AÉRODYNAMIQUE COMPRESSIBLE ET FLUIDES HÉTÉROGÈNES Petites classes et éléments de cours Photo : http://www.enseeiht.fr/travaux/ Olivier THUAL, INPT et X/Mécanique 3 juillet 004
Table des matières Ondes sonores dans une tuyère 9 Moteur de fusée et hypothèses simplificatrices.......... Approximation unidimensionnelle................. 4 3 Ondes sonores........................... 6 Régimes continus de la tuyère de Laval 7 Modèle quasi-d.......................... 0 Écoulement permanent....................... 0 3 Vitesse du son pour un gaz parfait polytropique......... 4 Détermination des régimes continus................ 3 Onde de détente dans un canal hydraulique 7 Équations en eaux peu profondes................. 3 Frontière d un écoulement uniforme................ 3 3 Onde simple de détente centrée.................. 33 4 Calcul des trajectoires....................... 34 4 Choc droit pour un gaz parfait polytropique 37 Équations de saut pour le choc droit............... 40 Choc droit pour un gaz parfait polytropique........... 4 3
4 TABLE DES MATIÈRES 3 Droite de Rayleigh et courbe d Hugoniot............. 44 4 Grandeurs génératrices....................... 47 5 Choc rectiligne et tube à choc 49 Choc rectiligne........................... 5 Tube à choc............................ 53 3 Limite des grands écarts de pressions............... 56 6 Régime discontinus de la tuyère de Laval 57 Classification des régimes..................... 6 Régimes continus.......................... 63 3 Régimes discontinus........................ 64 4 Choc oblique en sortie de tuyère................. 66 7 Détentes et chocs infinitésimaux 69 Choc droit infinitésimal...................... 73 Choc oblique infinitésimal..................... 74 3 Onde de détente infinitésimale.................. 75 4 Détente le long d une paroi convexe................ 78 8 Détente de Prandtl-Meyer et coudes supersoniques 8 Détente de Prandtl-Meyer..................... 84 Coudes supersoniques....................... 87 9 Écoulements permanents de perturbation 93 Écoulement incompressible.................... 97 Écoulement subsonique....................... 00 3 Écoulement supersonique..................... 0
TABLE DES MATIÈRES 5 0 Écoulements transsoniques 05 Existence d une ligne sonique................... 07 Écoulement transsonique au voisinage du col.......... 09 Émission du son par une sphère 3 Sphère pulsant avec une vitesse radiale quelconque....... 5 Pulsation harmonique de la sphère................ 8 Propagation du son dans un milieu réactif 3 Ondes émises par un piston.................... 6 3 Combustion d une goutte immobile 33 Équations de Shvab-Zeldovich................... 35 Vaporisation de la goutte..................... 36
6 TABLE DES MATIÈRES
Avant-Propos Ce document regroupe les énoncés et corrigés d une série de petites classes qui ont été construites dans le cadre de l enseignement intitulé Aérodynamique compressible de la deuxième année de l Ecole Polytechnique et de l enseignement intitulé Aérodynamique compressible et Fluides Hétérogènes de la troisième années. Les éléments de cours utiles pour la résolution des exercies sont rassemblés au début de chaque petite classe. Les exercices présentés dans ce recueil sont très classiques et ont été choisis pour leurs qualités pédagogiques dans l assimilation des notions de base de l aérodynamique compressible. Ils ont été construits à partir des ouvrages classiques de la littérature et des énoncés de petites classes de plusieurs enseignants qui sont intervenus à l Ecole Polytechnique ou à l ENSTA (Antoine SELLIER, Pierre BRANCHER, Frédéric DIAS,...). Néanmoins, certaines parties, comme par exemple les coudes supersoniques, peuvent être considérées comme des contributions originales. La particularité de ces petites classes repose sur le fait que la taille des exercices a été calibrée pour des séances de deux heures à l attention d élèves ingénieurs ou de Licence n ayant que des notions sommaires de mécanique des fluides. Chaque petite classe peut être traitée indépendamment des autres et les éléments de cours indiqués dans leur introduction sont en principe suffisants pour leur résolution. BIBLIOGRAPHIE [] A. SELLIER, Introduction aux écoulements compressibles et aux fluides hétérogènes, Les Éditions de l École Polytechnique, (00). l École Poly- [] A. SELLIER, Aérodynamique compressible, Polycopié de technique, (004). 7
8 TABLE DES MATIÈRES
PCM Ondes sonores dans une tuyère FICHE SIGNALÉTIQUE Petite Classe Multimedia (PCM) Titre : Ondes sonores dans une tuyère Auteur : O. THUAL, INPT Référence : PCM-XINP thu-acpc (004) Mois de création : avril 004 Mise à jour : January 5, 0 URL multimedia : http://www.enseeiht.fr/hmf/enseignants/thual/ Niveau : Master I ou II Enseignement : Petite classe de h Animations : néant Mots clés : ondes sonores, approximation D bilans globaux de la mécanique des fluides RÉSUMÉ Cette Petite Classe applique les lois de bilan de la mécanique des fluides au cas des écoulements D. L exemple de l écoulement continu dans la tuyère d une fusée permet d illustrer l intérêt applicatif de cette modélisation. 9
0 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 NOTATIONS A B Produit contracté des tenseurs A et B a Vecteur quelconque A Vecteur Flux rentrant A Tenseur d ordre a b Produit scalaire des a et b a i b i Sommation avec la convention d Einstein := a b A b Produit contracté de A et b A ij b j = C i Sommation avec la convention d Einstein : C = A b A B Produit contracté de tenseurs d ordre A ik B kj = C ij Sommation avec la convention d Einstein : C = A b c(ρ, s) Vitesse du son (m s ) div A Divergence de A : = A i, i div A = C Divergence de A de composante C i = A ij, j D Domaine quelconque D Frontière de D da Élément d intégration surfacique (m ) dω Élément d intégration volumique (m 3 ) e Énergie interne spécifique (J kg ) E(ρ, s) Loi d état de l énergie interne (J kg ) e x, e y, e z Vecteurs de base (m) F Densité volumique des forces extérieurs (N m 3 ) F (x, t) Champ quelconque I Identité : I ij = δ ij n Vecteur unitaire normal sortant (m) p Champ de pression (Pa) P(ρ, s) Loi d état de la pression (Pa) P F Production volumique de F q Vecteur flux de chaleur (W m 3 ) r c Production volumique de chaleur (W m 3 ) s Entropie spécifique (J K kg ) t Temps (s) U(x, t) Champ de vitesse (m s ) x = (x, y, z) Coordonnées spatiales (m) δ δt Opérateur dérivée pour un domaine fixe (s ) ρ Masse volumique (kg m 3 ) σ Tenseur des contraintes (Pa) τ Tenseur des contraintes visqueuses (Pa)
ÉLEMENTS DE COURS Équations de bilan On considère un domaine fixe D et un champ F (x, t) continu ou discontinu. On note n la normale sortante de sa frontière D au point x. On note δ δt D F (x, t) dω la dérivée de l intégrale par rapport au temps, l opérateur δ δt indiquant que le domaine est fixe. x n Les principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l énergie peuvent alors s exprimer en considérant un domaine fixe quelconque. On note ρ la masse volumique, U le champ de vitesse, σ le tenseur des contraintes, F la densité massique des forces extérieures, e l énergie interne massique, r c le chauffage volumique et q le flux de chaleur. F A P F ρ 0 0 ( ρ U σ F ρ e + U ) ( q + σ U) (r c + F U) Table.: Lois de bilan Tableau récapitulatif (voir tableau??) : δ F dω + F U n da = δt D Bilan global de masse : δ δt D Bilan global de quantité de mouvement : δ ρ U dω + ρ U U n da = δt D D Bilan global d énergie : δ ρ (e + ) δt U D D D A n da + P F dω. (.) D ρ dω + ρ U n da = 0 (.) D D σ n da + ρ F dω (.3) D dω + ρ (e + ) D U U n da =
PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 ( q + σ U) n da + (r c + ρ F U) dω. (.4) D D Fluides newtoniens Pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes s écrit σ = p I +τ, où p est la pression et τ le tenseur des contraintes visqueuses. On fait l hypothèse de l équilibre thermodynamique local, si bien que la pression du tenseur des contraintes est aussi celle des lois thermodynamiques. On suppose que le fluide est divariant et décrit par les lois d état : p = P(ρ, s) et e = E(ρ, s) (.5) où s est l entropique volumique. Ces deux lois sont liées par la relation de Gibbs qui s écrit ( ) c est-à dire E ρ s température T (ρ, s) = ( de = T ds p d = T ds + ρ) p d (ρ) (.6) ρ P(ρ,s) (ρ, s) = ρ. La relation de Gibbs permet de définir la ). On définit c(ρ, s) par la relation ( E s ρ c (ρ, s) = ( ) P (ρ, s) (.7) ρ s que l on suppose donc positif. On montre que c(ρ, s) est la vitesse du son. ÉNONCÉ DE PETITE CLASSE Moteur de fusée et hypothèses simplificatrices On considère un système mécanique composé d un fuselage entourant une chambre de combustion attenante à une tuyère cylindrique qui débouche sur le fluide atmosphérique. On veut déterminer l écoulement dans la tuyère en fonction des paramètres thermodynamiques de la chambre de combustion et de la forme de la tuyère.
. MOTEUR DE FUSÉE ET HYPOTHÈSES SIMPLIFICATRICES 3 À titre d exemple, les ordres de grandeurs pour le moteur HM7 du troisième étage de la fusée Ariane 4 sont donnés ci-après. Pression et température dans la chambre de combustion : p 0 = 30.5 0 5 Pa et T 0 = 3 30 K. Constante γ = C p /C v du gaz éjecté : γ =.5. Chaleur volumique dégagée par les réactions chimiques : r c = 74 J K kg. Section minimale et section de sortie de la tuyère : A c =. 0 m et A s = 0.709 m. Pression atmosphérique : p a petit devant p 0. On suppose que le gaz, supposé divariant, obéit aux équations d état p = P(ρ, s) et e = ( E(ρ, ) s). Ces deux lois sont ( ) liées par la relation de Gibbs de = T ds p d ρ. On note c (ρ, s) = P ρ (ρ, s) que l on suppose donc s positif. ) On choisit de modéliser l écoulement de la tuyère avec les hypothèses F = 0, r c = 0, q = 0 et τ = 0. À quoi correspondent ces hypothèses? On néglige la viscosité (τ = 0) et la diffusivité (q = 0) : le fluide est parfait. On néglige la gravité (F = 0) dans la mesure où les vitesses sont grandes. On suppose que les réactions chimiques ne sont plus actives dans la tuyère (r c = 0). ) On rappelle la formule de la divergence D Q n da = D div Q dω pour un champ de vecteurs Q(x) dérivable. En déduire la formule D A n da = div A dω pour un champ de tenseurs d ordre deux A(x) puis la formule D D q n da = D grad q dω pour un champ scalaire q(x) en posant A = q I. La formule de la divergence s écrit D Q i n i da = D Q i,i dω pour un vecteur Q de composantes Q i, en adoptant la convention de sommation des indices répétées et la notation q,i = q x i. On en déduit D A ij n j da = D A i,j dω et un tenseur de composantes A ij puis, en posant A ij = q δ ij, la relation D q n i da = D q,i dω. 3) On écrit la forme intégrale des équations de bilan de masse, de quantité de mouvement et d énergie sur le sous-domaine D fixe sous la forme δ ρ (e + ) δt D U δ δt δ δt D ρ dω + D ρ U n da = F Masse ρ U dω + ρ U U n da = F Qdmvt D D dω + ρ (e + ) U U n da = F Energie. D
4 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 Donner l expression de F Masse, F Qdmvt et F Energie. Exprimer F Qdmvt sous la forme d une intégrale de volume. On a F Masse = 0. En appliquant les hypothèses F = 0 et τ = 0 puis la formule de la divergence, on a F Qdmvt = D p n da = D grad p dω. En appliquant les hypothèses r c = 0 et q = 0 on a F Energie = pu n da. D Approximation unidimensionnelle On considère que la tuyère cylindrique Ω tuyère est comprise entre les plans x = x e et x = x s. On suppose que sa section A(x) d aire A(x) est lentement variable en x. À toute grandeur G(x, y, z) on associe sa moyenne G(x) définie par G(x) = G(x, y, z) dy dz. A(x) A(x) On définit alors l écart à la moyenne G(x, y, z) par la relation G(x, y, z) = G(x) + G(x, y, z). On suppose que la section de la tuyère est lentement variable avec x ce que l on traduit par G/G = O(ɛ) avec ɛ. Ces hypothèses quasi-d entraînent la relation GH = G H[ + O(ɛ )] pour deux champs G et H quelconques. On peut montrer aussi que l on a G x G x. On suppose de plus que V U et W U en notant U = Ue x + V e y + W e z. Enfin, on suppose que les équations d état p = P(ρ, s) et e = E(ρ, s) sont satisfaites. n Ω fuselage x Ω e x c s chambre Ω tuyerex On considère le sous-domaine D de Ω tuyère compris entre les plans x = x et x = x. On note S = D A(x ) A(x ) la surface de D propre à la tuyère et n la normale à la frontière D. On suppose que tous les champs sont continus dans la tuyère et on cherche à établir les bilans locaux dans le cadre de cette approximation unidimensionnelle. x
. APPROXIMATION UNIDIMENSIONNELLE 5 4) En utilisant la condition aux limites cinématique U n = 0 sur S et en dérivant par rapport à x le bilan de masse écrit pour le domaine D, montrer que l on obtient, à l ordre dominant de l approximation quasi- D, l expression : A ρ t + x (ρ UA) = 0. Le bilan de masse sur le domaine D s écrit δ x [ ρ da dx = ρ U n da = δt x A(x) D A(x) ρ U da en utilisant U n = 0 sur S. D où x x A(x) t ρ(x, t) dx = A(x ) ρu(x, t) + A(x ) ρu(x, t). En dérivant par rapport à x avec x fixé et en utilisant ρu ρ U on obtient A ρ t + x (ρ UA) = 0. 5) Montrer de même que ( la projection ) sur e x du bilan de quantité de mouvement conduit à ρ U t + U U x = p x. Le bilan de quantité de mouvement sur le domaine D projeté sur e x s écrit [ δ x ] δt x A(x) ρ U da dx + A(x) ρ U x da = x p x x A(x) x da dx en utilisant la condition U n = 0 sur Σ. D où x x En utilisant ρu ρ U et p x p A t (ρ U)+ x (AρU ) ) = A p x ρ ( U t + U U x = p x. ( ) 6) Montrer enfin que ρ e t + U e x A t ( ρu ) dx + [Aρ U ] x ] x x, x = x x A p x dx. x et en dérivant par rapport à x, on obtient ρ. Comme A t + x (ρ UA) = 0, on a finalement = p A x ( ) U A. Le bilan d énergie sur le domaine D s écrit x t x A(x) ρ ( e + U ) da dx + [ A ρ ( e + U ) ] x U en utilisant la condition U n = 0 sur Σ. En = [ p U ] x x x utilisant les hypothèses [ ( V U et W[ ( U et en dérivant ] par rapport à x, on en déduit A t utilisant A ρ t + ρ ( e t + U ) e x = p A ρ e + U )] + ( x x (ρ UA) = 0 et ρ x ( U A ). Aρ U t + U U x e + U ) U ) = A x ( p U A ). En = p x, on obtient finalement 7) En notant d dt = t + U x, le modèle décrivant l écoulement s écrit ρ t = ( ) ρ U A A x ρ de dt = p ( ) U A A x, ρ du dt = grad p, p = P(ρ, s) et e = E(ρ, s). En utilisant la relation Gibbs, montrer qu il peut s écrire aussi sous la
