CHAPITRE NOMBRES ET OPERATIONS Décimal / Non décimal La règle des signes du produit 6 La division des relatifs 7 Nombres et opérations. 8 Addition des fractions Somme de relatifs Sommes algébriques Réduction d'une écriture littérale Calculs Fiche n 1 6 Calculs Fiche n 7 Calculs Fiche n 8 Utilisation de la machine 9 Équations 60 Nombres et opérations Page
Fiche d'activité DECIMAL / NON DECIMAL Partie 1 : introduction Poser et effectuer les divisions suivantes jusqu'à ce que le reste soit nul, ou jusqu'à être sûr qu'elle ne s'arrêteront jamais. 99 : 6 : 7 Il y a donc deux types de quotients : Écriture finie : nombre décimal Écriture infinie : nombre non-décimal Partie : Les nombres décimaux Il s'agit de mettre au point une méthode qui permet de prévoir si un quotient (présenté sous forme de fraction) est décimal. Par exemple pour la fraction 99 6 : 1. Simplification de la fraction : 99 =. La fraction obtenue est 6 Rappelons la règle de transformation des fractions :. Transformation de la fraction en fraction décimale, puis en écriture décimale : = = =. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, qui n'est donc obtenu qu'en multipliant des et des. Il faut donc qu'au dénominateur de la fraction initiale on ait un nombre qui soit un produit de facteurs égaux à ou à. Par exemples : ou (car = ) ou ou 8 (car 8 = ). Rechercher tous les dénominateurs possibles de ce genre inférieurs à 0. Application : Déterminer, parmi les fractions suivantes, celles qui sont des nombres décimaux : 9 8 9 7 17 68 6 91 11 6 Page Nombres et opérations
Fiche d'activité Partie : Les nombres non-décimaux Écriture périodique d'un quotient non-décimal Dans le calcul du quotient de par 7, un même nombre réapparaît au reste, qui fait réapparaître le même chiffre dans l'écriture du quotient. A partir de ce moment, on est sûr que la division ne s'arrêtera jamais, car la même séquence va se reproduire infiniment. On dit que l'écriture est périodique; la période est de 6 pour le quotient de par 7. ce nombre 6 indique que le même groupe de 6 chiffres peut être répété à l'infini dans l'écriture. On ne peut donc pas écrire ce nombre, mais on peut savoir quels sont tous ses chiffres. Par exemple, on est sûr que c'est le chiffre 1 qui occupe la première place après la virgule, mais aussi la 7, la 1, la 19, Quel est le chiffre qui occupe la 7 place après la virgule? Quel est le chiffre qui occupe la 1 0 place après la virgule? Quel est le chiffre qui occupe la 7 000 place après la virgule? Valeurs approchées ; encadrements et arrondis Puisque l'on ne peut pas donner une écriture décimale de ces nombres, on ne pourra qu'en donner des valeurs approchées. Poser la division de par 1. A chaque pas de la division, écrire l'encadrement le plus simple, placer les deux valeurs qui encadrent ce quotient sur l'axe, ainsi que le "milieu" de ces deux nombres. Situer le quotient par rapport aux trois nombres placés. Et choisir parmi les deux valeurs qui encadrent celle qui est la pus proche du quotient. (on appelle q le quotient) Exemple : au premier pas : 1 Encadrement à l'unité: 1 < q < 11 1 1 1, q Le "milieu" s'appelle en réalité la moyenne : la moyenne de 1 et est 1,; on la calcule en ajoutant les deux nombres et en divisant par q est plus grand que 1, car le reste 11 est plus grand que la moitié de 1.