Séquence Fonctions numériques Continuité Objectifs de la séquence Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues. Étudier le sens de variation d une fonction pour résoudre un problème concret d optimisation. Utiliser le sens de variation d une fonction en Économie. Trouver, à l aide d une calculatrice, des solutions approchées à des équations du type f () = k. Sommaire 1. Pré-requis. Étude de fonctions (révisions 1 re ES). Notion de continuité sur un intervalle. Résolution d équations du type f () = k 4. Synthèse de la séquence 5. Eercices de synthèse Séquence MA01 1
1 Pré-requis A Dérivée des fonctions «puissances» Dérivée de u+ v, de ku, de uv Problème d optimisation 1. Dérivées des fonctions n. Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Fonction f Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité k 0 R Cas particuliers 1 R R R 4 4 R Cas général n (n entier naturel non nul) n n-1 R Soit u et v deu fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel. Somme ( u+ v)' = u' + v' Produit d une fonction par un réel ( ku )' = k u' Produit ( uv )' = u' v + uv ' Carré ' ( u ) = uu' Séquence MA01
Eercice On considère les fonctions polynômes f, g, h définies pour tout réel par : f( ) = + 0, 5 + 6 g( ) = + 1 4 4 h ( ) = +. Déterminer les fonctions dérivées des trois fonctions f, g et h. Solution Pour tout réel on a 4 8 f'( ) = 6 + + 6 g'( ) = + 6 h'( ) = +.. Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d une fonction. Problème d optimisation Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. f f f '( ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I ; '( ) 0 sur I équivaut à f est croissante sur I ; '( ) 0 sur I équivaut àf est décroissante sur I. Eercice On donne une droite ( ' ) un point fie H sur ( ' ) Une fonction qui est croissante et décroissante sur un intervalle I est constante sur I. une demi-droite [ Hy ) perpendiculaire à la droite ( ' ). y S A B H Figure 1 Soit S un point mobile de la demi-droite [ Hy ). On construit alors, si c est possible, un triangle isocèle SAB tel que SA = SB =6, avec A [ H') et B [ H). (voir figure 1). On pose HB = et HS = h. Dire à quel intervalle [ a; b ] appartient le réel. Calculer l aire du triangle SAB lorsque = a, puis lorsque = b. 4 Séquence MA01
Eprimer h en fonction de. On pose ( ) = aire ( SAB). Eprimer ( ) en fonction de et de h, puis uniquement en fonction de. On pose, pour a b, f( )= [ ()]. a) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe. b) Dresser le tableau de variation de f sur [ a; b ]. c) Pour quelle valeur de la fonction f est-elle maimale? Calculer la valeur de ce maimum. a) En déduire pour quelle valeur de l aire du triangle SAB est maimale. Donner la valeur de l aire maimale. b) Quelle particularité présente alors le triangle SAB? Solution Le point S peut se déplacer entre deu positions limites sur la demi-droite [ Hy ) : le point H et le point K tel que HK = 6. Si S = H alors = 6 et si S = K alors = 0. Ainsi [ 0; 6 ]. Lorsque = 0 on a A= B = H; le triangle SAB se réduit à un segment vertical. Lorsque = 6 les points A, Set B sont alignés ; le triangle est un «triangle aplati». D où, pour = 0 ou = 6 l aire du triangle SAB est nulle. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SHB. On a h = 6 d'où, comme h> 0, h= 6. 1 On obtient ( ) = aire( SAB ) = AB HS = HB HS On en déduit ( ) = 6 pour 0 6. soit ( ) = h. a) On a alors f( ) = ( 6 ). Pour dériver f on peut poser u ( ) = v ( ) = 6 u'( ) = d où. v'( ) = On obtient f'( ) = ( 6 ) + ( ) = ( 6 ) = 4( 18 ), soit f'( ) = 4( )( + ). 4( )( + ) = 0pour { 0; ; }. Seules les deu premières valeurs annulent f'( ) car elles appartiennent à l intervalle 0 ; 6. Séquence MA01 5
Pour [ 0; 6 ] on a + > 0et 0. La dérivée f'( ) a donc le même signe que. > 0pour 0 < et < 0pour < 6. Le signe de f'( ) est donné dans le tableau suivant : 0 6 0 + + + + + + 0 f'( ) 0 + 0 La fonction f est croissante sur 0; ; décroissante sur ; 6. On pouvait aussi développer f( ) et dériver l epression obtenue, c est-à-dire 4 + 6. Remarque b) On en déduit le tableau de variation de la fonction f sur [ 0 ; 6]. 0 6 f '( ) 0 + 0 f( ) 18 0 0 c) La fonction f est maimale pour = et fma = f( ) = 18. a) On sait que f () = [ ()] et que la fonction est croissante sur[ 0 ; + [. D où i si f( ) f( y) alors f( ) f( y) soit ( ) (y ) ; isi f( ) f( y) alors f( ) f( y) soit ( ) (y ). Les fonctions et f varient dans le même sens. L aire est maimale pour = et cette aire maimale est égale à 18. A S ma = 18 H Figure B 6 Séquence MA01
ma = ( ) = 18. b) Calculons la hauteur h= HS. Pour =, h = 6 ( ) = 18 = d où h=. On a donc HA = HB = HS et le triangle SAB est un triangle rectangle isocèle (c est un demi carré). B Dérivée d un quotient Équation d une tangente Problème d optimisation Soit u et v deu fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Inverse Quotient ' 1 v v = ' v ' u uv uv v = ' ' v Si, pour tout de I, v( ) 0. Soit Aa ( ; f( a)) un point situé sur la courbe représentative d une fonction f. Le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point A est égal au nombre dérivé f'( a). L équation de la tangente en A est de la forme y = f'( a) + b. Équation de la tangente en A y = f'( a) ( a) + f( a) d où b = f (a) af (a). Eercice Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ; ] par f( ) = 4. La courbe représentant la fonction f dans un repère d origine O est donnée sur la figure. Écrire l équation de la droite T K qui est la tangente à la courbe au point K d abscisse 1. Cette tangente coupe l ae des abscisses en E et l ae des ordonnées en F. Calculer l aire du triangle OEF. Figure Soit a un réel tel que 0< a et Aa ( ; f( a)) un point de la courbe. On désigne par T A la tangente en A à la courbe. Séquence MA01 7
