Nom et prénom : Dessin scientifique Introduction 0.1 But de la projection orthogonale 0.2 Conventions concernant la projection 0.3 Epaisseurs des traits 0.4 Lignes conventionnelles 0.5 Notations 0.6 Ecriture oblique normalisée 0.7 Epures Chapitre premier Projections de points, droites et plans 1.1 Projections d un point 1.2 Projections d une droite 1.3 Positions particulières de la droite 1.4 Droites projetantes 1.5 Droite de profil 1.6 Droites sécantes 1.7 Droites parallèles 1.8 Projections d un plan quelconque 1.9 Plans projetants 1.10 Plans projetants particuliers Chapitre deuxième Projections de polyèdres 2.1 Figures planes parallèles à un plan de projection 2.2 Pyramide et prisme à axe vertical ou debout 2.3 Présentation de polyèdres 2.4 Intersection d une droite et d un plan projetant 2.5 Section plane dans un prisme 2.6 Section plane dans une pyramide 2.7 Développement d un tronc de prisme 2.8 Construction auxiliaire lors de la détermination de sections planes 2.9 Intersection de pyramide et de prisme dont la base est coupée 2.10 Tâches Chapitre troisième Rabattement de plans 3.1 But du rabattement 3.2 Rabattement d un plan debout sur le PV 3.3 Détermination de la vraie grandeur d une figure plane par rabattement 3.4 Détermination des projections d un polygone régulier situé dans un plan debout 3.5 Rabattement d un plan vertical sur le PH 3.6 Rabattement d un plan de profil 3.7 Détermination de la vraie longueur d un segment (construction du triangle rectangle) 3.8 Pyramide et prisme dont une droite est une droite frontale ou une droite horizontale 3.9 Prisme avec base dans un plan de profil 3.10 Développement d un tronc de prisme 3.11 Tâches 1
INTRODUCTION 0.1. But de la projection orthogonale Tandis que le dessin en perspective (fig. 0.1) se base sur la forme apparente, l'étude de la projection orthogonale (fig. 0.2) est basée sur les dimensions réelles, donc la vraie forme des objets. Le but de la projection orthogonale est de représenter en plan, et cela à l'aide de constructions, des figures de l'espace. On parvient ainsi à déterminer les dimensions et les formes exactes des objets. fig. 0.1 Les projections orthogonales sont souvent utilisées tant dans le dessin industriel que dans le dessin d'architecture. D'après le cas, on parle de dessin technique ou de plan. L'utilité pratique de cette méthode de dessin se comprend de ce qui précède. Cette technique permet en effet de réaliser un projet ou, inversement, de fixer dans un dessin la forme d'un objet de manière à permettre la reconstruction ou la reproduction. fig. 0.2 Mais le côté formatif n'est pas moins important, parce que la transposition d'une figure de l'espace en dessin plan demande un effort de réflexion soutenu. Ce travail de réflexion est d'ailleurs appelé, avec raison, «gymnastique de l'esprit». La projection orthogonale se base nécessairement sur une série de conventions. Celles- ci se rapportent aussi bien à la façon de projeter qu'au parachèvement du dessin. 0.2. Conventions concernant la projection Les plans de projection sont perpendiculaires entre eux et partagent l'espace en quatre régions (fig. 0.3). Nous nous bornerons, dans ce cours, à traiter les cas où tous les points appartiennent à la première région, c.- à- d. des points situés au- dessus du plan horizontal et devant le plan vertical. Nous nous représentons le projectographe comme un dièdre droit, formé d'un plan horizontal et d'un plan vertical. Nous distinguons le premier plan ou plan horizontal de projection et le second plan ou plan vertical de projection, représentés respectivement par PH et PV. Dessin scientifique Projection orthogonale et constructions géométriques de R. Verschraegen 2
L'axe de projection est l'intersection du PH (lire : plan horizontal de projection) et du PV (lire : plan vertical de projection); soit l'axe xy. Puisque les plans de projection sont en réalité illimités, l'axe xy est illimité. Sa direction est toujours horizontale et il se dessine parallèlement au bord inférieur du dessin. Pour déterminer les projections d'un parallélépipède rectangle abcd, efgh, (fig. 0.4) nous supposons ce corps placé dans le projectographe. Nous obtenons la projection horizontale en abaissant de chacun des sommets du parallélépipède une droite projetante, c.- à- d. une perpendiculaire sur le PH. Les intersections de ces h perpendiculaires avec le PH sont notées a (lire : a h h horizontal), b, c, et déterminent la forme de la projection sur le PH. La projection verticale s'obtient en abaissant des droites projetantes sur le PV et ceci à nouveau à partir de chacun des sommets du même parallélépipède : a (lire : a vertical), b, c, En reliant ces points dans le bon ordre, on détermine la projection verticale. v v v Pour obtenir une représentation plane, supposons d'abord qu'on ait enlevé le parallélépipède rectangle. Ensuite nous laissons tourner le PH autour de l'axe xy, comme indiqué sur la figure 0.5, jusqu'à ce que le PH coïncide avec le PV. Dans ce mouvement, la figure préalablement projetée sur le PH décrit évidemment avec le PH un angle de 90. Les deux projections se trouvent maintenant dans un même plan. Nous pouvons donc faire un dessin qui reflète la forme exacte, les dimensions et la position relative aux plans de projection du parallélépipède.. Les Ce dernier dessin (fig. 0.6) est appelé dessin de projection. C'est grâce à la présentation dans l'espace que nous avons essayé de nous représenter ce qu'on appelle projection orthogonale. Cette façon de projeter, où interviennent deux plans de projection sur lesquels on projette Dessin scientifique Projection orthogonale et constructions géométriques de R. Verschraegen 3
