Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres amortis et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique amorti. Prérequis indispensables : Savoir définir un système physique oscillant. Connaître le modèle de l'oscillateur harmonique. Savoir appliquer le Principe fondamental de la dynamique à un système mécanique. Savoir appliquer la loi des mailles à un circuit électrique et exprimer les différences de potentiel aux bornes d'une bobine, d'un condensateur et d'une résistance. Connaître les expressions des énergies cinétique, potentielle élastique et mécanique. Connaître les expressions des énergies emmagasinées dans une bobine et dans un condensateur, dissipée dans une résistance. Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans second membre. Objectifs : Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique amorti et savoir l'appliquer à l'étude de systèmes physiques oscillants. Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations diverses. Savoir étudier l'énergie de tels systèmes. Temps de travail prévu : 120 minutes 1
SOMMAIRE RAPPEL PRELIMINAIRE... 3 L'OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI... 4 Présentation... 4 Approche analytique... 5 Approche énergétique... 5 EXEMPLES... 6 Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal... 6 Autres exemples d'oscillateurs mécaniques... 8 Oscillateur électrique : circuit série (R, L, C)... 9 OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES... 10 Résolution de l'équation différentielle... 10 Régimes d'évolution... 12 Expressions des constantes... 14 Réponses d'oscillateurs harmoniques amortis... 16 Etude de la forme de la réponse d'un oscillateur harmonique amorti en fonction des conditions initiales... 17 GRANDEURS CARACTERISTIQUES... 20 La pseudo-période... 20 Le décrément logarithmique... 21 La constante de temps et le temps de relaxation... 21 Le facteur de qualité... 22 Conclusion... 23 ETUDE DE L'ENERGIE... 24 Energie dissipée, facteur de qualité... 24 ANALOGIE ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUE ET ELECTRIQUE... 25 Oscillateurs analogues... 25 2
Rappel préliminaire La variable caractéristique du système physique étudié est notée d'une façon générale q lorsque le type du système (mécanique, électrique...) n'est pas précisé. Suivant le type de système, q représente la position d'un point matériel, une intensité ou une tension électrique, la charge portée par un condensateur, un moment dipolaire, une densité moyenne d'électrons dans un plasma... Lorsque le type du système est défini, la notation correspondante de q est utilisée. La fonction décrit l'évolution du système au cours du temps. Les dérivations première et seconde par rapport au temps sont notées respectivement : et. 3
L'oscillateur harmonique amorti L'oscillateur harmonique amorti Présentation Considérons un système physique dont les oscillations sont décrites par la variable dynamique, le système constitue un oscillateur harmonique amorti si satisfait à l'équation différentielle : où et désignent respectivement la pulsation propre et le coefficient d'amortissement. et sont deux constantes positives caractéristiques du système, ces deux constantes s'expriment en. ou La notation est également utilisée pour désigner le coefficient d'amortissement. La solution de l'équation différentielle (ou réponse de l'oscillateur) décrit les oscillations libres et amorties du système. q s'exprime en unité SI de la grandeur physique représentée. L'oscillateur évolue suivant un régime transitoire libre du second ordre. Remarquons que si, on retrouve le modèle de l'oscillateur harmonique. 4
L'oscillateur harmonique amorti Approche analytique Mathématiquement, l'équation précédente,, est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale : En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique, il vient :,, et. Les expressions de la solution générale se déduisent de la résolution de l'équation différentielle. Elles sont exposées par la suite. L'oscillateur harmonique amorti Approche énergétique A l'instant initial, l'excitation fournit au système une quantité d'énergie : le système est mis en oscillation. L'énergie décroît ensuite en fonction du temps, jusqu'à une valeur nulle : le système perd de l'énergie par des phénomènes de dissipation (amortissement, frottement, effet Joule...). Les oscillations libres des systèmes physiques se font en général avec une telle décroissance de l'énergie. 5
