Eléments de Relativité générale par Gilbert Gastebois 1. Notations 1.1 Unités En relativité générale on adopte certaines conventions sur les unités pour simplifier les formules : On prend la vitesse de la lumière c = 1 Le temps est multiplié par c, il s'exprime en m les vitesses sont divisées par c, elles n'ont donc pas d'unité GM est divisé par c², GM s'exprime en m Les énergies sont divisées par c², elles s'expriment en kg Le moment cinétique est divisé par c, il s'exprime en kg m Grâce à ces conventions, beaucoup des grandeurs les plus utiles s'expriment en m. 1.2 La métrique de l'espace-temps Dans l'espace temps plat de la relativité restreinte, l'écart ds entre deux évènements vaut ds² = dt² - dx² - dy² - dz² (certains auteurs utilisent les signes inverses, il n'y a pas de consensus en ce domaine... ) On peut le réécrire comme ds² = g tt dt² + g tx dtdx + g ty dtdy + g tz dtdz + g xt dxdt + g xx dx² + g xy dxdy + g xz dxdz + g yt dydt + etc. ( 16 termes à additionner) avec g tt = 1 g xx = -1 g yy = -1 g zz = -1 et g ij = si i j. La matrice représentant g est diagonale car seuls les éléments de la diagonale sont non nuls Bien sûr, dans l'espace-temps plat, c'est une complication inutile, mais dans l'espace-temps courbe de la relativité générale, c'est très utile. En relativité générale, on utilise en général les coordonnées sphériques : t, r, q et f car elles sont particulièrement bien adaptées au voisinage d'une sphère. L'ensemble des g ij constitue un tenseur symétrique (g ij = g ji ). C'est le tenseur métrique. 1.3 Notation indicielle Ecrire explicitement une somme de 16 termes n'est pas très gérable, aussi Einstein a-t-il inventé une notation très pratique ( même si elle est un peu abstraite ). Il écrit : ds² = g mn dx m dx n chaque lettre grecque représente les quatre coordonnées x m ou x n représentent t, r, q et f Quand une même lettre grecque se trouve en indice et en exposant, cela signifie qu'il faut additionner les 4 termes obtenus en remplaçant la lettre par t, r, q et f. Dans l'expression précédente, il y a donc bien une somme de 4x4 = 16 termes car m et n apparaissent tous les deux en indice et en exposant, Le produit scalaire d'un quadri-vecteur A s'écrit A² = A m g mn A n Dans l'espace-temps plat, cela donne A² = A t ² - A x ² - A y ² - A z ² Il ne reste que 4 termes non nuls sur les 16 car g tt = 1 g xx = -1 g yy = -1 g zz = -1 et g ij = si i j. Par exemple, le produit scalaire de la quadri-vitesse u² = u t ² - u x ² - u y ² - u z ² est u² = 1/(1 - v²) - v x ²/(1 - v²) - v y ²/(1 - v²) - v z ²/(1 - v²) = (1 - (v x ² + v y ² + v z ²))/(1 - v²) = 1 Ce résultat établi dans un espace-temps plat reste valable dans les espaces quelconques. u² = 1 est une relation utile que l'on réutilisera plus tard.
