PYTHGORE - THLÈS TRIGONOMÉTRIE PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE En route pour résoudre l'énigme du carré de l'hypoténuse!!! Dossier n 1 Novembre 007 Tous droits réservés au réseau GRIMÉDI onçu et réalisé par : Marie-hristine LIEFOOGHE runo VNELINGHEM nnie VNDERSTRELE
. D. R. GRIMÉDI PYTHGORE - THLÈS TRIGONOMÉTRIE Propriété de Pythagore pprentissage Objectif : - Découvrir la propriété de Pythagore et sa réciproque. Pré-requis : - onnaître le vocabulaire de base de la géométrie d'un triangle, - Savoir calculer le carré d'un nombre, - Savoir calculer la racine carrée d'un nombre à l'aide d'une calculatrice. Matériel nécessaire : - Une calculatrice scientifique ( ou une calculatrice qui possède la touche «racine carrée» : ), - Une règle graduée et une équerre ou un rapporteur. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 1
L PROPRIÉTÉ ou THÉORÈME DE PYTHGORE I - Vocabulaire Rappel : un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit ( sa mesure vaut 90 degrés ). L'hypoténuse est le côté opposé à cet angle droit ; c'est d ailleurs le plus grand des 3 côtés de ce triangle. angle droit Exemple : O hypoténuse F Dans ce triangle FOU «rectangle» en O : U l'angle O est l'angle droit, OF et OU sont les deux côtés de cet angle droit, le côté FU est l'hypoténuse de ce triangle rectangle. II - Propriété de Pythagore Énoncé de la propriété : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Dans le triangle MS rectangle en, on peut donc écrire l'égalité suivante : S MS = M + S M Vérifications : avec une équerre ou un rapporteur, contrôlons que l angle est bien un angle droit, mesurons avec une règle graduée les côtés de ce triangle rectangle en : On trouve : MS = 5 cm M = 4 cm S = 3 cm D où : MS = 5 M = 16 S = 9 L égalité précédente est donc vérifiée : 5 = 16 + 9 PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1
ette propriété permet, si l on connaît la longueur de deux côtés d un triangle rectangle, de calculer la longueur du troisième côté de ce triangle rectangle. ppliquons cette propriété aux deux exemples suivants. O Exemple 1 : soit le triangle OQ rectangle en O. On donne : O = 6 cm et OQ =,5 cm. alculons la longueur du côté Q. D'après la propriété de Pythagore : Q = O + OQ Q = 6 +,5 Q = 36 + 6,5 Q = 4,5 Remarque : Les schémas ne sont pas à l échelle Q Q = 4,5 Q = 6,5 La longueur du côté Q est donc 6,5 cm. Remarque : le calcul de la racine carrée ( symbolisée par calculatrice scientifique. ) s effectue à l aide d une L Exemple : soit le triangle L rectangle en. On donne : L = 4 cm et L = 7 cm. alculons la longueur du côté. D'après la propriété de Pythagore : L = + L 7 = + 4 49 = + 16 49-16 = 33 = 33 = 5,7 La longueur du côté est donc environ 5,7 cm. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 3
Maintenant à vous! EXERIES T Exercice 1 : soit le triangle UT rectangle en U. On donne : UT = 8 cm et U = 3 cm. alculez la longueur du côté T. U Remarque : Le schéma n est pas à l échelle S Exercice : soit le triangle S rectangle en. alculez la longueur du côté S. 10,5 cm? 3 cm Remarque : Le schéma n est pas à l échelle Voir réponses page suivante PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 4
RÉPONSES Exercice 1 : soit le triangle UT rectangle en U. On donne : UT = 8 cm et U = 3 cm. alculez la longueur du côté T. T D'après la propriété de Pythagore : T = UT + U T = 8 + 3 T = 64 + 9 T = 73 T = 73 T 8,5 U La longueur du côté T est donc 8,5 cm environ. Exercice : soit le triangle S rectangle en. alculez la longueur du côté S. S D'après la propriété de Pythagore : S 10,5 = S + = S + 3 110,5 = S + 9 110,5-9 = S 101,5 = S 101,5 = S 10,1 S 10,5 cm? La longueur du côté S est donc environ 10,1 cm. 3 cm Très bien! Passons à la suite!! PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 5
PROLÈMES Problème 1 : Quelle longueur doit avoir une échelle pour atteindre une hauteur de 7 m, si on lui donne «m» de pied? ( exprimez le résultat au cm près ). ommencez par tracer ci-dessous le triangle rectangle représentant cette situation. 7 m m Problème : Une lampe est suspendue entre deux murs par deux câbles perpendiculaires mesurant respectivement 11 m et 7 m. Quelle distance sépare ces deux murs?? Remarque : le dessin n'est pas à l'échelle Voir réponses page suivante PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 6
RÉPONSES Problème 1 : Quelle longueur doit avoir une échelle pour atteindre une hauteur de 7 m, si on lui donne «m» de pied? ( Exprimez le résultat au cm près ). D'après la propriété de Pythagore : = + = 7 + 7 m? = 49 + 4 = 53 = 53 m 7,8 ette échelle doit avoir une longueur égale à environ 7,8 m. Problème : Une lampe est suspendue entre deux murs par deux câbles perpendiculaires mesurant respectivement 11 m et 7 m. Quelle distance sépare ces deux murs? D'après la propriété de Pythagore : MR = UR + UM MR = 11 + 7 MR = 11 + 49 MR = 170 M R MR = 170 MR 13,04 U La distance qui sépare ces deux murs est égale à environ 13,04 m. Très bien! Passons à la suite!! PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 7
