Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017

Niveau : Seconde Fonctions Polynômes 2 nd degré/ Exercices entraînement - correction Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 FP1 Exercice 1 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes On donne les fonctions suivantes : C 4 4 3 C 3 y f(x) = 3x² 5x + 4 g(x) = 2x² +3x 4 h(x) = 2x² 5x -2-1 2 1 0 1-1 2 x i(x) = 3x² +x +2-2 -3 C 2 C 1-4 -5 Toutes les courbes ont des ordonnées à l origine différentes (intersection entre la courbe et l axe des ordonnées). L ordonnée à l origine correspond de plus au coefficient c de l expression d une fonction polynôme du second degré. On associe donc à chaque fonction sa courbe : les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous : Fonction f g h i Coefficient c 4-4 0 2 Courbe C3 C1 C4 C2 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 1

Exercice 2 : Tracer l allure d une courbe à partir des coefficients de la forme réduite On donne la fonction f(x) = 2x² 5x 3 a) Quelle est l orientation de la courbe représentative de f? Justifier. La parabole représentant f est tournée vers le haut car a > 0 (a = 2) b) Quelle est l intersection de la courbe représentative de f avec l axe des ordonnées. C est le point C(0 ; c) avec ici c = -3 : Donc c est C(0 ; -3) c) À partir des 2 informations précédentes, dessiner dans un repère l allure d une courbe possible pour représenter la fonction f Il y a bien sûr plusieurs allures possibles, plus ou moins resserrées, décalée à droite ou à gauche. y y y L essentiel c est de respecter les 2 informations : en U (tournée vers le haut) et passant par (0 ; 3) Voici trois exemples parmi d autres, on ne peut avoir une représentation exacte qu avec les 2 autres formes ou un tableau de valeurs d) e) f) g) h) i) 1 0 1 x 1 0 1 x 1 0 1 Exercice 3 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes (bis) On appelle a le coefficient en x². a) Pour f, a est positif (a = 2), donc sa courbe est «en U» («tournée vers le haut») : c est la courbe C2. Pour g, a est négatif (a = 2), donc sa courbe est «en pont» («tournée vers le bas») : c est la courbe C1. b) Pour h, a est négatif (a = 3), donc sa courbe est «en pont» («tournée vers le bas») : c est la courbe C4. Pour i, a est positif (a = 1), donc sa courbe est «en U» («tournée vers le haut») : c est la courbe C3. FP2 Exercice 1 : Etude des variations sans tracer la courbe! On considère la parabole P représentative de la fonction f définie par f(x) = -3x² + 2x + 2. a) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole P Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (α ; β) avec α = b Les coefficients de la fonction sont ici : a = -3 ; b = 2 et c = 2 donc α = Et β = f( 1 3 ) = -3 (1 3 )2 + 2 1 3 + 2 soit β = -1 3 + 2 3 + 6 3 = 7 3 Le sommet S a donc pour coordonnées ( 1 3 ; 7 3 ). 2a et β = f(α) 2 2 ( 3) = soit α = 2 6 = 1 3 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 2

b) Quelles sont les variations de f? Comme a < 0, la fonction est d abord croissante, puis décroissante. Elle admet donc un maximum égale à 7 3 pour x = 1. On a donc le tableau de variation suivant : 3 x α = 1 3. + f(x) = -3x² + 2x + 2 β = 7 3 c) A l aide de la calculatrice, on vérifie les résultats en traçant la courbe représentative de f avec une fenêtre d affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -4 ; Ymax = 3 (le maximum valant environ 2,33) Exercice 2 : un autre exemple Soit g la fonction définie par la relation : g(x) = 4x² + 4x 1 a. Dresser le tableau de variation de la fonction g. Ici les coefficients sont a = -4 ; b = 4 et c = -1 Comme a < 0, la fonction est d abord croissante, puis décroissante. 4 4 Elle admet donc un maximum en α = = soit α = = 1 2 ( 4) 8 2 Et ce maximum vaut β = g( 1 ) = -4 2 (1 2 )2 + 4 1-1 soit β = -1 + 2 1 = 0 2 On a alors le tableau de variation suivant pour la fonction g x α = 1 2. + g(x) = -4x² + 4x - 1 β = 0 A l aide de la calculatrice, on peut vérifier les résultats en traçant la courbe représentative de g avec une fenêtre d affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -6 ; Ymax = 1 (le maximum valant 0) Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 3

