DS le er octobre 202 OPTIQUE ATOMISTIQUE NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Toute application numérique ne comportant pas d unité ne donnera pas lieu à attribution de points. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Question de cours. Un anglais pèse 60 lb (livres). Sachant que le facteur exact de conversion est 0,45359237 kg/lb, indiquer la masse de l anglais en kg. 2. La relation suivante donne le rayon de la trajectoire circulaire d une particule chargée de masse m, de charge q de vitesse v dans un référentiel où règne un champ magnétique d intensité B : R = q B mv. Cette relation est-elle correcte? 3. À partir de la constante de la gravitation universelle G = 6,67 0 S.I., de la constante de PLANCK h= 6,62 0 34 S.I. et de la vitesse de la lumière c = 3,0 0 8 m.s, on peut définir une masse, dite de PLANCK, m P. Trouver son expression et sa valeur. Question de cours 2 Choisir une famille du tableau périodique et indiquer toutes les propriétés connues sur cette famille (pas plus d une demi page). Question de cours 3. Rappeler les lois de SNELL-DESCARTES pour la réfraction 2. Dans quelles conditions, observe-t-on le phénomène de réflexion totale? En donner une application. Problème A. Une lentille mince convergente (L) de centre O et de distance focale f utilisée dans les conditions de GAUSS forme d un objet réel AB une image A B réelle sur un écran (E), A et A sont sur l axe optique.. Écrire la relation de conjugaison reliant p = OA et p = OA. 2. La distance A A = D étant fixée, montrer que p est solution d une équation du second degré dont les solutions p et p 2 correspondent à deux positions possibles O et O 2 de (L) permettant de projeter AB sur l écran (on pose p > p 2 ). Exprimer p et p 2 en fonction de f et de D. Comment se placent ces deux positions entre A et A? 3. Établir l expression de la distance focale f en fonction de D et d = O O 2 4. Quel nom donne t on à cette méthode de détermination de distance focale? 5. Application numérique : On règle la distance objet écran à une valeur D = 80±2 mm un peu supérieur au minimum possible. On mesure les deux positions de la lentille donnant une image nette sur l écran : p = 360±3 mm et p 2 = 452±9 mm. Calculer la distance focale f et l incertitude f sur sa valeur. B. On diminue la distance D jusqu à la valeur D m telle qu il n y ait plus qu une position de (L) permettant d obtenir une image A B nette de AB. Montrer que dans ce cas, AB = A B, et exprimer f en fonction de D m. Connaissez vous le nom donné à cette méthode? C. On place maintenant un miroir plan (M) juste derrière (L) perpendiculairement à l axe optique. À quelle distance de l objet AB faut il placer (L) pour que l image A B soit observée exactement dans le même plan que AB Que vaut alors le grandissement? Quel nom donne t on à cette méthode?
Page 2 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Problème 2 Ce problème est constitué de deux parties indépendantes. Dans la première partie, on étudie un appareil photo ; dans la seconde, un projecteur de diapositives. On veillera à faire les applications numériques pour chacune des questions. A- On assimile l objectif de l appareil photographique à une lentille mince convergente de distance focale image f a = 35 mm. D. Pour mesure la distance focale f 0 < 0 d une lentille divergente (L 0), on se sert d une lentille convergente (L) de distance focale f connue. On forme d abord une image de l objet AB à l infini en le plaçant dans le plan focal objet d une lentille collimatrice convergente (L c ) de même axe optique que (L), placée suffisamment loin derrière. - On désire photographier une toile de maître située à 3 m en avant de l objectif. À quelle distance p > 0, en arrière de l objectif, faut il placer les cellules sensibles de la pellicule pour obtenir une image nette de la toile? 2- Cet appareil photographique est utilisé pour photographier le ciel nocturne. Son format est le 24 36, ce qui signifie que la pellicule photographique mesure 24 mm de hauteur et 36 mm de largeur. Quel est le champ du ciel photographié? On exprimera le résultat sous la forme α β où α et β sont des angles exprimés en degré. 3- Calculer, en minute d arc ( ) (rappel = 60 ), le diamètre apparent θ du disque lunaire vu par l objectif de l appareil photographique. On supposera la Lune sphérique, de rayon 740 km, et de centre situé à 384 000 km de l objectif.. Où se trouve l image A B formée par (L)? 2. On interpose ensuite (L 0 ) exactement dans le plan focal objet de (L), ce qui a pour effet de reculer l image A B d une distance δ par rapport à sa position précédente. De quel point remarquable A est il alors l image? 3. Montrer que la mesure de δ permet d obtenir simplement f 0 par une relation que l on démontrera. Cette méthode de mesure des distances focales porte le nom de méthode de BADAL. 4- Avec cet appareil, on photographie la pleine Lune,l axe optique de l objectif étant dirigé vers le centre du disque lunaire. On effectue un tirage de la pellicule sur du papier de format 0 5 cm 2. Quel est le diamètre d du disque lunaire sur le papier? B- On cherche maintenant à concevoir un projecteur de diapositives de taille 24 mm 36 mm permettant d obtenir une image de,2 m de large sur un écran situé en E à l = 3,0 m du centre optique de la lentille mince (C ) pour une diapositive placée en I avec son coté le plus long placé horizontalement. On notera e la distance IF et m la distance F E. La figure ci-dessous propose une vue de dessus du projecteur.
