Correction Baccalauréat ES 2011 Obligatoire Exercice 1 1/ a/ Estimation indice de fréquence en 2012 L énoncé indique qu on suppose l ajustement affine valable jusqu en 2012, soit le rang 12. L estimation de l indice de fréquence pour l année 2012 se trouve en utilisant l équation de la droite d ajustement 2,89 102,59 avec 12. On a donc : 2,89 12 102,59 67,91. On en déduit que l indice de fréquence du BTP pour 2012 devrait être de 67,91 accidents avec arrêt pour 1000 salariés. 1/ b/ Pourcentage d évolution entre 2007 et 2012 après le tableau donné, on sait que l indice de fréquence de 2007 est de 84. On vient de trouver celui de 2012, qui est égal à 67,91. Il suffit donc d appliquer la formule suivante : é é é 100 67,91 84 100, % 84 Le pourcentage d évolution entre 2007 et 2012 serait donc de -19,15%, arrondi à 10-2 près, c'est-à-dire une réduction de 19,15%. 2/ a/ Complétons le tableau donné Attention : Arrondis : Question 1/b/ Il faut arrondir à 10-2 près. Question 2/a/ Il faut arrondir à 10-4 près. Il ne faut pas l oublier!!! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,3 98,9 91,6 89,5 87,6 85,4 84 79,9 76 ln100,3 4,608 4,594 4,517 4,494 4,473 4,447 4,431 4,381 4,331 Non demandé : Voici les graphes en question :
2/ b/ Trouvons une équation de la droite d ajustement de z en fonction de x sous la forme ans la calculatrice graphique, on rentre les données des lignes et. La régression linéaire appliquée à ces points donne les valeurs de «a» et «b», respectivement le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite. On trouve alors : 0,0328 et 4,6389, valeurs arrondies à 10-4 près. L équation de la droite est donc :,, Info matériel (Régression linéaire) : Sur Texas instruments (TI-82 STAT): ans le menu «STAT», entrer les coordonnées des points dans L1 et L2 Puis : Touche «STAT» Touche «4» : LinReg(ax+b) http://education.ti.com/guidebooks/graphing/8 2stat/TI82STATSBookfre.pdf (p 220 et suivantes) Info matériel (Régression linéaire) : Sur Casio (Graph 80): ans le menu «STAT», entrer les coordonnées de tous les points dans les colonnes List1 et List2 Puis : Utiliser la fonction CALC REG X http://eteaching.free.fr/bts/poly%20bts/casio/aju stement%20lin%e9aire%20casio.pdf (p 3 et 4) 2/c/ éduire une expression de y en fonction de x sous la forme, On sait que ln, donc. e plus, on a trouvé un ajustement affine de la forme,,. En remplaçant cette expression de dans, on trouve immédiatement :,,,,, avec, 103,4. onc 103,4,. 3/ Peut-on atteindre l objectif d une réduction de 25% d ici 2012? Calculons d abord l indice de fréquence «seuil» qu il faut pour atteindre l objectif : Rappel : Puissances: ; ; Indice de fréquence seuil é 2007 1 84 0,75 63. L objectif sera atteint si l indice de fréquence en 2012 est inférieur à 63 accidents avec arrêt sur 1000. Premier ajustement (supposé valable jusqu en 2012): A la question 1/a/ on a trouvé que l indice de fréquence serait en 2012 de 67,91 63. Avec le premier ajustement, on ne peut pas prévoir d atteindre l objectif. Astuce : Se rassurer facilement: Questions 2/b/ et 2/c/ : Les séries et sont décroissantes. C est donc rassurant d obtenir des coefficient directeurs négatifs. Question 2/c/ : On donne la forme à trouver :, et on a le coefficient directeur du 2 ème ajustement égal à, euxième ajustement (supposé valable jusqu en 2012): A la question 2/c/, on a trouvé que l indice de fréquence pour une année de rang x est 103,4,. Pour l année 2012, on a 12 donc 103,4, 69,76 63. Avec le deuxième ajustement, on ne peut pas non plus prévoir d atteindre l objectif.