b. Justifier que la fonction g s annule en une unique valeur qu on précisera. La fonction g s annule en une unique valeur x = 1. En effet, 0 correspond au maximum pour g et est obtenu 2 en une unique valeur de x. Cela correspond au sommet de la parabole S( 1 2 ; 0). On aurait pu aussi transformer l expression de g(x) de la manière suivante afin de faire apparaître une identité remarquable : g(x) = -4(x² - x + 1 4 ) = -4(x - 1 2 )² Et g(x) = 0-4(x - 1 2 )² = 0 g(x) = 0 (x - 1 2 )² = 0 g(x) = 0 x - 1 2 = 0 g(x) = 0 x = 1 2 La fonction g s annule donc bien pour une unique valeur x = 1 2 Exercice 3 : Forme canonique On considère la fonction : f : x x²+4x+1 : 1. Etablir l égalité : f(x) = (x + 2)² 3 f(x) = x²+4x+1 = (x² + 4x + 4) 4 + 1 f(x) = (x + 2)² - 4 + 1 f(x) = (x + 2)² - 3 2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ] ; 2] f(x) est mis sous la forme canonique au 1. Soit f(x) = (x α)² + β avec donc α = -2 et β = -3 Comme a = 1 > 0, la fonction f est d abord décroissante sur l intervalle ] ; 2]. b. Dresser, sans justification, son tableau de variation. x α = -2 + f(x) = x² + 4x + 1-3 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 4

c. Donner les caractéristiques de l extremum de la fonction f. La fonction f admet un minimum égal à -3 atteint en x = -2. Ceci correspond au sommet S(-2 ; -3) de la parabole représentant S. 3. a. Compléter le tableau ci-dessous de valeurs de la fonction f : A l aide des fonctionnalités de la calculatrice on remplit rapidement le tableau de valeurs ci-dessous (réglage Start : -5 ; End : 1 et Step : 0,5) x -5-4 -3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 1 f(x) 6 1-0,75-2 -2,75-3 -2,75-2 -0,75 1 6 On visualise bien dans ce tableau de valeur la symétrie par rapport à la valeur x = α = -2 b. Tracer la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous. Voir correction en page suivante L axe de symétrie est la droite verticale d équation x = -2 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 5

FP3 Exercice 1 : Optimisation d aire. Soit ABCD un rectangle de dimension 6 cm et 4 cm. On considère les points E et G, situés hors du rectangle ABCD, appartenant respectivement aux demi-droites [AB) et [AD) et le point F tels que le quadrilatère AGFE est un rectangle. On note x et y les deux distances suivantes : x = DG ; y = BE On impose aux points E et G de former un rectangle AEFG dont le périmètre est de 28 cm. 1. a. Montrer que la longueur y s exprime en fonction de x par : y = 4 x Le périmètre doit être égal à 28 donc on doit avoir 2(6 + x) + 2(y + 4) = 28 Soit 12 + 2x + 2y + 8 = 28 Et donc 20 + 2x + 2y = 28 2y = 8 2x Et donc y = 4 x (en divisant par 2 les 2 membres de l égalité) b. En déduire les valeurs possibles de x. y doit être positif et il faut donc 4 x > 0 soit 4 > x ou x < 4. De plus x doit aussi être positif et on a donc 0 < x < 4 ce qui s écrit encore x ]0 ; 4[ On note A l aire de la partie hachurée (celle du polygone BEFGDC). 2. Etablir que l aire de la partie hachurée s écrit en fonction de x est obtenue par l égalité : A(x) = -x² + 2x + 24 L aire de la partie hachurée vaut A(x) = aire(aefg) aire(abcd) Soit A(x) = (x + 6)(y + 4) 6 4 avec y = 4 x comme on l a vu à la question 1. Donc A(x) = (x + 6)(4 x + 4) 24 A(x) = (x + 6)(8 x) 24 En développant : A(x) = 8x x² + 48 6x 24 Et on a donc A(x) = -x² + 2x + 24 3. Dresser le tableau de variation de la fonction A sur. Les coefficients de A(x) sont : a = -1 ; b = 2 et c = 24. Comme a < 0, la fonction est d abord croissante puis décroissante. 2 A admet donc un maximum pour x = α = = 1. Ce maximum vaut β = f(1) = -1² + 2 1 + 24 = 25 2 ( 1) On a alors le tableau de variation suivant pour A : Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 6

