Fiche d exercices 10 : Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercice 1 Révisions de probabilités Exercice 2 Probabilités conditionnelles Exercice 3 Un groupe d élèves d une classe de Terminale S veut organiser un concert de musique à l intérieur du lycée. Il fait une enquête pour connaître le nombre d élèves souhaitant assister à ce concert. 450 élèves ont répondu à cette enquête, 270 filles et 180 garçons. 144 filles et 72 garçons sont favorables. On note : F l événement «la fiche est celle d une fille», G l événement «la fiche est celle d un garçon», A l événement «l élève souhaite assister au concert», A l événement complémentaire de A. 1. Dresser un arbre de probabilité. 2. On sort une fiche au hasard parmi les 450 fiches réponses. Donner les probabilités P ( G), P ( A), P( G A) et P( G A). 3. Les événements G et A sont-ils indépendants? 4. Calculer la probabilité P( F A) puis P F ( A). 5. Calculer les probabilités des événements «A sachant G», «G sachant A». 6. Compléter l arbre des probabilités. 7. Donner les probabilités suivantes : P( A F) et P( A G). En déduire P ( A) de deux manières. Exercice 4 Lors d une enquête réalisée auprès de familles d une région, concernant leur habitation principale, on apprend que 55% des familles interrogées sont propriétaires de leur logement, 40% en sont locataires et enfin 5% occupent leur logement gratuitement (ces familles seront appelées dans la suite de l exercice «occupants à titre gratuit»). Toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle, soit un appartement ; toute habitation ne contient qu une seule famille. 1/8
60% des propriétaires habitent une maison individuelle, 80% des locataires habitent un appartement et enfin 10% des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle. On interroge au hasard une famille de la région et on note : A l événement : «la famille habite un appartement», L l événement : «la famille est locataire», P l événement : «la famille est propriétaire», G l événement : «la famille occupe à titre gratuit», Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième. 1. a. Construire un arbre pondéré résumant la situation. b. Préciser à l aide de l énoncé les probabilités suivantes : ( A) P P, ( A) P L et ( A) 2. Calculer la probabilité de l événement : «la famille est propriétaire et habite un appartement». 3. Montrer que la probabilité de l événement A est égale à 0,585. 4. On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité pour qu elle en soit propriétaire. P G Exercice 7 Exercice 5 Exercice 6 2/8
Exercice 8 Exercice 9 Loi binomiale Exercice 10 3/8
Exercice 11 Problèmes de synthèse Exercice 12 4/8
Exercice 14 Exercice 13 5/8
Exercice 16 Exercice 15 Exercice 17 6/8
Exercice 18 Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d un grattage suivi d une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1/50 ou bien ne rien gagner. G désigne l événement «le joueur gagne au grattage». Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 100 euros ou 200 euros ou bien ne rien gagner. L 1 désigne l événement «le joueur gagne 100 euros à la loterie». L 2 désigne l événement «le joueur gagne 200 euros à la loterie». R désigne l événement «le joueur ne gagne rien à la loterie». Si le joueur n a rien gagné au grattage, la probabilité qu il gagne 100 euros à la loterie est 1/70 et la probabilité qu il gagne 200 euros à la loterie est 1/490. 1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent. b. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu il n a rien gagné au grattage. Compléter l arbre obtenu avec cette valeur. c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. 2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. La probabilité de l événement «X=90» est 2/125. La probabilité de l événement «X=190» est 1/250. a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 à la loterie, sachant qu il a gagné 100 euros au grattage est égale à 1/10. b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu il a gagné 100 euros au grattage. c. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l espérance mathématique de X. On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l aire de cette zone. 1. a. Déterminer la probabilité P(A) pour que le point soit placé dans le disque A. b. Déterminer la probabilité P(S 1 ) pour que le point soit placé dans le secteur S 1. 2. Pour cette question 2, on utilisera les valeurs approchées suivantes : P(A)=0,008 et, pour tout k appartenant à [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], P(S k )=0,0785. A cette situation aléatoire est associée le jeu suivant : un point placé dans le disque A fait gagner 10 euros. un point placé dans le secteur S k fait gagner k euros pour tout k appartenant à [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu. Calculer la probabilité P(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l espérance de X. Exercice 20 Exercice 19 Un carré de côté 20cm est partagé selon les 10 zones suivantes : un disque A de rayon 1cm. 8 secteurs S 1, S 2,, S 8 de même aire délimités par les frontières du disque A et disque A de même centre et de rayon 9cm. Une zone R entre le disque A et le bord du carré. 7/8
Annales du baccalauréat Exercice 22 Antilles-Guyane 19 Juin 2014 Exercice 21 8/8