Cette tangente T A coupe l ae des abscisses en M et l ae des ordonnées en N. a) Écrire l équation de la tangente T A. b) Déterminer, en fonction de a, les coordonnées des points M et N. Eprimer, en fonction de a, l aire du triangle OMN. Soit g ( + 4) la fonction définie sur l intervalle ] 0; ] par g ( ) =. 4 Déterminer sur un tableur les valeurs de g ( ) en prenant un pas de 0,1 entre deu valeurs consécutives de. Conjecturer le sens de variation de la fonction g sur ] 0; ]. Il semble qu il eiste une valeur 0 de pour laquelle g soit minimale. Trouver un intervalle [ α; β ] d amplitude 0, auquel 0 appartient. Déterminer sur un tableur, pour [ α; β ], les valeurs de g ( ) en prenant un pas de 0,01 entre deu valeurs consécutives de. En déduire une valeur approchée de 0. a) Déterminer le sens de variation de g sur l intervalle ] 0; ]. En déduire la valeur eacte du réel 0. b) Calculer l aire du triangle aire, arrondie à 0,01 près. OMN lorsque = 0. Donner une valeur de cette c) Écrire l équation de la tangente au point A 0 d abscisse 0. Solution La fonction f a pour dérivée la fonction f ' définie par f'( ) =. Le nombre dérivé au point K d abscisse 1 est f '( 1) =. Calculons f () 1 = 4 1=. L équation de la tangente en K est y = ( 1) + soit y = + 5. Le pointf est le point de la tangente d abscisse = 0. Pour = 0 on trouve y = 5. Ainsi F( 0; 5 ). Le point E est le point de la tangente d ordonnée y = 0. Pour y = 0 on trouve = 5,. Ainsi E( 5, ; 0 ). 1 1 5 L aire du triangle OEF est égale à 5 5 OE OF = =. D où 4 aire( OEF ) = 5. 4 F Figure 4 E 8 Séquence MA01
a) L équation de la tangente en A est y = f'( a)( a) + f( a) = a( a) + ( 4 a ) soit y = a + 4+ a. b) Le point N est le point de la tangente d abscisse = 0. Pour = 0 on trouve y = 4 + a. Le point M est le point de la tangente d ordonnée y = 0. Pour y = 0 on trouve 4 a a = + = +. (car a 0) a a a Ainsi M N a a 0 0 4 + ; et ( ; + ). L aire du triangle OMN est égale à 1 1 a OM ON = + 4 a a ( + ) soit ( 4 + a ) aire( OMN ) =. 4a On pose, pour 0<, g ( + 4) ( ) = 4 Les valeurs de g ( ) sont obtenues à l aide du tableur «OpenOffice.org Calc».. La fonction g semble être d abord décroissante puis ensuite croissante. La valeur de pour laquelle le sens de variation change est égale à 1, environ. On a 1,1 1, 1, On en déduit qu il eiste un réel 0 11, ; 1, tel que g soit minimale g ( ) 6,169 6,165 6,6 pour = 0. Séquence MA01 9
En prenant un pas de 0,01 sur l intervalle[ 11, ; 1, ] on trouve que g semble être minimale pour 0 115,. a) Déterminons la fonction dérivée de la fonction g. Posons u ( ) = ( + 4) v ( ) = d où u'( ) = ( + 4)( ). v'( ) = 1 Remarque On a 1 ( + 4)( ) ( 4) + 1 ( + 4)(4 4) g'( ) = = 4 4 1 ( + 4)( 4) g'( ) =. 4 La dérivée a le même signe que 4 = ( )( + ). La seule valeur comprise entre 0 et et qui annule la dérivée est = = Ainsi 0 =. On a g'( ) < 0 pour 0 < < et g'( ) > 0 pour La fonction g est décroissante sur 0 ; et croissante sur minimale pour =. La calculatrice nous donne trouvé à l aide du tableur. <.. ;. Elle est = 1154,... Ce résultat est cohérent avec celui b) Si on appelle l abscisse du point A alors aire( OMN ) = g( ). On peut dire que l aire du triangle OMN est minimale pour =. 4 + 4 Cette aire minimale est égale à g ( 0 ) = 8 D où airemin = soit airemin = 6, 158... 9 =. 9 Une valeur arrondie à 0,01 près de cette aire est 6,16. Cet eercice montre que les valeurs pour lesquelles une fonction admet un etremum ne sont pas toujours des valeurs «simples» et évidentes à trouver. ( ) a pour équa- c) La tangente au point A0 0; g( 0) tion y = + 4+ = + 4 + 4 0 0 soit 4 16 y = +. 10 Séquence MA01
Étude A de fonctions (révisions 1 re ES) Objectifs du chapitre Revoir les notions de nombre dérivé et de fonction dérivée. Comprendre le lien entre signe de la dérivée et variation de la fonction. Étudier des fonctions «coûts» (coût total, coût moyen, coût marginal). Appréhender la notion d etrema dans des situations concrètes. B Activité 1 Pour débuter Étude d une fonction coût Une entreprise fabrique et vend une quantité d objets. La capacité maimale de production de l entreprise est de 0 objets. Le coût total de fabrication de objets, eprimé en euros, est donné par C( ) = 54 + 500 + 9. On désigne par ( C ) la courbe représentative de la fonction C dans un repère du plan. Étudier le sens de variation de la fonction C sur l intervalle 0 ; 0. Dresser le tableau de variation de C. Soit A le point de ( C ) d abscisse = 14. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ( C ) au point A. Par quel point particulier passe cette tangente? Chaque objet est vendu 0. R( ) et B ( ) désignent respectivement la recette et le bénéfice pour objets vendus. a) Eprimer R( ), puis B( ) en fonction de. b) La production est en réalité au moins égale à 5 objets. Étudier le sens de variation de la fonction B sur l intervalle [ 5; 0 ] et dresser son tableau de variation. c) Pour combien d objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maimal? Quel est ce bénéfice maimal? a) Déterminer le nombre minimal et le nombre maimal d objets fabriqués et vendus permettant à l entreprise de rester bénéficiaire. Séquence MA01 11
b) L entreprise veut réaliser un bénéfice d au moins 500. Déterminer, à l aide de la calculatrice, toutes les valeurs entières de (nombre d objets produits et vendus) assurant un tel bénéfice. Activité Fonction de demande et élasticité Partie A Étude d une fonction 0( + 1) On considère la fonction f définie sur R par f( ) =. + + Montrer que f est bien définie sur R. a) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. Partie B Fonction de demande et élasticité Une étude effectuée sur un produit informatique a conduit à modéliser la fonction de demande de ce produit informatique par la fonction f étudiée dans la partie A, définie uniquement pour 0. Le nombre f( ) représente la quantité demandée, eprimée en milliers d objets, lorsque le pri unitaire est égal à centaines d euros. a) Calculer le nombre d objets demandés lorsque le pri unitaire est égal à 600 euros. b) Calculer le nombre d objets demandés lorsque le pri unitaire de 600 euros augmente de 1 %. c) En déduire le pourcentage d évolution de la demande, suite à cette augmentation de pri. «L élasticité» E( ) de la demande par rapport au pri est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% du pri. f On admet qu une bonne approimation de E( ) est donnée par E( ) = '( ) f( ). ( + ) a) Démontrer que E ( ) =. ( + 1)( + + ) b) Déterminer le signe de E( ) sur[ 0 ; + [ et interpréter le résultat. c) Conjecturer, à l aide de la courbe représentative de la fonction E obtenue sur l écran d une calculatrice, le sens de variation de la fonctione sur [ 0 ; + [. À l aide d une calculatrice trouver le pri, arrondi à l euro, pour lequel l élasticité est égale à 0,5. d) Comment évolue la demande lorsque le pri passe de 600 à 606 euros? Comment évolue la demande lorsque le pri passe de 100 à 101 euros? 1 Séquence MA01
