Chapitre II: Notions de base de la RDM Objet de la RDM: La résistance des matériaux est l étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, diverses pièces mécaniques ) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu ils supportent les charges qu ils subissent, dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux ). Son domaine d application étant très large et les situations rencontrées nombreuses et variées, il est nécessaire de mettre en place des hypothèses simplificatrices dans le but de standardiser les cas d étude. La résistance des matériaux n étudie que des solides de formes simples : les «poutres» par exemple. Bien souvent, il est possible de modéliser des solides par une poutre, à la condition que ceux-ci respectent certaines hypothèses (hypothèses de la RDM)
Notion de poutre On appelle poutre un solide engendré par la translation d une surface plane S dont le centre de gravité décrit une ligne plane (ligne contenue dans un plan) Section droite n 0 i Ligne moyenne (P) - La surface plane est en général appelée section droite (S) (son plan (P) est normal à la ligne plane passant par son centre de gravité i ) - La ligne plane est appelée ligne moyenne et constituée de l ensemble des centres de gravité des sections droites.
Exemples de poutres: Poutre Droite R Poutre droite creuse Anneau Poutre de ligne moyenne fermée R: rayon de courbure Poutre courbe
Exemple de sections droites: (P) (P) (P) (P) (P) (P) (P) Pour tous les profilés (P) est plan de symétrie
Torseur des efforts intérieurs s exerçant sur une section droite de la poutre: C- R ext M ext Ligne moyenne d une poutre Coupure en R ext C+ M ext Le calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs se fait en deux étapes: 1- détermination du torseur des efforts extérieurs: Le calcul des actions aux liaisons se fait en posant les équations d équilibre de la poutre 2- calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs: Soit (P) un plan fictif coupant la poutre en deux parties C- et C+ suivant une section droite (, x, y, z): trièdre orthonormé direct x: axe tangent en à la ligne moyenne C- Partie auche isolée (y, z): plan de coupe contenant la section de coupe z y R m x
R M R M R m Bilan des efforts sur C- et C+: ext ext ext ext R m Actions des efforts extérieurs qui s appliquent sur C+ Actions des efforts extérieurs qui s appliquent sur C- Actions de la partie C+ sur la partie C- R M ext ext Equilibre R M ext ext R M R M ext Equilibre de la poutre ext ext ext R M ext R m ext Equilibre du tronçon C- 0 0 0 0 L équilibre du tronçon C- permet de calculer les efforts intérieurs à partir des efforts extérieurs sur les tronçon C- ou C+: Ici on calcule l effort intérieur de la partie C+ sur C- L effort intérieur de C- sur C+ est l opposé du premier
Exemple: y Charge A F B C A R A F B R C C x Actions de liaison Le torseur des efforts intérieurs se calcule de la manière suivante: R m R M ext ext R M ext ext D où R M R A A R A
Les projections du torseur des efforts intérieurs sur les axes x, y, et z donnent: N : Effort normal R m Nx Ty y m x mf Notion de Contrainte t Tz z y mf y z z T i : Effort tranchant dans la direction i (y ou z) m t : Moment de torsion autour de la ligne moyenne mf i : Moment fléchissant suivant la direction i (y ou z) Avant de définir ce qu est une contrainte, certaines hypothèses sur le matériau s imposent Continuité de la matière Lorsqu on regarde au microscope la coupe d une pièce en métal, on voit généralement une structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées. On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu.
