Logique avancée ours optionnel de Licence, Lecote, 2009-2010 Systèe de déduction naturelle Les systèes de déduction sont des ensebles de règles perettant de construire des preuves L un des systèes correspondant le ieux à notre notion usuelle de preuve en athéatiques est celui qui est attribué à Frederic Fitch, lequel a aélioré une anière de présenter les déductions due au logicien polonais Stanislas Jaśkowski e style de preuve consiste à disposer les forules qui sont successiveent établies en une colonne, avec les préisses en haut et la conclusion en bas (sur le schéa de la figure??, il y a i préisses et une conclusion) On appelle déduction principale l espace qui figure iédiateent à droite de cette preière barre verticale Il peut arriver que dans une déduction, on soit aené à faire des hypothèses : en ce cas, les forules qui se déduisent de ces hypothèses ne sont évideent valides que sous les hypothèses correspondantes utreent dit, il existe une règle particulière qui peret d introduire une hypothèse : elle consiste sipleent à l écrire de anière décalée d un espace vers la droite et à ouvrir ainsi une sous-déduction qui déarre à partir d elle Nous pouvons à nouveau faire une hypothèse à l intérieur de ce nouvel espace, et ce, autant de fois qu on le désire Par exeple, le schéa de la figure 1 coporte deux préisses : et, puis une hypothèse ouvrant une sous-déduction, puis dans cette sous-déduction une nouvelle hypothèse D 1 P (pre 1) 2 Q (pre 2) i R (pre i) n (conclusion) Il est toujours possible de répéter une forule déjà déontrée (ou une préisse ou une hypothèse) à condition bien entendu que cette répétition se fasse dans l espace approprié, c est-à-dire à la verticale de la forule répétée ou bien dans une sous-déduction (ou une sous-sous-déduction etc ainsi récursiveent) ouverte après l inscription de la forule répétée On utilise pour cela la règle répéter (voir figure 2) Les règles propreent logiques sont celles qui perettent d utiliser une forule déjà prouvée pour parvenir à un résultat et celles qui perettent d utiliser la structure de la conclusion pour nous guider dans la recherche d une preuve Utiliser une forule déjà prouvée (ou une préisse ou une hypothèse) revient à éliiner son connecteur principal, alors qu utiliser une conclusion pour nous 1
1 pre 1 2 pre 2 3 4 D FIG 1 Déduction avec hypothèses n R, 1 i R, 1 FIG 2 Règle répéter 2
n E, n E, FIG 3 Eliination de la conjonction n p I,, n FIG 4 Introduction de la conjonction guider dans la preuve revient à introduire son connecteur principal D où le fait qu un systèe de déduction naturelle contient deux types de règles logiques : les règles d éliination les règles d introduction á raison d un couple de ces règles pour chaque connecteur onjonction oençons par la conjonction Les règles déliination et d introduction sont données respectiveent aux figures 3 et 4 La règle d éliination possède deux variantes, selon qu on projette sur le preier ou sur le deuxièe conjoint Iplication Réglons iédiateent le cas de l iplication, qui est le connecteur qui nous sera le plus utile dans la suite La règle d éliination (figure 5) est la règle d inférence la plus connue en logique, à savoir celle du odus ponens qui dit qu à partir de et, on peut toujours déduire, on l appelle aussi règle de détacheent La règle d introduction (figure 6) reproduit égaleent un processus 3
n p E,, n FIG 5 Eliination de l iplication 1 n n + 1 I, 1 n FIG 6 Introduction de l iplication de preuve auquel nous soes habitués : prouver, c est faire l hypothèse qu on a, et ensuite en déduire qu on a utreent dit, cette règle nous donne le preier cas où on utilise l introduction d hypothèse La disjonction va nous donner un autre cas d utilisation des hypothèses Disjonction Introduction L introduction de la disjonction est syétrique par rapport à l éliination de la conjonction On a : n I, n I, L éliination, en revanche, est un peu particulière Elle repose sur l idée que ne peret d inférer que si à la fois et (chacun de son côté) peret d inférer Par exeple, si de 4