C Cours 1. Nombre dérivé en un point a a) Définitions Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+ h deu réels de I (avec h 0). Le tau d accroissement (ou tau de variation) de f entre a et a+ h est le fa ( + h) fa ( ) rapport. h Définition fa ( + h) fa ( ) Si le rapport admet une limite finie quand h tend vers h zéro, on dit que f est dérivable en a et que cette limite est le nombre dérivé de f en a. Notation Le nombre dérivé de f en a se note f'( a). fa Ainsi f est dérivable en a si lim ( + h ) fa ( ) = f'( a). h 0 h b) Interprétation graphique y f (a+h) f (a) O A a Figure 5 M a + h T A A est un point fie de. M est un point mobile de. Soit a ; sa courbe représentative ; A(a ; f (a)) et M (a + h ; f (a + h)) deu points de. fa ( + h) fa ( ) Le coefficient directeur de ( AM ) est m =. h Le tau de variation de f entre a et a + h est donc égal au coefficient directeur de la droite ( AM ). Séquence MA01 1
Lorsque h " tend vers 0", M se rapproche de A et le tau de variation tend vers le nombre dérivé f'( a). Lorsque M se rapproche de A, les sécantes ( AM ) ont pour position limite la tangente en A à la courbe. La tangente en A, notée T A, a donc pour coefficient directeur f'( a). L équation réduite de la tangente est de la forme y = f'( a) + b. En écrivant qu elle passe par A on obtient f( a) = af'( a) + bd où b = f( a) af'( a). Ainsi y = f'( a) ( a) + f( a) c) Coût total, coût moyen, coût marginal Une entreprise fabrique des objets en quantité q ( q 0). coût total de production (coût fie + coûts variables) est noté C( q); Cq coût moyen de production est défini, pour q 0, par CM ( q ) ( ) = ; q coût marginal de production est la variation du coût total occasionnée par la production d une unité supplémentaire : le coût marginal Cma ( q) est donc le coût de production de la ( q +1) -ième quantité. Cq Cq On peut écrire C ma ( q ) Cq ( ) Cq ( ) ( + 1 ) = + 1 = ( ). ( q+ 1) q Le coût marginal représente le tau de variation de C entreq et q +1. On peut considérer que 1 est «petit» par rapport au grandes quantités q ce qui implique que le nombre dérivéc'( q) est une bonne approimation du coût marginal. Dans la pratique on prend Cma ( q) C'( q). = coût marginal nombre dérivé Les courbes de la figure 6 montrent l allure la plus classique des courbes représentatives des fonctions coûts. Soit q 0 la valeur de q pour laquelle le coût moyen est minimum. i C '( q0 ) = Cma ( q0 ) = CM ( q0 ); On montre que i si la fonction C M est décroissante alors Cma ( q) CM ( q); i si la fonction C M est croissante alors Cma ( q) CM ( q). Soit M( q; Cq ( )) un point quelconque de la courbe ( C ). Le coefficient directeur de la sécante ( OM ) est m Cq ( ) = = C q q M ( ). Remarque Ce coefficient directeur m est minimum lorsque la sécante Voir les corrigés des eercices d apprentissage 1 et La tangente à la courbe ( C ) au point A0( q0 ; C( q0)) passe ( OM ) est tangente à la courbe. par l origine du repère. 14 Séquence MA01
Soit q 1 la valeur de q pour laquelle le coût marginal est minimum et B le point de la courbe ( ) C d abscisseq 1. On étudiera dans la séquence 8 (sur des eemples) les positions relatives de la tangente en B et de la courbe ( C ). Courbes de fonctions coûts C B (C) A 0 Tangente en A 0 C ma C M O q 1 q 0 q Figure 6. Fonction dérivée a) Définitions Définition Si une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I, La fonction qui à chaque valeur de I associe le nombre dérivé de f en est la fonction dérivée première qui se note f' (dans la pratique on dira «fonction dérivée» ou même parfois «dérivée»). Séquence MA01 15
b) Fonctions dérivées usuelles Fonction f Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité k 0 R 1 1 ] ; 0 [ ] 0 ; + [ 1 0; + n (n entier naturel non nul) n n-1 R Ce formulaire sera enrichi au séquences 4 et 5 où de nouvelles fonctions (" ep" et " ln") seront étudiées. Remarque La fonction est bien définie en 0 mais elle n est pas dérivable en 0. h 0 1 On a lim = lim. Intuitivement on voit que lorsque h tend h 0 h h 0 h vers 0 (c est-à-dire lorsque h devient infiniment petit) l inverse de h n a pas de limite finie (en fait il devient infiniment grand). Eemple 1 Soit f la fonction définie sur R parf( )= et dans un repère du plan. sa courbe représentative Donner une équation de la tangente au point A de la courbe d abscisse a = 1. Solution La fonction f est dérivable sur R etf'( ) =. Le coefficient directeur de la tangente en A est égal à. Une équation de la tangente en A est donc y = + b. Au point A( 1; 1 ) on a : 1= ( 1) + b d où b = 1. La tangente en A a pour équation y = 1. 16 Séquence MA01
c) Opérations sur les fonctions dérivables (rappel) Soit u et v deu fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel. Somme ( u+ v)' = u' + v' ( uv )' = u' v + uv ' Produit Cas particuliers ' ( ku ) = ku' ( ) = = u ' ( u u)' uu' u ' uv uv v = ' ' v Quotient Cas particuliers 1 ' v v = ' v k ' kv v = ' v Si, pour tout de I, v() 0. Eemple Trouver les fonctions dérivées des fonctions polynômes définies sur R par : f( ) = + + +. f( ) = 0, 5 + 9 66. 1 4 f( ) = + +. 1 4 f( ) = 56 + +. 5 9 Solution f'( ) = + + 1. f'( ) = + 9. f'( ) = + 9 +. f 1 4 '( ) = + +. 5 Eemple Solution Déterminer les fonctions dérivées des fonctions f définies sur 0; + par : 1 f( ) =. + 1 5 f( ) =. Posons v( )= + 1 d où v ( ) =. Ainsi f'( ) =. ( + 1) Posons v( )= d où v ( ) = = ( + 1). f( ) = 1. 5 ( ) Ainsi f ( ) = + 1 soit f 10( + 1) '( ) =. ( ) ( + ) Séquence MA01 17
