Etude de faisabilité de substituer certains capteurs physiques en capteurs virtuels

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ SARI PROJET SARI - PREDIT 3 Surveillance Automatisée de la Route pour l Information des conducteurs et des gestionnaires RADARR - Livrable n o 1.6 Etude de faisabilité de substituer certains capteurs physiques en capteurs virtuels Livrable n o 1.6.2 Rapport sur les recensements de substitutions possibles sous le double aspect scientifique et économique Date : 30/09/2005 Version : 2.0 Partenaires : Laboratoire Heudiasyc UMR CNRS/UTC 6599 XLIM / DMI / MOD / GERME Auteurs : Guillaume BAFFET Ali CHARARA Dominique MEIZEL Joanny STEPHANT Thème : RADARR Diffusion : Partenaires SARI Financement : DSCR - Direction de la Sécurité et de la Circulation Routières Responsable : Ali CHARARA

¾» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Table des matières 1 Contexte 3 2 Introduction. 4 3 Vitesse longitudinale entre le véhicule et la chaussée 5 3.1 Problématique............................................. 3.2 Moyens de mesure directs de la vitesse - existants......................... 3.2.1 Moyens de mesure optique.................................... 3.2.2 Moyens de mesure micro-ondes............................... 3.2.3 Utilisation du GPS........................................½¼. 3.2.4 Utilisation de l odométrie................................... 3.3 Moyens de mesure directs de la vitesse - expérimental....................... 3.3.1 Capteur de vitesse par micro-ondes : ENSEEIHT...................... 3.4 Capteurs virtuels existants....................................... 3.4.1 Méthode "classique".......................................½¾.½½ 3.4.2 Méthode proposée par Kiencke................................ 3.4.3 Méthode proposée par Jiang................................. 3.4.4 Autres capteurs virtuels.................................... 3.5 Instrumentation disponible........................................½.½.½ 4 Pente et dévers 13 4.1 Problématique............................................. 4.2 Moyens de mesure directs de la pente et du dévers - existants.................. 4.3 Capteurs virtuels existants....................................... 4.3.1 Méthodes analytiques......................................½ 4.3.2 Pente et dévers identifés par traitement d image.......................½ 4.3.3 Observateurs.......................................... 4.4 Instrumentation disponible....................................... 4.4.1 Avantages et inconvénients des différents capteurs possibles................¾¼.½ 5 Efforts d interaction pneumatiques/chaussée 19 5.1 Problématique..............................................¾¾ 5.2 Moyens de mesure directs des efforts - existants...........................¾ 5.2.1 Capteurs de couple...................................... 5.2.2 Capteurs d efforts et de moments.............................. 5.2.3 Capteurs d efforts et de moments - expérimental.......................¾ 5.2.4 Remarques............................................¾.¾ 5.3 Modélisation du système pour la construction de capteurs virtuels................ 5.3.1 Modèle " plan 4 roues ".................................... 5.3.2 Modèle de type bicyclette................................... 5.3.3 Modèle de dynamique des roues................................ ¾ 5.3.4 Définitions des différents rayons de la roue...........................¾ 5.3.5 Angles de dérives et vitesses des roues........................... 5.3.6 Modélisation du transfert de charge............................. 5.3.7 Les glissements........................................ 5.3.8 Modèles des forces du contact pneumatique/chaussée.................. 5.4 Méthodes possibles de reconstructions des efforts de contacts pneumatique/chaussée.... 5.4.1 Etude de L. Ray........................................ 5.4.2 Etude de A. RABHI...................................... 5.4.3 Etudes effectuées au laboratoire HEUDIASYC........................ 6 Conclusion générale 35 Bibliographie 36

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ A Centrale gyrospcopique (microstrain) 38 B Capteur de vitesse par micro-ondes (Corrsys-datron) 39 C Capteur de vitesse optique (Corrsys-datron) 41 D Comparaison de différents moyens de mesure de la vitesse (Corrsys-datron) 42 1 Contexte Dans le cadre du projet PREDIT-SARI-RADARR, la tâche 1.6. intitulée "Etude sur les capteurs virtuels" a pour objectif de remplacer sur les véhicules expérimentaux des capteurs trop coûteux pour être déployés à grande échelle ou pour obtenir certaines données inaccessibles à la mesure. Par capteur virtuel, on entend des algorithmes, implantés dans un ou des calculateurs, utilisant des capteurs peu coûteux, supposés implantés de série dans des véhicules à l horizon de l année 2008. Certaines variables explicatives de la dynamique du véhicule et donc utilisables pour diagnostiquer un comportement anormal du véhicule ont été listées lors de la création du projet. Il s agit de : la vitesse longitudinale entre le véhicule et la chaussée la pente et le dévers de la chaussée les efforts d interactions entre le pneumatique et la chaussée. Parmi les acteurs de SARI-RADARR, deux équipes de recherche½ont, parmi leur domaine de compétence, selon la terminologie de l automatique, l observation d état appelée vulgairement "capteurs virtuels" ou encore "reconstructeur d état". L idée de reconstructeur d état, d estimateur ou de capteur virtuel est de reconstruire des variables qui ne sont pas mesurables directement ou qui requièrent des systèmes de mesures extrêmement coûteux, en utilisant uniquement les informations disponibles, faute de mieux. Dans la plupart des cas, les seules grandeurs accessibles d un processus sont les variables d entrée et de sortie. L algorithme d observation utilise une connaissance a priori du système sous la forme d un modèle d évolution. Le schéma de principe d un reconstructeur d état est visible sur la figure 1. Dans le cas où le modèle choisi est déterministe, le reconstructeur d état est appelé observateur. Dans le cas de systèmes bruités où interviennent des phénomènes aléatoires, on parle de filtre. Le plus connu de ces filtres a été développée par Kalman. On peut citer comme référence [Mohinder and Angus, 1993] qui décrit les principes de construction d un tel filtre. Ainsi, à la place de capteurs coûteux, des conclusions sont faites pour expliquer comment les autres capteurs (réels) ÒØÖ évoluent en fonction des variables non mesurées et du modèle de connaissance que l on a du processus. ÈÖÓ Ù ÓÖØ Ê ÓÒ ØÖÙØ ÙÖ ³ Ø Ø ÅÓ Ð ³ Ø Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ð³ Ø Ø Ä ÓÖ ØÓ Ö ÄÁÅ» ÅÁ»ÅÇ» ÊÅ ½Ä ÓÖ ØÓ Ö À Í Á Ë ÍÅÊ ÆÊË»ÍÌ FIG. 1 Schéma d un reconstructeur d état La théorie attenante à l observation d état a été développée et mise au point dans les années 1960-1970 pour les systèmes linéaires. On peut notamment citer les travaux de Luenberger sur ce sujet [Luenberger, 1964], [Luenberger, 1966] et [Luenberger, 1971].En revanche, il n existe toujours pas, à ce jour, d approche universelle pour la construction d observateurs pour les modèles non linéaires. Ce problème reste ouvert et de