2. La métrique de Schwartzschild En 1916, un an après qu'einstein eut publié sa théorie de la relativité générale et qu'il ait établi son équation générale, Schwartzschild, alors qu'il combattait dans les tranchées où il sera tué quelques semaines plus tard, trouva une solution de l'équation s'appliquant au voisinage d'une concentration sphérique de masse sans rotation. En pratique, la théorie s'applique bien à une étoile normale en rotation lente comme le Soleil et même à une étoile à neutrons ou à un trou noir qui ne sont pas en rotation ultrarapide. Cette solution est la métrique de Schwartzschild : ds² = (1-2GM/r) dt² - 1/(1-2GM/r) dr² - r² dq ² - r²sin²q df ² donc g tt = (1-2GM/r) g rr = - 1/(1-2GM/r) g qq = - r² g ff = - r²sin²q tous les autres termes sont nuls, la métrique est donc diagonale. Autour d'une sphère immobile, le mouvement est indépendant de q, On peut donc simplifier en se plaçant dans le plan équatorial q = p/2, on a alors g ff = - r² et dq = ds² = (1-2GM/r) dt² - 1/(1-2GM/r) dr² - r² df² Autour d'une sphère immobile, les g mn doivent être indépendants du temps et de f 3. Equation des géodésiques Le principe fondamental de la relativité générale est qu'un objet placé près d'une masse suit une trajectoire «naturelle» appelée géodésique qui dépend de la métrique de l'espace-temps, elle-même déterminée par la présence de la masse. On utilise le principe de moindre temps : Pour aller d'un point A à un point B, un mobile suit la trajectoire qui demande un temps extrémal entre les deux points. Ce principe est général en mécanique et a donné la méthode du lagrangien. ds² = g mn dx m dx n B S = ds = (g mn dx m /dt dx n /dt) 1/2 dt t est une variable temps qui varie de à 1 entre A et B A Cette relation définit le lagrangien L tel que 1 S = L dt donc L = ds/dt = ( g mn dx m /dt dx n /dt) 1/2 1 Le principe de moindre temps amène à l'équation de Lagrange pour chaque coordonnée : d(dl/dx a ' )/dt - dl/dx a = en posant x a ' = dx a /dt g mn ne dépend que des variables et pas de leur dérivée donc dl/dx a ' = 1/(2L) ( g an x n ' + g ma x m ' ) ( dx m '/dx a ' vaut 1 si m = a et sinon ) g étant symétrique g ma = g am donc g an x n ' = g ma x m ' et dl/dx a ' = 1/L ( g an dx n /dt ) = g an dx n /ds car 1/L = dt/ds dl/dx a = 1/(2L) ( g mn / x a dx m /dt dx n /dt ) = ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /dt) car 1/L = dt/ds On obtient donc d(g an dx n /ds)/dt ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /dt) = En multipliant les deux membres par dt/ds, on élimine t et on obtient : d(g an dx n /ds)/ds ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /ds) = C'est l'équation des géodésiques. En fait, 4 équations, une par coordonnée a, chacune pouvant contenir jusqu'à 24 termes... Leur résolution permet de déterminer le mouvement d'un objet autour d'une étoile.
4. Précession du périhélie autour d'une étoile sphérique immobile 4.1 Equations différentielles du mouvement Equation des géodésiques : d(g an dx n /ds)/ds ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /ds) = On utilise la métrique de Schwartzschild pour q = p/2 donc dq/ds = g tt = (1-2GM/r) g rr = - 1/(1-2GM/r) g qq = - r² g ff = - r² g mn = pour m n Prenons a = t d(g tt dt/ds)/ds = car g mn est diagonale et indépendante du temps donc g tt dt/ds = e ( e = constante. e est alors l'énergie relativiste par kg du mobile) dt/ds = e/(1-2gm/r) Prenons a = f d(g ff df/ds)/ds = car g mn est diagonale et indépendante de f donc g ff df/ds = - K ( K = constante. K est alors le moment cinétique par kg du mobile ) df/ds = K /r² Prenons a = r et sachant que dq/ds = d(g rr dr/ds)/ds - ½ dg tt /dr (dt/ds)² - ½ dg rr /dr (dr/ds)² - ½ dg ff /dr (df/ds)² = dg rr /dr (dr/ds)² + g rr d²r/ds² - ½ (dg tt /dr (dt/ds)² + dg rr /dr (dr/ds)² + dg ff /dr (df/ds)²) = g rr d²r/ds² = - ½ dg rr /dr (dr/ds)² + ½ (dg tt /dr (dt/ds)² + dg ff /dr (df/ds)²) En développant et en utilisant les expressions de dt/ds et de df/ds, on obtient : d²r/ds² = GM/(r²(1-2GM/r)) (dr/ds)² - GMe²/(r²(1-2GM/r)) + K²/r 3-2K²GM/r 4 Espérer trouver une solution à cette équation semble illusoire, pourtant on peut facilement éviter l'obstacle en utilisant la relation u² = 1 u² = u m g mn u n = 1 = g tt (dt/ds)² + g rr (dr/ds)² + g qq (dq/ds)² + g ff (df/ds)² g rr (dr/ds)² = 1 - g tt e²/(1-2gm/r)² - g ff (df/ds)² car dq/ds = (dr/ds)² = - 1 + 2GM/r + e² - r²(1-2gm/r)(df/ds)² = - 1 + 2GM/r + e² - K²(1-2GM/r)/r² (dr/ds)² = e² - 1 + 2GM/r - K²/r² + 2GMK²/r 3 ( 1 ) On dérive par rapport à s 2 dr/ds d²r/ds² = - 2GM/r² dr/ds + 2K²/r 3 dr/ds 6GMK 2 /r 4 dr/ds d²r/ds² = - GM/r² + K²/r 3-3GMK 2 /r 4 ( 2) avec df/ds = K /r² Ces deux équations permettent de trouver numériquement la position du mobile en fonction du temps propre s Remarque : On peut maintenant, si on le souhaite, entrer les expressions ( 1 ) et ( 2) dans l'équation obtenue plus haut et vérifier que tout va bien. C'est une manière de confirmer que l'expression u² = 1 est bien correcte dans un espace courbe.