Posons v ( )= d où v'( ) = 1. 1 f'( ) =. 1 Ainsi f'( ) =, soit ( ) Eemple 4 On définit, pour > 0, la fonction f parf( ) =. Déterminer la fonction dérivée de f. Solution Pour > 0, les fonctions et sont dérivables. Remarque On peut montrer, en revenant à la définition du nombre dérivé en 0, que la fonctionf est dérivable en 0. f lim ( 0+ h ) f ( 0 ) h h = lim = lim h = 0. h 0 h h 0 h h 0 On obtient f '( 0) = 0. Posons u( )= et v( ) =. D où u ( ) = 1 et v'( ) = 1. La formule ( uv )' = u' v + uv ' nous donne f'( ) = + 1. = + On obtient f'( ) =. Eemple 5 Calculer les fonctions dérivées des fonctions f définies par : f( ) = + 1 1. + f( )=. f( ) =. + 1 + + 1 (on ne s occupe pas des ensembles de définition des fonctions f et f') Solution u ( ) = + 1 Posons v ( ) = + d où u'( ) = 1. v'( ) = u'( ) v( ) u( ) v'( ) ( ) ( ) On a f'( ) = = + + 1 v ( ) ( + ). 5 Ainsi f'( ) =. ( + ) u ( ) = 1 u'( ) = Posons d où. v ( ) = + 1 v'( ) = ( + 1) ( 1) 4 On a f ( ) = soit f'( ) =. ( + 1) ( + 1) 18 Séquence MA01
Posons u ( ) = u'( ) = 1 d'où v ( ) = + + 1 v'( ) = + 1 + + 1 ( + 1) + + 1 On a f'( ) = = ( + + 1) ( + +1) Remarque 1 soit f'( ) =. Il est déconseillé de développer le ( + + 1) dénominateur dans ce genre de dérivées.. Signe de la dérivée et variation de la fonction a) Propriété fondamentale Propriété 1 (rappel) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I etf ' sa fonction dérivée. f'( ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I. f'( ) 0 sur I équivaut à f est croissante sur I. f'( ) 0 sur I équivaut à f est décroissante sur I. Si pour tout de I, f () > 0 sauf peut-être pour des valeurs isolées de où f () s annule, alors la fonction f est strictement croissante sur I. Si pour tout de I, f () < 0 sauf peut-être pour des valeurs isolées de où f () s annule, alors la fonction f est strictement décroissante sur I. Remarque On parle de fonction croissante ou décroissante uniquement sur des intervalles. (la fonction «inverse» i : 1 est décroissante sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [, mais elle n est pas décroissante sur ] ; 0[ ] 0 ; + [. En effet 1< 1 et i( 1) < i( 1 )). Une fonction qui est, soit croissante, soit décroissante sur I est dite monotone sur I. Séquence MA01 19
Eemple 6 On a obtenu, sur l écran d une calculatrice, les courbes C 1 et C représentatives de deu fonctions f 1 et f définies sur R (voir figure 7). L une représente une fonctionf, l autre représente sa dérivée f '. Trouver quelle courbe représente la fonction f et quelle courbe représente sa dérivée. C 1 C 1 Figure 7 Solution Sur l intervalle[ 0; 1 ] on a f( ) 0 et f 1 croissante. La fonction f ne peut donc pas être la dérivée de la fonction f 1. Sur l intervalle ] ; ] on a f1( ) 0 et f croissante ; Sur l intervalle [ ; 0 ] on a f1( ) 0 et f décroissante ; Sur l intervalle [ 0 ; + [ on a f1( ) 0 et f croissante. La fonction f 1 est la dérivée de la fonctionf. La courbe C représente la fonction f alors que C 1 représente la dérivée f '. Eemple 7 b) Notion d etremum 4 4 Soit f la fonction définie sur R par f( )= + 4 + représentative dans un repère du plan. 17 et sa courbe Déterminer la fonction dérivée f ' et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation. Afficher la courbe sur l écran d une calculatrice. { } Que peut-on dire de la fonction f lorsque ; 0; 1? Solution et La fonction f est une fonction polynôme dérivable sur R. La fonction dérivéef ' est définie sur R par : f'( ) = 4 + 4 8 = 4( + ) = 4( 1)( + ). La fonction dérivée s annule pour =, pour = 0 et pour = 1. Déterminons le signe de f'( ). 0 1 + 4 0 + + 1 0 + + 0 + + + f'( ) 0 + 0 0 + 0 Séquence MA01
La fonction f est croissante sur [ ; 0 ] et sur[ 1 ; +. [ La fonction f est décroissante sur ] ; ] et sur[ 0; 1 ]. Le tableau de variation de f est le suivant : 0 1 + Voici la courbe obtenue sur l écran d une calculatrice : f'( ) 0 + 0 0 + f( ) 17 5 4 Pour les valeurs =, = 0 et = 1 la dérivée s annule en changeant de signe. La fonction f change alors de sens de variation et admet, pour ces trois valeurs de, soit un minimum, soit un maimum. Sur l intervalle ] ; 0 ] la fonction f admet un minimum égal à 5 pour =. Sur l intervalle [ ; 1 ] la fonction f admet un maimum égal à 17 = 0. pour Quand on parle de maimum, ou de minimum, il faut toujours préciser sur quel intervalle. Sur l intervalle [ 0 ; + [ la fonction f admet un minimum égal à 4 pour = 1. Sur R la fonction f admet un minimum (absolu) égal à 5 pour =. [pour tout réel, f () 5] Définition 4 Un etremum est, soit un minimum, soit un maimum. Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I = [ a ; b ], avec a< b. Si le tableau de variation de f sur I est l un des deu tableau suivants alors f admet un etremum sur I. Séquence MA01 1
a 0 b f '( ) f '( ) La dérivée s'annule en 0 + 0 f '( ) + 0 en changeant Min de signe. a 0 b f( ) Ma Pour tout [ a ; b] on a f( ) f( ). 0 Sur I = [ a ; b ], la fonction f admet un minimum en 0. Ce minimum est égal à f( ). 0 Pour tout [ a ; b] on a f( ) f( ). 0 Sur I = [ a ; b ], la fonction f admet un maimum en 0. Ce maimum est égal àf( ). 0 Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I = [ a ; b ]. Si la fonction f admet un etremum pour = c, avec a < c < b, alors f'( c) = 0. Conséquence graphique Si une fonction dérivable f admet un etremum pour = c, alors la tangente à la courbe représentant f, au pointc( c ; f( c) ), est parallèle à l ae des abscisses. La réciproque de la propriété précédente est fausse, c est-à-dire que la dérivée d une fonction peut s annuler en un point sans qu il y ait etremum. Montrons ceci sur un eemple très simple. Eemple 8 Solution Soit f la fonction «cube» définie sur R par f( )= et sa courbe représentative dans un repère du plan. Montrer que la dérivée s annule pour une valeur de. La fonction f admet-elle un etremum pour cette valeur de? On a f( )= d où f'( ) =. Ainsi f '( 0) = 0 et, pour tout 0, f'( ) > 0. La fonction f est strictement croissante sur R et n admet donc pas d etremum pour = 0 (voir, figure 8, la courbe obtenue sur l écran d une calculatrice). Au point O( 0; 0 ) la tangente à la courbe est l ae des abscisses, d équation y = 0. Figure 8 Séquence MA01