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ nombreux travaux s y rapportent. Bien sûr les véhicules automobiles sont des systèmes non linéaires complets et les deux équipes proposent de mettre en place des techniques afin de reconstruire les variables précédemment citées. 2 Introduction Le présent document, s intitule "Rapport sur les recencements de substitutions possibles sous le double aspect scientifique et économique". Nous allons présenter, au cours de ce rapport, les différents moyens de mesures existant pour les différentes variables à reconstruire (pente et dévers, vitesse longitudinale entre le véhicule et la chaussée, efforts d interaction entre les pneumatiques et la chaussée). Ensuite, nous présenterons quelques exemples de méthodes de "capteurs virtuels" issues de la littérature. Les variables à reconstruire doivent être accessibles en temps-réel dans les calculateurs embarqués dans le véhicule expérimental. Nous ne présenterons donc, dans ce rapport que les capteurs et les méthodes de reconstruction des différentes variables qui peuvent être embarqués à bord du véhicule.

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ 3 Vitesse longitudinale entre le véhicule et la chaussée 3.1 Problématique Le mesure de vitesse longitudinale du véhicule est indispensable vis-à-vis de l application générale développée dans le cadre de SARI-RADARR. La connaissance de cette vitesse a deux objectifs principaux. Le premier est la détermination de la vitesse de glissement des roues du véhicule. Cette vitesse de glissement est la variable principale nécessaire au calcul des efforts longitudinaux d interaction entre le pneumatique et la chaussée. Le second objectif est le recalage des algorithmes de reconstruction du profil de la chaussée (pente, dévers et uni). En effet, les calculs sont effectués à bord du véhicule expérimental et ont une base de temps. Or, les informations présentant les caractéristiques de la chaussée sont utilisées à l aide d une base géométrique. Le passage de la base temporelle à la base géométrique est dépendant de la vitesse du véhicule. Cette partie du rapport va présenter, dans un premier temps, différents moyens de mesure de la vitesse et des moyens de mesures actuels disponibles dans le commerce. Les principes de mesure sont basés sur des mesures optiques, micro-ondes, odométriques et GPS. Dans la seconde partie, des capteurs virtuels de reconstruction de la vitesse, issue de la bibliographie, seront présentés. 3.2 Moyens de mesure directs de la vitesse - existants 3.2.1 Moyens de mesure optique La société Corrsys-Datron est spécialisée dans la mesure de vitesse de mobiles en mouvements. Cette entreprise a développé de nombreux types de capteurs dont une série utilise un principe de mesure optique. Ce procédé consiste en l analyse du défilement de la structure de la chaussée située en dessous du capteur. La série est nommée "Correvit". Un exemple de capteur est présenté dans l annexe C. Le coût d un tel capteur est de l ordre de 15ke. Ce type de capteur présente différents inconvénients. En effet, du fait de principe de mesure, il faut être attentif au positionnement du capteur sur le véhicule. Par exemple, lorsque le capteur est monté sur un des côtés de la masse suspendue du véhicule, il mesure une vitesse latérale complémentaire due au mouvement de roulis du véhicule. La qualité de la mesure de vitesse transversale s en retrouve dégradée. De la même façon, le capteur voit une mesure de vitesse longitudinale complémentaire lors des phases de tangage importants. De plus, ce type de capteur peut être mis en défaut lors de certaines conditions expérimentales. Prenons le cas d une chaussée recouverte d un film d eau et du véhicule à l arrêt. Si la piste d essai est traversée par du vent, il se créé des ondulations sur la pellicule d eau, le capteur détecte alors un mouvement de la chaussée et mesure une vitesse. De la même façon, lorsque des revêtements particuliers sont utilisés, par exemple des plaques de verre, pour des essais à faible adhérence, le capteur n arrive pas à détecter des variations dans la structure de la chaussée et commet des erreurs importantes. De la même façon, lorsqu un film d eau est présent sur la chaussée et de la réflexion qu il induit, les données issues du capteur doivent être utilisées avec précautions. Ces problèmes sont illustrés dans l annexe D. Ce type de capteur donne de très bon résultats dans des conditions expérimentales de bonne qualité. Ils servent d ailleurs de mesure de vitesse de référence dans de nombreuses équipes de recherche ainsi que chez les constructeurs automobiles. 3.2.2 Moyens de mesure micro-ondes Il existe aussi des moyens de mesure de la vitesse utilisant la mesure d effet doppler sur les micro-ondes dans le cadre de la mesure de vitesse. Par exemple, le capteur présenté en annexe B utilise ce principe. Le coût d un tel capteur est de l ordre de 15ke. Du fait du principe de mesure basé sur le taux de réflexion des micro-ondes sur la surface examinée, ce type de mesure est fortement dépendant de la qualité du revêtement et des conditions expérimentales de l essai.

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ L annexe D présente des résultats de comparaison entre différents capteurs utilisant différents principes de mesure. Elle met en évidence la baisse de qualité de mesure du capteur par micro-ondes sur des surfaces mouillées. 3.2.3 Utilisation du GPS Parmi les informations envoyées par un système GPS, il existe l information de vitesse (contenue dans la trame vtg). L avantage de ce capteur est que sa mesure est indépendante de la qualité du revêtement sur lequel se trouve le véhicule. En revanche, la mesure est fortement dépendante de la vision satellitaire de l antenne. Plus le nombre de satellites visibles est grand et meilleur est l estimation. De plus, les fréquences d acquisition actuelles sont de l ordre de 20Hz, ce qui est trop faible dans certaines conditions expérimentales. De plus, le GPS présente un défaut non négligeable représenté par une latence variable sur les mesures. En effet, sur des essais de GPS différentiels, la latence peut être de l ordre de 100ms. Or la mesure de vitesse est principalement utile pour la détermination du glissement de roue. Le retard de la donnée issue du GPS ne permet plus une reconstruction instantanée de ce glissement. Le coût d un système GPS différentiel est de l ordre de 10ke. 3.2.4 Utilisation de l odométrie Le systèmes ABS (Anti-blocage de roue) utilisent l information de vitesse rotationnelle des roues. Deux grands principes de mesures existent. Dans le premier cas, la roue du véhicule est équipée d une roue dentée. Un capteur inductif est placé perpendiculairement à la roue dentée. Du fait du passage des dents au devant du capteurs, le champ magnétique est modifié, un courant est induit dans la bobine et la mesure de vitesse est reconstruite. La figure 2(a) présente un tel système développé par la société BOSCH et utilisé dans les systèmes ABS développés par cette société. µ ÔØ ÙÖ Ò ÙØ ÇË À µöóùð Ñ ÒØ ÔØ ÙÖËÆÊ FIG. 2 Mesure de vitesse de rotation de roues Il est également possible de poser un anneau composé d aimants de polarité différentes répartis le long de la couronne circulaire. Une sonde à effet Hall est placé au devant de cette couronne et détecte les variations du champ magnétique pour en déduire la vitesse de rotation de la roue. La figure 2(b) présente un tel système développé par la société SNR. 3.3 Moyens de mesure directs de la vitesse - expérimental 3.3.1 Capteur de vitesse par micro-ondes : ENSEEIHT Dans le cadre du projet ARCOS du Predit et du thème attenant à la reconstruction de l adhérence mobilisable, L ENSEEIHT de Toulouse a développé un capteur de vitesse basé sur le principe de mesure de vitesse