Exemples Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal Le ressort est caractérisé par sa raideur k et par sa longueur à vide (sans déformation). A l'équilibre : La masse m est en O, (ici ). Les forces de pesanteur et de réaction normale s'équilibrent :. Mise en mouvement : La masse m est en A. Les conditions initiales sont la position (positive ou négative), et la vitesse initiale, soit nulle ( ) soit positive ou négative ( ). 6
En mouvement à un instant t : La masse m est en M. On repère la position de m par rapport à la position d'équilibre O soit. Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à m : où est une force dissipative, force représentant l'amortissement ; si l'on suppose que l'amortissement est de type visqueux la force est proportionnelle à la vitesse et de sens opposé à celle-ci, on la note ( coefficient constant positif). correspond à une force se frottement. Projetons l'équation vectorielle précédente sur l'axe, et étant orthogonaux à l'axe, il vient :. On pose et. On constate que l'équation différentielle précédente est du type oscillateur harmonique amorti de coefficient d'amortissement et de pulsation propre. 7
Autres exemples d'oscillateurs mécaniques Système [masse, ressort] vertical amorti [k, l, m] Pendule simple amorti [l, m] (g : accélération de la pesanteur, approximation des petits angles) Pendule de torsion amorti [C, l, m] (C : constante de torsion du fil, I : moment d'inertie) 8
Exemples Oscillateur électrique : circuit série (R, L, C) Dans cet exemple, nous étudions la décharge d'un condensateur à travers une bobine et une résistance. Conditions initiales : et A l'instant initial le circuit est fermé ; désignons à un instant t par charge du condensateur, par l'intensité du circuit et par, et les tensions respectives aux bornes de la bobine, de la résistance et du condensateur. Mise en équation du système, équation en intensité la, explicitons les tensions par rapport à t, il vient,, dérivons ou On pose : et. L'équation différentielle ci-dessus est du type oscillateur harmonique amorti de coefficient d'amortissement et de pulsation propre. Autres équations 9
Sachant que, d'après les conventions utilisées sur la figure, on établit facilement à partir de l'équation différentielle précédente l'équation satisfaite par la charge instantanée du condensateur : Sachant que, on déduit de l'équation relative à la charge, l'équation satisfaite par la tension instantanée aux bornes du condensateur : Oscillations libres amorties Oscillations libres amorties Résolution de l'équation différentielle Mathématiquement, l'équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale. En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique il vient : et. A partir des expressions de la solution générale, que l'on suppose connues, suivant les valeurs positive, nulle ou négative du discriminant les expressions de ou du discriminant réduit données dans la page suivante., on obtient directement Rappelons également le calcul complet de résolution à partir de l'équation physique. 10
Rappel de la méthode de résolution de l'équation différentielle du second ordre linéaire et à coefficients constants (1) On montre en mathématiques que la solution générale d'une telle équation est une combinaison linéaire de deux solutions linéairement indépendantes et : (A et B étant deux constantes) (2) La recherche des solutions et se fait en considérant la fonction et en reportant cette fonction dans l'équation (1). Sachant que et que l'équation (1) conduit à l'équation. Nous obtenons ainsi l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle : (3) Si r satisfait à cette équation, alors satisfait à l'équation (1). L'équation caractéristique possède en général deux racines (réelles ou complexes conjuguées) et. On peut donc déterminer deux solutions linéairement indépendantes de (1) : La solution générale s'écrit : et La forme de dépend de la nature des racines et et donc des valeurs positive, nulle ou négative du discriminant de l'équation caractéristique associée ou du discriminant réduit. 11