Exercice 2 1/ Traduisons l énoncé à l aide d un arbre : L étude s intéresse à deux types de défauts : Rappel: On calcule la probabilité en multipliant les probabilités rencontrées sur l arbre. - Les défauts de couleur (événements et ) - Les défauts de forme (événements et ) Il est donc possible de réaliser l arbre suivant : 0,12 C 0,2 0,8 F Astuce : Pour plus de simplicité, je conseille de mettre les probabilités sous la forme décimale, ce nombre étant obligatoirement compris entre 0 et 1. 0,88 0,08 0,92 F 2/ a/ éterminons la probabilité qu un vêtement ait un défaut de couleur et un défaut de forme : L événement «avoir un vêtement qui a un défaut de couleur et un défaut de forme» se traduit ainsi : (en rouge sur le schéma). La probabilité que cet événement est :,,, où 0,024, 2,4%. 2/ b/ éterminons la probabilité qu un vêtement ait un défaut de forme : L événement «avoir un vêtement qui a un défaut de forme» se traduit par l événement :. Un vêtement qui a un défaut de forme est un vêtement qui a un défaut de couleur et un défaut de forme ou qui n a pas de défaut de couleur et un défaut de forme ( ) ou ( ), situation repérée en vert sur le schéma. En langage mathématique, on a : ( ) ( ). La probabilité est donc : 0,12 0,2 0,88 0,08 0,024 0,0704, La probabilité de tomber sur un vêtement présentant un défaut est de 0,0944, soient 9,44% 2/c/ Les événements C et F sont-il indépendants? On sait que si le vêtement a un défaut de couleur alors il a 20% de chances d avoir un défaut dans la forme. e même, on sait que si le vêtement n a pas de défaut dans la couleur, alors il n a «que» 8% de chances d avoir un défaut dans la forme. On voit bien que le fait d avoir ou non un défaut dans la forme dépend du fait d avoir un défaut dans la couleur. Mais cette explication ne suffit pas. Il faut le démontrer mathématiquement. Si les événements C et F sont indépendants, alors. On a trouvé 0,024. Par ailleurs, 0,12 0,0944 0,011 0,024. On en conclut que C et F ne sont pas indépendants.
3/ Calculons le taux de vêtements sans défaut Si un vêtement n a pas de défaut, alors il n a ni défaut de couleur () et pas non plus défaut de forme (). La probabilité de tomber sur un vêtement n ayant aucun défaut est donc : 0,880,920,92. On en déduit que le directeur de l usine se trompe en affirmant que 92% des vêtements fabriqués dans son usine n ont aucun défaut. 4/ Probabilité qu aucun des trois vêtements achetés n ait de défaut : Ici, deux cas sont possibles : - Soit le vêtement présente au moins un défaut (événement ) - Soit le vêtement ne présente aucun défaut (événement ) e plus, on peut assimiler cette situation à 3 tirages successifs. Puisque le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants, on se retrouve dans le cadre de la loi binomiale. Trouvons les paramètres et de cette loi binomiale. - On effectue 3 tirages successifs. On en déduit que 3. - A la question 3/, on a calculé la probabilité de n avoir aucun défaut. On a trouvé. On en déduit que. Attention : Arrondis : Ici, il faut arrondir à 10-3 près. Rappel: Loi binomiale Condition pour utiliser la loi binomiale : dire que les choix sont indépendants (que la population est suffisamment importante) Rappel: Paramètres loi binomiale - n : nombre de tirages indépendants - p : probabilité de chaque événement qui nous intéresse (ici, ne pas avoir de défaut) Ici, on veut la probabilité de ne pas avoir de défaut au premier tirage, ni au second, ni au troisième. Il faut donc calculer la probabilité 0,531. La probabilité de ne tomber sur aucun vêtement défectueux est d environ 0,531, soient 53,1%. Info matériel : Loi binomiale La calculatrice donne le résultat directement, mais il faut s entraîner - Casio (Graph 35+): http://math.univlyon1.fr/irem/img/pdf/190_graph35p lus.pdf - Texas Instruments (TI 82) : http://math.univlyon1.fr/irem/img/pdf/190_ti82stats. fr.pdf