perpendiculairement, est appelée «Méthode de Monge» d'après le mathématicien Français G. Monge (1746-1818). Remarque la projection horizontale correspond à la vue du dessus, tandis que la projection verticale représente la vue de face du corps représenté; dans la représentation en projection, la vue du dessus se trouve sous la vue de face! 0.3. Epaisseur des traits Le trait peut être continu, interrompu ou mixte. Il a une des épaisseurs suivantes trait fort; trait moyen dont l'épaisseur vaut à peu près la moitié de celle du trait fort; trait fin dont l'épaisseur vaut à peu près le quart de celle du trait fort. On choisit l'épaisseur des lignes en fonction de la grandeur et de la nature du dessin. Les épaisseurs proposées dans le tableau ci- dessous sont adaptées aux dimensions et à la nature des tâches proposées dans ce manuel. 0.4. Lignes conventionnelles Si un trait remplit en même temps plusieurs fonctions, celui classé plus haut dans ce tableau a priorité par rapport à celui classé plus bas. * Dans l'enseignement technique, le pointillé fort est remplacé par un trait interrompu en segments courts d'une épaisseur moyenne de 0,3 mm 0.5. Notations Les points sont représentés par des lettres minuscules, parfois également par des chiffres a, b, I, II, Les droites par des majuscules : A, B, Les plans, exception faite pour les plans de projection, par des lettres grecques minuscules : α, β 4
L'index h (horizontal) et l'index v (vertical) se placent à droite et au- dessus des notations qui précèdent : a v, A h, α h, L'index r (rabattu) et l'index r' (ayant subi une rotation) se placent également à droite, mais en bas : a v r, A h r, α v r, Il est à remarquer que les notations doivent se trouver le plus près possible des éléments auxquels ils se rapportent. Les notations de droites et de plans se font le plus possible près du bord du dessin. Une autre exigence est qu'elles soient bien lisibles, et non traversées par l'une ou l'autre ligne. Pour des notations qui ne peuvent se placer qu'à l'intérieur d'une figure hachurée, on veillera à interrompre quelque peu ces hachures. La hauteur des lettres et des chiffres sera adaptée au format du dessin. L'écriture normalisée oblique (0.6) est conseillée. Toutes les mesures qui interviennent dans ce manuel sont exprimées en millimètres. On trouve ci- dessous un aperçu des lettres minuscules de l'alphabet grec. 0.6. Ecriture inclinée normalisée Pour information : 5
0.7. Epures Voici encore quelques indications pratiques concernant les épures. Par «épure» nous entendons un dessin de projection complètement achevé à l'encre de chine et correspondant aux normes indiquées. Il faut tendre vers la plus grande précision possible. Un matériel de dessin soigné peut y aider. Des intersections déterminées par deux droites qui se coupent suivant un angle trop aigu, ou une droite obtenue en joignant deux points trop rapprochés, sont des causes courantes de dessins imprécis. En utilisant latte, compas, équerres, té et rapporteur, le dessin est d'abord effectué au crayon. On utilise un crayon dur 3H ou 4H. On peut mieux faire apparaître les solutions en utilisant un crayon plus doux 2 HB. Toutes les lignes sont prolongées au crayon sur le dessin, non seulement pour le gain de temps (nais également pour promouvoir la précision. Notez également que toutes les constructions doivent obligatoirement tomber à l'intérieur du cadre du dessin. Le dessin est ensuite mis à l'encre et les lignes reçoivent l'aspect correspondant à leur signification. Pour la mise à l'encre, l'ordre suivant peut être respecté :1) solutions visibles; 2) solutions cachées; 3) données. Restent au crayon les lignes de construction et lignes de rappel. Ensuite ce sera le tour des notations et des hachures. Exercice d écriture normalisée : 6