x α = 1 + β = 25 A(x) = -x² + 2x + 24 4. Etudions les valeurs extrêmes prises par l aire hachurée de cette figure : a. Quelle est l aire maximale de la partie hachurée? Pour quelles valeurs de x est-elle atteinte? D après l étude des variations de A, on en déduit que l aire maximale de la partie hachurée vaut 25 cm² et que ce maximum est atteint pour une unique valeur de x égale à 1 cm? b. Quelle est l aire minimale de la partie hachurée? Pour quelle valeur de x ce minimum est-il réalisé? x varie sur l intervalle ]0 ; 4[ et on a f(0) = 24 ; f(4) = -4² + 2 4 + 24 = 16. L aire minimale est donc de 16 cm² et est atteinte lorsque x = 4 cm. Encore une fois les résultats peuvent être vérifiés à l aide de la calculatrice graphique en réglant une fenêtre d affichage comme ceci : Xmin : 0 ; Xmax : 4 ; Ymin : 15 et Ymax : 26 Exercice 2 : 100 mètres de clôture On veut construire le long d un bâtiment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10m. Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d une allée de 3m de large comme l indique le croquis ci-dessous. L ensemble est clôturé sur les trois côtés [AB], [BC] et [CD]. On s intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD. On note x et y les dimensions en mètres de l aire de jeu (la valeur de x et de y sont nécessairement positifs). 1. Exprimer la longueur L de la clôture en fonction des valeurs des valeurs de x et de y. Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 7

On a L = 2(x + 3) + y + 6 soit L = 2x + y + 12 2. On dispose de 100 mètres de clôture qu on souhaite entièrement utiliser : a. Exprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonction de x. On veut donc L = 100 et on a donc 2x + y + 12 = 100 soit encore y = 100 12 2x Et alors y = 88 2x b. Justifier que la valeur de x doit être inférieure à 44. On doit avoir y > 0 (c est une longueur) donc comme y = 88 2x on doit avoir 88 2x > 0 Soit 88 > 2x et donc 44 > x C est-à-dire x doit être inférieur à 44 c. Justifier que l aire de jeux a pour aire : A(x) = 88x 2x² A(x) = x y = x(88 2x) Donc A(x) = 88x 2x² 3. Dresser le tableau de variation de la fonction A sur l intervalle ]0 ; 44[. Les coefficients de la fonction A sont : a = -2 ; b = 88 et c = 0. Comme a < 0, la fonction A est d abord croissante puis décroissante. Elle admet donc un maximum β atteint pour x = α = b 2a 88 Donc α = 2 ( 2) Et β = A(22) = 88 22 2 22² et β = 968 On a donc le tableau de variation suivant : x 0 22 44 β = 968 A(x) = 88x 2x² 0 0 4. En déduire les dimensions afin que les 100 mètres de clôtures soient utilisés et que l aire de jeu soit maximale. Pour que les 100 m de clôture soit utilisés, il faut donc donner à x la valeur 22 m Et alors y = 88 2 22 = 44 m. FP4 Exercice : Associer représentation graphique et expression de la fonction On a représenté ci-dessous 3 fonctions homographiques dans un même repère : f(x) = 2x 3 x+2 x g(x) = 2x 5 2x h(x) = 3x+12 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 8

Fonction h Fonction f Fonction g Associer chaque représentation graphique à la fonction représentée en expliquant tes choix. Pour associer les fonctions aux courbes, il suffit de regarder pour quelle valeur de x les fonctions n ont pas d image (valeur interdite) : Pour f : il faut x + 2 0 soit x -2 Pour g : il faut 2x - 5 0 soit x 2,5 Pour h : il faut 3x + 12 0 soit x -4 Fonctions polynôme 2 nd degré / Exercices entraînement - correction 9