(il revient au même de dire que le double du reste 11 est plus grand que le diviseur 1 ) Conclusion : q est plus proche de que de 1. Donc est l'arrondi de q à l'unité. Écriture en fraction d'un nombre à écriture périodique : Appelons a le nombre à écriture infinie, de période, dont l'écriture commence par :,676767 Alors (1 000 a) a une écriture infinie, de période, qui commence par : 67,6767 En calculant la différence (1 000 a - a) les chiffres après la virgule vont disparaître et on obtient un nombre entier égal à. Or (1 000 a - a) est égal à 999 a. D'où l'égalité : 999 a =. Conclusion : le nombre a est égal au quotient : qui est simplifiable par 7 et est 999 égal à la fraction irréductible : 167 7 Rechercher de même quel quotient donne : 8,11 11 11,9961 99961 9961 Nombres et opérations Page
Fiche d'activité LA REGLE DES SIGNES DU PRODUIT Produit par (- 1) Rappelons que l'écriture est une écriture simplifiée pour la somme : + +. De la même manière, la somme (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) peut être remplacée par le produit :. On peut donc écrire l'égalité : (- 1) = De la même manière, on peut écrire : (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) = (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) = (- 1) = = D'où la règle suivante : Le produit d'un nombre a par (- 1) est égal à.(❶) L'opposé de a peut s'écrire sous la forme du produit :. (❷) Produit d'un négatif par un positif. (- ) (+ ) = (❷) = (- 1) (+ ) (+ ) = (- 1) (+ 1) = (❶) = (- 1) (+ 7) (- ) = (❷) = (- 1) ( ) = (❶) = Conclusion : Le produit de deux nombres de signes contraires (❸) Produit de deux négatifs. (- ) (- ) = (❷) = (- 1) (+ ) (- ) = (❸) (- 1) (- 1) = (❶) = (+ 1) (- 7) (- ) = (❷) = (❸) (- 1) ( ) = (❶) = Conclusion : Le produit de deux nombres négatifs (❹) Généralisation à un produit quelconque : En groupant les facteurs deux par deux, déterminer le signe de chacun de ces produits : P 1 = (- ) (+ 9) (- ) (- 7) (- ) (+ ) (+ 11) P = (- ) (+ 10) (+ 9) (- ) (- ) (- 7) (+ 1) P = (+ ) (+ ) (+ 8) (+ 8) (+ 9) (- 1) (- 7) (- ) Conclusion : Le signe d'un produit Page 6 Nombres et opérations
Fiche d'activité LA DIVISION DES RELATIFS Nombres relatifs inverses : Compléter les égalités suivantes : 6 7 8 = = 1 = = 1 = = 1 6 9 8 11 9 8 = 1 = 1 = 1 7 = 1 17 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) = 1 1 ( ) 0 = 1 Définition : On appelle nombres inverses, deux nombres dont le produit est égal à 1. Remarques : 0 est le seul nombre Deux nombres inverses ont Quotient de deux nombres : Définition : Le quotient q de a par b est le nombre tel que q b = a. On écrit : q 8 10 =, car : = 8 = 1, car : 1 = 10 = a b, si q b = a Division des fractions : Compléter : = 1 et 1 = donc: = et = 6 6 6 = 1 et 1 = donc: = et = 9 9 11 11 11 = 1 et 1 = donc: = et = Conclusion : A partir de ce qui précède, compléter : = 9 = 6 = 11 Quels sont les calculs qui ont permis d'obtenir ces quotients? 9 Nombres et opérations Page 7
NOMBRES ET OPERATIONS. 1. Différents types de nombres. 8. Addition des fractions. 8. Somme de nombres relatifs 9. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses. 9. Réduction d'une écriture littérale. 9 6. La multiplication 9 7. La division 0 8. Bilan des propriétés des opérations 1 1. Différents types de nombres. Un nombre relatif est composé de deux parties : Un signe qui indique sa relation à 0 (+ pour un nombre plus grand que 0 et - pour un nombre plus petit que 0). Un nombre appelé valeur absolue ( qui représente la distance de ce nombre à 0). Les nombres sans signe sans classés en fonction de ce que l'on peut en écrire : On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers (Un nombre qui n'est pas rationnel