Chapitre 7 : Equilibre d'un corps susceptible de tourner autour d'un axe fixe 1-Effet d une force sur la rotation d un solide si on exerce sur une porte ouverte une force parallèle à l axe de rotation, celle-ci ne tourne pas. si on exerce sur cette porte une force dont la droite d action coupe l axe, elle ne tourne pas non plus une force F3 perpendiculaire à l axe de rotation, provoque une rotation. L efficacité de la rotation dépend de l intensité de la force et de la position de la droite d action, par rapport à l axe de rotation. 2-Moment d une force par rapport à un axe fixe 1-2-Définition du moment d une force : Le moment d une force F par rapport à un axe est le produit de l intensité de cette force par la distance d entre la droite d action de la force et l axe de rotation. On le notera : M (F) L unité du moment est le N.m M (F) = F.d (N.m) (N) (m) F3 (Δ) ḍ ( ) (Δ) axe de rotation F
2-2-Le moment est une grandeur algébrique : Le moment peut être positif ou négatif. Son signe dépend du sens positif arbitraire choisi. (F) = +F.d M Δ 1 1 M Δ(F) = -F 2.d2 3-Condition d équilibre d un solide mobile autour d un axe fixe. 1-3-Expérience : -Le dispositif suivant est constitué d une plaque mobile autour d un axe horizontale (Δ). -Fixons au plaque un lest de masse m 2. d (Δ) R. -Fixons en un point A l extrémité d un fil 2 d. 1 portant une masse m 1 permettant de ramener la A Lest m 2 plaque à l équilibre. On donne: m 1 = 80g, m 2 =120g, d 1 =15cm, d 2 =10cm, g=10n.kg -1. 1-Faire le bilan des forces s'exerçant sur la plaque. 2-Sur la figure ci-dessus, tracer ces forces. 3-Calculer le moment de chaque force 4-Calculer la somme des moments des forces. d1 5-Refaire l expérience pour différentes positions du point A en choisissant la masse m 1 afin que le système soit en équilibre, conclusion. d 2 P. (Δ) plaque masse m 1
2-3-Théorème des moments: Lorsqu un solide, mobile autour d un axe fixe, est en équilibre, la somme algébrique des moments par rapport à cet axe, de toutes les forces extérieures appliquées à ce solide est nulle : M Δ (F i ) = 0 3-3-Conditions générales d équilibre Lorsque un solide est en équilibre, deux conditions doivent être satisfaites : -Immobilité du centre de gravité G F ext = 0 -Absence de rotation autour de l axe Δ M Δ (F ext ) = 0 4-Couples de forces. 1-4-Définition d un couple de forces: Un couple de force F 1, est un système de deux forces parallèles, de sens contraires, de même intensité F=F 1 =F 2 et n ayant pas la même droite d action. 1 2 F,F couple F 1+F 2 = 0 droites d'actiondifférentes.
2-4-Moment d un couple: - La plaque étudié dans l expérience (1-3) mobile autour d un axe (Δ) est soumise à un couple de forces F 1, Les forces exercées par les deux files f 1 et f 2 notés respectivement et ont la même intensité. m m1 m2 F = F = F = m.g 1 2 la polie masse m 2 - Déterminer le moment du couple: F 1, M Δ F 1, 1 1 2 2 M Δ 1 2 F,F M Δ = +F.d F.d = F.(d d ) = F.d 1 2 f 2.B d 2 (Δ). d plaque d 1 f 1.A masse m 1
3-4-Définition du moment de couple de forces Le moment d un couple de forces, F 1, F 2 par rapport à un axe de rotation, est égal au produit de l intensité commune F des deux forces et la distance d qui sépare les droites d action de ces deux forces : -Remarque : Le moment d un couple de force ne dépend pas de la position de l axe de rotation mais seulement de la distance des deux lignes d actions. 5-Couple de torsion. M F 1, F 2 = M C = F d 1-5-Couple de torsion: * Un pendule de torsion est un solide suspendu à un fil vertical, est fixée au centre d une tige, l'autre extrémité du fil étant maintenue fixe dans un support. *Lorsqu on exerce sur la tige un couple R de moment F 1,, il provoque une rotation autour de l axe (Δ) ; qui s accompagne d une torsion du fil. *À l équilibre le fil tordu exerce sur la tige un couple, appelé couple de torsion de moment: M τ P Support Fil en acier Tige
2-5-Moment du couple de torsion * À l équilibre la tige est soumise à : -son poids: P -la force R Exercée par le fil. -le couple de forces: F 1, -le couple de torsion de moment: M τ *D après le théorème des moment : M (F i ) = 0 D où : M τ = 0 Donc : -M M 0 3-5-Expression de M τ : * Pour trouver l expression de M τ en utilise le montage suivant : On donne m 1 =m 2 donc F=F 1 =F 2 (P) + M (R) + M (F 1, F 2) + 0 = -F.d 1 support (F 1, F 2 ) * En faisant varier la distance d et l intensité de F, l angle θ varie. nous représentons le moment en fonction de θ, on M (F 1, F 2) M τ = obtient les résultats suivantes : Fil en acier m 1 R P m 2 d tige
F(N) 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 d(m) M 0,04 0,06 0,06 0,08 0,08 0,10 (F 1, F 2) =F.d 0,004 0,006 0,012 0,016 0,024 0,030 θ θ(rad) 9 0,16 14 0,24 28 0,48 37 0,64 55 0,96 69 1,20 M (F 1, F 2)(N.m) (rad) Le graphe de variation de M (F 1, F 2) en fonction de θ Le graphe est une droite passante par l origine : M (F 1, F 2 C. Ou C est le coefficient directeur de la droite appelé constante de torsion du fil en N.m.rad -1. Et d après la relation 1 on peut écrire : )= N.m M τ = -C.θ rad N.m / rad C dépond de la longueur et du diamètre et de la nature (matière) du fil.
Exercice 1: Une barre AB homogène, de masse m=500g, de longueur L peut tourner autour d un axe horizontal (Δ), passant par son extrémité A. Cette barre est maintenue en équilibre par un ressort horizontal de raideur K et de masse négligeable. La barre fait un angle α = 45, par rapport à la verticale. 1-Énoncer le théorème des moments. 2-Faire l inventaire des forces extérieures s exerçant sur la barre. Puis les représenter sur la figure. On donne : g=10 N/kg. 3-Exprimer le moment du poids de la barre par rapport à l axe (Δ) en fonction de m, g, L et α. 4-Exprimer le moment de la force T par rapport à l axe de rotation (Δ) en fonction de T, L et α. 5-En utilisant le théorème des moments, montrer que : T = 1 m g tan(α) puis calculer sa valeur. 2 6-Sachant que le ressort s allonge de ