Eercices Chaitre 3-85-84 Microéconomie QUESTION Soit trois consommateurs aant les fonctions d'utilité suivantes: 3 4 u (, )= 8 3 u (, )= (, ) = 3 /6 u3 Chacun d'eu disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Si ces consommateurs maimisent leur utilité sous contrainte, quelles seront leurs fonctions de demande resectives? b) À artir des fonctions de comortement calculées en a), que ouve-vous conclure quant au références de ces trois consommateurs? c) Pour le consommateur, quel est le ri relatif ersonnel du bien, erimé en terme du bien? À quoi cela corresond-il? Illustre grahiquement.
QUESTION Les références d'un consommateur sont rerésentées ar la fonction d'utilité u =. Il disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Trouve les fonctions de demande Hicksiennes = h (,,u ) et = h (,,u ). ^ ^ b) Trouve la fonction de déense e (,,u ). - c) Montre que la fonction de déense est homogène de degré dans les ri. d) Utilise le lemme de Shehard our trouver les fonctions de demande comensée. e) Quel sera l'équilibre du consommateur (, ), si R = 00 $, = 3 $ et = $. Illustre grahiquement cet équilibre. f) Si asse à 6 $ alors que et R restent constants, comment le choi otimal du consommateur sera-t-il modifié? Que rerésente le assage de e) à f)? En aelant (, ) les nouvelles valeurs rises ar et, illustre ce changement sur le grahique récédent. g) Partant de la situation d'équilibre trouvée en e), comment le choi du consommateur seraitil modifié si assait à 6 $, en suosant que son niveau d'utilité reste le même? Le consommateur eut-il garder le même niveau de satisfaction comte tenu de son revenu? Que rerésente le assage de e) à g)? En aelant ( 3, 3 ) les nouvelles valeurs calculées our et, illustre ce changement grahiquement.
3 QUESTION 3 L'utilité d'un consommateur est donnée ar la fonction u = + +. La maimisation de son utilité sous contrainte ermet de trouver les demandes Marshalliennes suivantes: = d = d ( (,,,, R ) = R ) = R - + R + - a) Trouve K, la matrice de Slutsk. b) La matrice K vérifie-t-elle les deu roriétés suivantes: i) smétrie: K K ; ii) homogénéité: K 0. Donne l'interrétation économique de chacune de ces roriétés. c) Les biens et sont-ils comlémentaires ou substituts? Pourquoi? d) Elique ourquoi les éléments de la diagonale sont négatifs. e) Quelle est la fonction d'utilité indirecte de ce consommateur?
4 QUESTION 4 Soit trois consommateurs aant les fonctions d'utilité suivantes : u (, ) = 4 u (, ) = / u 3 (, ) = /3 3 Chacun d'eu disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Si les consommateurs maimisent leur utilité sous contrainte, quelles seront leurs fonctions de demande resectives? b) Comare les fonctions de comortement calculées en a). Que remarque-vous et comment l'elique-vous? c) Pour le consommateur 3, quel est le ri relatif ersonnel du bien erimé en terme du bien? À quoi cela corresond-il? Calcule les ri relatifs ersonnels dans les cas articuliers où il osséderait initialement les aniers de biens suivants : (, ) = (, 6) (, ) = (3, 3) (, ) = (6, ) Illustre grahiquement.
5 QUESTION 5 L'utilité d'un consommateur est donnée ar la fonction u(,, ) = ( + ). La maimisation de son utilité sous contrainte ermet de trouver les demandes Marshalliennes suivantes : 3 4 R - = 3 R + = 3 R + = La matrice de Slutsk est la suivante : + + + + + + = 9 4 9 9 9 9 9 4 R R R R K K R K R K a) Trouve les éléments manquants de la matrice de Slutsk. b) La matrice K vérifie-t-elle les deu roriétés suivantes : i) smétrie : K K ii) homogénéité : K 0 Donne l'interrétation économique de chacune de ces roriétés. c) Les biens et, et, et et sont-ils comlémentaires ou substituts? Pourquoi? d) Les éléments de la diagonale sont-ils tous négatifs? Si oui, elique ourquoi.