Exercice 3 1/ Trouvons Rappels sur la dérivation : Rappel : ériver des fonctions de base : Fonction f(x) érivée f (x) Constante 0 x 1 x² 2x x 3 3x² x n nx n-1 1 2 1 ² ln(x) 1 Rappel : Nombres constants : Les nombres : 0, 1, -1, 2012, 2, 5,,,,, sont tous des nombres constants. Tous ces nombres ont la même dérivée : 0. Rappel : Fonctions composées : ériver des fonctions contenant d autres fonctions (à noter que est la dérivée de, se référer au tableau de gauche) : Fonction f(x) érivée f (x) 2 ² ln(u) On a. Ici, nous avons une fonction à l intérieur d une autre fonction. Je pose. En utilisant le tableau de gauche, je trouve. En utilisant le tableau de droite, j ai. Réponse c. 2/ Sachons lire et comprendre un tableau de variations Le tableau de variations donné est : 0 0 Ce tableau de variations donne de nombreuses informations sur la courbe de, mais reste assez imprécise. Sur le graphe ci-dessous, les courbes orange et verte vérifient toutes les deux les informations données par le tableau de variations, mais sont très différentes l une de l autre. 0 0
Examinons désormais chacune des propositions de l exercice : Proposition (a): 7 : NON Nous venons de voir qu il nous manque des informations sur la courbe. Comme on ne sait pas exactement où passe la courbe (on n a pas son équation), il est impossible de trouver l aire située entre la courbe et l axe des abscisses c'est-à-dire l intégrale et entre les abscisses 5 et 2. Rappel : Intégrales : Une intégrale peut se comprendre en expliquant qu elle mesure la surface comprise entre la courbe et l axe des abscisses (zone orangée pour la courbe orange ; zone orangée + zone verte pour la courbe verte) Proposition (b) : L équation 0 admet exactement 2 solutions sur l intervalle [-5 ; 12] : OUI Graphiquement, on résout cette équation en traçant une droite pointillée d équation 0, en bleu sur le graphe. e même, on peut placer l ordonnée «0» dans le tableau de variations (en rouge). Attention : Compréhension écriture mathématique : Calculer 00 veut dire qu on connaît l antécédent (0 et qu on cherche l image (0) Calculer 0 veut dire qu on connaît l image (0) et qu on cherche le ou les antécédent () ans l intervalle [-5 ; 12], les crochets indiquent que 5 et 12 sont inclus dans l intervalle. onc, si 50 ou 120, ces solutions sont valables. Ici, on voit que admet deux solutions sur [-5 ; 12] : 7 12. Proposition (c) : Pour tout appartenant à l intervalle [-5 ; 8], 0 : NON Ici, il suffit de trouver un seul antécédent compris entre -5 et 8 (tous deux compris) qui ait une image de signe positif. En lisant le tableau de variations,, il suffit de constater que 810, qui ne vérifie l inégalité. En conclusion : pour la question 2/ Réponse b 3/ Trouvons le nombre dérivé de h au point d abscisse 1 : 1 Calculons le coefficient directeur de la droite (AB): 1,5. Réponse b Rappel : Coefficient directeur et nombre dérivé : Le nombre dérivé d une fonction en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Ici, on sait que la tangente à la courbe passe par les points 3;3 et 1;0 Rappel : Signe du coefficient directeur (donc de la dréivée, cf. question 4/) et sens de variation d une droite : Si un coefficient directeur (ou nombre dérivé) est positif, alors la tangente «monte» (la courbe est croissante) Si un coefficient directeur (ou nombre dérivé) est négatif, alors la tangente «descend» (la courbe est décroissante) Si un coefficient directeur (ou nombre dérivé) est nul, alors la tangente est horizontale (la courbe n est ni croissante ni décroissante : elle atteint un extremum) Rappel : Trouver la valeur d un coefficient directeur (a) : Si une droite passe par deux points de coordonnées connues : ; et ; avec et, les abscisses des points A et B; et et, les ordonnées des points A et B, alors on trouve la valeur du coefficient directeur en résolvant : Astuce : Se rassurer facilement: Sur le graphe, la tangente «monte», le coefficient directeur est donc positif. C est rassurant. Enfin, une seule proposition donne un nombre dérivé positif!!!