D Eercice 1 Eercice Eercices d apprentissage Le coût total de fabrication pour une entreprise s eprime en fonction du nombre q d objets produits. On le note C( q). Cq Le coût moyen de production est défini, pour q 0, par CM ( q ) ( ) =. q Le coût marginal de production est défini à partir de la dérivée c est-à-dire que Cma ( q) = C'( q). On suppose qu il eiste un niveau de production q 0 pour lequel le coût moyen est minimum. Démontrer que pour q = q 0 le coût moyen est égal au coût marginal. Soit A 0 le point de la courbe représentant la fonction «coût total» dont l abscisse est q 0. Montrer, qu en ce point A 0, la tangente à la courbe représentant la fonction «coût total» passe par l origine du repère. On reprend la fonction coût de l activité 1 définie sur l intervalle[ 0; 0 ] par C ( ) = 54 + 500 + 9. Déterminer la fonction «coût moyen», notée C M, définie sur l intervalle [ 5; 0 ]. a) EprimerC' M ( ) en fonction de. b) Montrer que cette dérivée a le même signe que 7 196 = ( 14)( + + 14). c) Étudier le signe de la fonction dérivée C ' M et en déduire le tableau de variation de la fonction C M. a) Déterminer la fonction «coût marginal», définie sur l intervalle[ 5; 0 ] par Cma ( ) = C'( ). b) Etudier la fonction C ma (signe de la dérivée ; tableau de variation). c) Vérifier que lorsque le coût moyen est minimal il est égal au coût marginal. Tracer les courbes représentatives des deu fonctions C M et C ma. On choisira un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour un objet en abscisse et 1 cm pour 100 euros en ordonnée). Eercice Partie A On considère les fonctions C et B définies sur l intervalle [ 0; 60 ] par C ( )= 450 5 et B( ) = + 55 450. Le plan est muni d un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : cm pour 10 unités en abscisse 1 cm pour 100 unités en ordonnée. Séquence MA01
Tracer la courbed, représentative de la fonctionc sur l intervalle[ 0; 60 ]. Trouver le signe de la fonction B', dérivée de la fonctionb. Dresser le tableau de variation de la fonctionb. Tracer la courbe ( B ) représentative de la fonction B sur l intervalle[ 0; 60 ]. a) Résoudre l inéquation B( ) 0. b) D après les représentations graphiques des fonctions C et B, le segment d représentant la fonction C semble tangent à la courbe ( B ) au point d abscisse 0. Justifier cette conjecture. Partie B Un stade peut accueillir 50 000 personnes. On suppose que le pri d un billet, eprimé en euros, est le même pour tous les spectateurs et que le nombre de spectateurs N( ) est fonction du pri du billet. On estime quen( ) = 50 000 1 000. Organiser un spectacle coûte 00 000 euros d installation auquels s ajoutent des frais qui s élèvent à 5 euros par spectateur. Montrer que la dépense totale pour un spectacle, eprimée en milliers d euros, est donnée en fonction du pri d un billet parc( ). Montrer que la recette pour un spectacle, eprimée en milliers d euros, est donnée par 50. En déduire que le bénéfice pour un spectacle, eprimé en milliers d euros, est donné par B( ). En eploitant les représentations graphiques et les résultats de la partie A déterminer : a) Le pri du billet correspondant à un bénéfice maimum. b) Les valeurs de pour lesquelles le bénéfice est positif ou nul. Eercice 4 Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence f() t de personnes connaissant le nom de ce 00t remède après t semaines de publicité est donnée par f()= t pour t 0. t + Calculer f (). 1 En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout d une semaine. Résoudre les équations f()= t 75 et f() t = 9, 75. Interpréter les résultats obtenus. Déterminer la fonction dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; 18]. 4 Séquence MA01
Eercice 5 y 100 90 80 70 60 50 40 0 0 10 Tracer la courbe C, représentative de la fonction f sur l intervalle [ 0 ; 18 ], dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 0,5 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée. Soit T A la tangente à la courbe C au point A d abscisse 1. Déterminer une équation de T A et tracer la tangente. a) Déterminer le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90 % de la population connaisse le nom du remède. b) Combien faut-il de semaines pour passer de 90 % à 95 %? c) Le ministère a décidé d arrêter la campagne au bout de si semaines. Justifier ce choi. Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction toute fonction f définie sur une partie de R et à valeurs dans l intervalle [0 ; 100]. On dit qu il y a «saturation» lorsque la satisfaction est maimale, c est-à-dire lorsque la fonction f prend la valeur 100. On définit de plus la fonction «envie» v, dérivée de la fonction f ; on a donc v = f'. On dit qu il y a «envie» lorsque v est positive, sinon on dit qu il y a «rejet». Chaque partie traite d un modèle différent. Les trois parties sont indépendantes. Partie A L allure de la courbe représentative d une fonction de satisfaction f définie et 0 1 4 5 6 7 8 Figure 9 dérivable sur l intervalle [ 0; 8 ] est donnée sur la figure 9. a) Pour quelle quantité de produit y a-t-il saturation? b) Sur quel(s) intervalle(s) y a-t-il envie? Y a- t-il rejet? a) Par lecture graphique, donner v( 4 ). b) Eprimer v( ) en fonction de sachant que v est une fonction affine définie sur [ 0; 8 ] vérifiant v( 0) = 50. c) En déduire le sens de variation de la fonction v sur [ 0; 8 ]. La fonction f s eprime en fonction de par f( ) = a + b + c. À l aide du graphique déterminer les trois réels a, b et c. Séquence MA01 5
Partie B La fonction de satisfaction f pour un salaire dans une entreprise est modélisée, 100 pour tout de [ 0 ; + [, par f( )= où désigne le salaire annuel d un + 1 employé en milliers d euros. Montrer que, pour tout de [ 0 ; + [, f( ) = 100 100. + 1 Pour quelle quantité de produit y a-t-il saturation? Déterminer la fonction «envie» v. Quel est le signe de la fonction v sur [ 0 ; + [? Sur quel intervalle y a-t-il «envie»? Sur quel intervalle y a-t-il «rejet»? Partie C Une agence de voyages propose différents types de formule pour les vacances et décide d étudier la satisfaction de ses clients concernant la durée en jours d une croisière. La fonction de satisfaction f est définie sur l intervalle [ 0; 0 ] par 000 f( ) =. + 100 Calculer f'( ) où f ' désigne la fonction dérivée de f sur [ 0; 0 ]. a) Étudier le signe def'( ). Sur quel intervalle y a-t-il «envie»? Sur quel intervalle y a-t-il «rejet»? b) Donner le sens de variation de f sur [ 0; 0 ] et dresser le tableau de variation de f. Quelle doit être la durée en jours de la croisière pour qu il y ait saturation? Déterminer sur quelle période le niveau de satisfaction des clients est supérieur ou égal à 80 % de la saturation. 6 Séquence MA01
