La fonction logarithme népérien

DERNIÈRE IMPRESSION LE 3 décembre 04 à 0:07 La fonction logarithme népérien Table des matières La fonction logarithme népérien. Définition.................................. Représentation................................3 Variation de la fonction logarithme................... 3 Propriétés de la fonction logarithme népérien 4. Relation fonctionnelle.......................... 4. Quotient, inverse, puissance et racine carrée.............. 4 3 Étude de la fonction logarithme népérien 6 3. Dérivée................................... 6 3. Limite en 0 et en l infini......................... 6 3.3 Tableau de variation et courbe...................... 7 3.4 Des ites de référence......................... 7 3.5 Dérivée de la fonction ln u........................ 8 4 Applications 9 4. Approimation de e............................ 9 4. Étude d une fonction........................... 9 5 Le logarithme décimal 5. Définition................................. 5. Applications................................ 5.. Nombre de chiffres dans l écriture décimale......... 5.. En chimie............................. 5..3 En acoustique........................... 5..4 Papier semi-logarithmique et logarithmique......... 4 PAUL MILAN TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES Avant propos La création de la fonction logarithme népérien est, à l origine, antérieure à la fonction eponentielle bien que dans notre progression elle suive l étude de la fonction eponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII e siècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifier les longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonction qui transforme le produit en somme. C est à dire que f(ab) = f(a)+ f(b). Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite «de logarithmes» qui permettait d effectuer les conversions nécessaires. C est cette fonction, qui fait écho à la fonction eponentielle, qui est l objet de ce chapitre. La fonction logarithme népérien. Définition Définition : On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de ]0;+ [ sur R telle que : = e y y = ln On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Remarque : Cette fonction eiste bien car la fonction eponentielle est une fonction continue, strictement croissante à valeur dans ]0; + [, donc d après le théorème des valeurs intermédiaires l équation = e y, d inconue y avec ]0;+ [, admet une unique solution ln. Conséquence On a les relations suivantes : ln = 0 et ln e = ainsi que : R, ln e = et ]0;+ [, e ln = Faire attention au ensembles de définition.. Représentation Théorème : Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction eponentielle sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. Démonstration : On note C ln et C ep les courbes respectives des fonctions logarithme népérien et eponentielle. PAUL MILAN TERMINALE S

. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Soit M(; y) un point de C ln avec ]0;+ [ et y R, donc y = ln. On a alors = e y, donc le point M (y, ) est un point de C ep. Les courbes C ln et C ep sont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d équation y =. y = e 5 4 M 3 e y M y = ln 3 O y e 3 4 5 6 3.3 Variation de la fonction logarithme Théorème : La fonction ln est strictement croissante sur R + Démonstration : Soit deu réels a et b strictement positifs et a < b alors on peut écrire : a < b e ln a < e ln b comme la fonction eponentielle est strictement croissante, on a : ln a < ln b La fonction logarithme est donc strictement croissante. Propriété : Soit a et b deu réels strictement positifs ln a = ln b a = b ln a = 0 a = ln a < ln b a < b ln a < 0 0 < a < ln a > 0 a > Remarque : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéquations. On veillera à mettre l équation ou l inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l équation ou de l inéquation. PAUL MILAN 3 TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES Eemples : Résoudre ln( ) =. On met l équation sous la forme : ln( ) = ln e l équation est valide si, et seulement si, > 0 c est à dire < On a alors : < et = e soit = e e e On a < car 0, 36. { } e On conclut alors : S = Résoudre ln(+) < On met l inéquation sous la forme : ln(+) < ln e L inéquation est valide si, et seulement si, + > 0 soit > On a alors : > et + < e soit < e e On a : = e 0, 3 donc e < < e e ] On conclut par : S = ; e [ e Propriétés de la fonction logarithme népérien. Relation fonctionnelle Théorème 3 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ln ab = ln a+ln b Démonstration : D après les propriétés de l eponentielle, on a : e a = e b a = b Or e ln ab = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab On conclut donc que ln ab = ln a+ln b. Remarque : C est cette propriété qui est à l origine de la fonction logarithme. Eemple : ln +ln 3 = ln 6. Quotient, inverse, puissance et racine carrée Théorème 4 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ) ln a b = ln a ln b 3) ln a n = n ln a avec n N ) ln b = ln b 4) ln a = ln a PAUL MILAN 4 TERMINALE S

. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Démonstration : Pour démontrer la propriété, on revient au propriétés de l eponentielle. On a e ln b a = a et e ln a ln b = eln a b e ln b = a b ln a = ln a ln b b Pour la deuième propriété, on fait a = d où la propriété : La troisième propriété se démontre par récurrence à l aide du produit. Pour la dernière propriété : on a a = a a donc d après la propriété du produit, on a : ln a = ln a+ln a = ln a d où ln a = ln a Eemples : Voici 3 eemples d utilisation de ces propriétés. Eprimer ln 50 avec ln et ln 5 et ln avec ln et ln 3 On a 50 = 5 donc ln 50 = ln + ln 5 On a = 3 donc ln = ( ln +ln 3) = ln + ln 3 Déterminer l entier n tel que n > 0 000 On a donc : ln n > ln 0 4 soit n ln > 4 ln 0 4 ln 0 4 ln 0 On obtient alors : n > or 3.9 donc n 4 ln ln Résoudre l équation : ln 3 = ln(6 ) ln 3 > 0 > 3 l équation eiste si 6 > 0 < 6 > 0 > 0 ] 3 [ On en déduit l ensemble de définition : D f = ; 6 On a alors [ln( 3)+ln ] = ln(6 ) soit ln ( 3) = ln(6 ) L équation revient à : D f et ( 3) = (6 ) 3 = +36 + 9 36 = 0 On calcule : = 8+44 = 5 = 5 on trouve alors deu solutions = 9+5 = 3 D f et = 9 5 on conclut par : S = {3} = / D f PAUL MILAN 5 TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES 3 Étude de la fonction logarithme népérien 3. Dérivée Théorème 5 : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+ [ et : (ln ) = Démonstration : On admet que la fonction ln est continue sur ]0;+ [ On revient à la définition de la dérivée, c est à dire on cherche les a ]0;+ [ pour lesquels la ite suivante est finie : ln ln a a a Pour déterminer cette ite, on fait un changement de variable. On pose alors X = ln et A = ln a. On a alors = e X et a = e A et si a, comme la fonction ln est continue sur ]0;+ [, alors X ln a. La ite devient alors : X ln a X A e X e A Or la fonction eponentielle est dérivable sur R et la dérivée en ln a est e ln a : X ln a e X e A X A = eln a = a Cette ite est strictement positive pour a ]0;+ [. On en déduit que la ite suivante eiste pour tout a ]0;+ [ et : X ln a X A e X e A = a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0;+ [ et (ln ) =. 3. Limite en 0 et en l infini Théorème 6 : On a les ites suivantes : + ln = + et ln = 0 + Démonstration : Pour montrer la ite en +, on revient à la définition : Pour tout M > 0, si ln > M alors, comme la fonction ep est croissante, > e M. Il eiste donc un réel A = e M tel que si > A alors ln > M. Conclusion : ln = +. + PAUL MILAN 6 TERMINALE S