CHAPITRE PREMIER PROJECTIONS DE POINTS, DE DROITES ET DE PLANS 1.1 Projections d un point Un point dans l'espace est parfaitement déterminé, lorsque nous connaissons ses projections sur le PH et le PV. Pour déterminer la projection horizontale du point p, nous abaissons de p une perpendiculaire sur le PH. L'intersection de cette projetante avec le PH = p projection de ph ou la première On obtient la projection verticale de p en abaissant de p une droite projetante sur le PV. L'intersection de cette projetante avec le PV =p v ou la deuxième projection de p. Comme nous l'avons vu plus haut au paragraphe 0.2, on fait tourner le PH, dans lequel se trouve p h, autour de l'axe xy, de telle sorte que p h et p v se trouvent dans un même plan et sur une même perpendiculaire à l'axe xy. Cette perpendiculaire reliant les deux projections d'un même point est appelée ligne de rappel. Comparez attentivement la représentation spatiale (fig. 1.1) avec le dessin en projection (fig. 1.2). Retenez - la distance de p h à l axe xy, mesurée sur la ligne de rappel, = éloignement du point p devant le PV ; - la distance de p y à l'axe xy = la hauteur du point p au- dessus du PH; - les projections d'un même point se trouvent toujours sur une même ligne de rappel 7
On a dessiné sur la fig. 1.3 les projections de deux points : a et b. Le point a est situé à gauche de b. En parlant de «gauche» ou de «droite» nous entendons cela pour un spectateur situé sur le PH, avec le regard tourné vers le PV. a et b se trouvent à égale distance devant le PV, ils ont en effet le même éloignement. a est situé plus haut que b, cela parait dans la projection verticale; inversement b est situé plus bas que a. Ceci pour préciser les notions «plus haut» et «plus bas». De la représentation en projection (fig. 1.4) nous pouvons déduire que le point c est situé dans le PH, en effet la hauteur est nulle. Le point d, par contre appartient au PV, ici c est l éloignement qui est nul Les projections e v et e h coïncident en un point de l axe xy, cela signifie que le point e lui- même est situé sur l'axe xy. Remarquez la notation : e vh Pour les projections de f, nous remarquons que la hauteur est égale à l'éloignement. Le point f est situé à la même distance devant le PV qu'au- dessus du PH. l h est situé plus près de l'axe xy que m h. Nous en concluons que le point l est, dans l'espace, situé derrière m; inversement nous disons que m est situé devant I. Ainsi sont précisées les notions «devant» et «derrière». Nous voyons encore que la droite projetante de I par rapport au PV coïncide avec celle de m, c'est pourquoi l v et m v coïncident. 8
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1.2. Projections d'une droite La projection d'une droite sur un plan est le lieu des projections de tous les points de cette droite sur ce plan. Une droite est parfaitement déterminée si nous connaissons les projections de deux de ses points sur chacun des plans de projection. En général, la projection d'une droite sur un plan est une droite. Seule une droite perpendiculaire à un plan de projection se projette suivant un point sur ce plan. Dans la représentation spatiale (fig. 1.6), nous voyons une droite A quelconque par rapport aux plans de projection. Pour dessiner les projections de A, il suffit de projeter successivement deux points arbitraires a et b de cette droite sur le PH et le PV. En reliant a h à b h et a v à b v, nous obtenons respectivement A h et A v ou les projections horizontale et verticale de A (fig. 1.7). Retenez les projections d'une droite quelconque A donnent, dans la projection verticale comme dans la projection horizontale, une droite oblique par rapport à l'axe de projection; tout point de la droite A se projette sur A h dans le projection horizontale, et sur A v dans la projection verticale. 1.3. Positions particulières de la droite Présentation spatiale Présentation en projection Une droite horizontale : est une droite parallèle au PH, et oblique au PV (fig. 1.8a et b).tous les points d'une droite horizontale se trouvent à la même hauteur. H v est par conséquent parallèle à l'axe xy; 10
Présentation spatiale Présentation en projection Une droite frontale : est une droite parallèle au PV, et oblique au PH (fig.19a et b). Tous les points d'une frontale ont le même éloignement. Voilà pourquoi Fh est une droite parallèle à l'axe xy, tandis que Fv est oblique à l'axe xy. Présentation spatiale Présentation en projection Une droite parallèle à l'axe xy, appelée fronto- horizontale : est une droite parallèle aux deux plans de projection (fig. 1.10a et b).e h et E v sont parallèles à l axe xy. Retenez un segment de droite parallèle à un plan de projection, se projettera en vraie grandeur sur ce plan. Vérifiez cela pour les segments situés sur les droites particulières traitées ci- dessus! 1.4. Droites projetantes Une droite perpendiculaire à un plan de projection s'appelle une droite projetante. Tous les points d'une droite projetante se projettent en un seul point sur ce plan. Une droite verticale : est une droite perpendiculaire au PH (fig. 1.11a et b).v h est donc un point, tandis que V v est une droite perpendiculaire à l axe xy et située dans le prolongement de la ligne de rappel V h 11