Notion A de continuité sur un intervalle. Résolution d équations du type f () = k Objectifs du chapitre Définir la notion de fonction continue de manière «intuitive». Utiliser la propriété des valeurs intermédiaires pour trouver, à l aide d une calculatrice, des solutions approchées au équations du type " f( ) = k". B Pour débuter Activité Fuite de gaz Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d usine. L évolution du tau de gaz dans l air peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle 0; + par f( ) = + où est le nombre de minutes 1 ( + 1) écoulées depuis l accident et f( ) le tau de gaz dans l air eprimé en parties pour million (ppm). On appelle C f la courbe représentant la fonction f dans un repère orthogonal du plan (unités graphiques : 1 cm pour 1 min en abscisse et 1 cm pour 0,1 ppm en ordonnée). Partie A a) Soit f ' la fonction dérivée de f. Montrer que, pour 0, la fonction 61 ( ) dérivée s eprime parf'( ) =. ( + 1) b) Étudier le sens de variation de la fonctionf et dresser son tableau de variation sur l intervalle[ 0; 15 ]. c) Au bout de combien de temps le tau de gaz est-il maimal? Quel est ce tau maimal? Tracer la courbec f sur l intervalle[ 0; 15 ]. Le tau de gaz dans l air est négligeable lorsqu il est inférieur ou égal à 0,10 ppm. Au bout de combien de minutes le tau de gaz est-il devenu négligeable? Séquence MA01 7
On considère que le gaz a un effet irritant pour l organisme si le tau dépasse 0,6 ppm pendant plus d une minute. Déterminer si le personnel de l usine a été affecté ou non par la fuite de gaz. Partie B a) Déterminer, à l aide du graphique, le signe de f( ) pour [ 0; 15 ]. b) À l aide des résultats de la partie A, donner le nombre de solutions des équations : f( )= 0 f( ) = 05, f( ) = 075, f( ) = 080, À l aide du graphique et de la calculatrice déterminer les images parf des cinq intervalles suivants : [ 0; 0, ] [ 0, ; 05, ] [ 0, ; 07, ] [ 0, ; 1 ] [ 1 ; 5] Activité 4 Tarifs postau La majorité des tarifs postau ont augmenté le 1 er juillet 011. Les tarifs pour l envoi d une lettre prioritaire vers la France Métropolitaine sont indiqués dans un tableau. Soit f la fonction donnant le pri à payer (en ) pour l envoi d une lettre prioritaire, en fonction de son poids eprimé en grammes. Poids Tarifs nets en euros Jusqu à Vers France Métropolitaine 0 g 0,60 50 g 1,00 100 g 1,45 50 g,40 500 g,5 1 kg 4,0 kg 5,50 kg 6,40 Recopier et compléter le tableau suivant : 10 18 0 46 50 56 100 1 50 f () Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 0 ; 50 ]. Que peut-on dire de la fonctionf sur chacun des intervalles suivants? ] 0; 0] ] 0 ; 50] ] 50 ; 100] ] 100 ; 50 ] Déterminer les images parf des si intervalles suivants : ] 0; 0] ] 0; 50] ] 50 ; 50] [ 100 ; 00] [ 150 ; 00 ] [ 100 ; 500 ] 8 Séquence MA01
C Cours 1. Continuité d une fonction sur un intervalle On donne les courbes représentatives de cinq fonctions (voir figure 10). a b a c b a c b a b a b 1 4 5 Figure 10 On observe que les courbes 1 et 5 peuvent être tracées «d un seul trait» alors que pour tracer les courbes, et 4 il est nécessaire de «lever le crayon». Les fonctions représentées en 1 et 5 sont dites continues sur l intervalle [ a ; b ]. Les fonctions représentées en, et 4 ne sont pas continues sur l intervalle [ a ; b ]. Remarque La fonction représentée en est continue sur l intervalle [ a ; c [ et sur l intervalle ] c ; b ]. Le réel c n a pas d image. La fonction représentée en est continue sur l intervalle [ a ; c[ et sur l intervalle ] c ; b ]. Le réel c a pour image 0. La fonction représentée en 4 est continue sur l intervalle [ a ; 0 ] et sur l intervalle ] 0 ; b ]. Définition 5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est une fonction continue sur l intervalle I lorsque sa courbe représentative peut se tracer d un trait continu, c est-à-dire sans «lever le crayon». Séquence MA01 9
Propriété 4 (admise) Les fonctions dites «usuelles» sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Illustrons cette propriété en donnant quelques eemples. f est définie par Intervalle(s) où f est continue a + b R a + b + c R a + b + c + d R a ] ; 0[ et ] 0 ; + [ a b + c + d ; d c d et + c ; [ 0 ; + [ Dans les séquences 4 et 5 de nouvelles fonctions continues seront étudiées ("ep" et "ln"). On peut énoncer une autre propriété pour reconnaître si une fonction est continue ou non sur un intervalle I. Propriété 5 Si u et v sont deu fonctions continues sur un intervalle I, alors la somme u+ v et le produit uv sont continus sur I.. Dérivabilité et continuité Un critère pour savoir si une fonction est continue sur un intervalle est le critère de la dérivabilité. On admet la propriété suivante. 0 Séquence MA01
Propriété 6 Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet intervalle. La réciproque de la propriété 6 est fausse. Une fonction peut être continue sur un intervalle sans qu elle soit dérivable sur ce même intervalle. Donnons quelques eemples de fonctions continues sur un intervalle I et qui ne sont pas dérivables pour tout de I. Eemple 9 Donnons deu eemples de fonctions connues qui sont continues et qui ne sont pas dérivables en = 0. f : pour 0 f : pour réel Figure 11 Figure 1 La fonction f : est continue sur l intervalle I = [ 0 ; + [ (voir figure 11). Rappel (chapitre ) La fonction f : n est pas dérivable en 0. si 0 f( ) = = abs( ) = si 0. notation calculatrice La courbe de la fonction «valeur absolue» est formée de deu demi-droites (voir figure 1). fh On a lim ( ) f ( 0 ) h 1 = lim = lim. + h h + h h + 0 0 0 h 0 h Lorsque h 0 + cette limite n est pas finie. La fonction «racine carrée» n est pas dérivable en 0. La tangente à la courbe au point O( 0 ; 0 ) est verticale et on sait qu une droite verticale n admet pas de coefficient directeur. La tangente à la courbe en O( 0; 0 ) a pour équation = 0. La fonction f est continue sur R. fh lim ( ) f ( 0 ) h h = lim = lim = 1; + h h + h h + 0 0 0 h 0 h fh ( ) f( 0) h h lim = lim = lim = 1. h 0 h 0 h 0 h h 0 h On aurait deu nombres dérivés distincts en 0, ce qui est impossible. La fonction «abs» n est pas dérivable en 0. Séquence MA01 1