6 Y (km) 4 2-4 -2 2 4 6 X (km) -2 GM = 1,479 km r = 5 km v =,14 = 42 km/s K = r v = 7 km La trajectoire ne se referme pas. Le périhélie avance à chaque tour d'un angle de 78-4 4.2 Stabilité des trajectoires On peut réécrire l'équation (1) différemment : ½ (e² - 1) = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 = E m ou E m = E c r + V p r E c r = ½ (dr/ds)² étant l'énergie cinétique radiale/kg et V p r = - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 étant le potentiel gravitationnel apparent E m est alors l'énergie mécanique/kg En mécanique Newtoniène on a : E m = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) La différence vient du dernier terme qui devient négligeable quand r >> GM V pr,6,5,4,3,2,1 r (km) -,1 1 2 3 4 5 6 -,2 -,3 -,4 GM = 1,479 km r = 56 km v =,116 = 348 km/s K = r v = 6,5 km E m = -,2 r min = 13,8 km r max = 56,1 km r l = 5,95 km r c = 23 km correspond à : E m c = -,295
Si Em <, il peut y avoir une trajectoire stable autour de l'astre, le mobile se rapprochant au plus près à r min et s'éloignant au plus à r max. Si Em >=, le mobile est libéré de l'astre. Si r < r l, il n'y a plus d'orbite stable, le mobile spirale vers r =. Ce cas n'est possible que si r l est supérieur au rayon de l'astre et cela n'arrive que pour un trou noir. Il n'y a pas d'équivalent en mécanique Newtonnienne où il y a toujours une orbite stable. Si E m est égale au minimum de V p r, E c r est alors toujours nulle, ce qui correspond à une trajectoire circulaire de rayon r c = K²/(2GM) + (K 4 /(2GM)² - 3K²) 1/2 C'est la raison qui fait que les disques de poussières autour des étoiles ( ou les anneaux de Saturne ) deviennent circulaires au fur et à mesure qu'ils perdent de l'énergie ( même chose qu'en mécanique Newtoniène ). 4.3 Equation différentielle de la trajectoire (dr/ds)² = e² - 1 + 2GM/r - K²/r² + 2GMK²/r 3 ( relation 1 ) On change de variable u = 1/r dr/ds = - r² du/ds = - r² du/df df/ds = - r² du/df K /r² = - K du/df K²(du/df)² = e² - 1 + 2GM u - K²u² + 2GMK²u 3 On dérive par rapport à f et on divise par K² 2 du/df d²u/df² = 2GM/K² du/df - 2u du/df + 6GMu 2 du/df d²u/df ² + u = GM/K² + 3GMu 2 Si u est très petit ( r >> GM ) on peut négliger le dernier terme et on obtient alors d²u/df ² + u = GM/K² qui est l'équation obtenue en mécanique classique Newtonnienne. Sa solution est l'équation d'une ellipse. 4.4 Précession du périastre d²u/df ² + u = GM/K² + 3GMu 2 Cette équation n'a pas de solution analytique, on ne peut la résoudre que numériquement. Cependant pour une trajectoire quasi-circulaire de «rayon» très supérieur à GM, on peut la résoudre par la méthode des perturbations. On cherche d'abord la solution pour une trajectoire circulaire pour laquelle u = u c = constante donc d²u c /df² = et u c = GM/K² + 3GMu c 2 Pour une trajectoire quasi-circulaire, u = u c (1 + h) h << 1 h dépendant de f d²u/df² = u c d²h/df² = GM/K² + 3GM u c 2 + 6GMu c ² h - u c - h u c ( on néglige le terme en h²) On simplifie et il reste : d²h/df² + (1-6GM/r c )h = avec u c = 1/r c La solution est évidente, c'est la fonction sinusoïdale : h = h sin(w f + D ) avec w = (1-6GM/r c ) 1/2 Quand le mobile a décrit une orbite complète, w f + D a augmenté de 2p donc w f 2 + D = w f 1 + D + 2p f 2 - f 1 = 2p/w = 2p (1 + 3GM/r c ) car r c >> GM donc f 2 - f 1 = 2p + 6p GM/r c le périhélie avance donc de d = 6p GM/r c On a 1/r m = 1/r c + h et 1/r M = 1/r c - h donc 1/r m + 1/r M = 2/r c La théorie Newtoniène valable dans cette approximation donne : r m = a(1-e) et r M = a(1+e) a : demi grand-axe et e : excentricité de l'ellipse En remplaçant, on obtient r c = a(1 - e²) donc d = 6p GM/(a(1 - e²)) à chaque orbite En unités SI, on a d = 6p GM/(a(1 - e²)c²)