» ¼»¼»¾¼¼ par effet doppler en micro-ondes. Î Ö ÓÒ¾º¼ FIG. 3 Reconstruction de la vitesse longitudinale à l aide des capteurs développés par l ENSEEIHT La photo de gauche de la figure 3 présente le montage des capteurs de l ENSEEIHT sur le véhicule 307 de l INRETS-MA. La partie de droite présente le résultat d une acquisition réalisée par l INRETS-MA comparant la mesure issue d un capteur Correvit aux capteurs de l ENSEEIHT. Les résultats donnés par ce type de capteurs sont encourageants. En effet, malgré une certaine imprécision sur la valeur de la vitesse et le niveau de bruit sur la mesure, ce type de capteur présente l avantage d être peu coûteux. Une étude plus approfondie doit être menée afin de limiter ces défauts. Le capteur développé présente un coût de l ordre de la centaine d euros et est installé sur le véhicule expérimental du projet SARI-RADARR. 3.4 Capteurs virtuels existants Cet état de l art non exhaustif¾présente trois méthodes de reconstruction de la vitesse du véhicule. La première et la plus facile à mettre en œuvre consiste à prendre la moyenne des vitesses linéaires des roues arrières d un véhicule de type "traction". La seconde a été proposée par Kiencke et fusionne les vitesses des quatre roues avec l accéléromètre longitudinal. La troisième et dernière méthode étudiée ici a été proposée par Jiang. Cette méthodologie est présentée comme un filtre adaptatif, qui limite les variations de la vitesse en fonction des possibilités de décélération du véhicule. Afin d illustrer les résultats des différentes méthodes, nous allons utiliser un essai de freinage d urgence purement longitudinal. La figure 4 présente les vitesses équivalentes au centre de gravité en utilisant les vitesses directement issues des capteurs ABS et en appliquant une transformation de report géométrique. A partir de la figure 4, on se rend compte des difficultés liées aux glissements des différentes roues. En effet, l écart entre la vitesse du Correvit et la vitesse calculée à partir des vitesses rotationnelles des roues représente la vitesse de glissement de la roue. Il est donc nécessaire de développer des stratégies afin de compenser cet écart que l on veut finalement reconstruire afin de pouvoir évaluer les efforts longitudinaux d interaction entre le pneumatique et la chaussée. Il faut aussi noter, que les vitesses présentées sur cette figure vont servir de base au calcul des différentes méthodes présentés dans ce rapport afin de reconstruire la vitesse longitudinale du véhicule. ÙØ Ð ÒØÐ ØÖ Ñ ÚØ Ù Ý Ø Ñ ÈË Ñ Ù Ñ Ø Ó ÓÙ ØÝÔ Ù ÓÒ ÓÒÒ ÒÓØ ÑÑ ÒØÔÖ ÒØ Ô ÖÃ Ò Ã Ò Ò Æ Ð Ò ¾¼¼¼ ¾ÁÐ Ü Ø ÒÓÑ Ö Ù ÔÔÖÓ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ú Ø ÙÚ ÙÐ ºÇÒÔ ÙØÒÓØ ÑÑ ÒØ Ø ÖØÓÙØ Ð Ú Ö ÒØ 3.4.1 Méthode "classique" 3.4.1.1 Présentation de la méthode

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Vitesse longitudinale 18 16 VGeq11 VGeq12 VGeq21 VGeq22 correvit 14 12 (m/s) 10 8 6 4 2 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) FIG. 4 Reconstruction de la vitesse longitudinale en utilisant les mesures de vitesses brutes La méthode la plus classique pour le calcul de la vitesse du véhicule consiste à prendre la moyenne des vitesses équivalentes des roues arrières. En effet, dans le cas des véhicules de type traction, ces roues sont moins sujettes au glissement dans les phases d accélération. Il en va de même pour les phases de freinage. En effet, du fait du transfert de charge vers l avant du véhicule dans ces phases de conduites, les roues avant subissent beaucoup plus de glissement et sont donc plus facilement régulées par le système ABS. Néanmoins, dans des phases de freinage des importantes, les quatre roues peuvent être régulées et la méthode dite "classique" sera donc pénalisée. Pour résumé, la vitesse du véhicule peut être calculée en utilisant les vitesses du centre de gravité équivalentes sur la base des vitesses équivalentes des roues Vx moy = V Gx 21 + V Gx 22 2 où les vitesses au centre de gravité sont calculées à partir de des vitesses de rotations des roues reportées au centre de gravité. 3.1) 3.4.1.2 Exemple de résultat Vitesse longitudinale 15 Correvit corrigé classique m/s 10 5 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) Erreur d estimation Erreur d estimation m/s 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 classique Correvit corrigé 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) m/s 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 classique 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) FIG. 5 Exemple de résultat d estimation de la vitesse longitudinale à partir de la méthode "classique"

» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Dans le cas de cet essai particulier, les roues arrières sont sujettes au glissement. On peut toutefois voir que la reconstruction de la vitesse n est pas trop éloignée de la référence. En revanche, la différence à la vitesse supposée vraie délivrée par la correvit, aura un impact non négligeable lors de l évaluation des glissements de roues et donc sur la reconstruction des efforts longitudinaux. 3.4.2 Méthode proposée par Kiencke Dans ce paragraphe, nous présentons un observateur de la vitesse longitudinale du véhicule basé sur un filtre de Kalman. Cette méthode a été proposée par [Kiencke and Nielsen, 2000]. 3.4.2.1 Présentation de la méthode La méthodologie de cet observateur consiste utiliser les quatre vitesses équivalentes des roues et à les fusionner avec l accélération longitudinale. Le modèle d évolution va considérer l accélération comme la dérivée de la vitesse. Ceci donne avec le vecteur d état x = ( V Gx ẍ ) T et un modèle d évolution discret : x k+1 = z k = ( 1 Te 0 1 ( 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 ) x k + ( b 1 m ) b 2 m ) T x k + ( b 1 s b 2 s b 3 s b 4 s bs) 5 T 3.2a) 3.2b) Où le vecteur de mesure est défini par z k = ( ) VGx 11 VGx 12 VGx 21 VGx 22 T ẍ m, les vitesses sont issues des vitesses de rorations des roues, reportées au centre de gravité du véhicule. Le vecteur b s représente les bruits de mesure sur les quatre vitesses longitudinales reconstruites comme précisé ci-dessus ainsi que le bruit de mesure accompagnant l accéléromètre longitudinal. Le vecteur b m représente quant à lui le bruit de modélisation. Regardons l observabilité du système. En appliquant la définition de l observabilité des systèmes linéaires, ( ) ( ) T 1 Te 1 1 1 1 0 on pose A = matrice d évolution du système et C = matrice d observation. Dans 0 1 0 0 0 0 1 ce cas, le calcul du rang de la matrice d observabilité définie par O = ( C CA ) T, donne 2 soit la taille du système étudié : le système est observable. 3.4.2.2 Exemple de résultat Dans le cas du filtre de Kalman étudié ici, le modèle de connaissance est des plus simple. En effet, on décrit l accélération longitudinale comme étant simplement la dérivée de la vitesse. Le fonctionnement du filtre et la fusion de données effectuées entre les différentes vitesses équivalentes calculées au niveau des roues avec l accélération longitudinale, est principalement déterminé par la confiance accordée à telle ou telle mesure. Cette confiance se règle, dans le cadre du filtre de Kalman, par les variances du bruit de mesure. Ainsi, plus la variance est grande et moins le filtre prend en compte la mesure dans sa phase de correction. Dans le cas des différents essais présentés ici, une forte confiance est accordée à l accéléromètre longitudinal. Dans le cadre des mesures du centre de gravité reconstruites à partir des vitesses rotationnelles des roues, la priorité est donnée aux roues arrières. L équation suivante présente les gains utilisés pour obtenir les courbes présentées dans ce rapport. Q s k = diag ([ 0.1 0.1 0.01 0.01 0.01 2 ]) Afin d optimiser le fonctionnement du filtre, on peut envisager une stratégie de celle définie par Bosch dans le cadre du système ESP, où la vitesse du véhicule est estimée en fonction de la roue subissant le moins de glissement, c est à dire en donnant un poids plus important à la roue qui délivre la vitesse la plus grande dans le cas du freinage et la plus faible dans le cadre de l accélération. Néanmoins, cette approche 3.3)

½¼» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Vitesse longitudinale 15 Correvit corrigé Kiencke m/s 10 5 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) Erreur d estimation Erreur d estimation m/s 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Kiencke Correvit Corrigé 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) m/s 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Kiencke 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) FIG. 6 Exemple de résultat d estimation de la vitesse longitudinale à partir de la méthode proposée par Kiencke présente l inconvénient de mettre à jour la matrice de variance de bruit de mesure du filtre de Kalman. Cette méthodologie peut provoquer des "sauts" d observation mais aussi des instabilités. Sur la figure 6, on peut voir les résultats de la reconstruction du filtre de Kalman présenté dans cette section. Au vu de la configuration du filtre de Kalman et notamment de la matrice de bruit de mesure utilisé, on retrouve les défauts de l estimateur de vitesse utilisant uniquement les vitesses équivalentes des roues arrières. En effet, les roues arrières subissant un peu de glissement, la reconstruction proposée par Kiencke présente encore des erreurs non négligeables sur la reconstruction de la vitesse du centre de gravité. On peut toutefois noter une amélioration par rapport à l estimateur qui utilise uniquement la moyenne des vitesses des roues arrières. 3.4.3 Méthode proposée par Jiang Les travaux de Jiang ([Jiang and Zhiqiang, 2000] et [Jiang, 2000]) ne précisent pas comment les vitesses linéaires des roues sont calculées. 3.4.3.1 Présentation de la méthode Afin de contrer les effets du blocage des roues, Jiang propose un filtre non linéaire adaptatif que nous allons décrire ici. La partie principale du filtre est définie par : { ẏ(t) = R j.sign(y(t) x(t)) y(t = 0) = y 0 3.4a) 3.4b) où y(t) est la sortie du filtre et x(t) l entrée. Ce filtre non linéaire peut être vu comme un contrôleur de type "bang-bang" où la sortie converge vers l entrée dans le cas stable. La vitesse de variation de la sortie est limitée par le seul gain de ce filtre : R j. On peut aussi voir ce filtre comme un observateur d état à modes glissants si on le formule comme : ẋ(t) = R j.sign( x(t) z(t)) 3.5) avec x(t) l état estimé et z(t) = x(t) la mesure.

½½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Afin de contrer les effets du phénomène de réticence, on peut définir une fonction signe équivalente, à partir d une fonction de saturation définie par : sign eq = sat( z z ǫ ) =, si z < ǫ ǫ sign( z), sinon où z est l erreur d observation représentant la surface de glissement. La valeur du paramètre ǫ est ajustable. Plus cette valeur sera grande, plus la sortie du filtre sera en retard sur la donnée d entrée. Il est donc préconisé de prendre une valeur de ǫ de l ordre de 0, 1 3.6) 3.7) sat(z/ε) ; ε = 1 1 0.5 0-0.5-1 -5 0 5 z FIG. 7 Représentation de la fonction saturation sign eq = sat La sortie du filtre est la vitesse du véhicule. La vitesse de variation de la vitesse (paramètre R j ) est liée au revêtement de la chaussée. Ainsi, la valeur de R j est continuellement adaptée afin de représenter au mieux les possibilités de décélération du véhicule en fonction des conditions d adhérence de la chaussée. Le filtre adaptatif a pour entrée la vitesse équivalente de la roue et pour sortie, la vitesse du véhicule. La valeur initiale du paramètre R j est ajusté à la décélération maximale admise pour un revêtement donné. L adaptation du filtre se fait de la manière suivante : 1. R j est ajusté en fonction de la décélération du véhicule. Cette décélération peut être estimée par la mesure délivrée par un accéléromètre longitudinal ou par le rapport entre la variation de vitesse et la variation du temps entre deux pics "hauts" correspondants à une roue non freinée. Il est admis que sur ces pics, la vitesse équivalente de la roue est très proche de la vitesse du véhicule. 2. Lorsque la vitesse équivalente de la roue est supérieure à l estimation du filtre, cette estimation est ajustée à la valeur de la vitesse équivalente de la roue. En effet, dans une phase de freinage, la vitesse équivalente de la roue ne peut pas être supérieure à celle du véhicule. Lorsque les mesures sur les quatre roues sont disponibles, l estimation finale de la vitesse du véhicule est donnée par la valeur maximale des quatre estimations pendant les phases de freinage et par la valeur minimale lors des phases d accélération. 3.4.3.2 Exemple de résultat La figure 8 présente les résultats issus de la méthode présentée dans ce paragraphe. 3.4.4 Autres capteurs virtuels D autres études présentent des moyens de calcul de la vitesse du véhicule par rapport à la chaussée. Néanmoins, ces études utilisent un formalisme relevant de la dynamique de rotation des roues. Or, pour utiliser ces équations, il est nécessaire de connaître Les couples moteur et freineur appliqués aux roues La résistance au roulement de la roue Les efforts longitudinaux d interaction entre le pneumatique et la chaussée Il existe peu de moyens de mesure "du commerce" de ces différentes variables. Les capteurs existants représentent un coût prohibitif vis-à-vis de la volonté de généralisation des moyens de reconstruction de la vitesse proposés dans le cadre de SARI, comme il va être montré à la section 5 de ce rapport.