6 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 forme dρ ρ dt = A x ( ) U A, ρ du dt = grad p ρ ds dt = 0 et dp dρ = c dt dt d où la variable e = E(ρ, s) est éliminée, ou bien encore sous la forme dρ ρ dt = A x ( ) U A ρ dh dt = p t, ρ du dt = grad p, et dp dt où H = e + p ρ + U est l enthalpie totale moyennée. = c dρ dt L équation de bilan de masse s écrit bien dρ dt = ρ ( ) A x U A. La relation de Gibbs entraîne que ρt ds dt = ρ de dρ dt (p/ρ) dt = p ( ) ( ) A x U A +p ( ) A x U A = 0. Comme p = P(ρ, s), on a dp dt = P dρ ρ s dt + ( ) P ds ds s ρ dt. Comme dt = 0, on a ds dt = (c) dρ dt. En utilisant les équations de conservation ( de la masse et de l énergie, l équation de l entalphie totale s écrit ρ dh dt = ρ d dt e + U ) +ρ d p dt ρ ( ) ( ) = p A x p U A p A x U A + dp p dt = U x + dp dt = p t. 3 Ondes sonores On pose (p, ρ, s, U) = (p 0 +p, ρ 0 +ρ, s 0 +s, u) où (p 0, ρ 0, s 0, 0) est une solution stationnaire et homogène des équations et [p (x, ( t), ) ρ (x, t), s (x, t), u(x, t)] une perturbation supposée petite. On note c 0 = p ρ (p 0, s 0 ). s 8) Écrire le système d équations de bilan linéarisées autour de l état de base pour les variables considérées. En négligeant les termes non-linéaires dans les équations de bilan, on obtient le système A ρ t + ρ 0 x (A u) = 0, ρ 0 u t = p x, s t = 0 et p t = c 0 ρ t 9) Éliminer s, ρ et p pour obtenir une équation pour u. Interpréter alors la vitesse c 0 dans le cas où A(x) est une constante. L entropie s reste constante [ en temps. L élimination de p et ρ conduit à l équation u c t = 0 x A x (A u)]. Pour A constant, on reconnaît l équation des ondes. La vitesse c 0 est la vitesse de propagation des ondes sonores dans une tuyère cylindrique.
PCM Régimes continus de la tuyère de Laval FICHE SIGNALÉTIQUE Petite Classe Multimedia (PCM) Titre : Régimes continus de la tuyère de Laval Auteur : O. THUAL, INPT Référence : PCM-XINP thu-acpc (004) Mois de création : avril 004 Mise à jour : January 5, 0 URL multimedia : http://www.enseeiht.fr/hmf/enseignants/thual/ Niveau : Master I ou II Enseignement : Petite classe de h Animations : néant Mots clés : tuyère de Laval, approximation D relation d Hugoniot, lois de Saint-Venant RÉSUMÉ Cette Petite Classe explicite l approximation quasi-d de l écoulement dans une tuyère de section lentement variable et applique cette approximation au cas de l écoulement stationnaire dans la tuyère de Laval. 7
8 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 NOTATIONS a Vecteur a b Produit scalaire des a et b c(ρ, s) Vitesse du son (m s ) div A Divergence de A da Élément d intégration surfacique (m ) e Énergie interne massique (J kg ) E(ρ, s) Loi d état de l énergie interne (J kg ) e x, e y, e z Vecteurs de base (m) G(x, t) Moyenne de G(x, t) sur la section A(x) h Enthalpie spécifique (J kg ) H Enthalpie totale spécifique (J kg ) p(x, t) Champ de pression (Pa) P(ρ, s) Loi d état de la pression (Pa) q Vecteur flux s Entropie spécifique (J K kg ) t Temps (s) U(x, t) Champ de vitesse (m s ) U(x, t) Composante U e x (m s ) U(x, t) Moyenne de U (m s ) x = (x, y, z) Coordonnées spatiales (m) ρ Masse volumique (kg m 3 ) ÉLEMENTS DE COURS Bilans locaux 3D Les bilans locaux décrivant le mouvement d un fluide parfait en l absence de forçages externes s écrivent Conservation de la masse : Conservation de la quantité de mouvement : Bilan d énergie interne : dρ ρ dt ρ du dt ρ de dt = div U = grad p = p div U où la dérivée particulaire est notée d dt = t + U grad. Un gaz divariant est décrit par les lois d états e = E(ρ, s) et p = P(ρ, s), (.)
9 ces deux lois étant liées pas la relation de Gibbs ( ) de = T ds p d ρ qui entraîne la relation de dt = T ds dt p d dt (.) ( ρ). En combinant cette relation avec la loi de conservation de la masse, la loi de conservation de la quantité de mouvement ou le bilan d énergie interne, on obtient l équivalence des trois relations Bilan d énergie interne : ρ de dt ds Bilan d entropie : dt dh Bilan d enthalpie totale : dt = p div U = 0 = p t où h = e + p ρ est l enthalpie spécifique et H = h + U l enthalpie totale ( ) spécifique. En définissant c (ρ, s) = P ρ (ρ, s), la relation de Gibbs et le s bilan d entropie entrainent la relation Bilans locaux quasi-d dp dt = c (ρ, s) dρ dt. (.3) L approximation quasi-d s applique à un fluide s écoulant dans une tuyère de section A(x) lentement variable avec x. Les bilans locaux concernent alors les quantités moyennées G(x) = A(x) A(x) G(x, y, z) da et s écrivent Conservation de la masse : Conservation de la quantité de mouvement : Bilan d énergie interne : ρ dρ dt ρ du dt ρ de dt = A x = p x = p A x ( ) A U ( ) A U où la notation d dt désigne maintenant l opérateur t + U x. On montre que le bilan d énergie interne peut être remplacé par le bilan d entropie ds dt = 0 ou le bilan d entropie totale dh dt = p t avec H = e + p ρ + U. Il faut ensuite compléter ce jeux d équation par la relation dp dt = c (ρ, s) dρ dt. (.4)
0 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 ÉNONCÉ DE PETITE CLASSE Modèle quasi-d On considère un système mécanique composé d un fuselage entourant une chambre de combustion attenante à une tuyère cylindrique de section A(x) qui débouche sur le fluide atmosphérique. x e n Ω chambre Ω tuyère x Ω x fuselage c x s Dans la chambre de combustion le fluide est caractérisé par les constantes (p 0, T 0 ) considérés comme grandeurs génératrices. A l extérieur de la tuyère, le fluide est caractérisé par le couple (p a, T a ). A priori, l écoulement de la tuyère dépend des quatre paramètres (p 0, T 0, p a, T a ) et de sa géométrie A(x). Nous voulons étudier les différents régimes de l écoulement obtenus en faisant diminuer la pression atmosphérique p a à partir de la valeur p 0. On choisit de modéliser l écoulement de la tuyère avec les hypothèses F = 0, r c = 0, q = 0 et τ = 0. On suppose que le gaz, supposé divariant, obéit aux équations d état p = P(ρ, s) et e = E(ρ, s). Dans le cadre de l approximation quasi- D, les équations s écrivent : ρ t + A x dh dt = p t ( ) ρ U A = 0, ρ du dt = p x et dp dt dρ = c dt avec d dt = t + U x et c (ρ, s) = ( P ρ L équation pour l enthalpie totale H = e + p ρ + U peut être remplacée par ( ) l équation ds de dt = 0 ou l équation ρ dt = p A x A U. ) s. Écoulement permanent On suppose que l écoulement a atteint un régime permanent. Les grandeurs G ne dépendent donc pas du temps. Les équations locales de bilan permettent d écrire des relations entre les dérivées dg dx. Pour simplifier l écriture, on choisit