Une droite debout : est une droite perpendiculaire au PV (fig. 1.12a et b). K v est une droite perpendiculaire à l axe xy et située dans le prolongement de la ligne de rappel de K v 1.5. Droite de profil Une droite de profil : se trouve dans un plan perpendiculaire aux deux plans de projection, pour autant qu'elle ne soit pas une droite projetante (fig. 1.13a et ID). profil P. Ph et Pv sont des droites situées dans le prolongement l une de l'autre, et forment une perpendiculaire à l'axe xy. Les projections des différentes droites de profil, situées dans un même plan perpendiculaire au PH et au PV, se confondent. C'est pourquoi une droite de profil n'est complètement déterminée que si nous connaissons les projections de deux de ses points. C'est la raison pour laquelle nous parlons dans la figure 1.13 b de la droite de profil ab plutôt que de la droite de 12
1.6. Droites sécantes Si a h se trouve sur A h et a v sur A v, alors nous pouvons conclure que a est un point de la droite A (fig. 1.14). Nous voyons ensuite que b se trouve bien sur A v, tandis que b h ne se trouve pas sur A h. Par conséquent, le point b n appartient pas à la droite A. On déduit de ce qui précède que, lorsque deux droites se coupent dans l'espace, les projections de ces droites se coupent respectivement en deux points situés sur une même ligne de rappel. Sur la figure 1.15 nous remarquons que B h et C h se coupent en s h, et B v et C v en s v. Puisque s h et s v sont situés sur une même ligne de rappel, nous avons ici les projections d un seul point s appartenant aussi bien à B qu à C. Les droites B et C sont donc bien sécantes. 1.15 Fig. 1.7. Droites parallèles Deux droites qui dans l'espace sont parallèles, ont leurs projections de même nom respectivement parallèles ou coïncidentes (fig. 1.16). 13
Exercice : a) Dites quelles sont les droites suivantes. b) Dans quel plan de projection voit-on la droite en vraie grandeur La droite A : a) b) La droite B : a) b) La droite C : a) b) La droite D : a) b) La droite E : a) b) La droite F : a) b) 14
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1.8. Projections d'un plan quelconque Un plan est parfaitement déterminé si nous connaissons les projections : - de trois points non en ligne droite de ce plan; - ou bien d'une droite et d'un point de ce plan qui ne soit pas situé sur cette droite; - ou bien de deux droites parallèles de ce plan; - ou bien de deux droites sécantes de ce plan. fig. 1.18 fig. 1.17 Nous pouvons donc représenter un plan quelconque à l'aide de ses traces; ce sont les droites suivant lesquelles ce plan coupe les plans de projection. Dans le représentation spatiale (fig. 1.17), nous voyons qu'un plan quelconque a coupe le PH suivant une droite horizontale H et le PV suivant une droite frontale F. Le plan est donc déterminé par deux droites sécantes, en effet H et F se coupent en un point situé sur l'axe xy. Par conséquent, dans la représentation en projection d'un plan quelconque, déterminé à l'aide de ses traces (fig. 1.18), H v et F h coïncident toujours avec l'axe xy. Nous disons également que le plan a est égal au plan (H,F). 16
1.9. Plans projetants Un plan perpendiculaire à un plan de projection est un plan projetant. Tous les points d'un plan projetant se projettent suivant une droite, notamment la trace déterminée par ce plan avec le plan de projection qui lui est perpendiculaire. Un plan vertical : est perpendiculaire au PH et oblique au PV (fig. 1.19a). Le plan vertical a (fig. 1.19b) est parfaitement représenté si nous connaissons a h, c- à- d. la trace de a avec le PH. L'angle aigu formé par l'axe xy et a h nous montre l'angle que forme le plan a avec le PV. Sur cette trace se projettent tous les points du plan a. Présentation spatiale Présentation en projection La trace verticale est dans ce cas toujours perpendiculaire à l'axe xy et n'a pas de signification particulière, en effet, la projection verticale d'un plan vertical occupe tout le PV. Cette trace n'est d'habitude pas dessinée. fig. 1.19a fig. 1.19b Un plan debout : est perpendiculaire au PV et oblique au PH (fig. 1.20a). fig. 1.20a Tous les points du plan debout b (fig. 1.20b) se projettent sur une droite, notamment la trace ver- ticale b V L'angle aigu que forme b V avec l'axe xy = l'angle de b et du PH. La trace horizontale d'un plan debout est toujours perpendi- culaire à l'axe xy et peut être négligée, en effet, la projection horizontale d'un plan debout occupe tout le PH. fig. 1.20b. 17
1.10. Plans projetants particuliers Un plan horizontal : est un plan parallèle au PH (fig. 1.21a). C'est un cas particulier de plan debout, puisque parallèle au PH il est également perpendiculaire au PV. Comme un plan debout, un plan horizontal g est représenté par sa trace verticale g v (fig. 21b). Tous les points de g étant situés à même hauteur, g v est une parallèle à l'axe xy. fig. 1.21b fig. 1.21 Un plan frontal : est un plan parallèle au PV (fig. 1.22a). Ceci implique qu'il est également per- pendiculaire au PH et donc un cas particulier de plan vertical. Un plan frontal f (fig. 1.22b) est complètement déterminé par sa trace horizontale f h sur laquelle se projettent tous les points de ce plan et qui est toujours parallèle à l'axe xy. fig. 1.22a Fig. 1.22b Un plan de profil : est un plan perpendiculaire à la fois au PH et au PV. C'est donc à la fois un cas particulier de plan vertical et de plan debout (fig. 1.23a). Un plan de profil P (fig. 1.23b), représenté à l'aide de ses deux traces, donne une droite, perpendiculaire à l'axe xy, sur laquelle se projettent tous les points de ce plan. p h et p v sont dans le prolongement l'une de l'autre. fig. 1.23a 18
