O2: LENTILLE MINCE SPHERIQUE 1 Description, utilisation, schématisation 1.1 Réalisation technologique Une lentille mince sphérique est une succession de deux dioptres sphériques (1, n) et (n, 1), de rayons de courbure R 1 et R 2, centrés sur un axe qualifié d axe optique. La lumière se propage toujours de la gauche vers la droite. Faire un schéma. 1.2 Intérêt L image d un point lumineux est un point lumineux. Tout rayon passant par un point objet A repasse par son point image A en vertu du principe de Fermat. C est l expérience du bac à sable. 1.3 Les conditions de Gauss L utilisation d une lentille mince est subordonnée aux conditions de Gauss: les rayons lumineux frappent la lentille au voisinage du sommet de la lentille, les rayons font un angle faible avec l axe optique. 2 Stigmatisme et aplanétisme 2.1 Point lumineux 2.1.1 Définition Un point lumineux est l intersection de deux rayons lumineux. 2.1.2 Point à distance finie Les deux droites sont alors concourantes. 2.1.3 Point à l infini Les deux droites sont alors parallèlles. Nous parlerons également de direction de droites. 2.2 Objet et image La notion d objet et d image n a de sens que pour un système optique, ici une lentille mince. Nous parlerons d objet pour une lentille donnée et d image pour une lentille donnée. 2.2.1 Objet lumineux Un point objet est l intersection de deux rayons incidents. Mais attention, cette intersection peut-être réelle ou virtuelle. Dans le cas où elle est virtuelle, ce sont les prolongement des incidents qui se coupent. Faire un schéma d un point objet réel puis virtuel. 2.2.2 Image lumineuse Un point image est l intersection de deux rayons émergents. De même que pour un objet, cette intersection peut-être réelle ou virtuelle. Dans le cas virtuelle, là encore, c est le prolongement des rayons émergents qui se coupent. Faire un schéma d un point image réel puis virtuel. 5
2.3 Stigmatisme La lentille sphérique mince (LSM) est un système optique stigmatique car l image d un point objet lumineux à travers une LSM est un point lumineux. Autrement dit, tout rayon lumineux passant par le point objet A repasse par son image A. Nous noterons cette propriété à l aide du symbolisme suivant où L signifie lentille: A L A A désigne un point objet ou antécédent, A un point image. Nous dirons également que A et A sont conjugués par la LSM. Par convention, nous noterons sans prime les objets et avec prime les images. Enfin, nous utiliserons la première lettre de l alpabet pour les points situés sur l axe optique et par les lettres suivantes tous les autres points. Faire un schéma. 2.4 Aplanétisme La LSM est un système aplanétique, c est à dire que l image d un plan perpendiculaire à l axe optique à travers une LSM est encore un plan perpendiculaire à l axe optique. Faire une illustration à l aide d une LSM convergente. 2.5 Centre optique Tout rayon passant par le centre optique O (origine) d une LSM n est pas dévié. Faire une illustration. 3 Foyers 3.1 Objets à l infini Par définition, un point à l infini est une direction de droite. C est l intersection de deux droites parallèles. Définir et représenter successivement les objets suivants : un point à l infini dans la direction de l axe A un point à l infini dans une autre direction B un bi-point à l infini A B un cercle à l infini centré sur l axe optique une droite de l infini le plan de l infini Par convention, les points à l infini sont indicés. 3.2 Foyer image 3.2.1 Définition Le foyer image est l image par la lentille L du point à l infini dans la direction de l axe optique. On note F le foyer image. L F 3.2.2 Lentille convergente Son foyer image F est réel. Faire un schéma. 3.2.3 Lentille divergente Son foyer image F est virtuel. Faire un schéma. A axe 6
3.3 Foyer objet 3.3.1 Définition Le foyer objet est l antécédent par la lentille L du point à l infini dans la direction de l axe optique. On note F le foyer objet. F L A axe 3.3.2 Lentille convergente Son foyer objet F est réel. Faire un schéma. 3.3.3 Lentille divergente Son foyer objet F est virtuel. Faire un schéma. 