½¾» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Vitesse longitudinale 15 Correvit corrigé Jiang m/s 10 5 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) Erreur d estimation Erreur d estimation m/s 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Jiang Correvit corrigé 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) m/s 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Jiang 74 74.5 75 75.5 76 76.5 temps (s) FIG. 8 Exemple de résultat d estimation de la vitesse longitudinale à partir de la méthode proposée par Jiang 3.5 Instrumentation disponible L objectif de l étude est de remplacer des capteurs coûteux par un équivalent logiciel. Comme nous l avons présenté dans l introduction de ce document, nous allons orienter les recherches vers les techniques d observation d état. Dans ce cadre, la technique requiert, d une part un modèle de connaissance du système (généralement donné par les équations de la dynamique) mais aussi des mesures permettant d enrichir l information donnée par le modèle et en attribuant les différences à la variable qu on souhaite reconstruire. Pour les différents principes de reconstruction de la vitesse du véhicule par rapport à la chaussée, les capteurs suivants sont envisageables : accéléromètres (X,Y) au centre de gravité utilisation des codeurs disponibles sur les véhicules à travers le système ABS capteurs micro-ondes de l ENSEEIHT vitesse de lacet dans la mesure où le calcul des vitesses équivalentes des roues est nécessaires dans les différentes méthodes présentées, il est indispensable de disposer du rayon effectif de la roue. Il existe différentes façons de calculer le rayon de la roue. Certaines d entre elles seront présentées au paragraphe 5.3.4. Il est à noter que le véhicule expérimental de l INRETS-MA dispose de quatre Correvit s fonctionnels. Néanmoins, l objectif de la présente étude est de remplacer de tels capteurs. Ils serviront toutefois de validation aux différents algorithmes proposés.

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ 4 Pente et dévers 4.1 Problématique La connaissance de la pente et du dévers de la chaussée sont des éléments indispensables en vue de l application finale développée dans le cadre du projet SARI-RADARR. En effet, afin de détecter les ruptures de la route à l aide d un véhicule expérimental, ces variables permettent d améliorer la modélisation des mouvements du véhicule dans le simulateur embarqué CALLAS. En effet, si le simulateur n a pas connaissance de ces caractéristiques de la chaussée, les procédures de détection de défauts peuvent être mise en échec. Il existe effectivement une indétermination entre, par exemple, la diminution de l adhérence transversale disponible et la présence de dévers. De la même façon, on ne sait pas dire si l augmentation du couple appliqué par le moteur est du à une variation de la pente ou à une variation d adhérence. Dans cette partie du rapport, nous allons présenter, dans un premier temps, les moyens de mesure actuels de la pente et du dévers de la chaussée. Dans un second temps, nous présenterons un état de l art non exhaustif de la reconstruction de ces variables à l aide de capteurs virtuels. 4.2 Moyens de mesure directs de la pente et du dévers - existants Les pentes et les dévers de la chaussée sont mesurées depuis des décennies. Le premier principe de mesure de dévers consiste en l utilisation de règles à niveau comme l illustre la figure 9(a). Une fois la mesure de dévers réalisée à une abscisse curviligne donnée le long de la chaussée, elle est ensuite stockée dans une base de donnée. Avec l apparition des GPS différentiel, seul le principe de mesure a changé, mais la méthode d acquisition est identique (figure 9(b)). µê Ð Ú Ú Ö Ô ÖÖ Ð Ò Ú Ù règle à niveau antenne DGPS µíø Ð Ø ÓÒ ÈË antenne DGPS FIG. 9 Relevé du profil de la chaussée En effet, avec l apparition des systèmes d informations géographiques (SIG), il est possible de stocker les données caractéristiques de la chaussée comme un champ associé à un segment de route. Si le véhicule expérimental est équipé d un GPS couplé à un SIG, il est alors possible de connaître la pente et le dévers du segment sur lequel se trouve le véhicule, comme l illustre la figure 10. En revanche, le pas de discrétisation de l espace dans le SIG est trop grand pour les besoins attenants à cette étude. En effet, nous voulons que le véhicule "lise", en temps-réel embarqué, la pente et le dévers instantanés de la chaussée afin d attribuer un écart entre le modèle et la mesure à ces caractéristiques de la route et pas à une baisse du potentiel d adhérence. 4.3 Capteurs virtuels existants Les méthodes de capteurs virtuels peuvent être décomposées en deux catégories. La première consiste en la méthode analytique qui consiste en l analyse des signaux directement issus des capteurs. La seconde consiste à utiliser la théorie de l observation d état qui associe un modèle de connaissance enrichi par un ensemble de mesure. La société SERA présente dans [SERA-CD, 2005], présente quelques méthodes de reconstruction de la pente et du dévers que nous reprendrons ici.