Quelles droites (ou segments de droites) appartiennent à quels plans. 1. Plan horizontal : Le plan horizontal peut contenir les droites de :.. 2. Plan frontal : Le plan frontal peut contenir les droites de :.. 19
3. Plan de profil: Le plan profil peut contenir les droites de :.. 4. Plan vertical: Le plan vertical peut contenir les droites de :.. 20
5. Plan debout: Le plan debout peut contenir les droites de :.. 6. Plan quelconque : Le plan quelconque peut contenir les droites de :.. 21
Dessinez les projections de : 3. D un plan horizontal a situé à 20 au- dessus du PH 2. D un plan vertical b formant un angle de 60 avec le PV, ouverture de l angle à droite 1. D un plan frontal g contenant le point a 6. Des points b, c et d sur le PV, si b et c sont situés dans le plan debout f, tandis que d n appartient pas à f mais se trouve quelque part au- dessus de ce plan 5. D un plan frontal a contenant le segment ab 4. D un plan de bout b contenant le segment ef. 22
CHAPITRE DEUXIEME Projections de polyèdre 2.1 Figures planes parallèles à un plan de projection. La figure est située soit dans un plan horizontal, soit dans un plan frontal. Une figure plane parallèle à un des plans de projection, se projettera toujours en vraie grandeur sur ce plan. Fig. 2.1 et fig. 2.2 La représentation spatiale (fig 2.1) et la représentation en projection (fig. 2.2) d'un hexagone régulier situé dans un plan horizontal a : - Deux côtés de l'hexagone sont parallèles à l'axe xy. - Dans la projection verticale (PV), tous les points de l'hexagone se projettent sur un segment qui est situé sur la trace verticale du plan a. - Dans la projection horizontale, le plan a se confondant avec lui, l'hexagone se projette en vraie grandeur sur le PH. - La distance de a v à l'axe xy nous donne en même temps la hauteur de a et celle de l'hexagone Fig. 2.1 fig. 2.2 23
Fig. 2.3 et fig. 2.4 La représentation spatiale (fig. 2.3) et la représentation en projection (fig. 2.4) d'un carré situé dans un plan frontal b : - Les côtés du carré forment un angle de 45 avec le PH. - Le sommet d se trouve dans le PH. - Une diagonale du carré est parallèle à l'axe xy et l'autre diagonale est située sur une droite verticale. - Ce carré se projette en vraie grandeur sur le PV. - La projection horizontale (PH) est un segment situé sur la trace horizontale de b. - La distance de b h à l'axe xy nous donne en même temps l'éloignement du plan b et celui du carré devant le PV. Fig. 2.3 Fig. 2.4 24
Dessinez les projections : 1. D un hexagone régulier situé dans le plan horizontal a, centre o, c=20, deux côtés sont situés sur des droites debout 2. D un carré situé dans le PH, les côtés forment des angles de 45 avec le PV, centre m, longueur de la diagonale = 36 3 D un triangle équilatéral situé dans le plan frontal b, r=25, centre o, un sommet a se trouve à 14 au- dessus du PH et à gauche de o 4 D un cercle situé dans un plan frontal g dont l éloignement est de 15, dont le centre est m, seul m v est donné, r=20. 5 D un triangle équilatéral situé dans le PV, centre o, r = 18, le côté le plus à droite est situé sur une droite verticale 6 D un carrée situé dans un plan horizontal f, centre m, r = 20, une diagonale forme un angle de 60 avec le PV, ouverture de l angle à gauche. 25
2.2. Pyramide et prisme réguliers à axe vertical ou debout Un polyèdre est une portion de l'espace délimitée de toutes parts par des portions de plans. Une pyramide et un prisme sont des polyèdres particuliers. Nous nous bornerons, provisoirement, à la présentation de pyramides régulières et de prismes réguliers. Description dans l espace : La pyramide quadrangulaire régulière. - La base d une pyramide régulière est un polygone régulier. - Le sommet s est équidistant de chacun des sommets de la base, ces arêtes sont sa, sb, sc, sd. - L axe de la pyramide est donc perpendiculaire au milieu de la base. Os est la hauteur de la pyramide. En projection : Les projections de la pyramide triangulaire régulière (fig. 2.8) sont présentées ci- dessous dans trois positions différentes. Fig. 2.5 - La base est chaque fois parallèle (éventuellement coincidente) au PH. - L'axe os est une droite verticale - La distance o v s v est la vraie longueur de la hauteur de la pyramide Fig. 2.6 Considérations : - dans chacun de ces cas, l'axe os est situé suivant une droite verticale; - la distance o v s v = la vraie longueur de la hauteur de la pyramide, - les pyramides sont présentées comme des corps opaques (voir 2.3) 26
