Automatique 1 Zhongliang LI zhongliang.li@univ-amu.fr Année : 16-17
Réponse fréquentielle des systèmes
Définition La réponse fréquentielle d un système est la réponse de celui-ci à un entrée sinusoïdale. Réponse temporelle : le temps de réponse, le dépassement Réponse fréquentielle : à quoi peut bien servir de connaître la réponse fréquentielle d un système??? Il existe des méthodes graphiques liées au domaine fréquentiel bien adaptées à l analyse des caractéristiques des systèmes linéaires.
Réponse d un système à une sinusoïde st S.sin t e(t) E.sin t Entrée e(t) Système Sortie s(t) La réponse de ce système à une sinusoïde. Cette réponse est caractérisée par deux paramètres : Le gain : Gain S E Le déphasage : Déphasage Ces deux paramètres dépendent de la pulsation de l entrée
Réponse d un système à une sinusoïde st S.sin t e(t) E.sin t Entrée e(t) Système Sortie s(t) On fait le lien entre la fonction de transfert et la réponse du système fonction de transfert S(p) T(p) E(p) On peut montrer que : S E T(j ) arg T j on remplace la variable de Laplace p par j
Réponse d un système à une sinusoïde S E T(j ) arg T j Il existe trois types de représentations graphiques : BODE se représente sous la forme de deux courbes T(jω en fonction de ω (abscisses logarithmiques) φ = arg T jω en fonction de ω (abscisses logarithmiques) NYQUIST représente T(jω dans le plan complexe. La courbe est graduée en ω. BLAC aussi appelé NICHOLS représente T(jω en fonction de φ. La courbe est graduée en ω.
Propriétés fréquentielles et Définitions Gain en décibels (db) T(jω db = log 1 [ T(jω ] Exemple : Si pour une pulsation donnée, ω, on trouve un gain de alors les relations : T j T j log db 1 T j 6dB Décade C est l intervalle tel que ses deux bornes ont distantes d un rapport 1. Exemple : Soit un intervalle de pulsations ω 1, ω. On dira que ω est à une décade de ω 1 si ω ω 1 = 1. Gain statique Gain lorsque ω. Celui-ci doit être fini. Si ça n est pas le cas, on ne peut pas parler de gain statique.
Propriétés fréquentielles et Définitions Bande passante BP Intervalle de pulsations délimité par la pulsation à laquelle l amplitude devient ou encore pulsation à laquelle devient db 3dB. Pulsation de coupure La pulsation à laquelle l amplitude devient 3 db en dessous du gain statique. Résonance M Gain maximum pour une pulsation ω R. Celui-ci est en général supérieur à. Pulsation de résonance ω R Pulsation à laquelle se produit la résonance Pente à l infini p Elle est significative du comportement haute fréquence du système. La pente p sera exprimée soit en multiple de db/décade soit par un entier relatif. Si la pente est de k db/décade, on pourra abréger en disant qu on a une pente k.
Propriétés fréquentielles et Définitions Exemple: 1 Amplitude M db db 3dB -1 - -3-4 -5-6 -7 p Questions : Situer sur la courbe et donner les valeurs en db : du gain statique de la résonance de la pulsation de résonance de la pulsation de coupure de la pente à l infini p r c -8 1-1 1 1 1 1 rd/s
Systèmes du 1 er ordre La fonction de transfert du système se déduit de l équation différentielle : T p Y(p) U(p) 1 p T j 1 j T j 1 ou 1 T j log T j db arctan arg T j
Systèmes du 1 er ordre T j 1 ou 1 T j log T j db arctan arg T j Diagramme asymptotique Pour construire le diagramme de Bode de ces deux fonctions, on peut bien sûr réaliser un tracer point par point en faisant varier ω mais il n est pas mauvais d avoir au préalable une idée de l allure des deux courbes. On trace alors ce qu on appelle un diagramme asymptotique dans le plan de Bode. La plupart du temps, un diagramme asymptotique est suffisant pour obtenir une idée assez fine du comportement fréquentiel du système étudié.