Problème 3 : Un bâton est enfoncé verticalement dans le sol. Sa hauteur hors-sol est égale à 1,5 m. La distance de l'extrémité supérieure du bâton à l'extrémité de son ombre mesure 1,54 m. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton? Problème 4 : Un maçon réalise une équerre de chantier en clouant 3 planches mesurant respectivement 30 cm, 40 cm, 60 cm. Son compagnon fait la même opération avec des planches de 60 cm, 80 cm et 1 m. Lequel de ces deux ouvriers a réalisé une équerre exacte? Pour répondre à cette question vous vérifierez que la propriété de Pythagore s applique aux équerres construites. Voir réponses pages 10 et 11 PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 8
Problème 5 : près avoir calculé les longueurs des côtés et EF, déterminez le périmètre du terrain DEF représenté ci-dessous. On donne : = 6 m D = 7 m point P DE = 8 m arré F Rectangle E D Problème 6 : remarque : ce problème nécessite plusieurs étapes de raisonnement pour obtenir la réponse. La disposition des 6 poutres apparentes du plafond d'une salle de séjour se présente comme l'indique le schéma ci-dessous. 50 cm?? poutre On donne : mur = 4,5 m D = 6 m mur D = m 50 cm D La première et la dernière poutres sont placées à 50 cm des extrémités du plafond ( mesures prises à partir de l axe de chaque poutre ). Les autres poutres sont à égale distance les unes des autres. alculez la distance entre les axes de poutres consécutives. ide : commencez par calculer la longueur. Pour cela, tracez le triangle rectangle dont l hypoténuse est le côté. Notez ce triangle. Voir réponses pages 11 à 14 PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 9
RÉPONSES Problème 3 : Un bâton est enfoncé verticalement dans le sol. Sa hauteur hors-sol est égale à 1,5 m. La distance de l'extrémité supérieure du bâton à l'extrémité de son ombre mesure 1,54 m. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton? D'après la propriété de Pythagore : 1,54 = = 1,5 + +,3716 = 1,565 +,3716-1,565 = 0,8091 = 0,8091 = 1,5 m 1,54 m 0,90? La longueur de l ombre du bâton mesure environ 0,9 m. Problème 4 : Un maçon réalise une équerre de chantier en clouant 3 planches mesurant respectivement 30 cm, 40 cm, 60 cm. Son compagnon fait la même opération avec des planches de 60 cm, 80 cm et 1 m. Lequel de ces deux ouvriers a réalisé une équerre exacte? Vérifions que la propriété de Pythagore s applique ( ou non ) aux deux équerres construites. Équerre 1 : le schéma est à l échelle 1/10 ème 40 cm 30 cm 60 cm Si la propriété de Pythagore est vérifiée, alors : 30 + 40 = 60 alculons chacun des membres de l égalité : 30 + 40 = 900 + 1 600 = 500 60 = 3 600 500 n est évidemment pas égal à 3 600! La propriété de Pythagore n est pas vérifiée. L objet construit n a pas la forme d un triangle rectangle. e n est donc pas une équerre. Remarque : le schéma à l échelle montre bien que le triangle n a pas d angle droit. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 10
Équerre : le schéma est à l échelle 1/0 ème 80 cm 100 cm 60 cm Si la propriété de Pythagore est vérifiée, alors : 60 + 80 = 100 alculons chacun des membres de l égalité : 60 + 80 = 3 600 + 6 400 = 10 000 100 = 10 000 10 000 est bien égal à 10 000. La propriété de Pythagore est vérifiée. L objet construit a la forme d un triangle rectangle. est donc une équerre exacte. Remarque : le schéma à l échelle montre bien que le triangle a un angle droit. est le deuxième ouvrier qui a réalisé l équerre exacte. Problème 5 : près avoir calculé les longueurs des côtés et EF, déterminez le périmètre du terrain DEF représenté ci-dessous. On donne : = 6 m D = 7 m DE = 8 m alculons la longueur : 6 m P 8 m D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle P rectangle en P : = P + P = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 = 100 = 10 La longueur du côté mesure 10 m. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 11
alculons la longueur EF : F 6 m P 7 m D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle FPE rectangle en P : E EF = FP + PE EF = 6 + 7 EF = 36 + 49 EF = 85 EF = 85 EF 9, La longueur du côté EF mesure environ 9, m. alculons le périmètre du terrain DEF : + + D + DE + EF + F 6 + 10 + 7 + 8 + 9, + 6 46, Le périmètre du terrain DEF mesure environ 46, m. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 1
Problème 6 : La disposition des 6 poutres apparentes du plafond d'une salle de séjour se présente comme l'indique le schéma ci-dessous. La première et la dernière poutres sont placées à 50 cm des extrémités du plafond ( mesures prises à partir de l axe de chaque poutre ). Les autres poutres sont à égale distance les unes des autres. alculez la distance entre les axes de poutres consécutives. alculons la longueur : 4,5 m m D 6 m La hauteur mesure : 4,5 - =,5 soit,5 m D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle rectangle en : = + =,5 + 6 = 6,5 + 36 = 4,5 = 4,5 = 6,5 La longueur du plafond mesure donc 6,5 m. PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 13
Représentons le plafond avec les poutres et notons les longueurs connues. distance entre les axes des poutres extrêmes?? 50 cm 50 cm 6,5 m Rappel : 50 cm = 0,5 m La distance entre les axes des poutres extrêmes est égale à : 6,5 - ( x 0,5 ) = 5,5 soit 5,5 m ette distance correspond à 5 intervalles entre les axes des poutres. Un intervalle correspond donc à : 5,5 5 = 1,1 soit 1,1 m La distance entre les axes de poutres consécutives mesure 1,1 m. Fin PYTHGORE - THLÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n 1 14