0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2 Lois phénoménologiques de G Amontons et CA Coulomb 22 Détermination de µ et µ 3 Applications 3 Archet de violon 32 Epérience de imochenko 33 Autres eemples Conclusion Introduction Dans cette leçon nous utiliserons les théorèmes fondamentau de la mécanique ; le théorème de la résultante cinétique (C) et le théorème du moment cinétique (MC) Dans de nombreu systèmes physiques, il arrive que des solides soient en contact Les forces qui s eercent sur chaque solide dépendent d un grand nombre de paramètres liés à la surface de contact et il est impossible d en donner un modèle simple comme on le fait pour les forces de gravitation et électromagnétiques agissant à distance ous allons donc utiliser des lois empiriques qui vont nous permettre de montrer l importance du frottement et son utilité dans différents problèmes Contact entre deu solides Liaisons de contact Deu solides peuvent être en contact de façon ponctuel (bille sur un plan), linéaire (cylindre sur un plan) ou surfacique (plan sur plan) Dans chaque cas la nature des forces de contact est complee et ne peut être déterminée précisément qu en prenant en compte l interaction microscopique des atomes ou molécules à la surface de contact On peut néanmoins modéliser grossièrement ces forces à l aide de lois empiriques Mais l epression du torseur [, M ( )] des forces de contact en un point de la surface de contact, reste inconnu C est pourquoi la simple donnée des si équations scalaires obtenues en écrivant le C et le MC ne suffit pas en général pour résoudre complètement un problème de mécanique C est le type de la liaison ; pivot glissant, pivot, sphérique ou simplement, unilatérale ou bilatérale, qui permet de réduire le nombre de degrés de liberté du problème (si au départ), de façon à ce que le nombre de paramètres soit identique au nombres d équations Par eemple, pour une liaison pivot il y a un degré de liberté qui est l angle de rotation θ, si inconnues correspondant au composantes scalaires de et M O ( ) calculés en un point O de l ae de rotation Oz i l on suppose la liaison parfaite, M Oz ( ) est nul et il reste si inconnues pour si équations (voir leçon n 4) 2 Contact ponctuel 2 Vitesse de glissement M ( ) 2
Leçon 2 Dans un référentiel galiléen, on considère deu solides et 2 en contact ponctuel au point géométrique I Le point I est le point coïncidant à I et appartient au solide Le point I 2 est le point coïncidant à I et appartient au solide 2 En appliquant la relation de composition des vitesses au point I par rapport à et au référentiel relatif 2, La vitesse d entraînement étant celle du point coïncidant I 2, il vient : I I I 2 2 v = v + v I I 2 I2 La vitesse de glissement de sur 2 est : v = v = v v g I 2 I I2 Cette vitesse est contenue dans le plan tangent en I au deu solides En effet, la vitesse du point I par rapport à s eprime de deu façons différentes suivant que le référentiel relatif est ou 2 : v = v + v = v + v, I I 2 I2 I I et puisque v I et v I 2 appartiennent au plan tangent, la vitesse de glissement est également contenue dans ce plan v = v v g I 2 I 22 Mouvement de roulement et de pivotement On suppose 2 fie dans le référentiel galiléen et on considère un point M du solide La vitesse de ce point par rapport à 2 est : ω v = v + ω I M M 2 I 2 ω est le vecteur vitesse instantanée de rotation de par rapport à 2 ou uivant la figure il se décompose en deu vecteurs, l un normal au plan tangent et l autre dans ce plan, tel que ω=ω + ω La vitesse du point M s écrit donc : I M ω I I 2 ω 2 v = v + ω IM+ ω IM M 2 I 2 Le premier terme de cette epression décrit le glissement dans le plan tangent Le deuième terme décrit le mouvement de pivotement autour d un ae perpendiculaire au plan tangent Le troisième décrit le mouvement de roulement autour d un ae contenu dans le plan tangent 23 ravail des actions de contact Le solide 2 eerce sur une action de contact que l on suppose réduite à une force appliquée en I L epression générale du travail de cette force est δ W = v dt + ω M ( )dt I 2 I Mais puisque le contact a lieu au point I ; M I ( ) = 0 et δ W = v dt I 2 Ce travail est nul dans deu cas :