Page 3 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI S G I D e C F O F m E 4. On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement de l objectif pour des distances comprises entre 2 et 5 m. Quelles sont les grandissements et largeurs d images horizontales correspondants à ces deux limites (image nette d une diapositive avec son coté le plus long placée horizontalement)? Problème 3. Quel est le grandissement γ nécessaire? Commenter le signe. 2. Tracer les rayons permettant d obtenir les points G et D, image des points G et D représentant respectivement les bords gauches et droits de la diapositive. Dans quel sens faut-il placer la diapositive? Justifier votre réponse. 3. Déterminer les expressions de e, m et f en fonction du grandissement γ et de l. Réaliser l application numérique pour le grandissement souhaité. Soit le système formé par l association d une lentille mince L de foyers image F et objet F et de distance focale f = 3a, et d un miroir concave M 2 de foyers image F 2 et objet F 2 et de distance focale f 2 = a. Le miroir est placé à la distance e = 2a derrière la lentille.. Déterminer graphiquement la position du foyer image F du système. 2. Retrouver ce résultat par un calcul en déterminant l expression de F 2 F. 3. Déterminer graphiquement la position du foyer objet F du système optique formé par L puis M 2. 4. retrouver ce résultat par un calcul en déterminant l expression de F F.
Page 4 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Commentaires et correction : Problème Le problème a été bien compris dans l ensemble, mais les démonstrations n étaient pas toujours très convaincantes. Ainsi pour la méthode de SILBERMANN, il faut montrer que A B = AB et ne pas le supposer pour faire la suite. Pour la méthode de Badal, il faut aussi justifier clairement pourquoi A est l image de F 0. Pour le calcul, la formule de NEWTON est beaucoup plus efficace que la formule de DESCARTES Problème 2 Vous êtes nombreux à vous faire piéger dès la première question par la valeur de OA qui est négative car l objet est réel! Les question sur l appareil photo étaient principalement des questions pour réaliser des applications numériques. Elles ont été très sélectives. L étude du projecteur n a pas été souvent abordé. Le grandissement n a pas été souvent trouvé négatif et les calculs proposés ont été très rarement fait correctement jusqu au bout. Problème 3 Exercice classique d un doublet à savoir résoudre. L originalité réside ici dans la présence d un miroir. Attention, le texte précisait clairement qu on étudie le doublet lentille miroir et pas le système lentille miroir lentille comme on le fait dans l étude de l autocollimation. Cela aurait été certainement plus réaliste,mais c est aussi un peu plus compliqué et surtout ce n est pas ce qui est demandé! Problème A- (a) La relation de conjugaison s écrit OA OA = f ou p p = f (b) Ici AA =D donc p = OA =OA+AA = p+ D. La relation de conjugaison devient : p+ D p = f soit D f = p(p+ D). On en déduit l équation du second degré : de solutions : p = D 2 + D 2 4 D f < 0 p 2 = D 2 D 2 4 D f < 0 On a supposé que D2 4 D f 0, c est à dire que D 4f. Les deux positions sont symétriques par rapport au milieu de [A,A ]. O2 (c) La distance O O 2 est égale à d = O O 2 = OO = p2 p. Comme p p 2, on a d = p p 2 = 2 D 2 4 D f = D 2 4D f d où d 2 = D 2 4D f et f = D2 d 2 4D C est la méthode de BESSEL. (d) L application numérique conduit à : f = 200 mm Pour l incertitude, on écrit : ( ) f f 2 ) f = ( D) +( 2 2 ( d) 2 D d ( D 2 + d 2 ) 2 ( ) d 2 = 4D 2 ( D) 2 + ( d) 2 2D ici D = 2 mm, d = ( p ) 2+ ( p2 ) 2 = 9,5 mm, on trouve f = 0,8 mm. B- Lorsqu il n y a plus qu une solution à l équation du second degré : p = D 2 et p = p+d =+ D 2 soit OA = OA. D après la définition du grandissement et le théorème de THALÈS : γ= A B AB = OA OA = La relation de conjugaison donne D/2 D/2 = f, d où f = D 4 p 2 + pd+ D f = 0 C est la méthode de SILBERMANN.