Précession du périhélie de Mercure : Au milieu du XIX ème siècle, on savait que le périhélie de Mercure se décalait lentement de 575 '' d'arc par siècle. En tenant compte de l'influence des autres planètes et du léger aplatissement du Soleil, Le Verrier put expliquer l'essentiel de l'écart, 532 '' d'arc, mais il manquait 43'' qui ne trouvaient pas d'explication. On imagina même qu'il y avait peut-être une planète inconnue entre le Soleil et Mercure, mais on ne la trouva pas et le problème resta pendant jusqu'en 1915 quand Einstein publia sa théorie. Pour Mercure, on a : GM = 1,479 km T = 87,97 jours a = 57,9.1 6 km e =,26 d = 6p GM/(a(1 - e²)) = 5,28.1-7 rd = 2,881.1-5 =,137 '' d'arc pour 87,97 jours on obtient alors bien d = 43 '' d'arc par siècle. On raconte que lorsqu'einstein fit ce calcul et qu'il trouva ce résultat, il fut tellement enthousiasmé qu'il resta plusieurs jours dans un état second. On peut le comprendre... C'était le Nobel assuré! Et en effet, il le reçut en 1921 pour sa théorie de... l'effet photoélectrique! 5. L'horizon des évènements du trou noir Il n'échappe à personne qu'il y a quelque chose d'étrange dans la métrique de Schwartzschild, si r = 2GM, g rr tend vers l'infini! Et g tt =. On a ainsi dt/ds qui tend vers l'infini. Qu'est-ce tout cela peut bien signifier? D'abord, c'est une situation qui ne peut se rencontrer que pour un trou noir, les autres astres ayant un rayon supérieur à 2GM, ce rayon correspond à ce qu'on appelle l'horizon des évènements du trou noir. Le fait que g rr tende vers l'infini est dû au choix de coordonnées fait par Schwartzschild. On peut choisir d'autres coordonnées qui font disparaître la singularité, d'ailleurs, l'équation ( 2) : d²r/ds² = - GM/r² + K²/r 3-3GMK 2 /r 4 ne présente aucune singularité pour r = 2GM. Donc il ne s'y passe rien de dramatique. Si vous vous trouvez, ce que je vous déconseille, dans un vaisseau spatial qui traverse l'horizon d'un trou noir et que vous n'avez pas été déchiqueté par les forces de marée - choisissez un trou noir supermassif -, vous ne remarquerez aucune discontinuité. En revanche comme dt/ds tend vers l'infini, cela signifie que dt tend vers l'infini, c'est à dire que le temps mesuré par un observateur très éloigné, s'écoule de moins en moins vite. Il vous verra vous approcher de plus en plus lentement de l'horizon du trou noir. En même temps, la période de la lumière sera elle aussi de plus en plus grande et donc la longueur d'onde se décalera vers le rouge pour finir par devenir invisible, on a l apparent = l/(1-2gm/r) 1/2. Il vous verra très lentement devenir de plus en plus sombre pour finir par disparaître à sa vue puisque l apparent tend vers l'infini quand r tend vers 2GM. Que se passe-t-il pour le voyageur qui a franchi l'horizon? Pour r < 2GM, gtt < et grr >. Donc, en quelque sorte, les rôles de t et de r s'inversent, r acquiert les propriétés du temps et notamment celle de ne pouvoir rester fixe et celle de ne pouvoir évoluer que dans un seul sens. On ne peut donc pas rebrousser chemin, de même qu'à l'extérieur de l'horizon, on ne peut pas remonter le temps. On ne peut même pas rester immobile, la seule chose qui puisse arriver, c'est de se diriger vers le centre en r =. Rien ne peut donc se diriger vers l'extérieur, même la lumière, tout doit se diriger vers le centre. C'est pour cela que l'astre est noir. Cependant le rayon du disque noir vu par un observateur très éloigné, n'est pas 2GM, mais (27) 1/2 GM! ( Voir 6.2 )