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Système GPS localisation absolue SIG localisation du véhicule sur le SIG : détermination du segment le plus probable lecture des informations liées au segment cap =... longueur du segment =... dévers =... pente =... adhérence =...... FIG. 10 Illustration de l utilisation de systèmes d informations géographiques dans la détermination de la pente et du dévers 4.3.1 Méthodes analytiques Aucune méthode analytique correcte ou efficace n été proposée concernant la reconstruction de la pente et du dévers de la chaussée. Ceci peut être expliquer par le fait que l utilisation de la corrélation entre capteurs (vitesse/accélération longitudinale) est sensible au glissement et/ou au dérapage. La formulation analytique complète des informations issus des capteurs comportent de nombreux termes transitoires qui sont rarement négligeables. On peut distinguer dans les méthodes analytiques, les méthodes directes qui vont délivrer directement l angle de pente ou du dévers ou les méthodes itératives qui vont procéder à l intégration d une vitesse angulaire. 4.3.1.1 Utilisation de la théorie simple du dévers La figure 11 présente les différentes variables en relation lors de la rotation d un véhicule par rapport à son axe longitudinal. Le roulis absolu (θ) du véhicule est composé du dévers de la route (θ r ), du roulis du à la déformation des pneumatiques (θ t ) ainsi que du roulis du à l écrasement de la suspension (θ s ). Ces deux dernières variables de roulis constituent le roulis relatif du véhicule. θs θ t θ θ r FIG. 11 Illustration du dévers et des différents angles de roulis La méthode analytique la plus simple consiste donc à identifier le dévers en supposant connu le roulis absolu et le roulis relatif. Le roulis absolu peut être connu à l aide de deux GPS différentiel ou d une centrale gyroscopique et le roulis relatif peut être mesuré à l aide de lasers accrochés à la masse suspendue du véhicule. θ r = θ (θ s + θ t ) 4.1)

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Un accéléromètre latéral accroché à la masse suspendue du véhicule va lire la combinaison de l accélération centrifuge subie par le véhicule, ou plutôt la projection de l accélération centrifuge sur l horizontale de la masse suspendue ainsi que la projection de l accélération de la gravité sur la verticale de la masse suspendue. La figure 12 présente une simulation à l aide du logiciel Callas, du passage d un véhicule suivant une ligne droite sur une chaussée présentant un dévers alterné. La courbe noire représente le dévers réel de la chaussée et la courbe grise présente le résultat de la reconstruction de ce dévers en utilisant l accéléromètre latéral comme inclinomètre, réalisé dans l équipe GERME de Limoges. 4 estimateur du dévers 3 dévers réel estmateur 2 1 dévers (deg) 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 50 60 70 pos x (m) FIG. 12 Estimateur du dévers - parcours de dévers alterné en ligne droite, vitesse constante (vitesse de lacet nulle et dérive constante sur les paliers) 4.3.1.2 Utilisation de la théorie simple de la pente La figure 13 présente les différentes variables en relation lors de la rotation d un véhicule autour de son axe transversal. Le tangage absolu (ϕ) du véhicule est composé de la pente de la chaussée (ϕ r ), du tangage du à la déformation des pneumatiques (ϕ t ) ainsi que du tangage du à l écrasement de la suspension (ϕ s ). Ces deux dernières variables de tangage constituent le tangage relatif du véhicule. ϕ s accélération mesurée accélération longitudinale ϕ t ϕ gravité ϕ r FIG. 13 Illustration de la pente et des différents angles de tangage La méthode analytique la plus simple consiste donc à identifier la pente en supposant connu le tangage absolu et le tangage relatif. Le tangage absolu peut être connu à l aide de deux GPS différentiel ou d une centrale gyroscopique et le tangage relatif peut être mesuré à l aide de lasers accrochés à la masse suspendue du véhicule. ϕ r = ϕ (ϕ s + ϕ t ) 4.2)

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Un accéléromètre longitudinal accroché à la masse suspendue du véhicule va lire la combinaison de la projection de l accélération longitudinale sur l axe horizontal de la caisse et de l accélération de la pesanteur sur la verticale de celle-ci. 4.3.2 Pente et dévers identifés par traitement d image Certaines équipes de recherches se sont intéressées à la reconstruction simultanée de la pente et du dévers. Par exemple, le LASMEA a présenté une méthode de reconstruction basée sur un système de vision ([Chapuis et al., 2002]). La première étape de cette méthodologie consiste à identifier les limites de la route ainsi que les tracés délimitants les voies à l aide d un modèle d image de la chaussée. Une fois la délimitation de la chaussée reconstruite, une identification des paramètres d un modèle en trois dimensions de la chaussée est réalisée à l aide de considérations statistiques à l aide d un modèle de connaissance. Ce modèle contient des variables attenantes au moyen expérimental comme l angle de la caméra et la position latérale du véhicule sur la chaussée ainsi que des informations telle que l angle de braquage des roues. 4.3.3 Observateurs 4.3.3.1 Dévers Dans [Ryu and Gerdes, 2004] et [Ryu, 2005], une méthode d estimation du roulis et du dévers est présenté. Un modèle de bicyclette, étendu à la dynamique de roulis et utilisant un modèle d effort latéral d interaction entre le pneumatique et la chaussée linéaire. Le dévers de chaussée est alors traité comme une entrée inconnue du modèle et une perturbation. Une des mesures mise à la disposition de l algorithme est celle du roulis absolu obtenue à l aide de deux GPS différentiels, posé de chaque côté du véhicule expérimental. L algorithme d observation utilisé ici est un observateur de Luenberger, dont le gain a été calculé à l aide d un filtre de Kalman. [Hahn et al., 2002] propose une méthode de reconstruction du dévers à l aide d un observateur de perturbation. Le modèle de véhicule est un modèle de bicyclette (lacet-dérive) étendu à un vecteur de perturbations contenant les variations de la matrice d évolution dues aux incertitudes sur les rigidités de dérive ainsi qu un terme lié au dévers de la chaussée. L hypothèse de perturbations constantes est posée et un observateur linéaire de Luenberger est conçu sur la base de ce modèle. Une fois les données de perturbations reconstruites, [Hahn et al., 2002] met en place une stratégie de découplage entre les effets dus au dévers de ceux dus aux incertitudes paramétriques. L observateur est ensuite testé sur des données expérimentales acquises sur un semi-remorque. [Tseng, 2001] propose deux méthodes d estimation de l angle de dévers de la chaussée. La première est basée sur une hypothèse statique et la seconde est considérée dans le cadre dynamique. L analyse est basée sur un modèle de bicyclette linéaire et sur l identification de la part prise par le dévers sur les signaux issus de l accéléromètre latéral ainsi que sur la vitesse de lacet. L algorithme est testé sur des données expérimentales et comparé à une mesure réalisée par deux GPS différentiels. 4.3.3.2 Pente Thomas Massel [Massel and Eve, 2004] présente un observateur permettant de reconstruire le tangage absolu du véhicule (ϕ). Pour ce faire, un modèle d évolution est élaboré sur la base des mesures réalisée pars les accéléromètres longitudinal et vertical. Le modèle non linéaire utilisé est le suivant :