4/ Trouvons la représentation graphique de, primitive de Rappel : érivation et intégration L intégration est l opération inverse de la dérivation. Ce schéma explique simplement les relations qui unissent f et f d une part ainsi que f et F d autre part : érivation Intégration f f' f F Intégration érivation Pour passer de f à f, on dérive. Pour passer de f à f, on intègre. Pour passe de f à F, on intègre. Pour passe de F à f, on dérive. u schéma ci-dessus, on déduit que si est la primitive de, alors est la dérivée de. En étudiant le signe de, il est possible de trouver les variations de. Sur le graphe fourni à la question 3/, on constate que : - 0 sur l intervalle [0 ; 1], donc est décroissante sur [0 ; 1]. - 0 sur l intervalle [1 ; ], avec 2,8, donc est croissante sur [1 ; ], avec 2,8. - 0 sur l intervalle [ ; [, avec 2,8, donc est décroissante sur [ ; [. Une seule représentation graphique parmi les trois proposées respecte la description faite juste avant : la représentation graphique donnée en (a) Réponse a Exercice 4 1/ a/ Traduisons graphiquement les informations 3, 4 et 5 données par le logiciel La réponse 2 fournit la solution de l équation 0. C est-à-dire le nombre d objets vendus pour lesquels l entreprise est à l équilibre. C est le point d intersection entre la courbe et l axe des abscisses qui nous intéresse ( ) (point rouge, sur le schéma). pour 0 pour
La réponse 4 fournit le domaine d intervalle (sur l axe des abscisses) pour lequel 0, c'est-à-dire quand l entreprise réalise un bénéfice positif ( ). Graphiquement, il s agit de l intervalle tracé en vert. La réponse 5 fournit la valeur du maximum de la fonction, c'est-à-dire la valeur maximale du bénéfice réalisé (ce n est pas le nombre d objets pour lequel le bénéfice est maximal). Graphiquement, il s agit du point bleu du schéma ( 10. 1/ b/ Retrouvons la réponse 3 du logiciel : Résolvons 0 10 l intervalle ]0;10[. onc : 1 ln 0. Cette fonction est toujours définie sur l intervalle ]0 ; [, donc aussi sur 0 10 0 ln 1, On retrouve bien le résultat donné par le logiciel de calcul formel. L entreprise est à l équilibre pour 37 objets vendus. 2/ a/ émontrons que est une primitive de ans la page précédente, il est expliqué que si est la primitive de, alors est la dérivée de. e même ici, si est la primitive de, alors est la dérivée de. En conclusion, si la dérivée de est bien, alors on pourra affirmer que est bien l intégrale de. érivons 5 ln ln 2. Je pose 5 ln et ln 2 de sorte que (produit) Je trouve 5 et 0. On a donc : 5 ln 2 5 ln 1 10 10. est bien la dérivée de, donc est bien l intégrale de. 2/ b/ Calculer l intégrale donnée On sait désormais que est un primitive de. onc :,,,,,, 1,5 0,5 5 ln1,5 ln1,5 2 5 ln0,5 ln0,5 2 9,406 onc, le bénéfice moyen que réalise cette entreprise est de 9406 s il vend entre 50 et 150 objets. Rappel : Logarithme népérien et exponentielle : Les fonctions ln et sont des fonctions inverses. C'est-à-dire que ln Rappel : ériver des produits et des quotients : Produit de fonction (signe ): Si, alors Quotient de fonction (signe ): Si, alors ². Puis, en factorisant par 10 : Rappel : Trouver la valeur d une intégrale : Par définition : Pour une fonction et une de ses primitives Attention : Arrondis Ici, il est demandé d arrondir à 10-3 près.
3/ Nombre d objets pour lequel le bénéfice est maximal Il est possible de trouver le nombre d objet pour lequel le bénéfice est maximal en résolvant l équation 0. En observant la réponse 2 fournie par le logiciel de calcul formel, on a : 10 10 1 ln 1 10 10 1 ln 10 1 1 ln 10 ² ² A noter que cette fonction est toujours définie sur l intervalle ]0; [, donc aussi sur l intervalle ]0;10[. Résolvons l équation 0. ln 10 0 ² 0 ln 10 0 Rappel : érivée et extrema : On trouve les minima et les maxima d une fonction en résolvant l équation 0 1 1 lnx Rappel : Valeurs remarquables : ln1 0 1 ln 0 ln 0 Le bénéfice maximal est donc atteint si l entreprise vend 1 centaine d objet, soient 100 objets. Il n était pas demandé de dériver. Je le propose néanmoins en entraînement : 10. Je pose 1 ln et de sorte que j ai 10. J obtiens 0 et 1. On a donc : 10 1 10 1 ln 1 10 10 ² ² ², forme que l on retrouve plus haut!