la buée sur la vitre peret d inférer que la tepérature extérieure est basse et si aussi le gel sur les arbres peret d inférer que la tepérature extérieure est basse, alors je peux inférer que la tepérature est basse de la buée sur la vitre ou du gel sur les arbres! Donc pour inférer à partir de, je e ets d abord sous l hypoth`se, je vérifie qu on peut déduire, et je fais la êe chose avec D où la règle : i i + 1 j j + 1 k l E, i, i + 1 j, j + 1 k Négation Les règles pour la négation peuvent se déduire de l interpr tation de cette dernière selon laquelle nier c est dire que iplique l absurde Pour cela, on introduit une constante qui signifie le faux et qui ne possède qu une règle d éliination (pas de règle d introduction), laquelle est : i i + 1 Q ette règle est celle que les logiciens édiévaux appelaient ex falso quodlibet sequitur : du faux, 5
on déduit ce qu on veut On trouve alors pour la négation les deux règles suivantes : n n + 1 E,, n 1 + 1 I, 1 oe on le voit, ne peut apparaître dans une déduction que via la règle d éliination de (puisqu il n a pas de règle d introduction qui lui soit propre), or, grâce à la règle d introduction de la conjonction, on constate que ce sont exacteent les cas où on peut déduire une contradiction ( ), ainsi a bien le sens d une contradiction Nous avons ainsi obtenu un systêe pour construire des preuves, ais ce systêe est-il suffisant pour produire toutes les preuves de la logique classique? On constatera (exercices) que non En particulier, il lui anque deux schéas d inférence qu on utilise couraent en logique classique : la loi du tiers exclu et la règle de double négation Intuitiveent, ce n est pas étonnant : prouver que l on a le tiers exclu, c est-à-dire ne pourrait se faire qu en utilisant la règle I, or celle-ci suppose que soit connu soit soit, or évideent quand on utilise la loi du tiers exclu habituelleent on ne sait pas lequel des deux teres est valide! On peut d autre part ontrer que si on ajoute la règle de double-négation au systèe, alors la loi du tiers-exclu est prouvable (et réciproqueent d ailleurs), où la loi de double négation peut se foruler coe suit : n n + 1 E, n Si on n ajoute pas expliciteent cette dernière règle on obtient donc un sous-systèe de la logique classique : ce qu on appelle la logique intuitionniste, appellation qui se justifie si on sait que les tenants de l intuitionnise en athéatiques (notaent son grand aître rouwer) refusaient justeent l utilisation de la loi du tiers exclu Nous allons revenir sur la déduction naturelle en logique intuitionniste au paragraphe suivant afin de ontrer que les preuves dans cette logique ont la propriété agréable de pouvoir être disposées de anière arborescente (ce qui justifie entre autres l utilité des calculs intuitionnistes en linguistique, quand on sait la faveur dont y jouissent justeent les arbres!) Déduction naturelle et logique intuitionniste Sous la fore d arbres 6
Règles d introduction [ I] [ 1 I] [ 2 I] [] [ I] Règles d éliination [] [] [ I] [ 1 E] [] [] [ E] [ 2 E] [ E] [ E] Extension à la logique des prédicats du preier ordre Règles d introduction [i ] : 7
Si nous nous contentions de doaines finis (ayant un nobre fini d éléents), nous pourrions dire sipleent que x(x) est vrai si chaque fois que nous replaçons x par le no d un individu du doaine, nous obtenons une proposition vraie En ce cas, si par exeple le doaine est : D = {i 1, i 2,, i n }, cela revient à trouver une preuve de la conjonction (c 1 ) (c 2 ) (c n ) où c 1,, c n sont les nos de i 1,, i n, ou, en abrégé, une preuve de i=1n (c i ) Il suffirait d appliquer la règle d introduction de la conjonction On peut résuer cette observation en rearquant ainsi qu un peut être vu coe un Seuleent, dans le cas d un doaine infini (ou trop grand!), nous devons passer par une autre éthode L idée est d utiliser en ce cas une sorte d individu générique, que nous représentons par une variable x Pour être générique, ce qu on appelle aussi