½» ¼»¼»¾¼¼ ( ) V ẋ ϕ = g sin(ϕ) + ẍ m g cos(ϕ) 1 z m V x V x Î Ö ÓÒ¾º¼ Où les indices ( m ) représente des variables mesurées par des capteurs. Massel met en œuvre deux types d observateur : un observateur de Luenberger appliqué au modèle linéarisé ainsi qu un filtre de Kalman étendu. Seule la mesure de vitesse est mise à la disposition de l algorithme pour reconstruire le tangage absolu du véhicule. Les deux observateurs sont testés dans différentes conditions expérimentales. Tout d abord sur une route plane, puis sur une route plane en mauvais état. Les observateurs sont ensuite testés sur une route qui présente une forte variation de pente. Enfin, les réponses des méthodes est testée lors de phase de freinage et de parcours circulaire. 4.3) [Hiemer, 2004] propose un observateur linéaire basé sur le modèle suivant : ( ) ( ) ( ) ( V x 0 g 1 ) Vx = + m ( v ϕ r 0 0 ϕ ij r 0 F ) xij F xw Où F xij est la force longitudinale appliquée à la roue d indice ij et F xw est la force de résistance aérodynamique. L algorithme d observation utilise uniquement la vitesse du véhicule comme mesure. La méthode n est validée qu à l aide de données de simulation. 4.4) 4.4 Instrumentation disponible L objectif de l étude est de remplacer des capteurs coûteux par un équivalent logiciel. Comme nous l avons présenté dans l introduction de ce document, nous allons orienter les recherches vers les techniques d observation d état. Dans ce cadre, la technique requiert, d une part un modèle de connaissance du système (généralement donné par les équations de la dynamique) mais aussi des mesures permettant d enrichir l information donnée par le modèle et en attribuant les différences à la variable qu on souhaite reconstruire. L instrumentation sera embarquée à bord du véhicule expérimental. Pour les différents principes de reconstruction de la pente et du dévers de la chaussée, les capteurs suivants sont envisageables : accéléromètres (X,Y,Z) au centre de gravité gyromètres (X,Y,Z) débattement de suspension mesure de la vitesse (pour le passage à la distance) D autres capteurs présentent un coût acceptable mais ne sont pas prévus d être implantés de série sur les véhicules : mesure de hauteur caisse par ultrasons accéléromètres de dynamique verticale de roue caméra de scène avant Enfin, des capteurs coûteux et précis existent, mais l objectif de l étude est de s en passer : lasers de hauteur caisse centrale gyroscopique d attitude (Un exemple de centrale d attitude est présenté à la section A) double DGPS

½» ¼»¼»¾¼¼ 4.4.1 Avantages et inconvénients des différents capteurs possibles Î Ö ÓÒ¾º¼ capteur avantage inconvénient accéléromètre vertical de roue Bonne dynamique mécanique de la masse non suspendue et du capteur, méthode absolue. Capteur peu cher, La double intégration dérive beaucoup même avec la mise à zéro dès l arrêt en cours d industrialisation massive Débattement suspension de dans l automobile Capteur supposé existant pour la détermination du cas de charge : potentiomètre angulaire ou linéaire pression si suspension hydropneumatique ultrason (sans contact) laser (sans contact) méthode relative à la position du châssis, dynamique moyenne accéléromètre vertical principe de position absolue dynamique moyenne sur la masse suspendue laser de hauteur bonne dynamique, variante en ultrason cher, nécessite une acquisition haute châssis/sol à évaluer fréquence XYZ DGPS principe de position absolue capteur cher, fréquence faible, latence variable, taux de couverture partiel 5ème roue permet de résoudre d indétermination pas réaliste de série entre la pente et l adhérence longitudinale magnétomètre permet e résoudre l indétermination dévers/adhérence latérale perturbations du champ électromagnétique dans le véhicule gyromètre de lacet et de roulis principe mécanique ou optique dérive de l intégration, même avec une mise à zéro à l arrêt

½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ 5 Efforts d interaction pneumatiques/chaussée 5.1 Problématique Ce travail consiste à étudier la faisabilité de substituer certains capteurs physiques par des capteurs virtuels. En ce qui concerne les forces de contacts pneumatique/chaussée, il s agit de remplacer les capteurs de force coûteux (par exemple une roue dynamométrique, d un coût de l ordre de 100 ke) par un dispositif appelé "capteur virtuel". Le capteur virtuel est constitué : de capteurs standards, les plus courants et/ou les moins chers possibles, d un calculateur auquel est intégré le programme informatique d un observateur, par exemple sous forme de "dll" pour une application utilisant le système d exploitation "Windows". L observateur est construit à partir d une modélisation du système. La figure 14 illustre le dispositif capteur virtuel. Remplacé par + Capteur virtuel + Roue dynamométrique capteurs standards et/ou peu coûteux (accéléromètre, gyromètre,... + modélisation du système, observateur Forces de contacts roue/sol FIG. 14 Vue d ensemble du dispositif "capteur virtuel". 5.1.0.1 Modélisation : choix des modèles Les modèles analytiques du système doivent être relativement simples, tout en étant suffisamment représentatifs du phénomène étudié, de façon à obtenir : des algorithmes de reconstruction de forces avec des temps d exécutions suffisamment courts, une consommation CPU de l observateur faible, un système observable, un observateur robuste, une précision des reconstructions satisfaisante. 5.1.0.2 Choix du type d observateur Une étude comparative des différents type d observateurs (filtre de Kalman, Luenberger étendu, modes glissants) doit être effectuée afin de choisir celui qui apportera les meilleures performances (rapidité, robustesse, précision). ÝÒ Ñ Ä Ò Ä Ö ÖÝ 5.2 Moyens de mesure directs des efforts - existants 5.2.1 Capteurs de couple Le capteur présenté sur la figure 15 permet de mesurer le couple de traction de la roue pour un domaine de ±3000N m. La mise en place de ce capteur semble simple, car selon le constructeur (Document en annexe),

¾¼» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ son installation est similaire à un changement de roue. La mesure de couple de traction est réalisée avec des sondes piézoélectriques. FIG. 15 Capteur de couple d une roue. L inconvénient majeur de ce type de capteur est qu il reste très coûteux, il n est donc pas industrialisable en ce qui concerne l équipement des véhicules standards. 5.2.2 Capteurs d efforts et de moments Le capteur présenté sur les figures 16 permet de mesurer les forces et les moments au centre de la roue. De même que pour les capteurs de couple d une roue, ce type d appareillage reste coûteux et ne peut être déployé à grande échelle. 5.2.3 Capteurs d efforts et de moments - expérimental Il existe un autre type de capteur en cours de développement, fournissant les mesures des forces et des moments de la roue à partir des déformations mesurées sur la jante ( 17). Ce nouveau type de capteur a été développé par M. Gobbi de l université polytechnique de Milan [Gobbi and Giampiero, 2004]. 5.2.4 Remarques Les différents capteurs présentés dans cette section présentent l inconvénient de mesurer les efforts au niveau du centre de roue. Or, c est la reconstruction des efforts au pied de la roue qui est intéressante dans l étude de la dynamique automobile influencée par les défauts d adhérence. Il existe des moyens de mesures expérimentaux qui mesurent les efforts au niveau du pied de roue. Ces capteurs sont directement implantés dans la chaussée et mesurent, par déformations, les efforts générés par le pneumatique. Le LCPC développe par exemple un prototype appelé MEVI. Ces moyens de mesure ont le

¾½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ FIG. 16 Capteur des forces et des moments d une roue.