est un nombre irrationnel) Parmi les nombres rationnels, certains ont une écriture finie ( on peut en écrire tous les chiffres ) : ce sont des nombres décimaux. Parmi les décimaux, certains nécessitent l'utilisation d'une virgule. Ceux qui s'écrivent sans virgule sont des nombres entiers. Exemples : - 1 est un entier négatif. ¾ est un décimal positif (qui peut s'écrire 0,7 en écriture décimale) Le quotient de par 17 est un rationnel positif non décimal π est un nombre irrationnel. Remarque importante : Les nombres qui ne sont pas décimaux ne pourront être utilisés que dans leur écriture exacte, ou, si c'est nécessaire, on pourra en donner un arrondi, une valeur approchée ou un encadrement. Il sera alors nécessaire de le faire savoir en utilisant le signe adéquat :. Addition des fractions. Voir fiche d'exercices : Addition des fractions Page 8 Nombres et opérations
. Somme de nombres relatifs La somme de deux nombres est le nombre obtenu en additionnant deux nombres donnés appelés les termes de la somme. Cette somme peut être ou non effectuée. Exemple : 18 + 1 est la somme non effectuée des deux termes 18 et 1. 1 est la même somme, mais effectuée. Définition: On appelle nombres opposés deux nombres dont la somme est égale à 0. Exemples : + et - sont opposés car : + - =0-1,687 et +1,687 également. Généralisation : - a désigne l'opposé du nombre représenté par a. Règle de la soustraction : Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Exemples : (+ 7) - (+ ) = (+ 7) + (- ) = +. (- ) - (- 16) = (- ) + (+ 16) = - 18 Généralisation : a - b = a + (- b) En application de cette règle, on peut donc traiter ensemble ces deux opérations (addition et soustraction) en une seule à laquelle nous donnons le nom de somme algébrique. Exemples : Voir fiche d'exercices : Somme de relatifs.. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses. L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés de chacun des termes. Ce qui se traduit par les écritures suivantes : - ( a + b ) = - a - b et - ( a - b ) = - a + b. On résume parfois cette règle en disant que l'on change tous les signes lorsque l'on supprime des parenthèses précédées du signe -.. Réduction d'une écriture littérale. Exemples : 6. La multiplication Voir fiche d'exercices : Réduction d'une écriture littérale Règle des signes : Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Exemples : (- ) (+ 6) = - 0 ; (- 8 ) ( - 7) = + 6 Nombres et opérations Page 9
Généralisation : Le signe d'un produit dépend du nombre de facteurs négatifs. S'il est pair, le produit est positif. S'il est impair, le produit est négatif. Remarque: Le produit d'un nombre par (-1) est l'opposé de ce nombre. Produit de fractions : (simplifications préalables). Calculs A = 7 9 1 7 A = 8 1 1 7 A = 7 1 8 7 1 A = Méthodes S'occuper d'abord du signe : signes moins : produit positif Faire apparaître les facteurs présents dans les différents nombres En déplaçant les facteurs, faire apparaître des fractions unité. Donner le résultat sous forme irréductible. 7. La division Définition : Tout nombre non nul admet un inverse. Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1. Remarques : 1. Un produit ayant un facteur égal à 0 est lui-même nul.. Deux nombres inverses sont de même signe.. Plus un nombre est grand, plus son inverse est petit ( en valeur absolue). 0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse. Lien entre la division et la multiplication : Si a b = p, alors a = p b et b = p a Si a a = q, alors a = b q et b =. b q Règle de la division : Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. Exemples: Page 0 Nombres et opérations
