Chapitre 1- Généralités sur les Fonctions Seconde GT 2016-2017 1- Notion de Fonctions A- Définitions Définition : L ensemble des abscisses des points d une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels, il est noté R. Dans cet ensemble, les parties qui correspondent aux abscisses des points d un segment, d une demi-droite ou de la droite entière sont les intervalles. Exemples : R =] ; + [ ; [ 1; 3] ; ] 5; 2] ; ] ; 5] sont des intervalles. Mais [ 2; 5[ ]6; 10] n est pas un intervalle. C est la réunion de deux intervalles. Définition : Soit D un ensemble de nombres réels. Définir une fonction f sur D revient à associer, à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé image de x. D est l ensemble de définition de f. D peut être l ensemble des nombres réels R, ou être constitué d un ou plusieurs intervalles R. Notations : Soit a D. L image du nombre a par la fonction f est unique et se note f(a). f(a) se lit «f de a». La notation suivante se rencontre également f : a f(a). Si b est l image de a, on a l égalité f(a) = b et a est un antécédent de b par la fonction f. B- Différentes représentations d une fonction Définition : Soit f une fonction, D son ensemble de définition et x D. L expression algébrique d une fonction donne directement f(x) en fonction de la variable x. Exemple : Une fonction est déterminée par le programme de calcul suivant : choisir un nombre ; lui ôter 6 ; prendre le carré du résultat. Trouver l expression définissant cette fonction. 1
Definition : Tableau de valeurs Soit f une fonction, D son ensemble de définition et x un élément de D. Un tableau de valeurs d une fonction f donne, sur la première ligne (ou colonne), différentes valeurs de la variable x et, en vis-à-vis sur la deuxième ligne (ou colonne), les images f(x) qui leur sont associées. Remarque Un tableau de valeurs n est pas unique. Il dépend du choix des valeurs de x sur la première ligne (ou colonne). Exemple : Dresser un tableau de 10 valeurs de la fonction g définie par g(x) = (2x 3) 2 à partir de x = 5 avec un pas de 1. Le pas de 1 signifie qu il y a une différence de 1 entre chaque valeur de x de la première ligne. x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 f(x) 169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 Definition : Courbe représentative d une fonction La courbe représentative de la fonction f dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) où x parcourt le domaine de définition D de la fonction f. Elle est souvent notée C f. L équation de cette courbe représentative est : y = f(x). Exemple : Ci-dessous, on a tracé la courbe représentant la fonction f de l exemple précédent. Le tableau de valeurs nous permettant de placer quelques points (x, f(x)), il reste à relier les points. 2
2- Résolution graphique d équations A- Equations du type f(x) = k Soit f une fonction, définie pour tout x D et C f sa courbe représentative et k un nombre réel. Résoudre graphiquement l équation f(x) = k c est trouver les nombres x D qui ont pour image k. Méthode : On trace la droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point (0, k). On lit les abscisses des points d intersection de C f et de la droite. Exemple : Reprenons la courbe de l exemple précédent et résolvons graphiquement l équation f(x) = 100. Traçons la droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point (0 ; 100) (noté M). Plaçons les points d intersection de la droite et de la courbe L et K et notons leur abscisse. Les solutions de l équation sont -3.5 et 6.5. On note S l ensemble des solutions S = { 3.5; 6.5} B- Equations du type f(x) = g(x) Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x) c est trouver les nombres réels de D qui ont la même image par f et g. Méthode : Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection de C f et de C g. 3
Exemple : Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection de C f et de C g. S = { 3.8; 1; 0.3} 4
3- Sens de variation d une fonction-extremums A- Sens de variation Definition : La fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si pour tous a, b I : a < b f(a) < f(b) La fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si pour tous a, b I : a < b f(a) > f(b) a < b f(a) < f(b) f est croissante a < b f(a) > f(b) f est décroissante B- Tableau de variation- Extremum Un tableau de variations d une fonction est un tableau résumant les variations d une fonction. Definition : Le minimum d une fonction sur l ensemble D est la plus petite valeur, lorsqu elle existe, parmi les image par f des nombres de D. Le maximum d une fonction sur l ensemble D est la plus grande valeur, lorsqu elle existe, parmi les image par f des nombres de D. x 5 2 4 4 f(x) 1 0 Interprétation : La fonction f est croissante sur l intervalle [ 5; 2] ; décroissante sur l intervalle [ 2; 4] Le minimum de f sur [ 5; 4] est 1 atteint pour x = 5 ; le maximum de f sur [ 5; 4] est 4 atteint pour x = 2. 5