géométrie naturelle) Géométrie 2 (géométrie axiomatique naturelle) Géométrie 3 (géométrie axiomatique formelle) Géométrie 1 Géométrie 2
École maternelle, cycle 2 Géométrie de la perception Est vrai ce que je vois Boîte à outil géométrique : l œil Géométrie 1 Fin du cycle 2, cycle 3 Géométrie instrumentée Est vrai ce qui est contrôlé à l aide d instruments Boîte à outil géométrique : règle, compas, équerre, gabarit Collège Géométrie déductive Géométrie 2 Est vrai ce que je démontre Figure distinguée du dessin Boîte à outil géométrique : théorèmes, définitions, axiomes. 33
Les géométries 1 et 2 dans le cadre de la géométrie plane La géométrie 1 C est une approche physique des phénomènes qui utilise souvent comme support le «micro-espace» de la feuille de papier. Les objets sont des «objets matériels» (dessins ). Les instruments sont les instruments usuels de la géométrie (règle, équerre, compas ). C est le lieu d une approche heuristique expérimentale, où peut se développer des raisonnements dynamiques. On peut y trouver un premier niveau de validation souvent basé sur des constats physiques (ex : vérification avec des instruments (règles, équerre )). La géométrie 2 C est une approche théorique des phénomènes qui utilise comme support le plan mathématique. Les objets sont des objets «idéaux» (figures ). Les «mouvements» sont traduits par des «transformations». L argumentation, de nature «hypothético-déductive» repose sur des propriétés, et la validation sur la démonstration.
Les programmes d enseignement Cycle 1 Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. compétences se situer dans l espace et situer les objets par rapport à soi se repérer dans l espace d une page ; comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l espace.
Les programmes d enseignement Cycle 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. [ ] Ils utilisent un vocabulaire spécifique. Compétences situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ;
Les programmes d enseignement Cycle 3 L objectif principal de l enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. Compétences Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Compétences de fin de cycle reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels
Le problème du carreleur Avec quels types de quadrilatère peut-on paver le plan? Précisons : on choisit un quadrilatère ; en «reportant» ce quadrilatère copie conforme, peuton paver le plan?
Démarche expérimentale (démarche d investigation) par abandon de contraintes, de régularités (de propriétés) Un carré Un rectangle Un losange Un parallélogramme Un trapèze
Et avec un quadrilatère quelconque? Pas possible! Si!
Comment? Utilisation de symétries centrales (demi-tours)
Pourquoi? La somme des angles d un quadrilatère est 360 (ni «trous» ni «chevauchements»)
L aller retour entre le monde physique et le monde mathématique Géométrie 1 Géométrie 2 Plan physique Plan mathématique Gestes physiques (mouvements) Gestes mathématiques (transformations) Objets physiques (dessins) Objets mathématiques (figures) Comment? (heuristique) Pourquoi? (validation : démonstration) Expérience Certitude Monde physique Monde mathématique
PARTIE C CHANGEMENTS DE POINTS DE VUE
Buts de l'enseignement de la géométrie
Une compétences essentielle à développer dans le domaine de la géométrie q Être capable de voir une figure selon plusieurs points de vue. Pour passer d une vision à 2 D à une vision à 1 D des objets géométriques
1ier point de vue Une juxtaposition de formes géométriques aux contours fermés
3ième point de vue Un assemblage de d objets géométriques simples Cap maths CM1 2010
Un second exemple
Un troisième exemple
La capacité à concevoir une figure géométrique comme un réseau de lignes (de droites) et de points permet de construire les notions de : q q q q alignement perpendicularité Parallélisme Égalité de longueurs
Quelques exemples de difficultés
L acquisition de cette compétence est essentielle pour que les élèves réussissent : q q q dans les activités de reproduction de figures dans les activités de construction de figures dans les activités de lecture et d écriture de scénarios
Des activités qui peuvent aider les élèves à changer de regard
PARTIE D GEOMETRIE MENTALE Extrait du site de Jean Luc BREGEON
Mise en œuvre Jean Luc BREGEON
Quand, comment? q Une fois par semaine, avant chaque séance de géométrie. q Sur ardoise : Avantage : rapidité, un ou deux scénarios à chaque séance. q Sur papier : Avantage : mémoire de travail q Confrontation des productions en référence au scénario dicté. Le scénario écrit n est visible que lors de cette phase.
Des exemples 1. Trace une ligne courbe ouverte. 2. Trace une ligne courbe fermée. 3. La figure est formée d une ligne droite et d un point placé sur la ligne. 4. La figure se compose d une ligne droite et d un point placé à l extérieur de la ligne. 5. La figure se compose d'une ligne droite et de trois points, deux sur la droite et un à l'extérieur de la droite. 6. La figure se compose d un segment de droite et d un point placé au milieu du segment. 7. La figure se compose d un segment de droite AB et d un point placé en dehors du segment. 8. Tracer deux lignes droites qui se coupent au point O.
9.Tracer deux droites parallèles. 10.Tracer deux droites perpendiculaires. 11.Tracer deux droites parallèles et une autre droite qui les coupe. 12.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites parallèles qui coupent les deux premières. 13.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites qui coupent les deux premières. 14.Tracer deux droites perpendiculaires et marquer un point à l'extérieur des deux droites. 15. Tracer un segment AB et un segment AC.
68. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et deux seulement. 69. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et un angle droit. 71. Trace un triangle rectangle et marque les milieux des trois côtés. Relie ces milieux pour former un rectangle. 72. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les milieux des côtés opposés. On a tracé le cercle qui a pour diamètres ces deux segments. 73. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les milieux des côtés opposés. On a tracé le carré qui a pour diagonales ces deux segments.
Ses objectifs q q q q q Donner aux élèves la possibilité d envisager mentalement une figure, indépendamment des contraintes de tracé aux instruments. Faire utiliser le vocabulaire géométrique en situation et évaluer sa compréhension et sa mobilisation. Favoriser la liaison entre la description d une figure et sa représentation graphique Permettre une prise de conscience des propriétés des figures et une approche de l argumentation. Faire évoluer chez les élèves le statut de la figure géométrique, en dépassant le simple dessin géométrique aux instruments q Comprendre qu il y a parfois plusieurs interprétations valides. q Prendre conscience des propriétés et de la nécessité de leurs codages.
Bibliographie : Ermel CE1 CE2 Vivre les maths La tribu des maths CAP maths CE1 Activités de l académie de Créteil Documents COPIRELEM Revue «Grand N» «Donner du sens aux mathématiques» Tome 1 Bordas pédagogie «Enseigner la géométrie» Cycle des approfondissements fondamentaux Bordas «Enseigner les mathématiques à l école primaire» Géométrie, grandeurs et mesures Vuibert «Mathématiques Nouveau concours» Vuibert Concours