8 = 1 6 ; 7 8 = 7 = 6 6 7 Généralisation a a 1 = a ; b a d = = b b c b c d ad bc 8. Bilan des propriétés des opérations Addition Multiplication écriture a + b = s a b = p littérale Vocabulaire a et b sont les termes de la somme s a et b sont les facteurs du produit p. Commutati vité Associativit é élément neutre éléments symétriques Opération associée a + b = b + a a b = b a (a + b) + c = a + (b + c ) a (b c) = (a b) c a + 0 = a Deux opposés ont une somme nulle : a + ( -a ) = 0 Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. a - b = a + ( - b) a 1 = a Deux inverses ont un produit égal à 1: a 1/a = 1 Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse a/b = a 1/b Nombres et opérations Page 1
ADDITION DES FRACTIONS Méthode 1. Simplifier les fractions. Les mettre au même dénominateur. Addition des numérateurs. Simplifier le résultat lorsque c'est possible Exemple 8 Calculer A = + 16 96 Commencer par simplifier les fractions : 9 7 7 = 16 18 9 = 18 et 8 = = d'où A = 96 18 + Mettre les fractions au même dénominateur : 0 7 7 = 18 = = 18 = 7 7 = donc et 18 = 1 1 D'où A = 0 + = 7 7 7 Recherche du dénominateur commun Le dénominateur commun est le plus petit multiple commun aux dénominateurs initiaux Pour le trouver rapidement (par exemple pour 18 et ) : On cherche dans les multiples du plus grand le premier qui est aussi multiple de l'autre. Les multiples de : n'est pas un multiple de 18 8 n'est pas un multiple de 18 7 est un multiple de 18, donc c'est le nombre cherché. Exercices : Calculer 77 176 G = ; 8 16 91 H = + ; 16 6 66 J = + ; 1 90 6 6 1 K = + ; 8 8 117 16 9 10 L = + ; 60 6 6 0 18 M = ; 70 16 8 11 N = 7 1 7 Page Nombres et opérations
SOMME DE RELATIFS Additionner deux nombres Pour additionner deux nombres de même signe : On garde le signe commun, on ajoute les valeurs absolues. Pour additionner deux nombres de signes contraires : On garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue, on calcule différence des valeurs absolues. Exercices Calculer A = (+7) + (+) B = (-) + (-7) C = (-1) + (+) D = (+17) + (-) E = (-7) + (+18) F = (+9) + (-7) G = (-,7) + (-,) H = (-17,7) + (+,) J = (-,9) + (+1,7) K = (+,) + (-,) L = (+,7) + (+1,) M = (+,7) + (-,9) Soustraire deux nombres Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Exercices Calculer : A = (+7) -(+) B = (-) - (-7) C = (-1) - (+) D = (+17) - (-) E = (-7) - (+18) F = (+9) - (-7) G = (-,7) - (-,) H = (-17,7) - (+,) J = (-,9) - (+1,7) K = (+,) - (-,) L = (+,7) - (+1,) M = (+,7) - (-,9) Sommes algébriques de plusieurs nombres Méthode 1: Supprimer les parenthèses lorsqu'elles existent Regrouper les positifs d'une part, les négatifs d'autre part Calculer les deux sommes partielles Effectuer la dernière somme la Méthode : Effectuer dans chaque parenthèse Supprimer les parenthèses Effectuer la dernière somme Exercices Calculer : A = (+7) - (+) + (-,9) - (+1,7) B = (-) - (-7) - (-17,7) - (+,) C = (-1) - (+) + 17 - + 6 - + 1,87 D = (-6 ) + (+ 7) - (+ 6) + (- 7) - (- 8) E = 19 - + - 7-9 + 8 F = 9 - ( - 7 + 1) + 1 + ( 7 - ) - 17 Nombres et opérations Page
SOMMES ALGEBRIQUES Effectuer les calculs suivants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{ - [ - ( - ) - 6 ] - 7 } - 8 R = - (1 + 8-7 ) + 6, - [ 8 - (,9 + 8, ) ] Page Nombres et opérations