Les expressions de sont données dans la page suivante. Oscillations libres amorties Régimes d'évolution En fonction du discriminant réduit suivants :, on définit les trois régimes : régime apériodique Il existe deux racines réelles nécessairement négatives : Alors Autre forme de : en rappelant que et, on montre que. : régime critique Il existe une racine double réelle négative. Dans ce cas particulier, on montre que est égale au produit d'une fonction exponentielle par un polynôme d'ordre 1, soit :. : régime pseudo-périodique (ou sinusoïdal amorti) 12
Il existe deux racines complexes conjuguées : En introduisant la pseudo-pulsation, les racines s'écrivent : En reportant les expressions des racines dans l'expression générale équivalentes :, le calcul montre que s'écrit sous les trois formes Les oscillations sont sinusoïdales amorties : de pseudo-pulsation, d'amplitude décroissante en fonction du temps suivant la loi : de phase initiale (à ) ou. Les constantes qui interviennent dans les diverses expressions de explicitées dans la page suivante. sont 13
Oscillations libres amorties Expressions des constantes La solution générale dépend de deux constantes :,,, ou. Elles sont déterminées à l'aide de deux relations. En général dans un problème physique ces relations caractérisent l'état du système à l'instant initial, elles correspondent aux conditions initiales : et Les différentes constantes sont reliées entre elles par les relations suivantes : On calcule facilement les expressions des constantes en fonction de et. On obtient pour les différents régimes les relations suivantes : régime apériodique, régime critique, 14
régime pseudo-périodique, (avec du signe de ) 15
Oscillations libres amorties Réponses d'oscillateurs harmoniques amortis La figure ci-dessous représente les réponses de quatre oscillateurs, caractérisés chacun par un coefficient d'amortissement et une pulsation propre, évoluant soit en régime apériodique, soit en régime critique, soit en régime pseudopériodique. 16
Oscillations libres amorties Etude de la forme de la réponse d'un oscillateur harmonique amorti en fonction des conditions initiales Rappelons que : Un oscillateur étant caractérisé par un coefficient d'amortissement pulsation propre discriminant réduit :., le type de régime d'évolution se déduit du calcul du L'expression de la réponse d'un oscillateur donné dépend de deux constantes qui sont déterminées à partir des deux conditions initiales : et. et par une Connaissant,, et, l'expression de la réponse de l'oscillateur est déterminée. Les figures suivantes représentent les réponses de trois oscillateurs harmoniques amortis différents évoluant respectivement : en régime apériodique pour le premier, en régime critique pour le second, en régime pseudo-périodique pour le troisième. La réponse de chaque oscillateur est représentée successivement pour trois couples de valeurs des conditions initiales différents : Pour chaque oscillateur, la condition est fixe, la condition varie. Les valeurs numériques sont exprimées en unités SI. Les expressions des réponses sont données pour chaque figure. 17
Régime apériodique : Dans ce type de régime, tend vers 0 sans oscillation. L'oscillateur est caractérisé par : Régime critique :Dans ce type de régime, tend vers 0 sans oscillation. L'oscillateur est caractérisé par : 18
Régime pseudo-périodique : L'oscillateur est caractérisé par : 19
Grandeurs caractéristiques Grandeurs caractéristiques La pseudo-période On définit la pseudo-période par : On rappelle l'expression de la période propre :. Pour donnée, la pseudo-période est supérieure à la période propre et elle augmente quand le coefficient d'amortissement croît. En effet, car et donc, soit. Cas de l'amortissement très faible : Par définition l'amortissement très faible correspond à un coefficient d'amortissement très petit tel que, dans ce cas. En effet, rappelons que, pour et, par suite : 20
Grandeurs caractéristiques Le décrément logarithmique On définit le décrément logarithmique par : où et représentent les amplitudes des oscillations aux instants et ; généralement ces deux instants sont choisis comme correspondant à deux extréma successifs de même signe. Cette quantité mesure la décroissance des amplitudes. On montre facilement que. On en déduit l'expression de en fonction de et :. Remarque : la pseudo-période et le décrément logarithmique n'ont de sens que si le régime est pseudo-périodique. Grandeurs caractéristiques La constante de temps et le temps de relaxation Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel, étant homogène à l'inverse d'un temps, on pose ( est une constante de temps, chaque fois qu'il s'écoule un intervalle de temps égal à, la valeur de l'exponentielle est divisée par 2,7). En fait, on utilise la quantité (quantité relative à l'énergie). appelée temps de relaxation définit par 21