3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Pour la deuième ite, on fait un changement de variable. On pose X =. Donc si 0 + alors X +. On a alors : ln = ln 0 + X + X = ln X = X + 3.3 Tableau de variation et courbe On peut résumer les variations et les ites de la fonction ln, dans un tableau de variation : ln 0 e + 0 + + O y = ln e 3 4 5 6 7 On a alors la courbe représentative cicontre 3 3.4 Des ites de référence Théorème 7 : On a : 0 ln(+ ) = Démonstration : Cela découle de la dérivée de ln en =, en effet, on a : (ln) () = = (ln) () = 0 ln(+ ) ln ln(+ ) = 0 h 0 ln(+h) h = Théorème 8 : Croissance comparée ln + = 0 et 0 + ln = 0 Démonstration : Pour la premère ite, on fait un changement de variable. On pose : X = ln, on a alors = e X. On a alors : Notre ite devient alors : ln + + alors X + = X e = 0 car X + ex + = + PAUL MILAN 7 TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES Pour la deuième ite, on fait le changement de variable suivant : X =. On a alors : La deuième ite devient alors : 0 + alors X + ln = 0 + X + X ln X = ln X X + X = 0 Remarque : On peut dire que : «l emporte sur ln en +». Eemple : Déterminer la ite suivante : ln + C est une ite indéterminée, car de la forme «+». On met alors en facteur. ( ln = ln ) On a alors : = + + ln + = 0 Par somme et produit, on a : ln = + + 3.5 Dérivée de la fonction ln u Théorème 9 : Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur D. La fonction ln u est alors dérivable sur D et : (ln u) = u u Démonstration : La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque : Les fonctions u et ln u ont le même sens de variation car comme u > 0, (ln u) a le même signe que u. Eemple : Déterminer la dérivée de la fonction définie sur R par : f() = ln(+ ) On pose la fonction u() = +. u est manifestement strictement positive sur R, donc la fonction f est dérivable sur R et : f () = + PAUL MILAN 8 TERMINALE S

4. APPLICATIONS 4 Applications 4. Approimation de e On pose, pour n, u n = ( + n) n. Montrer que la suite (u n ) converge vers e. On pourra poser v n = ln u n. Faire un programme permettant de déterminer n pour une valeur approchée de e à 0 3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? ( Calculons v n : v n = ln + n) n ( = n ln + ) n La fonction f associée à la suite (v n ) définie sur]0;+ [ est : f() = ln ( + ) Sous cette forme, la ite de f en + est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l indétermination : X =, on a ainsi : On peut ainsi calculer la ite : On en déduit alors que : si + alors X 0 + ln(+ X) f() = + X 0 + X v n = n + On revient alors à la suite (u n ) : v n = ln u n donc u n = e v n, on en déduit que (u n ) est convergente et : + u n = e = On fait une boucle avec un "tant que" pour déterminer l indice n pour avoir la précision demandée. On trouve alors : N= 359 et U, 77 La vitesse de convergence est donc très lente. Cette suite n est donc pas judicieuse pour trouver une approimation de e Variables : I : entier U : réel Entrées et initialisation U I Traitement tant que U e > 0 3 faire I + I ( + I U I) fin Sorties : Afficher : I, U 4. Étude d une fonction Soit la fonction f définie sur ]0;+ [ par : f() = 4 4 ln ) Étudier les ites de f en 0 et + PAUL MILAN 9 TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES ) Déterminer f () et dresser le tableau de variation de la fonction f. 3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l équation f() = 0. 4) À l aide d une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 0 3 près des solutions de l équation f() = 0. ) a) La ite en 0 ne pose pas de problème : 0 4 = 0 et ln = + + + 4 Par somme, on a : f() = + 0 + b) La ite en + est indéterminée du type +. On change alors la forme de f() ( f() = 4 4 ln ) or 4 + = +, + Par produit et somme, on a donc : ) On calcule la dérivée : 0 ln = 0 et + = 0 f() = + + f () = 4 4 = 4 4 f () = 0 = 0 avec > 0 = ( ) On calcule = 4+8 = = ( 3), on obtient comme racines : = + 3 = + 3 et = 3 < 0 non retenu signe de f() = signe de ( ) avec > 0 on obtient alors le tableau de variation suivant : f () f() 0 + 3 + + α 0 + 0 7, 48 α 0 + 3) D après le tableau de variation, sur les intervalles I =]0; + 3] et I = [+ 3;+ [ la fonction f est continue, strictement monotone et change de signe donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0 admet deu solutions α et α (une dans chaque intervalle) 4) À l aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs approchées suivantes : 0, 600 < α < 0, 60 et 5, 6 < α < 5, 6 PAUL MILAN 0 TERMINALE S