6 e) Quelle est la fonction d'utilité indirecte de ce consommateur? f) Elique sous quelles conditions la ente de la fonction de demande our un bien eut être ositive, à l'aide de l'équation de Slutsk. De quel te de bien s'agit-il alors? Donne un eemle. QUESTION 6 Les références d'un consommateur sont rerésentées ar la fonction d'utilité u =. Il disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Trouve les fonctions de demande Hicksiennes = h (,,u ) et = h (,,u ). b) Trouve la fonction de déense e (,,u ). c) Montre que la fonction de déense est homogène de degré dans les ri. d) Utilise le lemme de Shehard our trouver les fonctions de demande comensée. e) Quel sera l'équilibre du consommateur (, ), si R = 0 $, = 5 $ et = 5 $. Illustre grahiquement cet équilibre. f) Si asse à 0 $ alors que et R restent constants, comment le choi otimal du consommateur sera-t-il modifié? Que rerésente le asse de e) à f)? En aelant (, ) les nouvelles valeurs rises ar et, illustre ce changement sur le grahique récédent. g) Partant de la situation d'équilibre trouvée en e), comment le choi du consommateur seraitil modifié si assait à 0 $, en suosant que son niveau d'utilité reste le même? Le consommateur eut-il garder le même niveau de satisfaction comte tenu de son revenu? Que rerésente le assage de e) à g)? En aelant ( 3, 3 ) les nouvelles valeurs calculées our et, illustre ce changement grahiquement. h) Sur un grahique mettant en relation le ri et les quantités consommées du bien, illustre le niveau de consommation initial et les deu niveau de consommation calculés en f) et g), resectivement et 3. Identifie la courbe qui relie à et celle qui relie à 3. ^ ^
7 QUESTION 7 Soit trois consommateurs aant les fonctions d'utilité suivantes : u (, ) = 3 /3 u (, ) = ½ 4 u 3 (, ) 3 = 7 Chacun d'eu disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Détermine les fonctions de demande = ξ (,, R) et = ξ (,, R) de chacun de ces consommateurs. b) Comare les fonctions de comortement calculées en a). Que ouve-vous conclure quant au références de ces consommateurs? c) Quelle est la fonction d'utilité indirecte du consommateur? d) Utilise l'identité de Ro our retrouver les fonctions de demande du consommateur à artir de la fonction d'utilité indirecte calculée en c). e) Pour le consommateur, à quoi corresond le ri relatif ersonnel du bien erimé en terme du bien? Calcule les ri relatifs ersonnels dans les cas articuliers où il osséderait initialement les aniers de biens suivants : (, ) = (5, 5) (, ) = (8, ) f) Toujours our le consommateur, quelles sont les quantités d'équilibre des deu biens ( et ) si R = 45, = 3 et = 5? g) L'équilibre trouvé en f) resecte-t-il la condition d'équilibre TMS=- /? h) Trouve K, la matrice de Slutsk, associée à la fonction de comortement du consommateur.
8 i) La matrice K obtenue en h) satisfait-elle au roriétés suivantes: ) smétrie : K K ) homogénéité : K 0 Donne l'interrétation économique de chacune de ces roriétés. j) Les biens et sont-ils comlémentaires ou substituts? Ce résultat vous surrend-t-il? k) Elique ourquoi les éléments de la diagonale sont négatifs. Quel renseignement cette roriété fournit-elle à roos des demandes comensées des deu biens? QUESTION 8 Les références d'un consommateur sont rerésentées ar la fonction d'utilité u = 6. Il disose d'un revenu R et fait face au ri et. a) Trouve les fonctions de demande Hicksiennes = h (,,u ) et = h (,,u ). b) Trouve la fonction de déense e (,,u ). Que signifie-t-elle? c) Montre que la fonction de déense est homogène de degré dans les ri. d) Utilise le lemme de Shehard our retrouver les fonctions de demande comensée. e) Quel sera l'équilibre du consommateur (, ), si R = 40 $, = 4 $ et = 6 $? f) Si asse à 5 $ alors que et R restent constants, comment le niveau de satisfaction du consommateur est-il modifié? Quel est son nouveau choi otimal? Que rerésente le assage de e) à f)? Illustre grahiquement le assage de e) à f) en notant les nouvelles valeurs rises ar et (, ). g) Partant de la situation d'équilibre trouvée en e), comment le choi du consommateur seraitil modifié si assait à 5 $, en suosant que son niveau d'utilité reste le même? Quel revenu ermettrait au consommateur de garder le même niveau d'utilité? Que rerésente le assage de e) à g)? Illustre grahiquement le assage de e) à g), en notant les nouvelles valeurs rises ar et (, ).) Donne l interrétation économique de chacune de ces roriétés. j) Les biens et sont-ils comlémentaires ou substituts? Ce résultat vous surrend-t-il? ^ ^