2 leçon 2 : il n y a pas de frottement de glissement, la réaction de 2 sur est normale au plan tangent ; vi = 0 2 : Le solide roule sans glisser sur 2 ; v 0 On dit alors que la liaison est parfaite I = 2 Dans le cas contraire, δ W = vi dt < 0 s il y a des frottements de glissement car la composante 2 tangentielle de est opposée à v I Le cas δ W>0 eiste aussi lorsqu il y a entraînement par 2 frottement Par eemple quand les roues d une voiture patinent et avancent en même temps Mais attention, les actions de contact ne sont pas pour autant moteur du mouvement 2 Frottement de glissement 2 Lois phénoménologiques de G Amontons et CA Coulomb Considérons à nouveau deu solides et 2 en contact, pas nécessairement ponctuel 2 eerce sur une force = + où et sont ses composantes normale et tangentielle ère loi : Le solide ne glisse pas sur 2 tant que : µ, ϕ où µ est le coefficient de frottement statique qui ne dépend que de l état et de la nature des surfaces en contact es valeurs numériques sont de l ordre de 0,2 pour un contact bois sur bois et 0,7 pour un contact fer sur bois Géométriquement, se situe à l intérieur d un cône de révolution de demi-angle au sommet : ϕ = arctgµ 2 ème loi : Lorsque le solide glisse sur 2 : = µ, 2 où µ est le coefficient de frottement dynamique tel que µ < µ et est opposé à numériques de µ sont du même ordre de grandeur que celles de µ v I 2 Les valeurs q : Pour les frottements de roulement et pivotement, on doit tenir compte du moment du couple qu il faut eercer sur le solide pour le faire rouler ( M ) ou pivoter ( M ) Le même type de lois s appliquent : Il n y a pas de pivotement ou de roulement tant que M µ P ou M µ Quand il y a pivotement ou roulement M =µ P ou M =µ 22 Détermination de µ et µ Considérons un solide de masse m immobile sur un plan incliné faisant un angle α avec l horizontale Le C s écrit : m g+ = 0 y En projetant cette relation sur les aes O et Oy il vient : mgsinα = 0 mgcosα = 0, mg α
Leçon 2 3 et puisque le solide est immobile = tgα µ C est le phénomène d arc-boutement Quelle que soit la masse du solide, il ne glisse pas tant que α α avec tgα = µ Ceci eplique aussi que l on ne peut pas enfoncer une visse en appuyant simplement dessus (même avec un marteau!) car l inclinaison des filets n est pas suffisante pour autoriser le glissement Considérons maintenant le solide mobile sur le plan incliné Le C s écrit cette fois : mg+ = ma, et la projection de cette relation sur les aes O et Oy : mgsinα = m mgcosα = 0 Le solide glisse et donc = µ En remplaçant dans la première équation il vient : = gcos α(tg α µ ) Pour un angle α très grand le solide a un mouvement accéléré, puis pour solide glisse à vitesse constante et enfin pour α<α le solide ralentit On peut alors tracer un cycle d hystérésis en partant de α>α en diminuant l inclinaison C α=α C tel que tgα C = µ le α<α C et en augmentant l inclinaison, puis de v 0 αc α α Epérience eprenons l eemple précédent en utilisant un livre posé sur une table On veut déterminer les coefficients µ et µ Le livre étant immobile sur la table horizontale, on incline celle-ci jusqu'à ce que le livre se mette à glisser On note alors la position de la table (contre un mur par eemple) et on en déduit α puis µ = tgα Le livre glissant sur la table, on réduit doucement l inclinaison et on note la position de la table dès que le livre commence à ralentir On déduit α C et µ = tgα C 3 Applications 3 Archet de violon Considérons un archet de violon de masse m, glissant à vitesse constante v sur une corde représentée en coupe transversale sur la figure La corde tendue à ses etrémités est soumise à une force de rappel F = ke (k est proportionnelle à la tension 0 de la corde), à la réaction de l archet qui se décompose en une force normale = mg et tangentielle Le coefficient de frottement statique est µ et le coefficient de frottement F y v
