Plan du cours - physique 102 Ch. I Ch. II Ch. III Ch. IV Ch. V Ch. VI Ch. VII Cinématique Principe fondamentale de la dynamique Systèmes oscillatoires ou amortis Référentiels non-galiléens Dynamique de deux corps Mouvement céleste - gravitation Mécanique du solide rigide
Quelques observations : Les systèmes libres, initialement dans un état hors d équilibre (excité), tendent spontanément vers un état d équilibre. Le temps caractéristique τ dépend de la dissipation de l énergie du système mécanique (frottements). Certains systèmes excités et libres peuvent osciller spontanément autour de la position d équilibre. En général ces oscillations s atténuent progressivement avec le temps : c est l oscillateur amorti. Deux temps caractéristiques
Définition de l oscillateur harmonique (OH): sa période ne dépend pas de l amplitude. Les oscillations de faible amplitude sont très souvent harmoniques. Cherchez un exemple! Ce chapitre concerne l OH libre amorti puis l OH soumis à une force périodique (non libre). Les résultats sont d une vaste généralité en physique. Nous supposons que les systèmes traités sont linéaires et par conséquent non chaotique.
États et dynamique des systèmes linéaires
États Comportement Etat d'équilibre ou stationnaire "constant" Contraintes imposées ou relâchées (conditions initiales) Etat hors d'équilibre Évolution spontanée du système (transitoire) Nouvel état stationnaire Régime permanent
Systèmes simples et équations de la dynamique associées Frottement visqueux dans l eau v v l -b v C.I.! τ t m g g Équation du premier ordre Un temps caractéristique τ
Systèmes simples et équations de la dynamique associées Oscillation libre : système masse-ressort v k t g x(t) Équation du second ordre Un temps caractéristique Τ
Systèmes simples et équations de la dynamique associées Oscillation libre et amortie v 1 0.5 k 1 2 3 4 5 6 t x(t) M g Force de frottement : Équation du second ordre Deux temps caractéristique Τ, β 1
Oscillateur libre deux comportements distincts 1 x(t) 0.5 1 2 3 4 5 6-0.5 t ω 0 > β -1 1 x(t) 0.5-0.5 1 2 3 4 5 6 t ω 0 < β -1
Évolution vers un état stationnaire le circuit R-L V R R ε L V L V V R ε V L O τ t
Lois de Kirchoff V n 1 Σ V n V n-1 = 0 V n-1 boucle Σ ΔV n = 0 boucle I n 2 Σ I n = 0 noeud
Résistances en série ou en parallèle V A R 1 R 2 R n V B =? V A R eq V B V A V B R 1 R 2 R n =? V A R eq V B
Autres dipôles passifs Le condensateur E + + + - - - q -q I V A V B q q = C (V A -V B ) La bobine I B I V A V B V A -V B = L di/dt
Etude de l oscillateur libre sans amortissement x 0 (t) - Position du ressort au repos x eq (t) - Position d équilibre masse-ressort g k x x 0 x eq x(t) Conditions initiales :
Étude de l oscillateur électrique K Équation différentielle C L Le condensateur est initialement chargé : q(0) = q 0 Solution : q(t) I(t)
Solution graphique avec ou sans amortissement? 1.5 1 0.5 0-0.5-1 Jusqu à t=0,2 sec 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.5 0-0.5-1 0 0.5 1 1.5 2 Jusqu à t=2 sec
Étude détaillée de l OH amorti
Dissipation R C L Dissipation k M x q(t) I(t) x(t) v(t) Oscillateur libre
R F(t) C L k ~ e(t) M q(t) I(t) x(t) v(t) Oscillateur forcé périodiquement
Analyse détaillé de l oscillateur libre Équation à résoudre : Conditions initiales : Fonction essaie : Valeurs propres :
Régime sous-critique Régime oscillatoire-amorti Ou Cas critique
Régime oscillatoire-amorti amortissement oscillation Pseudo-pulsation : Temps d amortissement : Facteur de qualité :
a b c
Amortisseur d une motocyclette ressort amortisseur
Considérations énergétiques cas sans amortissement E g k E mec x eq x(t) x <E> T/2 T E p E c t
Considérations énergétiques cas avec amortissement Avec l amortissement, l énergie est dissipée vers le milieu extérieure : La variation d énergie ne dépend pas du temps t d amortissement! 1 0.5 1 2 3 4 5 6-0.5-1
Considérations énergétiques puissance dissipée La puissance dissipée dépend explicitement du temps : 1 0.5 1 2 3 4 5 6 Force de frottement : -0.5-1
Étude détaillée de l OH forcée périodiquement
Oscillateur forcé périodiquement système résonant : équivalence mécanique - électrique R F(t) C ε(t) ~ L k M q(t) I(t) x(t) v(t)
Analyse de l équation différentielle On cherche uniquement le régime permanent sinusoïdale. Fonctions réelles Fonctions complexes associées Propriétés
Solution à l aide des complexes Module = amplitude Argument = déphasage
10 8 Courbe de l amplitude : x(ω) 6 4 2 Q = 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 6 5 4 3 2 1 Courbe du déphasage φ (ω) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Relations concernant le facteur de qualité Temps d amortissement Largeur de bande Amplitude de x 0
Considérations énergétiques Puissance fournie par la force externe : Puissance dissipée par le frottement : Moyenne dans une période : A calculer en T.D.
Circuit RLC V R V C ~ ε (t) ~ V L
V R ε 0 1 Résonance RLC 1/ 2 ϕ O ω 0 ω π/2 ω ω ω + - π/2
Pourquoi l étude des fonctions harmoniques? V(t) t
2 1.5 1 0.5 F(x) = sin(x) -0.5 5 10 15 20-1 -1.5-2 2 1.5 1 0.5-0.5 5 10 15 20 + 1/3 sin(3x) -1-1.5-2
2 1.5 1 0.5-0.5 5 10 15 20 + 1/5 sin(5x) -1-1.5-2 2 1.5 1 0.5-0.5 5 10 15 20 + 1/7 sin(7x) -1-1.5-2
+. 2 +1/101 sin(101x) 1.5 1 0.5-0.5 5 10 15 20-1 -1.5-2