Calcul mental 1 LE CALCUL MENTAL OU COMMENT SE PASSER DE LA CALCULATRICE
Calcul mental 2 SOMMAIRE I INTRODUCTION:...3 II ADDITIONS:...4 III SOUSTRACTIONS:...5 IV MULTIPLICATIONS...6 V DIVISIONS...9 Critères de divisibilité:...9 Méthode classique des divisions :...11 VI Exercices de calcul mental...15 VII CORRECTIONS...17
Calcul mental 3 I INTRODUCTION: Ce livret est un recueil des méthodes utilisées pour calculer plus rapidement en minimisant les risques d'erreurs. Ces méthodes seront très utiles à toutes les personnes qui passent un concours ou examen durant lequel la calculatrice n'est pas autorisée. Dans la vie courante ou professionnelle, il est toujours intéressant de savoir calculer rapidement et sans erreurs! Lisez bien ces conseils et astuces. Décortiquez tous les exemples qui vous sont donnés et surtout appliquez ces méthodes à tout un tas de calculs que vous vous imposerez. Vous vérifierez vos résultats à l'aide d'une calculatrice dont bientôt vous n'aurez plus besoin! Remarque : Nous n avons pas la prétention d affirmer que la liste des astuces et conseils que vous trouverez dans cet outil est exhaustive. Mais nous sommes convaincus que si vous maîtrisez toutes les méthodes de calcul qui vont suivre, votre capacité à calculer mentalement sera excellente! Bon apprentissage
Calcul mental 4 II ADDITIONS: Astuce 1: Pour additioner une série de nombre, il est intéressant de regrouper ceux qui donneront une somme partielle simple. Exemple: 47 + 12 + 25 + 18 + 23 = (47 + 23) + (12 + 18) + 25 = 70 + 30 + 25 = 100 + 25 = 125 Astuce 2: Pour faciliter une addition, il est possible de décomposer les nombres. Exemples: 74 + 27 = (70 + 20) + (4+7) = 90 + 11 = 101 587 + 425 = (500 + 400) + (80 + 20) + (7 + 5) = 900 + 100 + 12 = 1012 Astuce 3: Arrondir des nombres simplifie souvent le calcul. Exemples: 74 + 98 =? comme 98 = 100 2 on calcule 74 + 100 = 174 et 174 2 = 172 1028 + 2397 =? comme 1028 = 1000 + 28 et que 2397 = 2400 3 1028 + 2397 = 1000 + 2400 + 28 3 = 3400 + 25 = 3425 ce qui est bien plus simple! Maintenant, exercez-vous sur des calculs d'addition de votre choix. Vérifiez à la calculatrice et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise.
Calcul mental 5 III SOUSTRACTIONS: Astuce 1: Rajouter ou retrancher un même nombre aux 2 termes d'une soustraction ne modifie pas le résultat. Exemples: 1745 1703 = 45 3 = 42 on a enlevé 1700 aux 2 termes pour faciliter le calcul. 1593 587 = 1600 594 = 1006 on a ajouté 7 aux 2 termes. Astuce 2 ou la technique de la boulangère: Notre boulangère utilise la définition de la soustraction en procédant comme suit Pour calculer 100 37 notre commerçante dit: "37 + 3 = 40", "40 + 60 = 100!" donc 100 37 = 63 Astuce 3: Méthode du complément: on calcule le complément à 10 du 1 er chiffre non nul à partir de la droite, puis le complément à 9 de chacun des chiffres suivants. Exemple: 100 000 82 217, on prend le complément à 10 de 7 qui est 3, puis le complément à 9 de 1 qui est 8, puis le complément à 9 de 2 qui est 7 etc Donc le résultat est 17 783. Pour calculer une différence a b, on peut compléter b à un nombre simple ( 100, 1000, 10000 ), calculer la différence entre a et ce nombre et on ajoute les 2 résultats! Un peu compliqué, non? Voici un exemple: 3411 728, prenons le complément à 1000 de 728 qui est 272. Faisons la différence 3411 1000 = 2411. Donc 3411 728 = 272 + 2411 = 2683, OUF! Allez un peu d'entainement! Exercez-vous sur des calculs de soustractions de votre choix. Vérifiez à la calculatrice et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise.