Eemple 10 La cycloïde (ou roulette de Pascal) Cet eemple nous montre une courbe «commune» selon le terme employé par Pascal. Histoire de la roulette Histoire de la roulette appelée autrement trochoïde ou cycloïde, où l on rapporte par quels degrés on est arrivé à la connaissance de cette ligne. La roulette est une ligne si commune, qu après la droite et la circulaire, il n y en a point de si fréquente ; et elle se décrit si souvent au yeu de tout le monde, qu il y a lieu de s étonner qu elle n ait point été considérée par les anciens, dans lesquels on n en trouve rien : car ce n est autre chose que le chemin que fait en l air le clou d une roue, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s élever de terre jusqu à ce que le roulement continu de la roue l ait rapporté à terre, après un tour entier achevé : supposant que la roue soit un cercle parfait, le clou un point dans sa circonférence, et la terre parfaitement plane. Z C Y L B G A F D Fig. 5 Etrait des œuvres complètes de Blaise Pascal (16 166) Tome troisième - Édition de 1880. La cycloïde est la trajectoire décrite par un point fie d un cercle qui roule sur une droite sans glisser (par eemple une marque faite sur une roue de vélo). On admet que la tangente à la courbe au pointo(0 ; 0) est verticale. Comme elle n a pas de coefficient directeur cela signifie que la fonction qui correspond à la courbe tracée sur la figure 1 n est pas dérivable en 0. y 1 0 π π 1 Figure 1 La courbe de la figure 1 est la courbe décrite par un point fie lorsqu un cercle de rayon 1 fait un tour. L ordonnée maimale atteinte est égale à : c est la longueur du diamètre (voir Fig. 5). Séquence MA01
Si le cercle de rayon 1 fait plusieurs tours on obtient une courbe comme celle de la figure 14. Cette courbe est «périodique». La «fonction» qui correspond à la courbe tracée n est pas dérivable en 4π, π, 0, π, 4π, etc. Tous ces points ont une ordonnée nulle. Pour = π, = π, = 0, = π, = π, etc. le nombre dérivé est égal à 0. y 1 4π π π π 0 π π π 4π Figure 14 La fonction est continue car le tracé de la cycloïde se fait «sans lever le crayon». Au points d abscisse = k π, où k est un entier relatif, la fonction n est pas dérivable. L étude de la cycloïde n est pas au programme de terminale ES.. Image d un intervalle par une fonction continue La fonction f définie dans l activité parf( ) = + est continue 1 ( + 1) sur l intervalle 0; +. Par cette fonction continue l image d un intervalle semble toujours être un intervalle. On note aussi que deu intervalles distincts peuvent avoir la même image par f. La fonction f définie dans l activité 4 sur l intervalle ] 0 ; 50 ] n est pas continue sur cet intervalle. On a vu que l image d un intervalle n est pas en général un intervalle. Propriété 7 (admise) L image d un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle. Séquence MA01
Remarque L image d un intervalle [ a ; b ] peut être différente de [ fa ( ); fb ( )] et de [ f( b) ; f( a )]. ( ) et f( 01) f 1f 0 Dans l activité 4 on a f [ 01, ; ] f( 0, ); f( 1) [, ; ] ( ); (, ). 4. Continuité et équation f () = k Cas d une fonction continue et non monotone sur un intervalle I. Eemple 11 Soit f la fonction définie sur l intervalle 1 1 I = ; 4 par f( ) = +. On désigne parc f la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Figure 15 Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de f. On donne la courbe C f obtenue sur l écran d une calculatrice (voir figure 15). a) Donner graphiquement le nombre de solutions de l équation f( ) = 0. Vérifier que l une des solutions est un nombre entier. Encadrer les autres solutions par deu entiers consécutifs. b) Donner, d après la courbe obtenue sur l écran, un encadrement d amplitude 0,5 des solutions non entières. c) Trouver, à l aide de la calculatrice, un encadrement d amplitude 0,1 des solutions non entières. Donner le nombre de solutions de l équation f( )= k pour k 8 ; 11 ; 1 0 8 41 6 ; ; ; ; 6 ; 7. Solution La fonction dérivée f ' est définie sur I = [ ; 4 ] par f'( ) =. Le trinôme a pour racines ' = 1et '' =. La dérivée s annule pour = 1 et pour =. Le trinôme est positif à l etérieur des racines et négatif à l intérieur. Ainsif'( ) > 0 pour [ ; 1[ ] ; 4 ] etf'( ) < 0 pour ] 1; [. 4 Séquence MA01
Dressons le tableau de variation de la fonction f. 1 4 0 + 0 0 + f ( 1 ) f ( 4 ) f'( ) f ( ) f ( ) f ( ) = 6 f ( ) = 8 f ( 1) = f ( 4) 41 = 6 a) La courbe C f coupe l ae des abscisses en trois points. 11 6 L équation f( )= 0 admet donc solutions. La solution entière est = car f ( ) = 0. Appelons α la solution négative non entière et β la solution positive non entière. L écran nous montre que < α < et 0< β < 1. b) L écran nous permet de donner un encadrement plus précis. Ainsi 5, < α < et 05, < β < 1. c) Après quelques essais la calculatrice nous donne : f (, ) = 0069,... et f (, 1) = 0, 408. On a 0, 069... < 0 < 0, 408 soit f(, ) < f( α ) < f( 1, ). La fonction f est strictement croissante sur [ ; 1 [ d où, < α < 1,. f ( 0, 6) = 0, 19 et f ( 07, ) = 000,... On a 0, 00... < 0 < 0, 19 soit f( 07, ) < f( β ) < f( 06, ). La fonction f est strictement décroissante sur[ 1; ] d où 06, < β < 07,. Pour trouver le nombre de solutions de l équation f( )= k on compte le nombre de points d intersection de la courbe C f avec la droite «horizontale» d équation y = k. D après le tableau de variation, la courbe sur écran et les valeurs trouvées on obtient le tableau suivant : k 8 11 6 1 0 Nombre de solutions de f( ) = k. 0 1 1 0 Ceci nous montre que, si f est une fonction continue et non monotone sur un intervalle, alors l équation f( )= k peut avoir plusieurs solutions. 8 41 6 7 Séquence MA01 5
