Contrôle commun : 4 heures

Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations. 3. Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle ]0 ; + [. Encadrer α par deux entiers consécutifs. 4. On donne l algorithme suivant : Demander les valeurs de a, b et r. Tant( que b ) a > r a + b Si f < 0 alors a prend la valeur a + b Sinon b prend la valeur a + b Fin Si Fin Tant que Afficher les valeurs de a et b. (a) Quelles sont les valeurs affichées lorsqu on exécute cet algorithme avec les valeurs a = 1, b = et r = 0, 5. On fera figurer sur la copie toutes les étapes du calcul. (b) Que peut-on en déduire pour α? 1

PARTIE B Le plan est muni d un repère orthonormal (O; i, j ). On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction ln, ainsi que la droite D d équation y = x. On note E le point d intersection de la courbe C et de la droite D. 4 y 3 1 E 3 1 1 3 4 5 6 x 1 On considère l aire en unités d aire, notée A, de la partie du plan située au dessus de l axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D. 1. Déterminer les coordonnées du point E.. Soit I = α 1 ln x dx. (a) Donner une interprétation géométrique de I. (b) Montrer que la fonction g définie sur ]0; + [ par g(x) = x ln x x est une primitive de la fonction ln sur cet intervalle et en déduire la calcul de I. (c) Montrer que I peut aussi s écrire I = α + α + 1 sachant que f(α) = 0. 3. Calculer l aire A en fonction de α.

Exercice (5 points) Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O; u, v) ; unité graphique cm. On appelle A et B les points du plan d affixes respectives a = 1 et b = 1. On considère l application f qui, à tout point M différent du point B, d affixe z, fait correspondre le point M d affixe z définie par z = z 1 z + 1 On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice. 1. Déterminer les points invariants def c est-à-dire les points M tels que M = f(m).. (a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 1, (z 1) (z + 1) =. (b) En déduire une relation entre z 1 et z + 1, puis entre arg (z 1) et arg (z + 1), pour tout nombre complexe z différent de 1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d angles. 3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon, alors M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. 4. Soit le point P d affixe p = + i 3. (a) Déterminer la forme exponentielle de (p + 1). (b) Montrer que le point P appartient au cercle (C). (c) Soit Q le point d affixe q = p où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P et Q sont alignés. (d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P du point P par l application f. 3

Exercice 3 (5 points) Dans cet exercice, toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Les questions sont indépendantes. 1. L espace est muni d un repère orthonormal (O; i, j, k ). Soit la droite (D) dont une représentation paramétrique est Soit la droite (D ) dont une représentation paramétrique est Les droites (D) et (D ) sont-elles coplanaires? x = 1 + t y = 3t z = 1 t t R. x = t y = 1 + t z = t t R.. On désigne par P le plan d équation x + y z = 4, par Q le plan d équation x + 3y z 5 = 0 et par D la droite passant par le point A( ; 3 ; 0) et de vecteur directeur u (1 ; 0 ; 1). La droite D est-elle l intersection des plans P et Q? 3. Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de d espérance 0,5. A-t-on P X>1 (X ) = e e 4? 4. X suit une loi N (10, 0). La variable aléatoire Z = X 10 suit-elle une loi normale centrée réduite? 0 A-t-on P (X 107, ) = 1 P (X 13, 8)? 5. Dans une fabrique de vis, une machine met les vis en cartons qui peuvent contenir 540 vis. Pour être commercialisable, la boite doit contenir au moins 480 vis. La quantité de vis mises dans le carton par la machine peut être modélisée par une loi normale d espérance µ et d écart type 5. Le directeur souhaite que moins de 10% des boîtes contiennent plus de 50 vis et que moins de 10% des boîtes soient trop peu remplies pour être commercialisables. Est-il possible de trouver une valeur de µ pour satisfaire le directeur? 4

Exercice 4(5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. Deux marques X et Y d un dentifrice occupent un secteur de consommation. Chaque mois, les consommateurs de la population étudiée utilisent une et une seule de ces marques. Soit n un entier naturel. Pour un consommateur pris au hasard, on désigne par X n (respectivement Y n ) l évènement :" La marque X (respectivement Y ) est utilisée au cours du n-ième mois". Les probabilités des évènements X n et Y n sont respectivement notées x n et y n. Au cours du mois d essai (n = 0), on a observé les valeurs initiales : x 0 = 1, y 0 = 0. D autre part, par sondage, on a pu déterminer les intentions des consommateurs que l on supposera constantes. La probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque X au cours du mois n, de continuer à adopter la marque X au cours du mois suivant est 0,3. La probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque Y au cours du mois n, d adopter la marque X au cours du mois suivant est 0,4. 1. Décrire cette situation à l aide d un arbre pondéré.. Pour tout entier naturel n, exprimer x n+1 et y n+1 en fonction de x n et y n. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : x n+1 = 0, 1x n + 0, 4. 4. Déterminer le réel c tel que c = 0, 1c + 0, 4. 5. Pour tout entier naturel n, on pose u n = x n c. Montrer que (u n ) est une suite géométrique, et en déduire l expression de x n et de y n en fonction de n. 6. Que conclure de l utilisation, à long terme, des marques X et Y? 7. On admet qu au bout d un an, 4 personnes sur 11 utilisent le dentifrice X. On interroge alors au hasard 0 personnes de la population étudiée. Quelle est la probabilité que, parmi ces 0 personnes, au moins 5 personnes utilisent le dentifrice Y? On donnera une valeur approchée à 10 4 près. 5

Exercice 4 (5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. On considère un produit de consommation distribué exclusivement par trois circuits concurrents X, Y et Z. Le volume distribué est chaque mois constant, mais sa répartition change selon la demande. On suppose que d un mois au suivant : X perd 30% de son volume distribué le mois précédent au profit de Y et 30% au profit de Z ; Y perd 30% de son volume distribué le mois précédent au profit de X et 30% au profit de Z ; Z perd 0% de son volume distribué le mois précédent au profit de X et 10% au profit de Y ; Au départ, X distribue 10% du marché, Y distribue 0% du marché et Z le reste. Pour tout entier naturel n, on note x n, y n et z n les pourcentages du volume total distribué respectivement par les circuits X, Y et Z au bout de n mois. 1. Traduire cette situation par un graphe probabiliste à trois sommets.. Pour tout entier naturel n, exprimer x n+1, y n+1 et z n+1 en fonction de x n, y n et z n. 3. On considère ( les matrices ) :( ) ( ) 0, 0, 1 xn 0, A =, U 0, 0, 3 n = et B =. y n 0, 1 Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : U n+1 = AU n + B. 4. On désigne par I la matrice identité de taille. En remarquant que la matrice I A est inversible, déterminer une matrice colonne C telle que C = AC + B. 5. Pour tout entier naturel n, on pose V n = U n C. Démontrer que V n = A n V 0, pour tout entier naturel n. 6. Vérifier ( à l aide d une calculatrice que : 0, 4 0 A = P 0 0, 1 ) P 1 où P = 1 3 ( 1 1 1 ). En déduire que, pour tout entier naturel n : A n = P ( ) 0, 4 n 0 0 0, 1 n P 1. 7. Que peut-on dire des coefficients de la matrice A n lorsque n tend vers +? 8. Que conclure de la répartition, à long terme, de la distribution du produit? 6