Page 5 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI C- On a la suite de systèmes optiques suivante : et on veut A=A. Les relations de conjugaison donnent : A (L) A (M) A 2 (L) A OA OA = f et O A = O A 2 Dans le passage de A 2 à A, la lumière va dans le sens inverse. D après le principe de retour inverse de la lumière, l image de A (=A) devrait être A 2 avec des rayons qui vont de la gauche vers la droite, on a donc : OA 2 OA = f La confrontation des deux relations de conjugaison impose : = OA 2 OA La solution A =A 2 n est pas compatible avec O A = O A 2, a moins que A =A 2 =O. Le miroir est dans ce cas placé là où se forme l image de l objet à travers la lentille. Comme le miroir est placé directement après le miroir, on ne tient pas compte de cette solution. La seule solution possible est alors telle que : = = 0, ce qui conduit à OA 2 OA A et A 2 à l infini, c est à dire que A est au foyer objet de (L) en F. Tous les rayons venant de B sortent en faisant le même angle i avec l axe. Après réflexion sur le miroir, on retrouve cet angle inversé. Le rayon non dévié au retour montre que l image de B se trouve en son symétrique par rapport à l axe optique, d où : γ= A B AB = C est la méthode de focométrie par autocollimation. D- (a) AB a son image à l infini à la sortie de (L c ). Cette image à l infini sert d objet de (L), l image A B sera donc dans le plan focal image de (L). (b) Les différentes images de A après traversée des lentilles (L c ), (L 0 ) et (L) sont : A (L c ) (L A 0 ) (L) F 0 A F 0 est le foyer image de (L 0 ), A est son image à travers (L). (c) La formule de Newton appliquée à (L) pour les points conjugués (F 0,A ) donne : F A.FF 0 = f 2 avec ici F A =δ et FF 0 = O 0 F 0 = f 0, on obtient δf 0 = f 2 d où f 0 2 f = δ Problème 2 A- - On applique la relation de conjugaison avec origine au centre : O A O A = f avec f a = 0,35 m et O A= 3 m. On obtient : O A = f a O A = 4 cm f a+o A 2- La mise au point se faisant sur le ciel nocturne à l infini, la pellicule est située dans le plan focal image de l appareil. En chaque point de la pellicule se forme l image d un point B du ciel. Les rayons qui en proviennent correspondent à des rayons incidents qui ont tous même inclinaison par rapport à l axe optique. Cette inclinaison se détermine à l aide du rayon passant par O qui n est pas dévié. B A=F O O B B α O F α
Page 6 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI À partir de la figure on lit : tanα= a f a, donc α=arctan a. f a Suivant le petit axe de la pellicule : a = 2 mm soit α=5,08 donc le champ angulaire vaut 2α=0,6. Suivant le grand axe de la pellicule : a = 8 mm soit α=7,59 donc le champ angulaire vaut 2α=5,8. On retiendra que le champ photographié a pour dimension 0 5 3- La Lune de rayon R L à la distance d L est vu sous l angle : θ= 2arctan R L d L = 0,59 = 3 On aurait pu utiliser l approximation θ= 2α 2 R L d L = 9,06 0 3 rad=3 4- Si l on note D le diamètre de la Lune sur la pellicule, on en déduit que : θ 2 = arctan D/2 f a soit numériquement D = θ f a =,22 mm D/2 f a Le grandissement effectué pendant le tirage papier est de :G = 00 24. On en déduit une dimension du diamètre d du disque lunaire : d = GD = 5, mm B-. D après la définition du grandissement, γ= A B AB =,2 = 33 36 0 3 Le signe est négatif car l image est renversée. 2. On obtient la figure suivante. Comme l image est renversée, il faut mettre la diapositive la tête en bas. 3. D après la relation de conjugaison avec origine au centre, on a : OE OI = f Comme γ= OE OI = l OI, on déduit l γ l = f. On obtient finalement : f = l = 8,8 cm γ On trouve alors m par la relation l= f + m, d où : m= l f = l l γ = lγ γ = 2,9 m D après la relation de conjugaison avec origine au foyer FI.F E= f 2, on déduit : e m= f 2, soit : ( e = l γ 4. D après les formules de grandissement : Numériquement, on en déduit : ) 2 γ γl = l = 2,7 mm γ(γ ) γ= F E F O = m f = l f f S G I D e C F O F m D E G Problème 3 22< γ<56 et 0,78 m<g D <2,0 m. Comme le foyer image F est l image d un point A à l infini sur l axe, la position du foyer image s obtient en cherchant l intersection d un rayon parrallèle à l axe optique avec l axe en sortie du système.
Page 7 DS le er octobre 202 Lycée Clemenceau Nantes MPSI F O F 2 F F C 2 F O F 2 F C 2 F 2. On a la suite d image suivante : L A F M 2 F On écrit donc la formule de NEWTON pour le couple de point F, F à travaers le miroir M 2 : 4. On a la suite d image suivante : F L F 2 M 2 A d où on déduit : F 2 F.F 2 F = f 2 2 On écrit donc la formule de NEWTON pour le couple de point F, F à travers la lentille L : Ce qui confirme la solution graphique. F 2 F = f 2 2 F 2 F = a2 2a = a 2. 3. Le foyer objet F correspond au point objet sur l axe dont l image est un point A à l infini sur l axe. Les rayons issus de F sortent du système paralèles à l axe. On peut obtenir F en utilisant un rayon parallèle à l axe traversant le miroir puis la lentille de la droite vers la gauche et en exploitant le principe de retour inverse de la lumière. On obtient la figure suivante : d où on déduit : F F 2.F F= f 2 F F= f 2 = 9a 2 F F 2 2a = 9a 2. Ce qui confirme la solution graphique. On remarque que F et F sont confondus dans ce dispositif.