quelconque, cet individu ne doit être doté d aucune propriété particulière x doit donc être une variable ne figurant dans aucune hypothèse qu on aurait pu introduire au préalable Néanoins, il peut se faire que x figure dans une hypothèse, ais en ce cas il s agit d une hypothèse qui est justeent déchargée au oent de prouver (x) On écrit : (x) x(x) ondition : au cas où on utilise des hypothèses auxiliaires pour déontrer (x), x est une variable libre qui n apparaît dans aucune de ces hypothèses, autreent dit c est une variable qui n a jaais encore été utilisée (on dit que c est une variable fraîche) utreent dit encore, la variable qui devient liée au oent de l utilisation de cette règle n est active dans aucune hypothèse non encore déchargée ette règle revient à dire : soit un x quelconque, prouvons que est vrai de x Exeple : Prouvons que x((x) (x)) [(x)] (x) (x) (x) x((x) (x)) oentaire : on fait l hypothèse que l on a (x) pour un x quelconque, on en déduit évideent que l on a (x), on peut donc utiliser la règle d introduction de l iplication, ce qui donne (x) (x) ce stade, l hypothèse contenant x est déchargée, on peut utiliser la règle d introduction de qui va justeent lier la variable x, qui n est désorais active dans aucune hypothèse [i ] : Là encore, si nous étions dans un doaine fini, nous pourrions sipleent dire qu il suffit de trouver une valeur dans ce doaine pour laquelle on a une preuve de (x) En ce cas, l existentielle x(x) correspond à une disjonction, on cherche une preuve de (c 1 ) (c 2 ) (c n ), autreent écrit i=1n (c i ) Il suffirait d appliquer la règle d introduction de la disjonction On 8
peut résuer cette observation en rearquant ainsi qu un peut être vu coe un De fait, il suffit de trouver un individu particulier perettant de prouver pour avoir une preuve de x(x), nous pouvons donc dire qu une preuve de x(x) consiste dans le couple foré par un individu bien particulier du doaine D et une preuve de pour cet individu On peut trouver cet individu par son no (d après nos hypothèses) ais on peut le trouver aussi par une éthode Dans ce dernier cas, on peut supposer qu il y a un tere t pour le désigner êe si nous ne savons pas exacteent qui il est! D où la règle, avec sa condition : (t) x(x) ondition : t est un tere e tere doit être libre pour x Qu est-ce que cela veut dire? Tout sipleent qu il ne doit pas s introduire, au cours de l application de la règle, un liage de variable intepestif non voulu! Par exeple iaginons que t soit une variable y et que (t) soit (y) = (y x), alors la conclusion serait : x (x x)! utreent dit, du fait qu un nobre y est différent d un nobre x, on déduirait qu il existe un nobre différent de lui-êe, ce qui est absurde Ici y n est pas libre pour x signifie qu on ne peut pas replacer y par x dans l expression sans lier une variable distincte de y qui jusqu ici était libre On peut toutefois substituer y par z dans cette expression car y est libre pour z On obtiendrait : z (z x) Et êe y par lui-êe car y est libre pour y, on obtiendrait : y (y x) Règles d éliination [e ] : Evideent si nous avons une preuve de x(x), par définition, pour chaque individu i, nous avons une preuve de (c i ) et plus généraleent, pour toute constante c, nous avons une preuve de (c), et de êe pour toute variable D où la règle : x(x) (t) où t est un tere quelconque, là aussi libre pour x [e ] : La règle d éliination de resseble nécessaireent à celle du Intuitiveent, si partant de n iporte quelle hypothèse (y), où, coe dans le cas de la règle [i ], y apparaît coe variable libre non déjà présente dans une hypothèse auxiliaire, on arrive toujours à la êe conclusion, 9
on pourra déduire de x(x) [(y)] x(x) Exeple : déontrons que ( x(x) (x)) x(x) [ x(x) (x)] x(x) (x) (y) x(x) ( x(x) (x)) x(x) [(y) (y)] (y) oentaire : y est une variable, ais au cours de l application de la règle [e ], l hypothèse sous laquelle on a déduit (y) se trouve déchargée ela signifie que y désigne bien un objet du doaine, on peut donc appliquer l introduction de 10