4 leçon 2 dynamique µ quasiment nul grâce à l emploi de colophane sur l archet A l instant initial t = 0 la corde se trouve en position = 0 L archet se met en mouvement à la vitesse v et entraîne la corde avec lui A l instant t la position de la corde est : = vt Le mouvement est linéaire Cette situation de non-glissement persiste tant que l instant t où : k kvt mgµ = = = µ t = mg mg kv / µ jusqu à Pour t > t, = µ 0 Le mouvement de la corde est régit par l équation des cordes vibrantes : 2 2 ζ 0 2 =, 2 y 0 t où ζ est la masse linéique de la corde et 0 sa tension La vitesse de propagation des ondes le long de cette corde est c = 0 ζ On pose ω= c(2 π λ ) La corde étant attachée à ses deu etrémités, les ondes sont stationnaires (la longueur de la corde est égale à λ 2 ) et l on remarque que plus la corde est tendue ou courte, plus la fréquence d émission du son est élevée L allongement de la corde en une position y fiée (position de l archet) s écrit : = Asin[ ω(t t ) +ϕ ] Les constantes d intégration A et ϕ sont déterminées par les relations de continuité de et à l instant t : vt = Asinϕ tgϕ=ωt v= Aωcosϕ 2 2 A = v t + ω Le mouvement est sinusoïdal jusqu à l instant t 2 où la vitesse de la corde est à nouveau égale à celle de l archet L instant t 2 se calcule en résolvant l équation = v pour t t, soit : cos[ ω(t 2 t ) +ϕ ] = cosϕ On déduit : ω(t2 t ) +ϕ ] = 2π ϕ et 2 π ϕ Asinϕ π ϕ t = t + 2 = + 2 ω v ω A cet instant, l allongement du ressort est : = A sin[ ω(t 2 t )] = A sinϕ Pour t > t2 la corde suit l archet à la vitesse v L allongement s écrit : = v(t t 2 ) Asinϕ Le mouvement est linéaire tant qu il y a non-glissement de la corde sur l archet Le phénomène est donc périodique de période Pour t =, = 0, soit :
Leçon 2 5 0 = v( t 2 ) Asinϕ Finalement : π ϕ A sinϕ = 2 + 2 ω v t 2 t +t t Dans ce problème, nous avons résolu deu équations différentielles ; une pour le non-glissement et une pour le glissement Les solutions n étant pas du même type dans les deu cas, le mouvement n est ni linéaire, ni sinusoïdal mais malgré tout périodique La solution peut donc se mettre sous la forme d une série de fourier C est pourquoi dans le son du violon il eiste des harmoniques à des fréquences multiple de f = 32 Epérience de imochenko Une plaque de masse m, d épaisseur négligeable, est posée sur deu rouleau tournant en sens inverse à vitesse suffisante pour que la plaque glisse constamment avec un coefficient de frottement dynamique µ A l instant initial le centre de masse C de la plaque est décalé vers la droite comme sur la figure à l abscisse Le C appliquée à la plaque s écrit : ma = mg+ + + + 2 2 y l l 2 C O 2 O 2 mg En projetant cette relation sur les aes O et Oy on obtient : m = 2 0 = mg+ + 2 Puisque la plaque se déplace horizontalement, le MC s écrit : dσ dt C = CO ( + ) + CO ( + ), 2 2 2 ce qui donne une seule relation scalaire : l(2 ) = (2 + ) qui s écrit aussi compte tenu des relations précédentes : mg = l 2 La condition de glissement nous donne deu relations supplémentaires : = µ et 2 = µ 2 d où :
6 leçon 2 et µ mg m = 2 = µ ( 2) =, l µ g + = 0 l La plaque effectue des oscillations de période = 2π l µ g Contrairement au problème de l archet de violon il n y a ici qu une seule équation différentielle pour décrire le mouvement complet et une solution parfaitement sinusoïdale Ceci vient du fait que l on n a pas pris en compte les frottements statiques Epérience On peut si le matériel est disponible, réaliser cette epérience et en déduire la valeur du coefficient de frottement dynamique en mesurant la période des oscillations de la plaque 33 Autres eemples Il eiste bien sur de nombreu autres eemples permettant d illustrer cette leçon On peut citer : La roue motrice sur un plan incliné : démarrage en côte puis vitesse constante Freinage d une voiture sans dérapage Oscillations amorties par frottement solide Cylindre roulant sur l arête rectiligne d une table Boule de billard roulant et glissant sur une table Conclusion ous avons vu dans cette leçon que les lois phénoménologiques du frottement ne sont pas les mêmes s il y a glissement ou non-glissement Il faut remettre le problème en équation chaque fois que l on passe d une situation à l autre La solution est donc à priori plus complee que celle d un problème sans frottement à une équation différentielle D autre part les actions de contact ne sont pas connues au départ Ce sont les lois empiriques du frottement qui permettent de relier les composantes de ces forces et de réduire le nombre de paramètres Bibliographie JP Pérez, Mécanique, Masson, 997 M Bertin, JP Farou, J enault, Mécanique et 2, Dunod, 994