La pyramide quadrangulaire régulière La base d'un prisme régulier est également un polygone régulier. De chaque sommet de la base s'élève une arête latérale perpendiculaire à la base. Toutes les arêtes latérales ont la même longueur, de sorte que les bases inférieure et supérieure sont égales et parallèles. La hauteur du prisme est la distance entre les plans des bases. La figure 2.7 nous présente un prisme hexagonal régulier. La figure 2.8 représente les projections d'un prisme triangulaire régulier abc, a 1 b 1 c 1, présenté en trois positions différentes et avec la base parallèle (éventuellement coïncidente) au PV. Les projections du prisme triangulaire régulier abc (fig. 2.8) sont présentées ci- dessous dans trois positions différentes. La base est chaque fois parallèle au PV. Les arêtes et l'axe du prisme sont des droites debout. Les vraies longueurs de chaque arêtes dans la projections horizontale sont égales à la hauteur du prisme. Fig. 2.7 Fig. 2.8 Considérations : - dans chacune des représentations, les arêtes latérales et l'axe du prisme sont des droites debout; - nous voyons la vraie longueur de chaque arête latérale dans la projection horizontale; elle est égale à la hauteur du prisme. Toute perpendiculaire à un plan horizontal est une droite verticale Toute perpendiculaire à un plan frontal est une droite debout. 27
2.3. Présentation de polyèdres en vu et caché Lors de la projection, nous supposons toujours que les faces latérales, qui délimitent un polyèdre, sont opaques. Il s'ensuit que certaines arêtes peuvent éventuellement rester cachées. Dans ce cas, elles sont présentées par un pointillé fort, ou, dans le dessin technique, par un trait interrompu d'une épaisseur moyenne. Les arêtes qui restent visibles sont présentées par un trait fort continu, comme indiqué au paragraphe 0.4. L'arête d'un polyèdre est visible par rapport au PH, lorsqu'elle peut être aperçue par quelqu'un situé au- dessus de ce polyèdre. L'arête d'un polyèdre est visible' par rapport au PV, lorsqu'elle est visible par quelqu'un se trouvant devant le polyèdre. Fig. 2.9 Pour plus de clarté, nous donnons la présentation spatiale (fig. 2.9) d'une pyramide dont les projections sont données dans le par. 2.2, fig. 2.6 28
2.4. Intersection d'une droite et d'un plan projetant L'intersection s d'une droite A et d'un plan a est le point commun à la droite et au plan, s est donc situé sur A comme dans a (fig. 2.10). Puisque s est un point de la droite A, s y sera situé sur A v, et s h sur A h (fig. 2.11). Comme s est également un point du plan horizontal a, s v se trouvera de plus sur a v, en effet, tous les points d'un plan Horizontal se projettent sur la trace verticale du plan. fig. 2.10 Sur le dessin en projection (fig. 2.12), nous trouvons d'abord s v, là où a v et A v se coupent. A l'aide de la ligne de rappel, tracée à partir de s v, nous déterminons sur A h la position de s h fig. 2.11 fig. 2.12 Conclusion : L'intersection d'une droite et d'un plan projetant se cherche d'abord dans cette projection où tous les points du plan se projettent suivant une trace, notamment là où la trace en question coupe la projection correspondante de la droite. Dans la figure 2.13 on a déterminé l'intersection d'une droite quelconque A et, successivement, d'un plan frontal f, d'un plan debout g, d'un plan vertical b, et d'un plan de profil p. fig. 2.13 29
2.5. Section plane dans un prisme Si toutes les arêtes latérales d'un prisme droit sont coupées par un plan non parallèle à la base, il est alors partagé en deux corps appelés prismes tronqués. Le prisme quadrangulaire régulier abcd, a 1 b 1 c 1 d 1 (fig. 2.14) est coupé par un plan debout a. La section s'obtient en déterminant successivement l'intersection de chaque arête latérale avec le plan a, et en joignant, ensuite, ces points dans l'ordre exact. La vraie forme de cette section est un parallélogramme, qui se projette dans la projection verticale suivant un segment situé sur a v. La projection horizontale de la section se confond avec la projection horizontale du prisme. Le prisme tronqué situé sous a, est représenté comme un corps opaque. La section reste visible dans la projection horizontale. Retenez : Seule la section qui reste visible par rapport à un plan de projection, est hachurée. Ces hachures sont effectuées avec des traits fins continus. Leur direction forme avec les axes, ou avec les périmètres de la figure à hachurer, un angle qui se rapproche le plus possible de 45. Evitez des hachures parallèles à un côté de la figure à hachurer. Fig. 2.14 30
2.6. Section plane dans une pyramide Une pyramide coupée par un plan parallèle à la base, est partagée en deux corps. La partie qui ne contient pas le sommet, est appelée tronc de pyramide. Dans le cas qui nous occupe, la section est semblable à la base. Données : axe xy; point o dans le PH; plan horizontal a. On demande : déterminer les projections : 1) d'un hexagone régulier abcdef situé dans le PH, centre o, C = 40, deux côtés sont parallèles à l'axe xy; 2) de la pyramide hexagonale régulière s, abcdef; H = 100 et s est situé au- dessus du PH; 3) de la section droite de la pyramide avec le plan horizontal a; 4) du tronc de pyramide, présenté comme corps opaque; le reste = construction. Pour déterminer la section plane demandée (fig. 2.15), il suffit de trouver le point de percée de chacune des arêtes avec a et de relier les