Calcul mental 6 IV MULTIPLICATIONS De manière générale, multiplier par 10, 100, 1000 est un jeu d'enfant: On rajoute autant de zéros à la fin du nombre que les zéros contenus par le multiplicateur, ou si virgule il y a, on décale la virgule d'autant de rangs vers la droite que de zéros dans le multiplicateur. Exemples : Sans virgule : 35 x 10 = 350 42 x 100 = 4200 344 x 1000 = 344000 Avec virgule : 8,2 x 10 = 82 7,45 x 10 = 74,5 8,7 x 100 = 870 9,3 x 1000 = 9300 Ces calculs rapides et simples entrainent plusieurs astuces: Pour multiplier par 5, il est souvent plus rapide de multiplier par 10 et puis de diviser par 2. La multiplication par 9, 99, 999 est remplacée par une multiplication par 10, 100, 1000 après laquelle on retranche le multiplicande ( le nombre multiplié) du résultat obtenu. La multiplication par 11, 101, 1001 est remplacée par une multiplication par 10, 100, 1000 après laquelle on ajoute le multiplicande ( le nombre multiplié) du résultat obtenu. Exemples: 240 x 9 = 240 x 10 240 = 2400 240 = 2160 37 x 99 = 37 x 100 37 = 3700 37 = 3663 48 x 101 = 48 x 100 + 48 = 4800 + 48 = 4848 Comme pour l'addition, dans une multiplication de plusieurs nombres, il est judicieux de regrouper les nombres pour simplifier le calcul. Exemple: 25 x 7 x 4 x 13 = (7 x 13) x (25 x 4) = 91 x 100 = 9100
Calcul mental 7 Distributivité de la multiplication: On décompose le nombre à multiplier et on distribue la multiplication. Exemple: 312 x 7 = (300 + 10 + 2) x 7 = 300 x 7 + 10 x 7 + 2 x 7 = 2100 + 70 + 14 = 2184 Bien entendu pour calculer 300 x 7 on fait 3 x 7 x 100 Maintenant, exercez-vous sur des calculs de multiplications de votre choix. Vérifiez à la calculatrice et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise. Multiplier par 11 Pour multiplier par 11 un chiffre, il suffit de le répéter : Exemples : 3 x 11 = 33 ou 8 x 11 = 88 Pour multiplier par 11 un nombre à 2 chiffres, on fait la somme des 2 chiffres et on intercale le résultat entre les 2 chiffres : Exemples : 35 x 11 = on fait 3 + 5 = 8 donc 35 x 11 = 385 on a intercalé le 8 entre le 3 et le 5. 27 x 11 = on fait 2 + 7 = 9 donc 27 x 11 = 297 on a intercalé le 9 entre le 2 et le 7. Remarque : Si la somme des 2 chiffres est supérieure à 9, on intercale le chiffre des unités du résultat de la somme entre les 2 chiffres et on ajoute 1 au 1 er des 2 chiffres : Exemples : 49 x 11 = on fait 4 + 9 =13 on prend le 3 (unités du résultat) on le met entre les 2 chiffres de départ et on ajoute 1 à 4 (1 er des 2 chiffres) on obtient 5 donc : 49 x 11 = 539 Si les nombres de départ on plus de 2 chiffres ou si cela vous semble trop compliqué, vous pouvez toujours faire de la façon suivante : On multiplie par le nombre par 10 et on l ajoute au résultat : Exemples : 254 x 11 = 254 x 10 + 254 = 2540 + 254 = 2794 872 x 11 = 872 x 10 + 872 = 8720 + 872 = 9592 Multiplication par 15