Grandeurs caractéristiques Le facteur de qualité On définit le facteur de qualité Q par les expressions : ou Plus l'amortissement est faible, plus la qualité du système est grande. Or Q est d'autant plus grand, à donné, que l'amortissement est faible, d'où le nom de facteur de qualité. Il existe également deux autres définitions de Q liées : l'une à l'énergie :, où est l'énergie totale du système à l'instant, et est l'énergie dissipée pendant la pseudopériode suivant. l'autre à la bande passante en pulsation ou en fréquence (quantités définies dans la ressource traitant des oscillations forcées, et désignant respectivement la pulsation et la fréquence à la résonance) : Dans le cas de l'amortissement très faible ( ) : On montre d'une part que : et d'autre part que et. Il en résulte que les deux dernières définitions du facteur de qualité sont dans ce cas équivalentes à la définition donnée en premier :. Notons qu'un grand nombre d'oscillateurs, principalement électriques, sont caractérisés par un amortissement très faible et la dernière définition de Q est utilisée. 22
Ordre de grandeur de Q pour différents systèmes : circuit (R, L, C) : 100 tremblement de terre : 1 000 cavité micro-onde : 10 000 quartz piézo-électrique : 10 000 atome excité : laser : noyau atomique excité : Grandeurs caractéristiques Conclusion Un oscillateur harmonique amorti est caractérisé par la pulsation et le coefficient d'amortissement, ou par la pulsation propre (ou la fréquence propre ) et le facteur de qualité Q. On retiendra que (ou ) et Q sont les deux principales caractéristiques d'un oscillateur. L'étude expérimentale d'un système physique implique généralement l'enregistrement du graphe de sa réponse. Dans le cas où les oscillations, libres et amorties, correspondent à un régime pseudo-périodique, on mesure à partir de l'enregistrement les valeurs du décrément logarithmique et de la pseudo-période. On en déduit successivement les valeurs du coefficient d'amortissement, de la pulsation propre et du facteur de qualité. On détermine ainsi les caractéristiques de l'oscillateur. 23
Etude de l'énergie Etude de l'énergie Energie dissipée, facteur de qualité Rappelons qu'un système physique, quelque soit son type mécanique, électrique ou autre, est un système amorti. Il perd de l'énergie par des phénomènes de dissipation (amortissement, frottement, effet Joule...) L'énergie totale du système décroît au cours du temps. Energie dissipée au cours d'une pseudo-période : Considérons un système amorti évoluant en régime pseudo-périodique ( pseudo-période. ) de Désignons par l'énergie totale de cet oscillateur à un instant (énergie mécanique, électrique ou autre suivant le type d'oscillateur) et par l'énergie dissipée par l'oscillateur entre les instants. L'instant correspondant à un extrémum des oscillations. et On établit les résultats suivants (voir la ressource d'exercices correspondante) : Dans le cas de l'amortissement :. Le décrément logarithmique étant constant pour un oscillateur harmonique donné, l'énergie dissipée par le système au cours d'une pseudo-période est constante en valeur relative. Dans le cas de l'amortissement très faible ( ) :. Dans ce cas, les deux définitions du facteur de qualité et sont très peu différentes et la perte d'énergie en valeur relative s'écrit. Plus le facteur de qualité est grand, moins le système dissipe de l'énergie. 24
Analogie entre oscillateurs mécanique et électrique Analogie entre oscillateurs mécanique et électrique Oscillateurs analogues Rappelons les équations : équation générale : oscillateur mécanique (masse-ressort) : oscillateur électrique (circuit série R, L, C) : Les correspondances suivantes se déduisent de la comparaison de ces équations : Pour les pulsations propres :. Pour les coefficients d'amortissement :. On définit ainsi l'oscillateur analogue à un oscillateur donné, c'est-à-dire que à un oscillateur mécanique on fait correspondre un oscillateur électrique et réciproquement. 25