points ainsi obtenus dans l'ordre voulu. Toute section plane déterminée par un plan projetant, se projette, dans une des deux projections, suivant un segment. Dans ce cas, 1 v, 2 v, 3 v, 4 v, 5 y et 6 V sont situées sur a v Remarquez l'ordre de la numérotation : 1 Y sur s v a v, 2 V sur s v b v, etc. Toute intersection, qui dans la projection verticale est située sur une arête déterminée, est abaissée sur la projection horizontale de l'arête de même nom. En reliant ces points dans l'ordre indiqué par les chiffres, nous obtenons un hexagone régulier. Dans la pratique, nous pouvons procéder de manière à ne déterminer par exemple que le point 1 h, et achever ensuite l'hexagone à l'aide d'une circonférence. Comparez attentivement données et dessin fig. 2.15 31
2.7. Développement d'un tronc de pyramide Développer un polyèdre consiste à juxtaposer dans un plan et dans un ordre logique, les faces qui délimitent ce polyèdre, et cela, de manière que chaque face ait au moins une arête commune avec une autre face. Le développement présenté (fig. 2.16) est celui du tronc de pyramide hexagonal régulier, dont les projections sont dessinées dans la figure 2.15. Les points a, b, c, d, e et f sont situés sur un arc de cercle de centre s, les arêtes latérales sont, en effet, égales. La vraie longueur sa = s v a v (droite frontale); on a donc également : si = s v 1 v. Outre la surface latérale, le développement comprend encore la base et la section. En repliant, les points de même nom doivent coïncider! fig. 2.16 32
2.8. Construction auxiliaire lors de la détermination de sections planes Pour déterminer, lors de la construction d'une section plane, l'intersection d'une arête ayant une position de droite de profil, nous devrons faire appel à une construction auxiliaire. La figure 2.17 représente les projections d un tronc de pyramide. Les arêtes sb et sd, sur lesquelles se trouvent respectivement les points 2 et 4, ont une position de droite de profil. Nous n'éprouvons cependant aucune difficulté particulière à déterminer la projection horizontale, parce que nous savons que la section est semblable à la base, de sorte que nous trouvons 2 h et 4 h grâce à 1 h par exemple. Prenant o comme centre et le rayon de o h - 1 h, nous traçons un cercle circonscrit au carré de section. Dans la figure 2.18, les choses se présentent différemment. Cette figure présente la même pyramide, mais le plan sécant b n'est pas parallèle à la base. Voici comment se détermine la section : nous plaçons les points 1 v, 2 V, 3 V, 4 V et les points de section 1 h et 3 h qui se déterminent facilement en dessinant, à partir de 1 v et 3 y, des lignes de rappel respectivement jusqu'à s h a h et s h c h. De cette manière, il nous est impossible de situer 2 h et 4 h. Pour en sortir, nous utilisons une construction auxiliaire. Nous faisons passer, par les points 2 V et 4 y, un plan auxiliaire g parallèle à la base de la pyramide. Nous construisons d'abord la section déterminée par ce plan auxiliaire, comme dans la figure 2.17. Du carré ainsi obtenu, dont q h est un sommet, nous retenons les sommets 2 h et 4 h, qui coïncident avec les points manquants de la première section plane demandée. La section déterminée par le plan auxiliaire n'est, d'habitude, dessiné que partiellement. Dès que les points manquants sont déterminés, on ne considère plus le reste de cette construction. 33
Exercices sections : Pour chacun des corps présentés, déterminez la section avec le plan désigné. Placez les points de section (1, 2, 3, 4, ) et cherchez leurs projections dans les deux plans. Considérez la partie du corps entre la base et la section comme opaque (vu et caché). En ce qui concerne les prismes tronqués, considérez la partie entre le plan de projection et le plan sécant. 34
Exercice section : On donne :, le cadre, l axe xy, les plans frontaux a et b, le point o v On demande de construire : 1. Une pyramide à base carrée appartenant à b. Seul le point o v est donné, r = 25, une diagonale de la base est confondue avec une droite verticale, hauteur de la pyramide : 60. Le sommet s se trouve derrière b. 2. La section avec le plan a. 3. Considérer le corps de la pyramide comme un corps opaque, le reste = construction. 35
2.9. Intersection de pyramide et de prisme dont la base est coupée La pyramide quadrangulaire régulière s, abcd (fig. 2.19) est coupée par un plan debout a. Contrairement aux cas déjà traités, toutes les arêtes latérales de la pyramide ne sont pas coupées. Si nous prolongeons les côtés de la section 1-2 et 4-5, ils se rencontrent en un point q situé sur le prolongement de sa. Autrement dit : q est l'intersection du prolongement de sa et du plan a. La figure 2.20 nous donne la représentation en projection de la même pyramide. La projection verticale de la section est un segment situé sur a y. L'arête latérale sa n'est pas coupée par le plan a. Par conséquent, c'est la base de la pyramide qui est coupée, et cela, suivant la trace horizontale du plan a perpendiculaire à l'axe xy. Les côtés ab et ad de la base, sont respectivement coupés en 1 et 5. fig. 2.20 Fig. 2.20 36
