Journées MAS de la SMAI - 29 août 2008 - Rennes Simulations de Monte-Carlo pour un modèle de dynamique forestière F. Campillo, N. Desassis, V. Rossi ARC MICR - Projet MERE - INRIA
Plan Contexte et objectifs Ingrédients du modèle Algorithmes de simulation
Contexte ARC INRIA Equipe Forêts naturelles - CIRAD Contexte tropical : grande biodiversité Exploitation résiliente du bois (Angélique) Logiciel SELVA : Modèle individu centré (IBM) Spatialement explicite Regroupe les connaissances disponibles (dispersion, croissance, compétition...) Temps discret Test de scenarii Confrontation avec les données de Paracou
Objectifs Un cadre mathématique pour les IBM Processus Markovien en temps continu (Bolker et Pacala, 1997, Dieckmann et Law, 2001, Fournier et Méléard, 2004) Ajout de la croissance (en interaction) Simulations
Notations Espace d état des individus X = R 2 [r Min, r Max [ Un arbre i au temps t : x i t = (p i t, rt) i Une population ν t = {x i t X, i = 1,..., N t } individual zone of influence
Notations (2) L espace d état de la population { n } M = {x i }, n N, x 1,..., x n X i=1 Evolution de (ν t ) t 0 à valeurs dans M Pour E et F dans M : E + F = E F and E F = E\F
4 ingrédients de base Pour un arbre x = (p, r) dans la population ν : 3 horloges d évènements (indépendantes et exponentielles) : Naissance : taux λ b (x) et noyau de dispersion D(x, dx ) Mort naturelle : taux λ d (x) Mort par compétition : taux C(x, ν) Croissance : évolution en temps continu des r i t
Naissance 40 35 30 Modèle de fertilité : 25 20 15 λ b (x) = α b r 1 {r rrec} ν ν + {y} avec y D(x, dx ) Modèle de dispersion D(x, dx ) = N σ (p, dp ) δ rmin (dr ) 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 σ=1 σ=2 0.1 0.05 0 6 4 2 0 2 4 6
Mort Taux : Mort naturelle : λ d (x i ) = α d Mort par compétition : avec ν C(x i, ν) = α c c(x i, x j ) j=1 j i c(x i, x j ) = Aire(D x i D x j) Aire(D x i) ν ν {x i } D! $ $ D! " # D! #
Croissance Pour i = 1,..., N t, entre deux évènements, les r i vérifient : avec ṙ i t = g(p i t, r i t, ν t ) ( g(p, r, ν) = A(x, ν)r 1 r ) r Max où A(x, ν) 1 max(c(x, ν), 1). 20 D! " 16 14 18 12 10 8 D! $ $ # D! # 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Croissance Pour i = 1,..., N t, entre deux évènements, les r i vérifient : avec ṙ i t = g(p i t, r i t, ν t ) ( g(p, r, ν) = A(x, ν)r 1 r ) r Max où A(x, ν) 1 max(c(x, ν), 1). 20 18 D! " 16 14 12 10 8 D! $ $ # D! # 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N t équations différentielles couplées Approximation par un schema d Euler
Principe de l algorithme 3 ν t horloges individuelles Taux différents et variables
Principe de l algorithme 3 ν t horloges individuelles Taux différents et variables Regrouper les 3 ν t horloges en une horloge globale Utiliser les bornes supérieures des taux individuels (entre deux évènements) : λ b (x) α b r Max Acceptation-rejet C(x i, ν) α c ν
Algorithme Pour k = 1, 2,... Calculer : N ν Tk 1 m 1 α b r Max N m 2 α d N m 3 α c N 2 m 0 m 1 + m 2 + m 3 T k T k 1 + T où T Exp(m 0 ) Si nécessaire, mettre à jour les rayons (par schema d Euler) Choisir un arbre uniformément dans la population Choisir le type d évènement selon une multinômiale de paramètres r Max α b r Max α b α d α c mort naturelle : m 2 /m 0 naissance : m 1 /m 0 α α c d r Max α b α d α c r Max α b α d α c mort par compétition : m 3 /m 0
Algorithme (2) Naissance : le ième probabilité individu produit une graîne avec r i T k 1 1 {r i Tk 1 r rec} r Max Nouvel arbre : x D(x i T k 1, dx ) Mort naturelle : supprimer le ième individu de la population Mort par compétition : supprimer le ième individu de la population avec probabilité C(x i T k 1, ν Tk 1 ) α c N
Amélioration de l algorithme (Fournier et Méléard) Si l évènement est une mort par compétition : Choisir 2 individus i et j dans la population Supprimer l individu i avec probabilité c(x i T k 1, x j T k 1 )
Amélioration de l algorithme (Fournier et Méléard) Si l évènement est une mort par compétition : Choisir 2 individus i et j dans la population Supprimer l individu i avec probabilité c(x i T k 1, x j T k 1 ) Taux de rejets toujours très élevé
Améliorations (2) Taux de mort par compétition : où m 3 α c N vois N N vois = { {i, j}, x i T k 1 x j T k 1 } = { {i, j}, 0 < d(p i T k 1, p j T k 1 ) 2r Max } } Choisir 2 individus i et j tels que d(p i T k 1, p j T k 1 ) 2r Max Choisir quel individu subit parmi i et j avec probabilité 1/2 Le supprimer avec probabilité c(x i T k 1, x j T k 1 ) ou c(x j T k 1, x i T k 1 )
Conclusions et perspectives A faire : Description mathématique du processus (générateur infinitésimal) Simulation possible et efficace Plusieurs espèces Jeu de données de Paracou : confrontation modèle/données Propriétés du modèle (asymptotiques)