Structure granulaire d un métal
Homogénéité On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points. Cela est à peu près vérifié pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que cette hypothèse n est qu une grossière approximation pour les matériaux tels que le bois ou le béton. Isotropie On admet que les matériaux étudiés ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothèse est loin de la réalité pour le bois et les matériaux composites par exemple. Ainsi les efforts intérieurs sont indépendants de la position de la particule dans le milieu Continu considéré
Considérons une poutre droite subissant plusieurs forces ponctuelles lim S 0 fi S 2/1
Le point M étant le centre de l élément de surface S de la section (S). f i est appliquée à S et représente la force interne en M. Le rapport f i S représente la force interne en M par unité de surface Le passage à la limite est opéré en vertu de la continuité du milieu Unité de contrainte: Le Pascal noté [Pa] Cette unité étant petite nous adoptons le Méga-pascal noté [MPa] 1MPa = 1N/mm 2
Les Hypothèses de la RDM: Dans le cadre de la RDM certaines hypothèses simplificatrices sont posées 1/ Matériaux parfaitement élastiques Les matériaux considérés sont des matériaux continus, homogènes et isotropes Leur élasticité est considérée parfaite (matériaux parfaitement élastiques) c est-à-dire qu il existe une relation de proportionnalité entre la déformation et l effort qui la provoque (Déformation =. Effort) 2/ hypothèse des petites déformations Les déformations subies par la structure sont faibles par rapport à ses dimensions 3/ hypothèse de Saint-Venant À une distance suffisamment éloignée de la zone d application des charges l action mécanique exercée sur la structure s exprime en terme du torseur des efforts extérieurs appliqué à celui-ci. Les résultats de la RDM ne s applique valablement qu à une distance suffisamment éloignée de la région d application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas, avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d un point d application d une force.
4/ hypothèse de Navier-Bernouilli Toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l application des charges. On dit qu il n y a pas de gauchissement des sections. Remarque: Compte tenu des hypothèses 2 et 4, on peut admettre que les forces extérieures conservent une direction constante avant et après déformation
Les sollicitations mécaniques Définition: une sollicitation mécanique est une action mécanique appliquée à une certaine structure considérée comme système matériel Ces sollicitations peuvent être simples ou composées On dit qu une sollicitation est simple quand elle engendre un torseur des efforts intérieurs ayant une seule composante de force «ou bien» de moment (N, T, M T ou M f ) Une sollicitation composée est donc une sollicitation qui engendre un torseur des efforts intérieurs ayant au moins deux composantes de force ou de moment Les cas de sollicitations simples et composées les plus courants sont donnés dans le tableau suivant:
Les essais mécaniques On distingue essentiellement deux types d essais mécaniques Les essais destructifs sur éprouvette: la pièce est détruite pendant l essais Les essais non destructifs: la pièce n est pas détruite Ce sont des expériences ayant pour but la détermination de certaines caractéristiques mécaniques des matériaux. Parmi ces essais, l essai de traction est le plus couramment rencontré
L essai de traction L essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques mécaniques courantes utilisées en RDM. La seule connaissance des paramètres de l essai de traction permet de prévoir le comportement d une pièce sollicitée en cisaillement, traction, compression et flexion. Les trois photos ci-contre représentent respectivement, une éprouvette cylindrique, une éprouvette plate et un détail d une éprouvette cylindrique montée dans des mors d une machine de traction.
Détails d une éprouvette cylindrique: F S 0 F L c L 0 d Tête d amarrage L 0 = k S 0 = Longueur utile de l éprouvette L C = L 0 + 2d =Longueur calibrée S 0 = section de l éprouvette La valeur de k dépend du matériau k = 5,65 pour les aciers, fontes à graphite sphéroïdal k = 3 pour les fontes malléables
L essai est réalisé sur une machine de traction (photo ci-contre) : on applique lentement et progressivement à une éprouvette de forme et dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l intensité varie de 0 à F. La machine enregistre un diagramme donnant la déformation de l éprouvette en fonction de la charge. Les résultats sont sous forme de courbes de traction
Diagramme de traction d un matériau ductile ou malléable
Zone élastique OA : l éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite élastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalité entre la contrainte et la déformation se traduit par la loi de Hooke ( = E ). E = tan caractérise la pente de la droite OA et = E son équation. Zone de déformation plastique AE : on distingue encore trois zones BC, CD et DE. Dans la zone BC, parfaitement plastique, la contrainte reste constante et l allongement se poursuit jusqu en C. Entre C et D, zone d écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le point D, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin, entre D et E, l éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec étranglement. La rupture se produit au point E, auquel correspond la résistance à la rupture Rr.