9 QUESTION 9 Soit trois consommateurs aant les fonctions d'utilité suivantes : u (, ) = 4 u (, ) = 3 u 3 (, ) = Chacun d'eu disose d'un revenu R et fait face au ri et. 3 a) Si les consommateurs maimisent leur utilité sous contrainte, quelles seront leurs fonctions de demande resectives? b) Comare les fonctions de comortement calculées en a). Que remarque-vous et comment l'elique-vous? c) Pour le consommateur 3, quel est le ri relatif ersonnel du bien erimé en terme du bien? À quoi cela corresond-il? Calcule les ri relatifs ersonnels dans les cas articuliers où il osséderait initialement les aniers de biens suivants : (, ) = (, 6) (, ) = (3, 3) (, ) = (6, ) Illustre grahiquement
0 QUESTION 0 Soit deu consommateurs aant les fonctions d utilité suivantes : u (, ) = 00 u (, ) = 000 a) Si ces consommateurs maimisent leur utilité en tenant comte de leur contrainte budgétaire, quelles seront leurs fonctions de demande resectives? b) À artir des fonctions de comortement calculées en a), que ouve-vous conclure quant au références de ces deu consommateurs? c) Pour le consommateur, quel est le ri ersonnel du bien erimé en terme du bien? À quoi cela corresond-il? Calcule ce ri relatif ersonnel our les quatre aniers de biens suivants : o o (, ) = (,8) (, ) = (4,4), (, ) = (6,6), et (, ) = (6,). Illustre sur un même grahique. 3 3
QUESTION Les références de Marianne sont rerésentées ar la fonction d utilité u(, ) = + +. a) Calcule, si ossible, les fonctions de demande de Marianne. b) Illustre grahiquement son choi otimal. Note : Avant de résoudre ce roblème, il ourrait s avérer utile d aliquer une transformation monotone croissante à la fonction u. QUESTION Les références de Philie sont rerésentées ar la fonction d utilité u(, ) = 3. a) Lorsque Philie consomme le meilleur anier qu il uisse obtenir, quelle art de son revenu consacre-t-il à la déense du bien? b) Des membres de la famille de Philie ont des fonctions d utilité similaires mais dont les eosants sont différents ou dont les utilités sont multiliées ar des constantes ositives. a b Si un arent de Philie a comme fonction d utilité u(, ) = c, où c, a et b sont des nombres ositifs, quelle fraction de son revenu ce roche arent de Philie déensera-t-il en bien?
QUESTION 3 Camille se nourrit de ommes et de bananes. Sa fonction d utilité est u (, ) = où et rerésentent, resectivement, la quantité de ommes et de bananes qu il consomme. Le ri des ommes est $, le ri des bananes est $ et son revenu est 40 $ ar jour. Le ri des bananes tombe soudainement à $. a) Avant le changement de ri, combien de ommes et de bananes Camille consomme-t-il ar jour? Faites un grahique. Rerésente en noir la droite de budget de Camille et indique ar A le oint corresondant au anier de consommation choisi. b) Si, arès le changement de ri, le revenu de Camille avait changé de façon à ce qu il uisse se rocurer un anier de consommation qui laisse son niveau de satisfaction inchangé, quel devrait être son nouveau revenu? Avec ce nouveau revenu, quelles quantités de ommes et de bananes Camille devrait-il consommer? Rerésente, en rouge et sur le même grahique, la droite de budget corresondant à ce revenu et ces ri, et indique ar B le oint corresondant au anier que Camille consommerait à ce nouveau revenu et à ces ri. c) L effet de substitution lié à la baisse du ri des bananes le conduit-il à consommer moins ou lus de bananes? Combien en lus ou en moins? d) Arès le changement de ri, combien de ommes et de bananes Camille achète-t-il en réalité? Rerésente en bleu la véritable droite de budget de Camille arès le changement de ri et indique ar C le anier de biens qu il consomme réellement. Indique également l effet de revenu, l effet de substitution et l effet-ri total de la demande de bananes. e) L effet de revenu lié à la baisse du ri des bananes sur la demande de bananes de Camille est-il équivalent à une augmentation ou à une diminution de son revenu? Quel est le montant de cette variation ar jour? L effet de revenu le conduit-il à consommer lus ou moins de bananes? Combien en lus ou en moins? Quel te de bien sont les bananes? f) À cause de l effet de substitution lié à la baisse du ri des bananes, Camille consommet-il lus ou moins de ommes? Combien en lus ou en moins? À cause de l effet de revenu lié à la baisse du ri des bananes, Camille consomme-t-il lus ou moins de ommes? Quel est l effet total du changement de ri des bananes sur la demande de ommes?