6. Déflexion de la lumière 6.1 Equation différentielle du mouvement d'un photon La caractéristique du photon est que l'intervalle ds est nul. Il faut donc adapter les formules obtenues au paragraphe précédent. Prenons dt/ds = e/(1-2gm/r), on la remplace par dt/df df/ds = e/(1-2gm/r) donc dt/df = r²e/(1-2gm/r)/k car df/ds = K/r² df/dt = K/e (1-2GM/r)/r² On pose K/e = b ( b est alors le paramètre d'impact du photon, c'est la distance qui sépare la direction à l'infini du photon, du centre de l'étoile.) df/dt = (1-2GM/r) b/r² ds² = = g tt dt² + g rr dr² + g qq dq² + g ff df² On se place à nouveau dans le plan équatorial à q = p/2, on a alors = g tt dt² + g rr dr² + g ff df² On divise par dt² : g rr (dr/dt)² = - g tt - g ff (df/dt)² df/dt = (1-2GM/r) b/r² donc g rr (dr/dt)² = - g tt - g ff (1-2GM/r)² b²/r 4 g tt = (1-2GM/r) g rr = -1/(1-2GM/r) g ff = - r² (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 ( 3 ) On dérive l'expression par rapport à t et on divise par 2 dr/dt d²r/dt² = 2GM(1-2GM/r)/r² - 3GM(1-2GM/r)²b²/r 4 + (1-2GM/r) 3 b²/r 3 avec df/dt = (1-2GM/r) b/r² Ces deux équations permettent de trouver numériquement la position du photon en fonction du temps t 1 Y (km) 5 X (km) -1-5 5 1-5 GM = 1,479 km b = 7,694 km r mini = 4,554 km Le rayon lumineux fait le tour du trou noir -1
6.2 Condition de capture de la lumière par un trou noir On reprend la relation (3) : (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 = (1-2GM/r)²(1 - (1-2GM/r)b²/r 2 ) Quand la lumière s'approche au plus près, avant de s'éloigner, r est minimum donc dr/dt = donc (1-2GM/r)b²/r 2 = 1 ou 1/b² = 1/r² - 2GM/r 3 On note 1/r² - 2GM/r 3 = V pr V pr passe par un maximum pour dv pr /dr =, ce qui donne r = 3GM, on a alors V prmax = 1/(27 GM²) 1/2 b critique = 1/(V prmax ) = (27) 1/2 GM Si b < b critique, dr/dt ne s'annule jamais et la lumière est capturée par le trou noir. La lumière est donc capturée si b < (27) 1/2 GM. Aucune lumière se dirigeant vers cette zone ne peut être observée de l'extérieur donc R = (27) 1/2 GM est le rayon apparent du trou noir pour un observateur éloigné. V pr (km -2 ),2,15,1 V pr = 1/r² - 2GM/r 3 GM = 1,479 km b critique = (27) 1/2 GM = 7,685 km r critique = 3GM = 4,437 km,5 -,5 r (km) 5 1 15 2 25 3 b = 1 km ( b -2 =,1 km -2 ) r mini = 7,914 km b = 7,5 km ( b -2 =,178 km -2 ) Le rayon est capturé 6.3 Equation différentielle de la trajectoire d'un photon On reprend la relation (3) : (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 = (dr/df)² (df/dt)² = (dr/df)² (1-2GM/r)² b²/r 4 donc (dr/df)² = r 4 /b² - (1-2GM/r) r² = r 4 /b² - r² + 2GM r On change de variable, on pose u = 1/r donc du/df = -u² dr/df on obtient ainsi : 1/u 4 (du/df)² = 1/(b²u 4 ) - 1/u² + 2GM/u ou (du/df)² = 1/b² - u² + 2GMu 3 On dérive l'expression par rapport à f 2 du/df d²u/df² = - 2u du/df + 6GMu 2 du/df d²u/df² + u = 3GMu 2 Si u est toujours très petit ( b >> GM ) on a d²u/df² + u = dont la solution est une droite comme il se doit.