Voici encore deux autres exemples, celui d'un prisme quadrangulaire régulier (fig. 2.21) et celui d'une pyramide triangulaire régulière (fig. 2.22), respectivement coupés par un plan debout a et un plan vertical b. fig. 2.22 37
2.10. Tâches : Les solutions de ces problèmes se font dans un cadre de 210x297 (A4). I. Données : axe xy; point o dans le PH; plan frontal a contenant le point m. On demande : déterminer les projections : 1) d'un prisme triangulaire régulier dont la base est situé dans le PH, centre o, rayon du cercle circonscrit = 40, le côté le plus en avant est parallèle à l'axe xy ; H =110; 2) d'une pyramide quadrangulaire régulière dont la base se trouve dans a, centre m, rayon du cercle circonscrit = 45, les côtés forment des angles de 45 avec le PH; le sommet de la pyramide se trouve dans le PV 3) du prisme et de la pyramide, présentés comme corps opaques II. Données : axe xy; point o dans le PH; plan horizontal a. On demande : déterminer les projections : 1) d'un pentagone régulier situé dans le PH, centre o, rayon du cercle circonscrit = 50, le côté le plus en avant est parallèle à l'axe xy; 2) d'une pyramide régulière placée sur le PH et dont la base est le pentagone; H = 140; 3) de l'intersection de la pyramide avec le plan horizontal a; 4) du tronc de pyramide, présenté comme corps opaque; le reste = construction. III. Données : axe xy; point o dans le plan horizontal a; plan debout b. On demande : déterminer les projections : 1) d'un hexagone régulier situé dans a, centre o, C = 50, deux côtés sont parallèles à l'axe xy; 2) d'une pyramide régulière qui repose sur le plan a et dont la base est l'hexagone; H = 100; 3) de la section de la pyramide avec le plan debout b; 4) de la partie de la pyramide située entre a et b, présentée comme corps opaque; le reste = construction. IV. Données : axe xy; plan frontal a; plan vertical b; la projection verticale d'un point o. On demande : déterminer les projections : 1) de o h, si o est situé dans le plan frontal a; 2) d'un hexagone régulier situé dans a et dont le centre est o, C = 60, un sommet a est situé à 25 au- dessus du PH et à gauche de o; 3) d'une pyramide régulière dont la base est cet hexagone; H = 130 et s se trouve devant a; 4) de l'intersection de la pyramide avec le plan vertical b; 5) de la partie de la pyramide située entre la base et la section, présentée comme corps opaque; le reste = construction V. Données : axe xy; point m dans le PH. On demande : déterminer les projections : 1) d'un cube; une face est située dans le PH, centre m, rayon du cercle circonscrit = 50, le sommet a le plus en arrière se trouve à 15 devant le PV et à gauche de m; 2) d'une pyramide quadrangulaire régulière dont la base est la face supérieure du cube; H =75; 3) de la section de la pyramide avec un plan horizontal situé à 50 sous le sommet; 4) du cube et du tronc de pyramide, présentés comme corps opaques; le reste de la pyramide = construction. 38
VI. Données : axe xy; point o dans le PV; plan vertical a. On demande : déterminer les projections : 1) d'un pentagone régulier situé dans le PV, centre o, rayon du cercle circonscrit = 45, le côté le plus bas est parallèle à l'axe xy; 2) d'une pyramide régulière dont la base est le pentagone; H = 155, s se trouve devant le PV; 3) de la section de la pyramide avec le plan vertical a; 4) de la partie de la pyramide située entre a et le PV, présentée comme corps opaque; le reste = construction. VII. Données : axe xy; point o dans le PH; plan frontal a. On demande : déterminer les projections : 1) d'un carré situé dans le PH, centre o, rayon du cercle circonscrit = 60; une diagonale du carré forme un angle de 60 avec le PV, ouverture de l'angle à droite; 2) d'une pyramide régulière qui repose sur le PH et dont la base est le carré; H = 130; 3) de la section de la pyramide avec le plan frontal a; 4) de la partie de la pyramide située derrière a, présentée comme corps opaque; la partie située devant a construction. VIII. Données : axe xy; plan frontal a contenant le point o; plan vertical b. On demande : déterminer les projections : 1) d'un triangle équilatéral situé dans le plan frontal a, centre o, rayon du cercle circonscrit = 55; le côté le plus élevé est parallèle à l'axe xy; 2) d'une pyramide triangulaire régulière dont la base est ce triangle; H = 110; s se trouve derrière a; 3) de la section de la pyramide avec le plan b; 4) de la partie de la pyramide située entre a et b, présentée comme corps opaque; le reste = construction IX. Données : axe xy; point o dans le PH; plan debout a. On demande : déterminer les projections : 1) d'un prisme triangulaire régulier qui repose sur le PH, centre o, rayon du cercle circonscrit = 60, un sommet a se trouve à 60 devant le PV et à gauche de o; H = 110; 2) de la section du prisme avec le plan debout a; 3) de la partie du prisme située sous a, présentée comme corps opaque; le reste = construction. 39
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