Systèmes du premier ordre T j 1 arctan arg T j On définit tout d abord la pulsation de brisure : 1 T j 1 arctan Le tracé asymptotique se fait de la manière suivante : En basse fréquence ω ω T j arg T j En haute fréquence ω ω. T j arg H j indépendance en ω dépendance en ω
Systèmes du premier ordre T j 1 arctan arg T j En basse fréquence ω ω En haute fréquence ω ω. T j T j indépendance en ω arg T j dépendance en ω arg T j Etudions plus en détail le comportement en haute fréquence du gain. Si on exprime le gain en db, on obtient : T j log log log db 1 1 1 Le gain exprimé en db, est une droite du type y ax b a x log 1 b log1 On constate donc qu on a perdu db (en gain) sur une décade de pulsation. On a donc, d après la définition, p = -db/décade ou p = -1
Systèmes du premier ordre T j 1 arctan arg T j En basse fréquence ω ω En haute fréquence ω ω T j arg T j indépendance en ω Si on exprime le gain en db, on obtient :. T j arg T j T j log db 1() pour basse fréquence T j log db 1 pour haute fréquence dépendance en ω Enfin, on peut utiliser la continuité pour passer du domaine basse fréquence au domaine haute fréquence. Ceci donne : log1 log1 Le changement d asymptote se fait en
Systèmes du premier ordre Exemple : Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert On peut obtenir ω = 1 rad/sec et = T p 1 p En basse fréquence ω ω T j arg T j En haute fréquence ω ω En fréquence ω = ω T j T j log db 1 3dB 3dB arg H j 4 T j arg T j
Systèmes du premier ordre Exemple : Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert T p 1 p log1 6dB 3dB 45 c 1 Méthode: En résumé, un lieu de Bode se trace à partir des étapes suivantes : - Exprimer la fonction de transfert en fonction de ω - Calculer le module de T(jω en fonction de ω, souvent en db. - Calculer l argument de arg T(jω en fonction de ω, en degré ou radian. - Tracer le diagramme de Bode asymptotique avant de fournir un tracé plus précis.
Systèmes du nd ordre La fonction de transfert du système se déduit de l équation différentielle : Y(p) U(p) p p 1 T p T j j 1 Pour tracer le diagramme de Bode d un système du nd ordre dans le cas général sans valeur numérique, on peut poser pour simplifier u = ω ω. 1 j u u T ju u Le gain : Le déphasage : arctan si1 u 1 u T ju arg T ju (1 u ) u u 1 u arctan si1 u
Systèmes du nd ordre u Le gain : Le déphasage : arctan si1 u 1 u T ju arg T ju (1 u ) u u 1 u arctan si1 u Le tracé asymptotique du lieu de Bode d un système du nd ordre se fait de la manière suivante : En basse fréquence : u T ju arg T ju En haute fréquence : u T ju arg T ju u indépendance en u. dépendance en u.
Systèmes du nd ordre En basse fréquence : u En haute fréquence : u T ju arg T ju indépendance en u. T ju arg H ju u Etudions plus en détail le comportement en haute fréquence du gain. Si on exprime le gain en db, on obtient : T j log db 1 log 1 4 log1 u u Le gain exprimé en db, est une droite du type y ax b a 4 x log1 u b log1 dépendance en u. On constate donc qu on a perdu 4 db (en gain) sur une décade de pulsation. On a donc, d après la définition, p = -4dB/décade ou p = -
Systèmes du nd ordre En basse fréquence : u En haute fréquence : u T ju arg T ju indépendance en u. T ju arg H ju u Etudions plus en détail le comportement en haute fréquence du gain. Si on exprime le gain en db, on obtient : T j log db 1 log 1 4 log1 u u On peut utiliser la continuité pour passer du domaine basse fréquence au domaine haute fréquence. Ceci donne : log1 log 1 u dépendance en u. Le changement d asymptote se fait en
Systèmes du nd ordre En basse fréquence : u En haute fréquence : u T ju arg T ju indépendance en u. T ju arg H ju u dépendance en u. On peut enfin tracer une ébauche des diagrammes asymptotiques de Gain et de Phase. 1 Amplitude Phase db -1 -? - -4-6 -3-4 p = - -8-1? -5-1 -6-14 -7-16 -8 1-1 1 1 1 1 rd/s -18 1-1 1 1 1 1 rd/s