REDUCTION D'UNE ECRITURE LITTERALE Développer, c'est supprimer toutes les parenthèses. Réduire, c'est écrire l'expression sous la forme comportant le moins de termes. Exemple Développer et réduire l'expression : A = - (a + - b )+ - ( - c ) : Développer A = - a - + b + - + c (On supprime les parenthèses ) Réduire A = - a + b + c - (On effectue les sommes possibles ) Exercice : Développer et réduire les expressions : A = a + (b - + a) - (1 - a + b) B = - 8 + a - b - ( - b) + (a + b - 6) C = a + (b - - b) + a - 6 + 8 - a D = - (a + b - 7) - b - (- + a - b) E = b - (- a - b- 6) + ( - a + a - b) F = 1 - (a - 9) + ( + b) - (1 + a + b) G = 10 + (a + b + 11) - (17 - a - b) H = (a + b - ) - (a - b) + (b + 8) Nombres et opérations Page
CALCULS FICHE N 1 Effectuer les calculs suivants ; dans chaque cas, le résultat sera présenté : - sous forme de fraction irréductible - partie entière + partie décimale - valeur décimale ou arrondie si le résultat n'est pas décimal. 6 0 + 8 77 7 78 60 108 6 8 + 11 16 189 70 + 7 60 10 0 77 176 8 16 91 + 16 6 78 77 0 9 66 + 1 90 6 6 1 + 8 8 117 16 9 10 + 60 6 6 0 18 70 16 8 11 7 + 16 0 7 + 7 + 1 Page 6 Nombres et opérations
CALCULS FICHE N Effectuer les calculs suivants ; dans chaque cas, le résultat sera présenté : - sous forme de fraction irréductible - partie entière + partie décimale - valeur décimale ou arrondie si le résultat n'est pas décimal. Toujours commencer par les éventuelles simplifications. 9 + 16 8 1 6 1 7 0 0 0 9 16 7 16 1 9 0 1 70 10 7 6 196 6 0 6 8 70 1 8 9 6 81 1 16 1 7 17 1 1 108 6 81 7 18 6 17 9 1 7 1 + 1 0 1 1 18 18 + Nombres et opérations Page 7
CALCULS FICHE N Dans les équations qui suivent, on peut décrire le principe de résolution par un petit schéma : + 17,8 Si l'équation est : x + 17,8 =,, on peut schématiser par : x,. Donc pour retrouver la valeur de x :, - 17,8 x (on fait l'opération "contraire") Donc : x =, - 17,8 =, Résoudre les équations suivantes en schématisant les opérations. x + = 7 9 x 11 8 = + x = 1 x = 7 11 x = x = 8 Page 8 Nombres et opérations
UTILISATION DE LA MACHINE Exercice 1 Pour chaque calcul, donner : 1. le résultat irréductible. la décomposition en partie entière et partie décimale. la valeur en écriture décimale ou, si ce n'est pas un décimal, l'arrondi au centième (utiliser correctement les signes = et.) 17 1 A = + 1 67 109 111 B = + 6 8 17 7 99 C = 7 1 17 11 7 D = + + 9 1 7 8 11 + E = 0 8 11 + 9 7 Exercice Calculer les expressions suivantes, on en donnera, dans chaque cas la valeur sous forme de fraction irréductible. ( ) ( ) ( ) A = + 7 7 + + 8 6 ( ) ( ) ( ) B = + 8 7 ( ) C = 1 8 8 0 1 1 ( ) ( ) D = + + + 6 9 Nombres et opérations Page 9
ÉQUATIONS 1. Les règles utilisées Si x b = p, alors x = Si x / b = q, alors x = Si x - b = d, alors x = Si x + b = s, alors x =. Le principe de la vérification Sans chercher à résoudre ces équations, retrouver parmi les nombres proposés ceux qui sont solutions : Équations solutions proposées x 7 6 - / -1 0 x = + 8 x x -1 - - = 7 9 1 10 8 ( x + ) = ( x ) 0 - - 8. Équations à résoudre Ces équations sont du type ax + b = c. C'est à dire que x peut avoir subi une, deux ou trois transformations. Prenons un exemple (- ) : Si - + x = 1. On peut décrire le premier membre de la manière suivante : x : - x - x x : / (- ) - x - 1 Donc pour retrouver la valeur de x, il faut, à partir du nombre 1, soustraire, puis diviser par -. Ce qui donne -. De la même manière, schématiser pour résoudre les équations suivantes : x + = 10 x = 1 1 + x = 0 x = 7 x = x + 1 = 0 1 x = 1 8 Page 60 Nombres et opérations
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