Calcul mental 8 Pour multiplier par 15 on dispose de 2 méthodes très proches l une de l autre : La 1 ère consiste multiplier le nombre par 10 puis par 5 et d ajouter les résultats. La seconde consiste à multiplier le nombre par 10 et d ajouter au résultat obtenu sa moitié : Exemples : 48 x 15 = 48 x 10 + 48 x 5 = 480 + 240 = 720 Ou 48 x 15 = 48 x 10 + 48 x 10/2 = 480 + 240 = 720 65 x 15 = 65 x 10 + 65 x 5 = 650 + 325 = 975 65 x 15 = 65 x 10 + 65 x 10/2 = 650 + 325 = 975
Calcul mental 9 V DIVISIONS Critères de divisibilité: Ces critères vous seront très utiles dans la simplification de fractions. Divisibilité par 10, 100, 1000 : Pour qu'un nombre soit divisible par 10, il suffit qu'il se termine par 1 zéro. Pour qu'un nombre soit divisible par 100, il suffit qu'il se termine par 2 zéros. Pour qu'un nombre soit divisible par 1000, il suffit qu'il se termine par 3 zéros. Etc Divisibilité par 2, par 4: Pour qu'un nombre soit divisible par 2, il suffit que son dernier chiffre soit 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemples: 22 et 45678 sont divisibles par 2. 35 et 9873 ne le sont pas. Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il suffit que ses 2 derniers chiffres forment un multiple de 4. Exemples: 380 est divisible par 4 car 80 est divisible par 4. 9874 n'est pas divisible par 4 car 74 ne l'est pas. Divisibilité par 5, par 25: Pour qu'un nombre soit divisible par 5, il suffit que son dernier chiffre soit 0 ou 5. Exemples: 45 et 5670 sont divisibles par 5. 39 et 9873 ne le sont pas. Pour qu'un nombre soit divisible par 25, il suffit que ses 2 derniers chiffres soient un multiple de 25, donc ce nombre doit se terminer par 00, 25, 50 ou 75. Exemples: 125 et 5675 sont divisibles par 25.
Calcul mental 10 395 et 9870 ne le sont pas. Divisibilité par 3, par 9: Pour qu'un nombre soit divisible par 3, il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3. Exemples: 45 et 5673 sont divisibles par 3, car 4 + 5 = 9 et 5 + 6 + 7 + 3 = 21. 29 et 8873 ne le sont pas. Pour qu'un nombre soit divisible par 9, il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9. Exemples: 126 et 5679 sont divisibles par 9, car 1 + 2 + 6 = 9 et 5 + 6 + 7 + 9 = 27. 395 et 9870 ne le sont pas. Divisibilité par 11 (assez complexe): Pour qu'un nombre soit divisible par 11, il suffit que la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et le somme de ses chiffres de rang pair soit divisible par 11. Exemple: 987250 est-il divisible par 11? En exposant, notons le rang de chaque chiffre: 9 1 8 2 7 3 2 4 5 5 0 6 La somme des chiffres de rang pair est 8 + 2 + 0 = 10 La somme des chiffres de rang impair est 9 + 7 + 5 = 21 La différence 21 10 = 11 (ici si le résultat est négatif on enlève le signe -) 11 est évidemment divisible par 11 donc 987250 est divisible par 11. Cette méthode est assez complquée à utiliser, à vous de voir! Division par 10, 100, 1000 etc Pour diviser par une puissance de 10, on décale la virgule vers la gauche d'autant de rangs que de zéros contenus par le diviseur. Exemples: 3450 : 100 = 34,5 83,4 : 1000 = 0,0834 Pour la division, il est fortement conseillé de maitriser sa technique classique!