. ÉCOULEMENT PERMANENT de remplacer G par G et dg dx par dg dans les équations. On remplacera aussi U par u. On suppose que u > 0. ) Montrer que les équations de bilan locaux de l approximation quasi-d entraînent : ρ u A = cste =: ṁ, dp + ρ u du = 0, H = cste et s = cste avec H = h + u et h = e + p/ρ. En régime permanent, les équations de bilan de l approximation quasi-d s écrivent d d dx (ρua) = 0, ρu dx U = dp dh ds dx, ρu dx = 0 et U dx = 0. On déduit, en utilisant les nouvelles notations, les quatre équations de bilan de la masse ρua = cste =: ṁ, de bilan de quantité de mouvement dp + ρudu = 0, de bilan d enthalpie totale H = cste et de bilan d entropie s = cste. ) Montrer que la loi de conservation de la masse entraîne dρ/ρ + du/u + da/a = 0. La dérivée logarithmique de l équation de bilan de masse conduit à dṁ/ṁ = dρ/ρ + du/u + da/a = 0. 3) L équation ( ) d état p = P(ρ, s) permet de définir la vitesse du son c par c = P ρ. En déduire que les trois inconnues du, dp et dρ s obtiennent s à partir d un système de trois équations que l on écrira. En définissant le nombre de Mach local M(x) = u(x)/c(x), montrer que l on en tire la relation d Hugoniot da/a + ( M )du/u = 0. En prenant la dérivée particulaire de l équation d état p = P(ρ, s) on obtient dp dρ dt = c dt + ( ) P ds s ρ dt. Comme l écoulement est permanent et ds = 0, on a dp = c dρ. On obtient alors le système de trois équations dṁ/m = dρ/ρ + du/u + da/a = 0, dp + ρ u du = 0 et dp = c dp. En éliminant dp et dρ, il reste ( u /c )du/u + da/a = ( M )du/u + da/a = 0. 4) En déduire la forme que l on doit donner à la tuyère si l on veut que l écoulement devienne supersonique et que le nombre de Mach continue d augmenter au-delà du point sonique. On note x c la position du col de la tuyère. Si M(x e ) <, on a du > 0 lorsque da < 0 (accélération dans le convergent). Si M(x e ) >, on a du > 0 lorsque da > 0 (accélération dans le divergent). Pour constamment accélérer le fluide, il faut que da dx < 0 jusqu au point x c où M(x c ) =. Au-delà de ce point, il faut que da dx > 0 pour continuer à faire croître M(x). Ceci explique la forme habituelle d une tuyère.
PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 3 Vitesse du son pour un gaz parfait polytropique On considère maintenant le cas usuel du gaz parfait polytropique défini par p = ρ r T, de = C v dt, C p = γ C v et C p C v = r où C p, C v et γ sont des constantes. Pour ce rappel de cours sur les gaz parfait polytropique, les notations comme de, ds ou dρ désignent des éléments différentiels obtenus en différenciant les lois d état. 5) Montrer que e = C v T, h = C p T, C v = r/(γ ) et C p = γ r/(γ ). Comme C v est constant, de = C v dt s intègre en e = C v T. On a alors h = e + p/ρ = C v T + r T = C p T. Comme C p C v = (γ )C v = r, on a C v = r/(γ ). D où C p C v = C p ( /γ) = r et donc C p = rγ/(γ ). 6) On note τ = /ρ. À partir de la relation de Gibbs de = T ds p dτ qui permet de définir l entropie s, montrer que s = C v Ln (p ρ γ ) + s ref où s ref est une valeur de référence. La relation de Gibbs s écrit de = C v T = T ds ρ r T ( /ρ ) dρ et entraîne ds = C v dt/t r dρ/ρ. La dérivée logarithmique de p = ρrt s écrivant dp/p = dρ/ρ + dt/t, on a ds = C v dp/p (r + C v )dρ/ρ = C v dp/p C p dρ/ρ. En intégrant, on obtient s = C v Ln (p ρ γ ) + s ref. 7) En déduire que la vitesse du son est donnée par c = γ r T et que p = B(s)ρ γ en exprimant la fonction B(s). La relation ds = C v dp/p C p dρ/ρ entraîne que [ c ] = (C p /C v ) (p/ρ) = γ r T. On déduit de l expression de s que p = ρ γ exp s sref C v =: B(s) ρ γ. On retrouve ) alors que c = = γb(s)ρ γ = γp/ρ = γ r T. ( p ρ s 4 Détermination des régimes continus On suppose que le fluide est un gaz parfait polytropique. On suppose que les grandeurs génératrices (p 0, ρ 0, T 0 ) de l écoulement permanent quasi-d isentropique de la tuyère correspondent à un point (réel ou fictif) où u 0 = 0. Dans tout ce qui suit, on suppose que ces grandeurs sont fixées, ce qui revient à fixer deux paramètres (le troisième s en déduit par la loi d état). 8) Montrer que la loi de conservation de l enthalpie totale H entraîne que c /(γ ) + u / = c 0 /(γ ).
4. DÉTERMINATION DES RÉGIMES CONTINUS 3 Pour un gaz parfait polytropique, l enthalpie totale s écrit H = e+p/ρ+ u = C v T +r T + u = C p T + u = Cp γr c + u = c γ + u. La loi de conservation H = cste =: H 0 s écrit donc c γ + u = c 0 γ avec c 0 = γ r T 0. 9) En déduire les lois de Saint-Venant T T 0 = f(m), p p 0 = f(m) γ γ et ρ ρ 0 = f(m) γ (.5) avec f(m) = + γ M. Montrer que ces trois fonctions de M sont décroissantes. En utilisant la notation M = u/c, la loi de conservation de l enthalpie totale + γ u c = c 0 c entraîne c /c 0 = [ + γ M ] ce qui s écrit aussi T/T0 = f (M). L équation de bilan de l entropie s = s 0 entraîne pρ γ = p 0 ρ γ 0 d où ( ) γ ( ) γ ( ) γ p p T 0 p 0 p 0 T = d où p p 0 = T T 0 d où p/p0 = f(m) γ γ. On en ( ) γ ( ) déduit ρ ρ 0 = p 0 p d où ρ ρ 0 = p γ p 0 = f(m) (γ ). Comme f(m) est un fonction croissante de M, les trois fonctions T/T 0, p/p 0 et ρ/ρ 0 de M sont décroissantes. 0) En déduire que M est solution de l équation implicite g[m(x)] = ṁ rt0 p 0 γ A(x) avec g(m) = Mf(M) γ+ (γ ). (.6) La loi de conservation de la masse ρ u A = ṁ entraîne ρ u c ρ 0 c 0 A = f(m) γ ρ0 Mf(M) c0 A = ṁ. (.7) ρ 0 c c 0 D où AMf(M) γ+ (γ ) = A g(m) = ṁ ρ 0c 0 = ṁ ṁ ρ 0c c 0 = γrt 0 0ρ 0 c 0 = ṁ c 0 p 0 γ = ṁ rt0 p 0 γ. ) Tracer l allure de g(m). On note Γ(γ) = g() = ( γ+ γ =.5 on a Γ(γ) =.59 ) γ+ (γ ). Pour La dérivée de la fonction g(m) s obtient en calculant g (M) g(m) = M γ+ (γ )M (γ ) = + γ + γ M γ+ M M = M M(+ γ M ) M(+ γ M ). D où g (M) = ( M ) ( + γ M ) 3γ (γ ). On en déduit l allure de la fonction g(m) qui est maximale pour M =.
