es Filtres analogiques I. Introduction : e filtrage est une forme de traitement de signal, obtenu en envoyant le signal à travers un ensemble de circuits électroniques pour : Modifier son spectre de fréquence, ou modifier sa phase et donc sa forme ; traire une partie de l information liée à ce signal ; Éliminer ou affaiblir des fréquences parasites indésirables ; Isoler dans un signal complee la ou les bandes de fréquence utiles. e filtrage s applique à des signau représentés sous forme analogique filtres analogiques, ou sous forme numérique après échantillonnage du signal filtres numériques. Parmi les filtres analogiques qui eistent, il y a les filtres passifs et les filtres actifs. II. Analyse de Fourier : Théorème de Fourier On montre que toute fonction périodique s t, de période T, de pulsation f, T peut s écrire comme une somme de fonctions sinusoïdales : n n n n Appelée ϕ s t s t T s s cos n t s a cos n t b sin n t n n série de Fourier ; où les coefficients de cette série sont donnés par : T T T a s s t dt et pour n, an s tcos n t dt et bn s tsin n t dt T > T T b n etϕn Arctg ; sn an bn. an Spectre de Fourier d un signal périodique omposante continue T a On constate que : s s t dt s t T i.e. e premier terme de la décomposition de Fourier correspond à la valeur moyenne composante continue du signal. Fondamental es deu termes en n définissent ce qu on appelle le fondamental, i.e. les sinusoïdes de pulsation égale à celle de s t. Harmoniques : es termes en n > définissent les différentes harmoniques. Spectre : On représente s n en fonction de nf. emarque : on montre que, pour une fonction paire [impaire], n, b n [a n ]. T Aussi ; si s t st ; il y aura que des harmonique de rangs pairs. T si s t st ; il y aura que des harmonique de rangs impairs. Signal continu a s t k s de spectre : k t Sinusoïde s k nf
s t cos t a cos t de spectre : M M s a M t f nf Signal rectangulaire s t ± sin n t sin n p p t * de spectre : n p n impair s / s / t s 5 /5 - s 7 /7 f f 5f 6f T * n effet : s t est une fonction impaire donc : a n ; en plus, on s t st ; n est impair. III. es filtres passifs linéaires : Filtre passe-bas d ordre : On considère le filtre, suivant : f i f 7f 8f nf u S Approche qualitative schéma équivalent pour et Si, le filtre devient : i u S - i Si, le filtre devient : u S tension au bornes d'un fil On a donc affaire, a priori, à un filtre passe-bas.
Fonction de transfert j Par application du pont diviseur de tension : S j S j H j On pose : j j S H j Fonction de transfert d ordre. j Gain du filtre : H H j S [ ] G log H log H j log log ϕ arg H j arg j arctan Basses fréquences :, H j, G log ϕ Hautes fréquences :, H j, G log log log j ϕ a droite W log où W log est asymptote à hautes fréquences droite de pente - par décade, passant par lorsque., H j ; G log ϕ. j est donc la pulsation de coupure du filtre,. Diagramme de Bode G - og log
ϕ ad og log -/ -/ omme la pulsation varie de à, log varie de - à. Il est donc normal qu'une partie du diagramme de Bode soit dans les abscisses négatives. emarque: e filtre passe-bas ne transmet que des signau de fréquence inférieure à f. Filtre passe-haut d ordre On considère le filtre, suivant : i u S Fonction de transfert S j On reconnaît un pont diviseur : H j j j j On pose : H j Fonction de transfert j j j d ordre. Gain du filtre : H H j S G log[ H ] log H j log log ϕ arg H j arg j arctan Basses fréquences :, H j j, G log log log ϕ
a droite W log où W log est asymptote à basses fréquences droite de pente par décade, passant par lorsque. Hautes fréquences :, H j, G log ϕ, H j ; G log ϕ j est donc la pulsation de coupure du filtre,. Diagramme de Bode G log log - e diagramme de gain s inscrit dans le gabarit suivant : log T f f f a ϕ b / / Filtre passe-bande d ordre og log On considère le filtre,, suivant : i u S 5
6 Approche qualitative Si, le filtre devient : Si, le filtre devient : On a donc affaire, vraisemblablement, à un filtre passe-bande. Fonction de transfert On reconnaît un pont diviseur : j j j j H S On pose : pulsation propre; pulsation réduite; log ; facteur de qualité X Q jq jq j H Fonction de transfert d ordre Gain du filtre : Q j H H S [ ] Q jq H Q Q H H G arctan arg arg log log log log ϕ es variations de G sont les mêmes que celles de H, ce sont aussi l inverse des variations de. Plutôt que de calculer d dg, on calcule : d d. G si : i.e.si < <. G si >. u S i i u S i i