Caractéristiques fondamentales Limite élastique Résistance à la rupture Coefficient d allongement Allongement relatif Coefficient de S0 S z striction S0 u S 0 : section de l éprouvette S u : section à l endroit de la rupture est appelé aussi allongement unitaire ou dilatation linéique relative
Contraintes dans une section Pour des déformations élastiques, les dimensions de la section droite ne varient pratiquement pas. Il apparait en tout point de cette section des contraintes normales uniformément réparties vérifiant la relation: N N étant l effort normal sur S 0 S 0 (S) constante, donc analogie entre les courbes «effort-allongement» et «contrainte déformation» La courbe ci-contre représente le comportement d un matériau fragile. Dans ce cas, la courbe se réduit presque à la zone de déformation élastique.
La loi de proportionnalité entre la contrainte et l allongement relatif est appelée Loi de Hooke: = E E: module d élasticité longitudinales ou module de Young Unité : N/mm 2 ou MPa Ce module est une constante pour le matériau, il définit son élasticité longitudinale Coefficient de Poisson L allongement provoque une contraction du diamètre de l éprouvette. On appelle coefficient de Poisson le rapport: Avec : e L L 0 e' e et 0,25< < 0,3 pour tous les métaux Remarque: intervient en élasticité e' D0 D D 0 u D 0 : diamètre initial D u : diamètre à l endroit de la rupture e : rétrécissement relatif transversale
Ecrouissage R e2 I J Pour une charge supérieure à la limite élastique, la suppression progressive de l effort ou décharge se fait suivant (I J) // à (OA) Le segment OJ est appelé allongement rémanent Le second chargement se fait de J à I puis de I à E. On constate: - La limite élastique a augmenté R e2 - Le palier BC à disparu Ce phénomène est appelé écrouissage il correspond à un durcissement du matériau.
Les autres essais mécaniques destructifs ou non sont utilisés pour déterminer d autres propriétés mécaniques des matériaux: Essai de compression
Essai de torsion
Essai de dureté
Essai de résilience
Essai de fatigue Les organes soumis à des efforts variables et répétés se rompent sans que la Contrainte en chaque point du matériau ait dépassé la limite élastique. On dit que la rupture se produit par fatigue. La limite de fatigue conventionnelle désignée par D, est la valeur de la contrainte maximum qui, appliquée périodiquement et de façon indéfinie n entraine pas de rupture.
Coefficient de sécurité et résistance pratique Pour qu une structure (machine, véhicule, immeuble ) puisse supporter en toute sécurité les charges qui normalement la sollicitent, il suffit qu elle puisse résister à des charges plus élevées. La capacité à supporter ces charges s appelle la résistance de la structure. Le coefficient de sécurité s est alors défini par : s Charg es admissibles par la structure charg es habituellement exercées Un coefficient de sécurité trop faible augmente exagérément les risques de rupture. Un coefficient de sécurité trop élevé a également des effets néfastes : augmentation du poids, du prix de revient s varie le plus souvent de 1 à 10. Pour un grand nombre de structures, la sécurité est obtenue si, sous charge, les déformations du matériau restent élastiques. Ceci est réalisé lorsque les contraintes en n importe quel point de la structure restent inférieures à la limite élastique Re (ou R e 0.2) du matériau. s est alors défini par :
s R R e p R e : limite élastique du matériau R p : résistance pratique (contrainte tolérée dans la structure) Pour les matériaux fragiles (béton, fontes, bois,.) il est préférable d utiliser La résistance à la rupture: s R R r p R r : limite à la rupture du matériau La valeur de s est alors plus grande dans ce cas Remarque: dans certaines industries (aérospatiale), on parle plutôt de marge de sécurité m, (m = s 1)