Systèmes du nd ordre Etudions maintenant de plus près la zone située autour de ω. T ju (1 u ) u On peut dès lors remarquer que l on peut avoir T ju > pour des valeurs petites de ξ. On constatera que la courbe peut passer par un maximum supérieur à. Dans ce cas, on parle de résonance. On cherche ce maximum M et le lieu ω R où il se produit. L idée est T ju f u (1 u ) u Trouver la valeur de u > qui annule df u du
Systèmes du nd ordre On a : 3 3 df u 1 u 4 u. 4u 4u 8 u du df u du Si ξ 1, la solution u = 1 présence d un maximum. 3 4u 4u 8 u u. u 1 Si ξ > 1 df u, on a toujours du u. u 1. u 1 ξ nous intéresse. Cette solution indique en effet la <. Ce maximum n existe pas toujours. Au final, pour ξ 1, la courbe de gain présente une résonance qui se produit en ω R = ω 1 ξ. T ju En reportant ω R dans l expression T ju, l expression de la résonance M en fonction de ξ. M 1 f u (1 u ) u
Systèmes du nd ordre Pulsation de résonance : ω R = ω 1 ξ. Résonance : M 1 T ju 1 j u u Exemple : ξ =,5; ω = 1; =. Le diagramme Bode peut être tracé M R Remarque 1 : On constate que pour des faibles valeurs de ξ, M est inversement proportionnel à ξ, ce qui justifie le nom de facteur d amortissement utilisé pour caractériser cette quantité. Remarque : La phase, elle, ne présente pas d anomalie particulière. On peut utiliser l approche asymptotique en ajoutant un point particulier.?
Systèmes du nd ordre u Le gain : Le déphasage : arctan si1 u 1 u T ju arg T ju (1 u ) u u 1 u arctan si1 u Exemple : ω = 1; = 1. Le diagramme Bode peut être tracé dans les cas : Cas1 : ξ = 1,57; Cas : ξ = 1; Cas3 : ξ =,77; Cas4 : ξ =,45; Cas5 : ξ =,5;
Représentation de Nyquist Soit un système de fonction de transfert T p. T p T jω Le diagramme de Nyquist est la représentation la plus immédiate de la fonction complexe réponse T j Re j.im On reporte dans le plan la partie réelle selon l'axe horizontal et la partie imaginaire selon l'axe vertical.
Nyquist des systèmes du 1 er ordre Y(p) U(p) 1 p T j T p 1 j Donnez les expressions littérales de Re ω et Im ω Re Im 1 1 En basse fréquence : ω ω Re ω Im ω En haute fréquence : ω ω ; Re ω + Im ω En ω = ω, ; Re ω = Im ω =
Nyquist des systèmes du 1 er ordre Re Im 1 1 On peut montrer que le diagramme de Nyquist est un demi-cercle de centre et de rayon. On le parcourt dans le sens des ω croissants c'est-à-dire depuis ; vers ;. ;.5 Nyquist Diagram 1.5 Exemple : =5; τ=1. Imaginary Axis 1.5 -.5-1 -1.5 - -.5-1 1 3 4 5 Real Axis
Nyquist des systèmes du nd ordre Y(p) Tp T j U(p) p p 1 j 1 Donnez les expressions littérales de Re ω et Im ω 1 Re 1 4 Im 1 4 En basse fréquence : ω ω Re ω Im ω En haute fréquence : ω ω ; Re ω Im ω En ω = ω ; Re ω = 4 ξ Im ω = ξ
Nyquist des systèmes du nd ordre Exemple : ω = 1; = 1. Le diagramme Nyquist: Cas1 : ξ = 1,57; Cas : ξ = 1; Cas3 : ξ =,77; Cas4 : ξ =,45; Cas5 : ξ =,5;
Représentation de Black-Nichols Le diagramme de Black est une représentation de la réponse harmonique du système, c'est à dire une représentation de T ω en fonction de φ. T p est la fonction de transfert du système. On place : En abscisse : la phase (en degrés) En ordonnée : Le gain (en décibels) Black des Systèmes du 1 er ordre Exemple : =1; τ=1.
Représentation de Black-Nichols Black des Systèmes du nd ordre Exemple : ω = 1; = 1. Le diagramme Black- Nichols: Cas1 : ξ = 1,57; Cas : ξ = 1; Cas3 : ξ =,77; Cas4 : ξ =,45; Cas5 : ξ =,5;
Points d aujourd hui Introduction Propriétés fréquentielles et Définitions Réponse fréquentielle des systèmes du 1 er ordre (en Bode) Réponse fréquentielle des systèmes du nd ordre (en Bode) Réponse fréquentielle en Nyquist et Black