¾¾» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ FIG. 17 Capteur des forces et des moments d une roue, à partir des déformations de la jante. désavantage d imposer la trajectoire du véhicule et n est pas généralisable à grande échelle du fait même de l implantation du capteur. 5.3 Modélisation du système pour la construction de capteurs virtuels 5.3.1 Modèle " plan 4 roues " Selon ce modèle, représenté sur la figure 18, les mouvements du véhicule sont gouvernés par les trois équations suivantes, issues du principe fondamental de la dynamique, projeté sur les axes longitudinal (roulis) et latéral (tangage) du véhicule : V x = V y ψ + 1 m [F x11 cos(δ 11 ) + F x12 cos(δ 12 ) + F x21 cos(δ 21 ) + F x22 cos(δ 22 ) F y11 sin(δ 11 ) F y12 sin(δ 12 ) F y21 sin(δ 21 ) F y22 sin(δ 22 )] V y = V x ψ + 1 m [F x11 sin(δ 11 ) + F x12 sin(δ 12 ) + F x21 sin(δ 21 ) + F x22 sin(δ 22 ) +F y11 cos(δ 11 ) + F y12 cos(δ 12 ) + F y21 cos(δ 21 ) + F y22 cos(δ 22 )] ψ = 1 I z {L 1 [(F y11 cos(δ 11 ) + F y12 cos(δ 12 )) + F x11 sin(δ 11 ) + F x12 sin(δ 12 )] L 2 [F y21 cos(δ 21 ) + F y22 cos(δ 22 ) + F x21 sin(δ 21 ) + F x22 sin(δ 22 )] + E 2 [F y11 sin(δ 11 ) F y12 sin(δ 12 ) + F x12 cos(δ 12 ) F x11 cos(δ 11 )] + E 2 [F y21 sin(δ 21 ) F y22 sin(δ 22 ) + F x22 cos(δ 22 ) F x21 cos(δ 21 )]} 5.1) Les variables V g, ψ, V x et V y représentent respectivement la norme de la vitesse, la vitesse de lacet, les vitesses latérales et longitudinales, au centre de gravité du véhicule. Les variables F xij et F yij représentent les forces latérales et longitudinales du contact pneumatique/chaussée de la roue d indice ij. La masse du véhicule est notée m. Les constantes L 1, L 2 et E sont respectivement les demi-empattements et la voie du véhicule. Les variables δ ij et β ij représentent respectivement les angles de braquages et de dérives des roues d indice ij. L angle de dérive au centre de gravité est noté β. I z est le moment d inertie de lacet du véhicule. Les équations du modèle " plan 4 roues " deviennent, en fonction de l angle de dérive et de la norme de la vitesse au centre de gravité :

¾» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ Fy21 FX21 Fy11 δ21 β21 β11 δ11 ψ Vg β FX11 E Fy22 Fy12 β12 β22 δ22 FX22 FX12 δ12 L2 L1 FIG. 18 Le modèle "plan 4 roues". β = 1 mv g [( F x11 sin(β δ 11 ) + F y11 cos(β δ 11 )) + ( F x12 sin(β δ 12 ) + F y12 cos(β δ 12 ))+ ( F x21 sin(β δ 21 ) + F y21 cos(β δ 21 )) + ( F x22 sin(β δ 22 ) + F y22 cos(β δ 22 )) ψ V g = 1 m [(F x11 cos(β δ 11 ) + F y11 sin(β δ 11 )) + (F x12 cos(β δ 12 ) + F y12 sin(β δ 12 ))+ (F x21 cos(β δ 21 ) + F y21 sin(β δ 21 )) + (F x22 cos(β δ 22 ) + F y22 sin(β δ 22 ))+] 5.2) ψ = 1 I z {L 1 [(F y11 cos(δ 11 ) + F y12 cos(δ 12 )) + F x11 sin(δ 11 ) + F x12 sin(δ 12 )] L 2 [F y21 cos(δ 21 ) + F y22 cos(δ 22 ) + F x21 sin(δ 21 ) + F x22 sin(δ 22 )] + E 2 [F y11 sin(δ 11 ) F y12 sin(δ 12 ) + F x12 cos(δ 12 ) F x11 cos(δ 11 )] + E 2 [F y21 sin(δ 21 ) F y22 sin(δ 22 ) + F x22 cos(δ 22 ) F x21 cos(δ 21 )]} 5.3.2 Modèle de type bicyclette Le modèle bicyclette est une simplification du modèle "plan 4 roues", les deux roues d un même essieu étant réduites à une seule roue, dite roue virtuelle (figure 19). Pour retrouver les équations du modèle bicyclette à partir de celles du modèle "plan 4 roues", il suffit d appliquer les simplifications suivantes au système d équations (5.1) : les angles de braquages des roues avant sont identiques (δ = δ 11 = δ 12 ), ceux des roues arrières sont nuls (δ 21 = δ 22 = 0), les actions exercées sur les roues virtuelles sont les sommes de celles qui agissent sur les roues de l essieu correspondant, de telles sortes que F x11 + F x12 = F x1, F y11 + F y12 = F y1, F x21 + F x22 = F x2, F y21 + F y22 = F y2, les voies sont supposées nulles, E1 = E2 = 0. Ce modèle ne tient pas compte des dynamiques de tangage et de roulis. Les équations dynamiques du modèle bicyclette sont les suivantes : V x = 1 m [F x1 cos(δ) F y1 sin(δ) + F x2 ] + V y ψ V y = 1 m [F y1 cos(δ) + F x1 sin(δ) + F y2 ] V x ψ ψ = 1 I z [L 1 (F y1 cos(δ) + F x1 sin(δ)) L 2 F y2 ] ou encore, sous une autre forme, en fonction de l angle de dérive et de la norme de la vitesse : β = 1 mv g [F x1 sin(δ β) + F y1 cos(δ β) F x2 sin(β) + F y2 cos(β)] ψ V g = 1 m [F x1 cos(δ β) + F y1 sin(β δ) + F x2 cos(β) + F y2 sin(β)] ψ = 1 I z [L 1 (F y1 cos(δ) + F x1 sin(δ)) L 2 F y2 ] 5.3) 5.4)