3.4 Distances focales Les distances focales sont des mesures algébriques. L axe optique est toujours orienté de gauche à droite. On note de manière générale f = OF f = OF Pour une lentille convergente, f est positif et f négatif. Pour une lentille divergente, f est positif et f négatif. Quelle que soit la lentille f = f 4 Constructions 4.1 Les trois rayons fondamentaux Tout rayon passant par le centre optique n est pas dévié. Tout rayon incident passant par F (de manière réelle ou virtuelle) ressort parallèlle à l axe optique. Tout rayon incident parallèlle à l axe ressort en passant par F (de manière réelle ou virtuelle). Attention, cela signifie également que tout rayon qui émerge parallèlle à l axe est passé par F (réellement ou virtuellement) à l incidence. De même, tout rayon qui émerge réellement ou virtuellement en passant par F était parallèlle à l axe à l incidence. Illustrer par un schéma. 4.2 Plan focal 4.2.1 Définition Le plan perpendiculaire à l axe optique et passant par le foyer objet (resp. image) est appelé plan focal objet (resp. image). Faire un schéma. 4.2.2 Utilisation Par aplanétisme, l image d un plan est un plan. L image du plan à l infini est donc le plan focal image. L antécédent du plan à l infini est le plan focal objet. C est tout l intérêt de la lentille mince. Elle ramène le plan de l infini à distance finie (le plan focal image) et elle envoie un plan à distance finie (le plan focal objet) à l infini. Par conséquent, l image (resp. l antécédent) d un point à l infini à travers une LSM est dans le plan focal image (resp. objet). 7
4.2.3 Remarques Un point à l infini est une direction de droite. Il n est pas plus à droite qu à gauche. C est bien une direction au sens mathématique du terme. Nous ne le répéterons pas assez! Tout l intérêt de la LSM est de conjuguer le plan de l infini avec un plan à distance fini. On ramène (ou on envoie) le plan de l infini à distance finie. Pour une lentille convergente, le plan de l infini est ramené après la lentille. Pour une lentille divergente, il est ramené avant la lentille. Il est ramené plus ou moins loin de la lentille suivant sa focale. 4.3 Constructions géométriques Faire les constructions géométriques demandées en exercice. http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiquegeo/lentilles/lentille_mince. html 5 Formules 5.1 Formules de Descartes 5.1.1 Rappel L orientation de l axe optique se fait toujours de la gauche vers la droite et de bas en haut pour les mesures algébriques. f = OF 5.1.2 Notations f = OF On rappelle que par convention, les points A et A sont toujours sur l axe. A est un point objet et A est son image. p = OA 5.1.3 Conjugaison p = OA f p + f p = 1 Démontrer à partir d une construction géométrique la formule de conjugaison. Faire une application numérique. 5.1.4 Grandissement linéaire On définit le grandissement linéaire γ par la taille de l image A B sur la taille de l objet AB. Faire un schéma représentatif et montrer que γ = A B AB γ = p p 5.1.5 Grandissement angulaire L orientation des angles se fait toujours avec la convention associée à la trigonométrie. De plus on repère toujours le rayon par rapport à l axe optique et non l inverse. On définit alors le grandissement angulaire comme le rapport entre l angle α que fait le rayon émergent avec l axe optique sur l angle α que fait le rayon incident avec l axe optique. G = α α Faire un schéma et montrer que G = p p
5.1.6 Formule de Lagrange-Helmoltz 5.2 Formules de Newton 5.2.1 Introduction γg = 1 Alors que pour les formules de Descartes, l origine est prise au centre optique de la lentille. Dans le cadre des formules de Newton, il y a une double origine aux foyers. Les points objets A sont repérés par rapport au foyer objet F et les points images A sont repérés par rapport au foyer image F. On pose alors σ = F A σ = F A Les fomules associées se montrent à partir des formules de Descartes et peuvent s avérer extrêmement utile dans certains exercices. 5.2.2 Conjugaison σσ = ff Faire une application numérique et montrer la pertinence des formules pour un point à l infini dans la direction de l axe. 5.2.3 Grandissement Déterminer le grandissement linéaire puis angulaire en convention de Newton (double origine aux foyers). 6 Applications 6.1 Condition D 4f Montrer qu une condition nécessaire pour avoir deux points réels distants de D conjugués l un de l autre par une lentille convergente de focale image f est D 4f 6.2 Lunette de Galilée Construire avec deux lentilles un système afocal (l image d un point à l infini est un point à l infini). 6.3 Deux lentilles accollées Montrer que l association de deux lentilles accollées de focales f 1 et f 2 est encore une lentille de focale f telle que 1 f = 1 f 1 + 1 f 2 6.4 Vergence Les opticiens travaillent toujours avec la vergence qu ils notent ν et qu ils définissent comme l inverse de la focale. L unité associée est alors la dioptrie (symbole δ) telle que Quel est leur intérêt? 1δ = 1m 1 9