Calcul mental 11 Méthode classique des divisions : Avant tout, soyez convaincu que pour réaliser des divisions il est IMPERATIF de connaître PARFAITEMENT les tables de multiplications. Divisions de nombres entiers (sans virgule) : 1 x 3 1 x 3 5 x 3 3 4 5-3 0 4-3 1 5-1 5 0 3 115 Commentaires : Dans le 3 (du 345), combien de fois rentre 3 : 1 fois cela donne le premier 1 de 115. Ensuite, 1 x 3 = 3 donc on fait 3-3 = 0. On abaisse le 4, dans 4 combien de fois 3 : 1 fois cela donne le second 1 de 115. Ensuite, 1 x 3 = 3 donc on fait 4-3 = 1. On abaisse le 5, dans 15 combien de fois 3 : 5 fois cela donne le 5 de 115. Ensuite, 5 x 3 = 15 donc on fait 15-15 = 0. Donc 345 : 3 = 115 reste 0. Divisions de nombres entiers, résultat décimal (avec virgule): 1 x 4 0 x 4 7 x 4 4 3-4 0 3-0 3 0-2 8 2 0-2 0 0 4 10,75 Pour rajouter ce 0 qui me permet de continuer, je dois mettre une virgule au résultat. Ensuite je pourrai abaisser des 0 autant de fois que nécessaire
Calcul mental 12 Donc 43 : 4 = 10,75 reste 0. Division d un décimal par un entier: 6 x 8 6 x 2 4 9, 2-4 8 0 1 2-1 2 0 6 8,2 Commentaires : Pour abaisser le 2 (1 er chiffre après la virgule), je dois barrer la virgule et la placer au résultat donc après le 8 car à ce moment là je n ai pas encore calculer le 2 du résultat Donc 49,2 : 6 = 8,2 reste 0. Division d un entier par un décimal: Lorsqu une virgule se trouve au diviseur, il faut s en débarasser de la manière suivante : 36 : 5,2 si on barre la virgule, 5,2 devient 52 donc on l a multiplié par 10. Aussi il est nécessaire de multiplier également 36 par 10 pour ne pas fausser le résultat de la division donc 36 : 5,2 = 360 : 52 et maintenant on sait faire. En conclusion, si le diviseur est un décimal on le transforme en nombre entier en barrant la virgule. Mais pour ne pas fausser le résultat de la division on multipliera le «divisé» (dividende en terme mathématique) par 10 si le diviseur n a qu 1 chiffre après la virgule par 100 s il en a 2, par 1000 s il en a 3 etc. Exemples : 45 : 8,2 devient 450 : 82 38 : 4,12 devient 3800 : 412 54 : 2,454 devient 54000 : 2454 Division d un décimal par un décimal:
Calcul mental 13 On utilise exactement la même méthode que précédemment. 35,4 : 4,2 devient 354 : 42 on a multiplié par 10 les 2 35,4 : 4,21 devient 3540 : 421 on a multiplié par 100 les 2 3,54 : 4,2 devient 35,4 : 42 on a multiplié par 10 les 2 Remplacer une division par une multiplication : Si vous maitrisez les fractions, vous savez que pour diviser par une fraction on multiplie par son inverse. Exemple : 2 3 15 5 : = 5x = = 7,5 3 2 2 En utilisant cette propriété, il est aisé de comprendre que pour diviser par 0,5, il suffit de multiplier par 2. En effet, 0,5= 2 1 donc par exemple 3 :0,5=3 : 2 1 =3x 1 2 =3x2=6. Ce qui est beaucoup plus simple et rapide, qu en pensez-vous? Donc chaque fois que vous devez diviser par un nombre décimal, demandez-vous d abord si on peut le remplacer par une fraction. Si oui, il suffira de multiplier par l inverse de cette fraction!!! Les nombres décimaux les plus connus qui sont équivalents à une fraction sont : 0,5= 2 1 donc diviser par 0,5 revient à multiplier par 2. 0,25= 4 1 donc diviser par 0,25 revient à multiplier par 4 0,2= 5 1 donc diviser par 0,2 revient à multiplier par 5 0,75= 4 3 donc diviser par 0,75 revient à multiplier par 4 et diviser par 3 0,125= 8 1 donc diviser par 0,125 revient à multiplier par 8. Cette liste n est pas exhaustive
Calcul mental 14 Voilà, vous avez toutes les techniques et astuces qui feront de vous un as du calcul mental! Utilisez ces astuces à volonté et à partir de maintenant n'utilisez plus votre calculatrice que pour vérifier vos résultats. Bon courage!