6.4 Trajectoire pour les faibles déflexions Si la lumière est très peu déviée, on peut utiliser une méthode perturbative autour de la ligne droite. Pour la ligne droite, on a donc d²u d /df² + u d = dont la solution est u d = 1/r m sinf r m est alors la distance minimale d'approche qui vaut pratiquement b pour les petites déviations, donc u d = 1/b sinf On pose u = 1/b (sinf + h) donc d²u/df² = - 1/b sinf + 1/b d²h/df² donc - 1/b sinf + 1/b d²h/df² + 1/b sinf + 1/b h = 3GM/b² sin²f ( on néglige les autres termes car b >> GM et h <<1 ) d²h/df² + h = 3GM/b sin²f qu'on peut linéariser en : d²h/df² + h = 3/2 GM/b (1 - cos (2f)) Solution de l'équation : On a une équation d'oscillateur harmonique forcé dont la solution est une sinusoïde de pulsation égale à la pulsation de «l'excitateur» : w = 2 plus un terme constant. On prend donc h = A + B cos (2f) - 4 B cos (2f) + A + B cos (2f) = 3/2 GM/b - 3/2 GM/b cos (2f) A = 3GM/(2b) B = GM/(2b) h = GM/(2b) (3 + cos (2f)) u = 1/b (sin f + GM/(2b) (3 + cos (2f))) A -, u = et f = - q comme q est très petit, on prend sin(-q) = - q et cos(-2q) = 1 On obtient q = 2GM/b Comme on a la même déviation pour +, la déviation totale d vaut 2q, donc d = 4GM/b En unités SI, on a d = 4GM/(bc²) Déviation par le bord du soleil : GM = 1,479 km b = R = 7 km d = 8,45.1-6 rd = 4,84.1-4 = 1,74 '' d'arc. Cette valeur fut mesurée avec beaucoup de difficultés et donc avec une assez grande incertitude par Eddington au cours d'une éclipse de Soleil en 1919 grâce au décalage apparent de la position des étoiles qui se trouvaient très près du bord du Soleil. Malgré sa relative imprécision, cette mesure largement médiatisée fit d'einstein une star internationale. Un journal titra même que le professeur Einstein avait déplacé les étoiles...