3 QUESTION 4 Les références d un consommateur sont données ar la fonction d utilité suivante : u (,,) = ( + ) où,, rerésentent, resectivement, les quantités consommées de chacun des 3 biens. Les ri des biens sont resectivement, et et le consommateur disose d un revenu R. a) Trouve les fonctions de demande Marshallienne = f (,,,R) = f ( = f (,,,, R),,R) b) Calcule la matrice de Slutsk. c) La matrice de Slutsk vérifie-t-elle les deu roriétés suivantes : i) smétrie ii) homogénéité Donne l interrétation économique de chacune de ces roriétés. d) Les biens et, et, et et sont-ils substituts ou comlémentaires? Pourquoi? e) Les éléments de la diagonale sont-ils tous négatifs? Si oui, elique ourquoi. f) Quelle est la fonction d utilité indirecte de ce consommateur?
4 QUESTION 5 Vous lanifie de faire un voage autour du monde. L'utilité que vous retire de votre voage est fonction du montant que vous déense R et donnée ar u(r) = log R Vous disose de 0 000 $ our ce voage. Ainsi, si vous déense tout votre argent, votre utilité sera u(0 000) = log 0 000 = 4 (log en base 0) a) Si la robabilité que vous erdie 000 $ endant ce voage est égale à 5 %, quelle est l'esérance mathématique de l'utilité (utilité «attendue» ou «esérée») de votre voage? b) Suosons que vous ouve acheter une assurance contre ce malheur dont la rime coûte 50 $. Montre que votre utilité sera lus grande si vous achete cette assurance que si vous rene le risque de erdre 000 $. Votre solution doit résenter des calculs et un grahique. c) Quel est le montant maimum que vous serie rêt à aer our cette assurance? QUESTION 6 Un consommateur envisage d'assurer, contre le feu, sa roriété évaluée à 90 000$. Il estime à 0.45 la robabilité que celle-ci soit détruite ar un sinistre et, dans une telle éventualité, sa richesse se limiterait alors à la valeur du terrain, soit 0 000$. Soit E : la roriété est incendiée; et E : la roriété n'est as incendiée. a) Quelle est la richesse esérée (E[W] SA ) du consommateur s'il ne ossède as d'assurance? b) Quelle est l'utilité esérée (E[u(W)] SA ) du consommateur s'il ne ossède as d'assurance? c) Une comagnie d'assurance offre au consommateur une assurance incendie comlète (elle s'engage à rembourser la totalité des dommages W -W ) contre le aiement d'une rime de 5 000 $. Accetera t-il l'offre de la comagnie d'assurance? (Montre, calculs à l'aui, si l'utilité du consommateur sera inférieure ou suérieure à son utilité dans la situation sans assurance.) d) Quelle est la rime maimale que le consommateur serait rêt à aer?
5 QUESTION 7 Soit une économie dont l horion temorel est réduit à deu ériodes : la ériode courante t=0 et la 3 4 ériode future t=. Un consommateur dont la fonction d utilité intertemorelle est u = C 0 C, disose d un revenu courant R 0 = 60$ et d un revenu futur R = 50$. a) Quel tau d intérêt ferait en sorte que ce consommateur ne détienne aucun actif financier? b) Si toutefois, sur les marchés financiers, le tau d intérêt était de 5%, sans effectuer de calculs, dites quelle osition ce consommateur devrait rendre sur les marchés financiers afin de s ajuster? Utilise un grahique our auer votre raisonnement. QUESTION 8 Vous remorte la somme de 500$ lors d un jeu questionnaire. L animateur vous roose de remettre ce montant en jeu contre chance sur 3 de remorter un gros lot de 500$. Si votre fonction d utilité de von Neumann-Morgenstern est u = 6W /3 (où W est votre richesse), a) Remette vous le 500$ en jeu? (résente les calculs aroriés). b) À artir de quel montant de gros lot changerie-vous votre décision rise en a)?