j Basses fréquences :,, H j, jq Q G log log log Q ϕ Q a droite X logq où X log est asymptote à basses fréquences droite de pente par décade, passant par log Q lorsque, càd lorsque. j Hautes fréquences :,, H j, jq Q G log log log Q ϕ Q a droite X logq où X log est asymptote à hautes fréquences droite de pente - par décade, passant par logq lorsque, càd lorsque. : H, G log ϕ Diagramme de Bode -logq G log log -logq Q < log log Q > ϕ / log log Q > - / Q < log log Pulsations de coupure On cherche les pulsations tq: G G c à d : H ma H. Il vient : Q ; Q Q ± Q ma 7
Dont les racines sont : ± Q ± Q Or seules les racines positives conviennent ; donc : et Q Q Q Q es pulsations de coupure sont donc : et.. Q a largeur de la bande passante est :,, est un filtre passe-bande d ordre, de pulsation propre : passante :[ ] ;, de largeur de bande passante Q, de bande. e filtre est donc d autant plus sélectif il sélectionne une bande de pulsations d'autant plus étroite que Q est grand. Filtre passe-bas d ordre On considère le filtre,, suivant : i u S Approche qualitative Si, le filtre devient : i u S - u - u - i - Si, le filtre devient : i u S tension au bornes d'un fil On a donc affaire, vraisemblablement, à un filtre passe-bas. Fonction de transfert On reconnaît un pont diviseur : H j S j j On pose:k, ; et m. k H j m j j Il vient que: j j j. j 8
e module et l'argument de ce nombre complee sont donnés par : k F j F j alculons la dérivée du gain par rapport à : ;arg arctan m j k m m d F d a dérivée s'annule pour les valeurs de annulant m. m m On obtient donc:ne seule racine si m >,7 ; Deu racines et m si m,7 Pulsation de résonance : Pour m alors m a réponse présente une résonance pour la pulsation : m., G ϕ Basses fréquences :, H j k k Hautes fréquences :, H j G log k log log k log ϕ k Pour, G log F j log ; ϕ. m m 9
G logk m<,7 - /déc m >,7 a pulsation de résonance est inférieure à la pulsation propre, mais elle s'en approche de plus en plus lorsque m diminue. Facteur de résonance Pour m,7, l'amplitude de la résonance est donné par : k F j MAX F j. On appelle facteur de résonance le rapport M, MAX m m k soit : M. Ou en : M log F j log k. MAX m m Donc m : φ quand ; φ - quand et φ quand. Plus m diminue, plus la variation de phase est brutale autour de. -/ - φrad m> og m< log 5 Filtre coupe-bande d ordre : On considère le filtre,, suivant : i u S Fonction de transfert On reconnaît un pont diviseur : H j S j j j j j j j j
pulsation propre; pulsation réduite; X log ; On pose : facteur de qualité Q jq jq H j jq jq d ordre. Diagramme de Bode Fonction de transfert jq G log log log Q > log Q < I. es filtres actifs :. ellules du premier ordre :.- Passe bas : On a : d où : T j j De la forme: H j A, avec A et j c c. - A G log H j log log A log c c
ϕ arg H j arg j arctan. c c Basses fréquences :, H j A, G log A ; ϕ. Hautes fréquences :, A H j, G log A log log log log A; ϕ j c c a droite W log log A où W log est asymptote à hautes fréquences droite de pente - par décade, passant par lorsque c. A c, H j ; G log A log log A ; ϕ j Diagramme de Bode G Diagramme asymptotique loga og c loga- log ϕ ad Diagramme réel og c log -/ -/.- Passe haut : r - T j j c de la forme : H j A r j j c, avec A et r c. A c G log H j log log A log c
c c ϕ arg H j arg j arctan Basses fréquences :, H j ja, ϕ c G log A log log A log log c a droite W log A log c où W log est asymptote à basses fréquences droite de pente par décade, passant par lorsque c. Hautes fréquences :, H j A, G log A ; ϕ. A c, H jc ; G log A log log A ; ϕ. j Diagramme de Bode G db c Diagramme asymptotique log A log A db db og c og db / décade Diagramme réel G db log c log Diagramme réel. ellules du second ordre :.- Structure de auch : Diagramme asymptotique
5 A B e s - s e 5 Filtre Passe-bas Filtre Passe-haut Filtre Passe-bande s s j s j e j j j j e j j de le s forme : K e m j j n n jc K n m 5 jc.- Structure de Sallen et Key :..- Structure à gain fie : a- Filtre passe-bas à gain fie : e j s n K e m j j n n jc 5 jc jc K n m B m j s n K e m j j n n 5 jc jc K n m A e A s -
T j ; T j ; où : j j etm b- Filtre passe-haut à gain fie : mj j A - e s T j j j j j T j, où : etm mj j c- Filtre passe-bande à gain fie : - e s T j j j j mj T j A où A etm mj j..- Structure à gain variable :. : ; 5
Filtre Passe-bas g < g j g j où : g s de le forme : K e m j j n n K g; n jc m g jc Filtre Passe-haut g < g j j g j où : g p s e m p p jc A g jc A ; où : p j m g 6