6.5 Le mirage gravitationnel Une source lumineuse lointaine ( un quasar par exemple ) placée derrière une accumulation de matière ( un ensemble de galaxies ), voit sa lumière déviée de part et d'autre et donne ainsi deux images ( ou plus si l'accumulation n'est pas sphérique ) sur le ciel. C'est le phénomène de mirage gravitationnel, Nous allons étudier la déviation par une masse sphérique. S position apparente de S S O D E Tous les angles sont petits donc les tangentes sont assimilables à l'angle. Ainsi OS = Da OS ' = Dq SS ' = (D D E ) d et b = D E q OS ' = OS + SS ' donc Dq = Da + (D D E ) d avec d = 4GM/b = GM/(D E q) q = a + 4(1 D E /D)GM/(D E q) q² - aq - 4(1/D E 1/D)GM = Equation du second degré dont la solution est q = a/2 ± (a²/4 + 4(1/D E 1/D)GM) 1/2 En unités SI, on a : q = a/2 ± (a²/4 + 4(1/D E 1/D)GM/c²) 1/2 Il y a deux solutions, on voit donc bien deux images de S de part et d'autre de la position réelle de la source S. Le mirage gravitationnel est double. Remarque : Si la source S est parfaitement alignée avec la masse déflectrice (a = ), on obtient un mirage circulaire de diamètre apparent q = 2 ((1/D E 1/D)GM) 1/2 En pratique, la masse déflectrice n'est jamais sphérique et on n'obtient que des morceaux d'anneau qu'on appelle anneaux d'einstein. Exemple : Prenons un quasar distant de 2 milliards d'a.l situé derrière un amas d'une cinquantaine de galaxies distantes de 1 milliard d'a.l, on obtient un angle q voisin de,5 ( 1/1 du diamètre lunaire ) 7. Relativité générale et GPS D Le système de positionnement du GPS ( Global Positioning System ) est basé sur la comparaison entre le moment d'émission d'un signal par un satellite et le moment de sa réception au sol. Il est donc crucial que les horloges placées dans le satellite et celles situées au sol soient parfaitement synchronisées. Le problème est que la fréquence propre de l'horloge du satellite n'est plus la même que celle du sol à cause de son altitude et de sa vitesse, il faut donc faire des corrections. Le satellite est placé sur une orbite circulaire, r = constante donc dr/ds = à l'altitude h R rayon de la Terre
On a dt = e/(1 2GM/r) ds donc le rapport entre la période T à l'infini et la période propre vaut : T/T p = e/(1 2GM/r) avec ½ (e² - 1) = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 r >> GM et dr/ds = donc en faisant un développement limité, e = (1-2GM/r + K²/r² - GMK²/r 3 ) 1/2 = 1 - GM/r + K²/(2r²) On néglige le terme en 1/r 3 Au sol, on a r = R et on néglige K donc T/T = e/(1-2gm/r) = (1 - GM/R)/(1-2GM/R) Dans le satellite, on a T/T s = e/(1 2GM/r) = (1 - GM/r + K²/(2r²))/(1-2GM/r) Sur l'orbite circulaire, K = r v donc T/T s = (1 - GM/r + v²/2)/(1-2gm/r) Pour un satellite en orbite circulaire, la théorie Newtoniène valable dans cette approximation donne v² = GM/r donc T/T s = (1 - ½ GM/r)/(1-2GM/r) T /T s = ((1 - ½ GM/r)/(1-2GM/r))/((1 - GM/R)/(1-2GM/R)) r et R << GM, on peut donc faire un développement limité : T /T s = (1 - ½GM/r)(1 + 2GM/r)(1 + GM/R)(1-2GM/R) T /T s = (1 - ½GM/r + 2GM/r)(1 + GM/R - 2GM/R) = (1 + 3/2 GM/r)(1 - GM/R) T /T s = 1 + 3/2 GM/r - GM/R (T -T s )/T s = 3/2 GM/r - GM/R En unités SI : (T -T S )/T S = 3/2 GM/(rc²) - GM/(Rc²) r = R + h Si h << R (T - T s )/T s = 3/2 GM/(R + h) - GM/R = 3/2 GM/R - 3/2 GMh/R² - GM/R (T - T s )/T s = ½ GM/R - 3/2 GMh/R² GM = gr²/c² ( g étant l'intensité de la pesanteur au sol g = 9,8 m/s², on repasse en unités SI ) (T - T s )/T s = ½ gr/c² - 3/2 gh/c² Exemple : R = 637 km g = 9,8 m/s² h = 4 km c = 3.1 8 m/s (T - T s )/T s = ½ gr/c² - 3/2 gh/c² = 2,83.1-1 Cela semble très faible, pourtant en une journée, 864 s, l'écart vaut 24,5 µs ce qui correspond à une erreur de 7 km!! Il faut donc bien compenser l'écart. Bibliographie : Relativité générale de Thomas Moore (De boeck) Leçons sur la gravitation de Richard Feynman (Odile Jacob Sciences)