Vecteurs et translations p. 1 Vecteurs et translations Classe de Seconde Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques ybreney@free.fr Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains
1 - Translations Vecteurs et translations p. 2
1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition
1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC]
1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit alors qued est l image dec par la translation qui transformea enb.
Proposition Vecteurs et translations p. 3
Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc Vecteurs et translations p. 3
Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. Vecteurs et translations p. 3
Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. C D A B
Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B
Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition
Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée
Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée translation de vecteur AB. A AB B
2 - Vecteurs Vecteurs et translations p. 4
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan.
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par :
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ;
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ;
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]).
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0.
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0.
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction,
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens
Vecteurs et translations p. 4 2 - Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et même norme.
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E On peut affirmer que AD = BC = FE.
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont :
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ;
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ;
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE).
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u.
Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u. On dit également que AD est le représentant d origineaet d extrémitéd du vecteur u.
Proposition Vecteurs et translations p. 6
Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : Vecteurs et translations p. 6
Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; C A D B
Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; C A D B
Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; C A D B
Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; le pointdest l image du pointc par la translation de vecteur AB. C A D B
3 - Calcul vectoriel Vecteurs et translations p. 7
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose :
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC =
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles)
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC.
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan.
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC =.
Vecteurs et translations p. 7 3 - Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC = AD.
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v.
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB =. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD =. C
Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v v D B u + v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD = u + v. C
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB =.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB =.
Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v u + v v B A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB = u + v.
Définition Opposé d un vecteur Vecteurs et translations p. 10
Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB Vecteurs et translations p. 10
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB.
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires.
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v =.
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ).
Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ). Remarque Retrancher un vecteur revient à ajouter son opposé.