5. LE LOGARITHME DÉCIMAL À titre indicatif, voici la courbe de la fonction f. 6 4 C f O α α 3 4 5 6 4 6 8 5 Le logarithme décimal 5. Définition Définition : On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0;+ [ par : log = ln ln 0 Remarque : On a : log = ln 0 ln. Comme ln 0 variations et les mêmes ites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y = log = 0 y ainsi : log 0 =, log 0 =,..., log 0 n = n On a la représentation ci-dessous : log = ln 0 > 0, la fonction log a les mêmes log O 3 4 5 6 7 8 9 0 PAUL MILAN TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES 5. Applications 5.. Nombre de chiffres dans l écriture décimale Un nombre N est nécessairement compris entre deu puissances de 0. Soit alors : 0 p N < 0 p+ Dans ce cas, N possède p + chiffres. Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log 0 p log N < log 0 p+ p log N < p+ On a donc : E(log N) = p où E est la fonction partie entière Conclusion : le nombre de chiffres de N est donc : E(log N)+. Application : quel est le nombre de chiffres de 0 0? log 0 0 = 0 log 0 6 646,465 On en déduit alors que 0 0 possède 6 647 chiffres! 5.. En chimie L acidité d une solution est mesurée par son ph : ph = log[h + ] Lorsque la concentration en[h + ] est multipliée par 0, le ph diminue de. En effet : log ( 0 [H + ] ) = (log 0+log[H + ]) = log[h + ] = ph Si une étiquette d une eau minérale d eau gazeuse indique ph = 6, 3, on a : ph = log[h + ] donc [H + ] = 0 ph [H + ] = 0 6,3 5 0 7 mol/l 5..3 En acoustique Le niveau sonore L (en décibels) d un son d intensité I est donnée par : L = 0 log I I 0 où I 0 = 0 W.m correspond au seuil d audibilité en dessous duquel aucun son n est perçu. Par eemple le niveau sonore L d une conversation normale qui correspond à I = 0 5 I 0 est de : L = 0 log 0 5 = 0 5 = 50 décibels PAUL MILAN TERMINALE S

5. LE LOGARITHME DÉCIMAL Source sonore db Puissance Seuil Fusée puissante 80 0 8 I 0 70 0 7 I 0 60 0 6 I 0 Intolérable (douloureu) 50 0 5 I 0 Avion à réaction 40 0 4 I 0 Avion au décollage (à 30 m) 30 0 3 I 0 Hurlement à 0 cm de l oreille 0 0 I 0 nuisible immédiatement Marteau piqueur 0 0 I 0 nuisible au bout de h Cri (à,5 m) 00 0 0 I 0 Klaon d une voiture 90 0 9 I 0 Très fort (nuisible au bout de 8 h) Sèche cheveu Intérieur d une voiture 80 70 0 8 I 0 0 7 I 0 Bruyant Modéré Conversation normale (à m) 60 0 6 I 0 Bureau 50 0 5 I 0 Calme Salle de séjour (en ville) 40 0 4 I 0 Chambre à coucher 30 0 3 I 0 Très calme Studio d enregistrement 0 0 I 0 Frôlements des feuilles d un arbre 0 0I 0 à peine audible Seuil d audibilité 0 I 0 I 0 = 0 W.m Remarque : En sismologie, un même type d échelle est utilisé. La magnitude M d un séisme d intensité I est mesurée sur l échelle de Richter par : M = log I I 0 Par eemple, la magnitude des séismes suivant : Fukushima (0) I = 6, 3 0 8 I 0 correspond à M = 8+log 6, 3 8, 8 Californie (99) I = 3, 6 0 7 I 0 correspond à M = 7+log 3, 6 7, 5 PAUL MILAN 3 TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES 5..4 Papier semi-logarithmique et logarithmique Le papier semi-logarithmique utilise une échelle linéaire sur l ae des abscisses et une échelle logarithmique sur l ae des ordonnées. Sur l ae des ordonnées 0 correspond à unité, 00 à unités, 000 à 3 unités,... Sur le papier semi-logarithmique ci-dessous, on a tracé la fonction eponentielle. 0 000 e 000 000 00 00 0 0 0 3 4 5 6 7 8 Le papier logarithmique utilise une échelle logarithmique sur l ae des abscisses et l ae des ordonnée. Sur le papier logarithmique ci-dessous, on a tracé quelques fonctions du type n ou n. 0 000 4 000 000 00 00 3 0 0 0 0 00 00 000 000 0 000 PAUL MILAN 4 TERMINALE S