4 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0 0.7 0.6 0.5 g(m) 0.4 0.3 0. 0. 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 M ) On garde fixées les grandeurs génératrices p 0, T 0 et donc ρ 0. En supposant le débit massique ṁ et que l écoulement est partout subsonique, donner l allure des solutions M(x), p(x), ρ(x) et T (x). En imposant que la pression de sortie p s soit égale à la pression atmosphèrique p a, montrer que ṁ est une fonction de (p 0, T 0, p a ), solution du système de deux équations aux deux inconnues (ṁ, M s ) suivant : p a p 0 = f(m s ) γ γ et ṁ = p 0 γ r T 0 g(m s ) A s. En déduire que tant que l écoulement reste subsonique, le débit massique ṁ(p 0, T 0, p a ) augmente la pression atmosphérique p a diminue. Préciser la valeur de M(x e ) à l entrée de la tuyère. La solution M(x) de l équation g[m(x)] = ṁ p 0 ṁ r T0 p 0 γ /A(x) peut s obtenir r T0 γ /A c, l écoulement reste subsonique le long de graphiquement. Si toute la tuyère. On peut alors tracer l allure de M(x) qui est maximale en x c. Les allures des fonctions p(x)/p 0, ρ(x)/ρ 0 et T (x)/t 0 s en déduisent. Elles sont semblables et minimales en x c. La solution p(x)/p 0 permet de déduire la pression de sortie p s = p(x s ) = p a qui doit être égale à la pression atmosphérique. L application des lois de Saint-Venant entraîne p s /p 0 = f(m s ) γ γ où Ms = M(x s ) est le nombre de Mach de sortie solution de g(m s ) = ṁ r T0 p 0 γ /A s. Pour p a = p 0, on a ṁ = 0. Lorsque la pression atmosphérique p a diminue, le débit massique ṁ(p a ) augmente. Notons que la valeur de M(x e ) = M e s obtient par la relation g(m e ) = ṁ r T0 p 0 γ /A e. g(m) K/A c K/A s K/A e M e M s M c M
4. DÉTERMINATION DES RÉGIMES CONTINUS 5 M p p/p 0 M c p a /p 0 M s M e xc xs x e x x e x c x s x 3) Montrer que l écoulement devient supersonique lorsque p a passe en dessous d un seuil p a = p I. Montrer que pour ce régime, le débit ṁ(p 0, T 0 ) n est plus contrôlé par p a et vaut ṁ = ρ 0 c 0 Γ(γ)A(x c ). Lorsque p a descend jusqu à une valeur critique p a = p I telle que K/A c = g(), l écoulement est supersonique en aval du col et la solution M(x) de l équation g[m(x)] = K/A(x) doit être choisie sur la branche M > pour x > x c. Lorsque p a < p I, le débit massique ne dépend plus de p a et reste bloqué à la valeur donnée par l équation ṁ rt0 p 0 γ = g() A c. En notant g() = Γ(γ) = ( γ+ γ+ ) (γ ), la valeur du débit massique est ṁ = γ p0 rt 0 Γ(γ)A c =. 4) La condition à la limite p = p a à la sortie de la tuyère peut-elle être satisfaite pour p a < p I? Indiquer alors le phénomène physique qui permet de connecter le profil p(x) à la pression atmosphérique. Comme ṁ n est plus contrôlé par la pression atmosphérique p a, la solution p(x)/p 0 = f[(m(x)] γ γ avec M(x) solution de g[m(x)] = K/A(x) ne vérifie pas (sauf cas exceptionnel) p(x s ) = p a. La solution physique est obtenue en admettant l existence d un choc dans la tuyère ou à l extérieur de la tuyère. g(m) K/A c K/A d K/A s K/A e p M e M s M c = M d M p/p 0 p a /p 0 p 0 T 0 x e x c x d N x s x p a x e x c x d x s x T a
6 PCM-XINP thu-acpc (004), O. Thual January 5, 0
PCM 3 Onde de détente dans un canal hydraulique FICHE SIGNALÉTIQUE Petite Classe Multimedia (PCM) Titre : Onde de détente dans un canal hydraulique Auteur : O. THUAL, INPT Référence : PCM-XINP thu-acpc3 (004) Mois de création : avril 004 Mise à jour : January 5, 0 URL multimedia : http://www.enseeiht.fr/hmf/enseignants/thual/ Niveau : Master I ou II Enseignement : Petite classe de h Animations : néant Mots clés : caractéristiques, invariants de Riemman onde simple, équations de Saint-Venant RÉSUMÉ Cette Petite Classe applique la méthode des caractéristiques au cas des équations en eaux peu profondes (équations de Saint-Venant). Le cas de l onde simple de détente centrée est abordé. 7
8 PCM-XINP thu-acpc3 (004), O. Thual January 5, 0 NOTATIONS a,t = a t Dérivée partielle de a par rapport au temps a,x = a x Dérivée partielle de a par rapport à l espace C Courbe caractéristique du plan (x, t) C + Courbe caractéristique du plan (x, t) C Courbe caractéristique du plan (x, t) ( C ± ) Courbes C + ou C da dt Dérivée partielle de a le long de L L ( ) (da) L Notation abrégée de da dt en multipliant par dt L ( ) dt Notation abrégée à multiplier par d dt (s) L J + (u, v) Invariant de Riemann sur les C + J (u, v) Invariant de Riemann sur les C L Courbe du plan (x, t) t Temps (s) (u, v) Solution du système d EDP x Coordonnée spatiale (m) ẋ(t) ( ) Dérivée de x(t) (m s ) dx Inverse de la pente de la courbe L (m s ) dt L t Dérivée partielle par rapport au temps (s ) x Dérivée partielle par rapport à l espace (m ) λ(x, t) Inverse de la pente de L en (x, t) (m s ) λ + (x, t) Inverse de la pente de C + en (x, t) (m s ) λ (x, t) Inverse de la pente de C en (x, t) (m s ) ÉLEMENTS DE COURS Système hyperbolique et caractéristiques On considère un système d équations aux dérivées partielles s écrivant sous la forme : { A u,t + B u,t + C v,t + D v,x = E A u,t + B u,t + C v,t + D v,x = E (3.) où (A, B, C, D, E ) et (A, B, C, D, E ) sont des fonctions de (x, t). Ce système fait apparaître les dérivées partielles t et x que l on peut respectivement interpréter comme la dérivée le long des droites x = cste ou des droites t = cste. On cherche à obtenir un système faisant intervenir les dérivées selon un réseau de courbes autres que le maillage cartésien du plan (x, t). Étant