Cas d une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Eemple 1 Soit g la fonction définie sur l intervalle I = ; par g ( ) = + + 1. On désigne par C g la courbe représentant la fonction g dans un repère du plan. Déterminer la fonction dérivée de g et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de g. La courbe C g, obtenue sur l écran d une calculatrice, est sur la figure 16. a) Donner graphiquement le nombre de solutions de l équation g ( ) = 0. b) Encadrer la solution par deu entiers consécutifs. c) À l aide de la calculatrice, trouver un encadrement d amplitude 0,01 de cette solution. Donner le nombre de solutions des équations g ( )= k pour k { 1 ; 11; ; 0 ; 4 ; 1 ; 16}. Résoudre le système d inéquations g ( ) 1. Figure 16 Solution La fonction dérivée g ' est définie sur I = ; par g'( ) = +. Pour tout réel on a + > 0 I = [ ; ]. Dressons le tableau de variation de la fonction g. et la fonction g est strictement croissante sur g'( ) + 0 g ( ) 11 1 a) La courbe C g coupe une seule fois l ae des abscisses. L équation g ( )= 0 admet une seule solution. b) Appelons α la solution de l équation g ( ) = 0. L écran de la calculatrice nous montre que le réel α qui vérifie g( α ) = 0 est tel que 1< α < 0. c) La calculatrice nous donne, après quelques essais : g( 0, 5) = 0, 15 et g( 0, 4) = 0, 16. g( 0, 46) = 0, 017 6 et g( 0, 45) = 0, 008 875. Ainsi g( 046, ) < g( α ) < g( 045, ). 6 Séquence MA01
La fonction g est strictement croissante sur I = ; d où 046, < α < 045,. Pour trouver le nombre de solutions de l équation g ( )= k on compte le nombre de points d intersection de la courbec g avec la droite «horizontale» d équation y = k. D après le tableau de variation et le tableau de valeurs de la calculatrice on obtient : k 1 11 0 4 1 16 Nombre de solutions de g ( ) = k. 0 1 1 1 1 1 0 Sur cet eemple, où g est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, l équation g () = k admet, soit 0 solution, soit 1 solution. La fonction g est strictement croissante sur [ ; ] et on sait que g( 1) = et g( 0) = 1. L ensemble des réels tels que g ( ) 1 est donc l intervalle [ 1; 0 ]. Cas général f est continue et strictement croissante f est continue et strictement décroissante sur l intervalle I = a ; b, avec a< b. sur l intervalle I = a ; b, avec a< b. Point de vue graphique y = k f(b) f(a) y = k a f(i) 0 f(a) b a 0 f(b) f(i) b Figure 17a Figure 17b Tableau de variation et stricte monotonie sur un intervalle I = a ; b, avec a< b. a 0 b a 0 b f( ) fa ( ) k f( b) f( ) fa ( ) k f( b) Le fait que f soit continue et strictement croissante sur I se traduit par une flèche qui «monte». Le fait que f soit continue et strictement décroissante sur I se traduit par une flèche qui «descend». Séquence MA01 7
On peut observer que lorsque f est strictement monotone sur I il eiste, pour tout réel k compris entre f( a) et f( b), un réel 0 unique tel que a b etf( 0 ) = k. Ceci revient aussi à dire que 0 est l unique antécédent de k dans l intervalle I = [ a ; b ]. 0 Propriété 8 dite «propriété des valeurs intermédiaires» Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Pour tout réel k f() I il eiste un réel, et un seul, tel que I et f( ) = k. Autre énoncé Pour tout réel k f(), I l équation f( )= k admet une solution unique dans I. On est assez souvent amené à utiliser cette propriété dans le cas particulier où I = [ a ; b ] avec f( a) et f( b) de signes contraires. La valeur k = 0 est alors une valeur intermédiaire entre f( a) et f( b) ; ainsi l équation f( )= 0 admet une solution unique dans I. Propriété 9 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I =[ a ; b ]. Pour pouvoir utiliser la propriété des valeurs intermédiaires il faut que la fonction soit continue et strictement monotone sur I (continue et monotone ne suffit pas). Si fa ( ) fb ( ) <0 alors l équation f( )= 0 admet une solution unique dans [ a ; b ]. Eemple 1 Voici le tableau de variation d une fonction f définie et continue sur l intervalle I =[ 4;6]. 4 1 6 f( ) 1 0 8 Séquence MA01
Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : f( )= f( )= 0 f( ) = 5, f( ) =. Solution Le minimum de f sur I est égal à 1 pour =. L équation f( )= n a pas de solution dans I. Sur 4 ; la fonction f est continue, strictement décroissante et ( ) = f 4 ; 1;. Comme 0 [ 1; ], l équation f( )= 0 admet une solution unique dans [ 4; ]. Sur [ ; 1] la fonction f est continue, strictement croissante et ( ) = f [ ; 1] [ 1; ]. Comme 0 [ 1; ], l équation f( )= 0 admet une solution unique dans [ ; 1]. Sur 1; 6 f ([ 1; 6] ) = [ 0; ]. la fonction f est continue, strictement décroissante et Comme 0 [ 0; ], l équationf( )= 0 admet une solution unique dans [1 ; 6]. En conclusion, l équation f( )= 0 admet trois solutions dans I. Sur [ 4 ; ] le maimum de f est égal à. L équation f( ) = 5, n a pas de solution dans cet intervalle. Sur ( ) = ; 1 la fonction f est continue, strictement croissante et f [ ; 1] [ 1; ]. Comme 5, [ 1; ], l équation f( ) = 5, admet une solution unique dans ; 1. Sur 1; 6 f ([ 1; 6] ) = [ 0; ]. la fonctionf est continue, strictement décroissante et Comme 5, [ 0; ], l équationf( ) = 5, admet une solution unique dans [1 ; 6]. En conclusion, l équation f( ) = 5, admet deu solutions dans I. Le maimum de la fonction f est égal à pour = 1. L équation f( )= admet une solution unique dans I. Séquence MA01 9
5. Recherche d une solution approchée de l équation f () = k Eemple 14 On reprend la fonction f de l eemple 11 définie sur l intervalle I = ; 4 par 1 1 f( ) = +. Trouver un encadrement d amplitude 0,001 des deu solutions non entières de l équation f( ) = 0. On sait que l équation f( )= admet une solution dans I. Déterminer, à l aide la calculatrice, un encadrement d amplitude 0,001 de la solution. En déduire une valeur arrondie au millième de la solution. Solution Soit α la solution négative de l équation f( ) = 0. On sait déjà que, < α < 1,. D après la calculatricef (, 187) = 0, 004... et f (, 186) = 0, 000 6... On a 0, 004... < 0 < 0, 000 6... soitf(, 187) < f( α ) < f(, 186). La fonction f est strictement croissante sur [ ; 1 [ d où, 187 < α <, 186. Soit β la solution positive et non entière de l équationf( ) = 0. On sait déjà que 06, < β < 07,. D après la calculatrice f ( 0, 686) = 0, 000... et f ( 0, 687) = 0, 001... On a 0, 001... < 0 < 0, 000... soit f( 0, 687) < f( β ) < f( 0, 686). La fonctionf est strictement décroissante sur[ 1; ] d où 0, 686 < β < 0, 687. Appelons γ la solution de l équation f( ) =. Après quelques essais, la calculatrice nous donne : f (, 55) =, 00... et f (, 54) = 1, 997... On a, 00... < < 1, 997... soit f(, 55) < f( γ ) < f(, 54). La fonctionf est strictement croissante sur [ ; 1 [ d où, 55 < γ <, 54. On détermine, en calculant f (, 54 5 ), si γ est plus proche de, 55 ou de, 54. Calculonsf (, 54 5) =, 000 5... Ainsi f(, 54 5) < f( γ ) < f(, 54). Une valeur arrondie au millième de γ est, 54. 40 Séquence MA01