Calcul mental 15 VI Exercices de calcul mental Ex 1:Additions a) 34 + 28 + 126 + 12 = b) 647 + 724 = c) 129 + 297 = Ex 2: Soustractions a) 894 423 = b) 1000 652 = c) 2345 912 = Ex 3: Multiplications a) 34 x 9 = b) 78 x 99 = c) 234 x 101 = d) 427 x 8 = Ex 4: Divisibilité Cocher les cases si le nombre est disible par: 372 250 1024 625 1001 3216 289 3012 10485 2 3 4 5 9 10 11
Calcul mental 16 Cocher les cases si le nombre est disible par: 372 250 1024 625 1001 3216 289 3012 10485 25 Ex 5 : Divisions Poser et effectuer les divisions suivantes : a) 312 : 12 = b) 262,2 : 23 = c) 48 : 7 = donner le résultat avec 2 chiffres après la virgule d) 280,36 : 4,3 = résultat avec un chiffre après la virgule. Ex 6 : Calculer rapidement. a) 114 :0,75 = b) 1098 :0,5 = c) 226 :0,25 = d) 312 :0,2 = e) 47 :0,125=
Calcul mental 17 VII CORRECTIONS Ex 1:Additions a) 34 + 28 + 126 + 12 = ( 34+126) + ( 28+12) = 160 + 40 = 200 b) 647 + 724 = (600+700)+(40+20)+(7+4)= 1300 + 60 + 11= 1371 c) 129 + 297 = 129+300-3 = 429-3= 426 Ex 2: Soustractions a) 894 423 = 900-429 = 471 on ajoute 6 aux 2 termes b) 1000 652 = «652 +48=700 et 700+300=1000 donc»=348 c) 2345 912 = «1000-912=88 et 2345-1000=1345d'où 1345+88=1433donc»= 1433 Ex 3: Multiplications a) 34 x 9 = 34x10-34= 340-34=306 b) 78 x 99 = 78x100-78=780-78=702 c) 234 x 101 = 234x100+234=23400+234=23634 d) 427 x 8 = (400+20+7)x8= 400x8+20x8+7x8= 3200+160+56= 3200+216=3416 Ex 4: Divisibilité Cocher les cases si le nombre est divisible par: 372 250 1024 625 1001 3216 289 3012 10485 2 X X X X X 3 X X X X 4 X X X X 5 X X X 9 X 10 X 11
Calcul mental 18 Cocher les cases si le nombre est divisible par: 372 250 1024 625 1001 3216 289 3012 10485 25 X X Ex 5 : Divisions : a) 3 1 2-24 7 2-7 2 0 12 26 Donc 312 : 12 = 26 b) 2 6 2, 2-23 3 2-2 3 9 2-9 2 0 23 11,4 Donc 262,2 : 23 = 11,4 c)
Calcul mental 19 4 8-42 6 0-5 6 4 0-3 5 5 7 6,85 Donc 48 : 7 6,85 à peu près seulement car on voit qu il y a un reste d) 280,36 : 4,3 devient 2803,6 : 43 2 8 0 3, 6-2 5 8 2 2 3-2 1 5 0 0 8 6-8 6 0 43 65,2 Donc 280,36 : 4,3 = 65,2 Ex 6 : Calculer rapidement. 114x4 a) 114 :0,75 = = 38 x 4 = 40x4 2x4 = 152 3 b) 1098 :0,5 = 1098 x 2 = 1100x2 2x2 = 2200 4 = 2196 c) 226 :0,25 = 226x 4 = 220x4 + 6x4 = 880 + 24 = 904 d) 312 :0,2 = 312 x 5 = 300 x 5 + 12 x 5 = 1500 + 60 = 1560 e) 47 :0,125= 47 x 8 = 50 x 8 3 x 8 = 400 24 = 376 Vous trouverez pleins de petits logiciels gratuits ici : http://www.gratuiciel.com/freeware/?calcul-mental Ou pour les enfants : http://thot.cursus.edu/rubrique.asp?no=3791 Bons Calculs