9 donnée une courbe L définie par la trajectoire x(t), on note λ(x, t) l inverse de sa pente en x dans le plan (x, t) et l on écrit ( ) dx =: ẋ(t) = λ[x(t), t]. (3.) dt L t pente t x + x La dérivée du champ a(x, t) le long de la courbe L est alors définie par la relation ( ) da = a a + λ(x, t) dt L t x = a,t + λ a,x. (3.3) Pour transformer le système (??) en un système faisant intervenir des dérivées selons des courbes autres que les axes, on écrit le système des quatre relations suivantes : A B C D u E,t A B C D u,x λ 0 0 v,t = E ( ) du dt. (3.4) ) L 0 0 λ v,x Les deux premières équations ne sont celle du système (??) et les deux dernières ne font que reprendre la définition de la dérivée le long d une courbe L appliquée à u puis à v. Pour un couple (x, t) donné, on cherche alors la ou les valeurs de λ pour lesquelles la matrice 4 4 de ce système n est pas inversible. Il suffit d annuler son déterminant qui est un polynôme de degré en λ. On note λ + (x, t) et λ (x, t) les deux racines réelles lorsqu elles existent. On dit que le système (??) est hyperbolique dans le domaine du plan (x, t) pour lequel il existe deux racines réelles (parabolique pour une racine double et elliptique sinon). Dans ce domaine, on peut définir deux familles de courbes notées C + et C, appelées courbes caractéristiques, et définies par leurs trajectoires respectives ( ) dx = λ + (x, t) dt C + et ( dv dt L ( dx dt ) C = λ (x, t). (3.5)
30 PCM-XINP thu-acpc3 (004), O. Thual January 5, 0 Relations de compatibilités et invariants de Riemann S il existe une solution [u(x, t), v(x, t)] au système (??) dans le domaine où il est hyperbolique, le système (??) obtenu en choisissant L = C + ou L = C, c est-à-dire λ = λ + (x, t) ou λ = λ (x, t), doit obligatoirement avoir des solutions. Son second membre appartient donc à l espace vectoriel engendré par les quatre colonnes de la matrice 4 4. Si les trois dernières colonnes engendrent cet espace, cette appartenance s écrit en annulant le déterminant E B C D ( E B C D ) du λ 0 0 = 0, (3.6) dt ) C ( dv dt C 0 λ où C désigne une courbe C + ou C. On peut choisir de substituer n importe quelle autre colonne par le second membre, sauf dans le cas particulier où deux colonnes sont proportionnelles. Le cas où la matrice 4 4 n est pas de rang 3 n est pas considéré ici. Les deux relations de compatibilité ainsi obtenues pour les deux familles de courbes caractéristique sont des relations de la forme ( ) ( ) U + (x, t) du dt + V + (x, t) dv C dt = W + (x, t) ( ) + ( C + U (x, t) du dt + V (x, t) dv C dt = W (x, t) )C, (3.7) où U ± (x, t), V ± (x, t) et W ± (x, t) sont des fonctions de (x, t) s exprimant à partir des coefficients du système (??) ainsi que des solutions u(x, t) et v(x, t). Ce nouveau système, faisant intervenir uniquement des dérivées le long des deux familles de courbes caractéristiques, est équivalent au système initial (??). Par simplicité, on peut le noter U ± (du) C± + V ± (dv) C± = W ± dt. Contrairement au système initial, qui mélangeait les dérivées le long des deux familles de droites parallèles aux axes du plan (x, t), le nouveau système découple les dérivations selon les deux familles de courbes transverses que forment les caractéristiques. Ce découplage permet de construire des algorithmes de résolution numérique plus précis, et, dans certains cas favorables, de trouver des solutions analytiques. C est le cas lorsque l on peut intégrer le système (??) pour le mettre sous la forme (dj ± ) C± = 0 où J + (u, v) et J (u, v) sont des fonctions de (u, v) appelées invariants de Riemann. Ces fonctions sont en effet respectivement constantes sur les courbes carcactéristiques C + ou C.
3 ÉNONCÉ DE PETITE CLASSE Équations en eaux peu profondes On considère les équations en eaux peu profondes (Saint-Venant) écrites sous la forme u t + u u x + g x (ζ h) = 0 et ζ t + (u ζ) = 0. (3.8) x Ce modèle décrit un écoulement à surface libre dans un canal D dont la profondeur h(x) est petite devant les échelles caractéristiques horizontales. Le champ u(x, t) représente la vitesse horizontale du fluide moyennée sur la verticale. Le champ ζ(x, t) est la profondeur de la couche fluide lors du mouvement. ζ u h 0 h Dans un premier temps, on considère le cas particulier du fond plat h(x) = h 0. ) En appliquant effectuant une combinaison linéaire judicieuse des deux équations, montrer que l on a les relations du C± ± g/ζ dζ C± = 0 le long ( ) des caractéristiques C ± définies par dx dt = u[x(t), t] ± g ζ[x(t), t]. C ± Pour h = h 0, on peut écrire { ut +u u x +g ζ x = 0 +ζ u x +ζ t +uζ x = 0. En multipliant respectivement par et ± g ζ ces deux équations, on obtient [ ( u t + u ± ) ] g [ ( g ζ u x ± ζ t + u ± ) ] g ζ ζ x = 0. ζ D où les relations du C± ± g ζ dζ C ± = 0. ) Montrer que les quantités J ± (u, ζ) = u ± g ζ (appelées invariants de Riemann) sont invariantes le long des courbes caractérisiques. En intégrant le long des caractéristiques ( ) dx dt C ± = u± g ζ on obtient d (J ± ) C± avec J ± = u ± g ζ.
3 PCM-XINP thu-acpc3 (004), O. Thual January 5, 0 3) Retrouver ces résultats en appliquant la méthode matricielle de détermination des caractéristiques et des relations de compatibilité associées. Pour h = h 0, on peut écrire u t +u u x +g ζ x = 0 +ζ u x +ζ t +uζ x = 0 u t +λu x = ( ) du dt =: u d où ( ) C +ζ t +λζ x = dζ =: ζ dt C u 0 g 0 ζ u = 0. λ 0 0 0 0 λ En développant par rapport à la première ligne, on obtient ζ u λ 0 0 0 λ u 0 u 0 0 0 λ 0 ζ ρ λ 0 0 0 = λ(λ u) + u(λ u) + g ζ = (λ u) + g ζ = 0 d où λ ± = u ± g ζ. La relation de compatibilité s obtient en écrivant 0 0 g 0 0 u 0 u u = 0 0 u 0 0 0 ζ ζ λ λ 0 0 ρ u 0 0 ζ = u (λ u) g ζ = 0. D où les relations de compatibilité du C± ( ± gζ ) + gdζc± = 0, ce qui s écrit encore du C± ± g ζ dζ C ± = 0. On en déduit d ( u ± gζ ) C ± = 0, d où J ±(u, ζ) = u ± g ζ. Frontière d un écoulement uniforme On suppose considère un système hyperbolique admettant des caractéristiques C + et C et des invariants de Riemann J + (u, v) et J (u, v) où (u, v) est la solution. On appelle onde simple, l ensemble des points du plan (x, t) qui sont connectés à une région d écoulement uniforme par au moins une courbe aractéristique. On veut montrer que la frontière entre un écoulement uniforme et l onde simple qui lui est adjacente est obligatoirement une courbe caractéristique. Pour cela, on effectue un raisonnement par l absurde.
3. ONDE SIMPLE DE DÉTENTE CENTRÉE 33 A C C+ L E F C+ A B C C+ C E F 4) On suppose que la frontière L n est pas une courbe caractéristique. Montrer qu il existe alors un voisinage de L dont les points A sont connectés à la région d écoulement uniforme à la fois par une C + et une C. On note E et F les points d intersection respectifs avec L de la C + et de la C issues de A. En supposant qu il existe des invariants de Riemann, en déduire que les grandeurs physiques en A sont les mêmes que celles de l écoulement uniforme. Conclure que L ne peut pas être distincte d une courbe caractéristique. Si un tel voisinage n existait pas, la courbe L serait une C + ou une C, ce qui est contraire à l hypothèse. Soit A un point de ce voisinage. La C + et la C issues de A coupent L en deux points que l on note respectivement E et F. En utilisant les invariants de Riemann et en notant u 0 et v 0 les variables de l écoulement uniforme, on peut écrire J + (u A, v A ) = J + (u E, v E ) = J + (u 0, v 0 ) et J (u A, v A ) = J (u F, v F ) = J (u 0, v 0 ). On en déduit alors que u A = u 0 et v A = v 0, ce qui signifie que A appartient à l écoulement uniforme. Si L est la frontière entre une onde simple et un écoulement uniforme, cette courbe doit donc être confondue avec une caractéristique. 5) On suppose que L, qui doit être un courbe caractéristique, est ici une C +. Montrer que toutes les C + de l onde simple adjacente sont des droites le long desquelles la solution (u, v) est invariante. Soit deux points A et B appartenant à une même C + de l onde simple. On peut donc écrire J + (u A, v A ) = J + (u B, v B ). Par définition de l onde simple les points A et B sont connectés à la région uniforme par deux C qui coupent L respectivement en E et en F. On peut alors écrire J (u A, v A ) = J (u B, v B ) dans la mesure où J (u A, v A ) = J (u E, v E ) et J (u B, v B ) = J (u F, v F ) et où u E = u 0 = u F et v E = v 0 = v F dans la région uniforme. On a donc u A = u B et v A = u B le long d une C + de l onde simple. Comme la pente est constante, ces C + sont des droites. 3 Onde simple de détente centrée Dans un canal de direction e x, une écluse située en x = 0 à t = 0 est dotée brutalement de la vitesse uniforme u f < 0 et tire ainsi un fluide situé à sa droite, initialement au repos et de profondeur ζ 0 = h 0. On utilise la modélisation de l onde simple de détente centrée (région ) séparant une région d écoulement uniforme de vitesse u f < 0 adjacente à l écluse mobile (région ) de la région
34 PCM-XINP thu-acpc3 (004), O. Thual January 5, 0 d écoulement uniforme à vitesse nulle (région 0). t ζ ζ 0 x h 0 h 0 h 0 x=u f t t Région x= (c +u f ) t Région Région 0 x=c 0 t C x 6) Montrer que la région est délimitée par les deux droites d équations x = c 0 t et x = (c + u f ) t, avec c 0 = gh 0 et c = gζ. La région est une onde simple car adjacente à un écoulement uniforme. Les C + sont donc des droites d équation x = (u + c)t. Les droites x = c 0 t et x = (c + u f )t délimitent donc la région. 7) En reliant les régions et 0 par des courbes caractéristiques, montrer que ζ = ( g c0 + u ) f. Le long d une C, l expression de l invariant de Riemann J conduit à l égalité J = u f gζ = gζ 0 ce qui entraîne gζ = c 0 + u f et donc ζ = ( c0 + u ). f g 8) Montrer que dans la région correspondant à l onde centrée, on a u(x, t) = ( x 3 t c ) ( 0 et gζ(x, t) = x 3 t + c ) 0. Dans l onde centrée on a { x = [u(x, t) + c(x, t)]t équation d une C + u(x, t) c(x, t) = c 0 invariance de J On en déduit u(x, t) = x 3 t 3 c 0 et c(x, t) = x 3 t + 3 c 0 avec c = gζ. 4 Calcul des trajectoires On cherche à déterminer les trajectoires des particules fluides pour les deux problèmes d onde de détente ci-dessus. 9) Montrer que l équation des trajectoires dans la région de ( l onde simple revient à résoudre l équation ẋ = ax/t + b avec (a, b) = 3, 3 0) c.
4. CALCUL DES TRAJECTOIRES 35 Les trajectoires x(t) des particules ( fluides sont les solutions de l équation ẋ(t) = u[x(t), t]. Comme u(x, t) = x 3 t c ) 0, on doit résoudre ẋ = ax/t + b avec (a, b) = ( 3, 3 c 0). 0) Montrer que la solution de l équation ( ẋ = ) ax/t ( ) + b avec la condition a initiale x(t 0 ) = x 0 s écrit x(t) = x 0 + b a t t 0 t 0 b a t. On utilise ici la méthode de variation de la constante. La solution de l équation homogène ẋ ax/t = 0 est x = K t a. Une solution particulière x p (t) = K(t) t a est obtenu en résolvant Kt a = b ce qui conduit à K(t) = b a t a+ et donc x p (t) = b a t. La solution générale s écrit donc x(t) = K ta maintenant une constante dépendant de la condition initiale. b a t où K est ) Représenter schématiquement les trajectoires et les caractéristiques dans un plan (x, t). Dans les régions 0 et, les trajectoires sont des droites correspondant respectivement aux vitesses u 0 = 0 et u = u f. Les courbes x(t) = (x 0 + c 0 t 0 ) ( ) 3 t t 0 c 0 t de la région connectent ces deux types de droites. x=u f t t x= (c +u f ) t 0 x=c 0 t ) Calculer l équation des courbes caractéristiques C dans la région de l onde simple. L équation d une C dans l onde simple s obtient en résolvant ẋ = u c = ( 3 x/t 4 3 c 0. ) Les ( C ) passant par (x 0, t 0 ) admettent donc pour équation x(t) = a x 0 + b a t t 0 t 0 b a t avec a = 3 et b = 4 3. C x
36 PCM-XINP thu-acpc3 (004), O. Thual January 5, 0
PCM 4 Choc droit pour un gaz parfait polytropique FICHE SIGNALÉTIQUE Petite Classe Multimedia (PCM) Titre : Choc droit pour un gaz parfait polytropique Auteur : O. THUAL, INPT Référence : PCM-XINP thu-acpca (004) Mois de création : juin 004 Mise à jour : January 5, 0 URL multimedia : http://www.enseeiht.fr/hmf/enseignants/thual/ Niveau : Master I ou II Enseignement : Petite classe de h Animations : néant Mots clés : choc droit, relations d Hugoniot droite de Rayleigh RÉSUMÉ Cette Petite Classe indique comment établir les relations de saut du choc droit dans le cas d un gaz parfait polytropique. NOTATIONS a Vecteur quelconque 37
38 PCM-XINP thu-acpca (004), O. Thual January 5, 0 A Vecteur Flux rentrant A Tenseur d ordre a b Produit scalaire des a et b A b Produit contracté de A et b b Valeur de b en amont du choc b Valeur de b en aval du choc [b] = b b Saut de b au travers du choc div A Divergence de A : = A i, i div A = C Divergence de A de composante C i = A ij, j D Domaine quelconque D Frontière de D da Élément d intégration surfacique (m ) dω Élément d intégration volumique (m 3 ) e Énergie interne spécifique (J kg ) E(ρ, s) Loi d état de l énergie interne (J kg ) e x, e y, e z Vecteurs de base (m) F Densité volumique des forces extérieurs (N m 3 ) F (x, t) Champ quelconque h Enthalpie spécifique (J kg ) n Vecteur unitaire normal sortant (m) N Normal au choc p Champ de pression (Pa) P(ρ, s) Loi d état de la pression (Pa) P F Production volumique de F q Vecteur flux de chaleur (W m 3 ) r c Production volumique de chaleur (W m 3 ) s Entropie spécifique (J K kg ) t Temps (s) U(x, t) Champ de vitesse (m s ) W = W N Vitesse de la surface de discontinuité (m s ) x = (x, y, z) Coordonnées spatiales (m) δ δt Opérateur dérivée pour un domaine fixe (s ) ρ Masse volumique (kg m 3 ) σ Tenseur des contraintes (Pa) Σ(t) Surface de discontinuité τ Tenseur des contraintes visqueuses (Pa)
39 ÉLEMENTS DE COURS Équations de saut dans le cas général On considère un domaine D(t) animé du mouvement U(x, t). On note n le champ de vecteurs normaux à la surface D(t). Ce domaine est traversé par une surface Σ(t) qui sépare le domaine D(t) en deux sous-domaines D (t) et D (t) et dont la vitesse propre est W (x, t). On note N la normale à Σ(t) orientée par convention de vers. D(t) n W D (t) Σ(t) N D (t) On suppose que F (x, t), A(x, t) et U(x, t) sont des fonctions continuement différentiables dans le complémentaire de la surface Σ(t) où des discontinuités peuvent être observées. On note [G](x, t) = G (x, t) G (x, t) le saut (éventuellement nul) de la grandeur G à travers la surface de discontinuité Σ(t). On montre que si l équation de bilan d F (x, t) dω A(x, t) n da = P F dω (4.) dt D(t) D(t) D(t) est vraie pour tous les domaines D(t) on peut alors écrire le duo bilan local / relation de saut F t + div (F U A) = P F en dehors de Σ [ ] F (U W ) A N = 0 sur Σ. (4.) Dans le cas d une grandeur vectorielle on passe de l équation d G dω = A n da + P dt G dω (4.3) D(t) D(t) D(t) au duo bilan local / relations de sauts t G + div (G U A) = P G en dehors de Σ(t)
40 PCM-XINP thu-acpca (004), O. Thual January 5, 0 [ ] G (U W ) A N = 0 sur Σ(t). (4.4) Il suffit en effet d écrire le duo bilan local / relation de saut valide pour le scalaire F pour chacune des composantes de G et de revenir à une notation intrinsèque. Lois de conservation de la mécanique On peut maintenant écrire les duos bilan local / relations de sauts pour la loi de conservation de la masse (F, A, P F ) = (ρ, 0, 0), pour la loi de conservation de la quantité de mouvement (G, A, P G ) = (ρ U, σ, ρf ) et pour la loi de conservation de l énergie totale (F, A, P F ) = [ρ(e + ] U ), σ U q, ρf U + r c. (4.5) Les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement entraînent respectivement les relations ρ [ ] t + div (ρ U) = 0, ρ(u W ) N = 0 [ ] t (ρu) + div (ρ U U σ) = ρ F, ρ U(U W ) σ N = 0. La loi de conservation de l énergie totale entraîne [ ρ (e + )] [ t U + div ρ (e + ) ] U U σ U + q [ ρ (e + U ) (U W ) σ U + q = ρ F U + r c ] N = 0. (4.6) Le duo inégalité locale / inégalité de saut traduisant le second principe à l aide du triplet (F, A, P F ) = (ρs, q/t, r c /T ) conduit à la la formulation globale : ( ) (ρ s) + div t T q r c [ρ s(u W ) T ] T q N 0. (4.7) ÉNONCÉ DE PETITE CLASSE Équations de saut pour le choc droit ) Écrire les trois relations de saut pour les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l énergie totale dans le cas particulier τ = 0, F = 0, q = 0 et r c = 0.
. ÉQUATIONS DE SAUT POUR LE CHOC DROIT 4 U U N Dans le cas particulier [ τ ] = 0, F = 0, q = 0 et r c = 0 les relations de saut s écrivent ρ(u W ) N = 0 pour la loi de conservation de la masse, [ ] ρ U(U W ) N + [p]n = 0 pour la loi de conservation de quantité de mouvement et ρ ( e + U ) ] [ (U W ) p U N = 0 pour la loi de conservation de l énergie totale. ) On considère maintenant le cas du choc droit U = Ue x et on note v = (U W ) N et v = (U W ) N. Montrer que les trois relations de saut entraînent les trois relations ρ v = ρ v, p + ρ v = p + ρ v et h + v = h + v avec h = e + p/ρ. Dans le cas du choc droit, on obtient ρ v = ρ v =: m pour la loi de conservation de la masse. En utilisant U = v + W et U = v + W, la loi de conservation de la quantité de mouvement ρ U v + p = ρ U v + p devient ρ v +ρ v W +p = ρ v +ρ v W +p. En utilisant la loi de conservation de la masse, cette( relation devient ρ v + p = ρ v + p. La loi de conservation de l énergie ρ e + U ) ( v + p U = ρ e + U ) v + p U s écrit, ( ρ v e + v + v W + W + p ) ρ = ρ v ( e + v + v W + W + p ρ + p W ) + p W, ce qui entraîne, en utilisant la conservation de la masse, ( m e + v + p ) ( + W (p + ρ v ρ ) = m e + v + p ) + W (p + ρ v ρ ). En utilisant la conservation de la quantité de mouvement, cette relation devient e + v + p ρ = e + v + p ρ. 3) À partir du second principe, montrer que s s dans le cas du choc droit en orientant la normale N (choix des milieux et ) de telle sorte que m = ρ v = ρ v > 0. [ ] Dans le cas particulier q = 0 et r c = 0, la relation de saut est ρ s(u W ) N 0. Pour le choc droit, cette inégalité s écrit ρ v s ρ v s ou encore m(s s ) 0 en utilisation la conservation de la masse. Si on suppose m > 0, le second principe entraîne donc s s.
4 PCM-XINP thu-acpca (004), O. Thual January 5, 0 Choc droit pour un gaz parfait polytropique Nous sommes donc en présence des 3 équations de bilan ρ v = ρ v (masse), p + ρ v = p + ρ v (quantité de mouvement) et h + v = h + v (énergie totale) auxquelles nous devons ajouter les 4 lois d état p = p(ρ, s ) et h = h(ρ, s ) pour le milieu et p = p(ρ, s ) et h = h(ρ, s ) pour le milieu. Ces 7 équations relient entre elles les 0 quantités que sont (ρ, s, p, h, v ) pour le milieu et (ρ, s, p, h, v ) pour le milieu. Il y a donc 3 degrés de liberté pour l étude du choc droit. L inégalité s s est une contrainte supplémentaire dont il faut tenir compte. La donnée de U ou bien de U permet de fixer la vitesse du choc W une fois v ou bien v connu. Nous allons résoudre ce système à trois degrés de liberté pour le cas du gaz parfait polytropique. 4) On considère un gaz parfait polytropique : p = ρrt, C v = r/(γ ), C p = γr/(γ ), e = C v T, h = C p T, c = γrt, p = B(s)ρ γ, s = C v Ln (pρ γ )+ s ref, etc. On note M = v /c et M = v /c les nombres de Mach relatifs. Exprimer les 3 relations de saut en ne faisant apparaître que les 6 variables (ρ, c, M ) et (ρ, c, M ). Constater qu il reste toujours 3 degrés de liberté. Les trois relations de saut ρ v = ρ v, p + ρ v = p + ρ v et h + v = h + v s écrivent c ρ M c = ρ M c, ρ γ + ρ M c = ρ c γ + ρ M c, et C p T + M c = C p T + M c, en encore, en ne gardant que les 6 variables (ρ, c, M ) et (ρ, c, M ) pour les 3 relations, ρ M c = ρ M c, ρ c ( + γ M ) = ρ c ( + γ M ), et c ( + γ M ) ( = c + γ M ). 5) Éliminer les variables ρ et c pour établir la relation f(m ) = f(m ) avec f(x) = X ( + γ X ) ( + γx). (4.8)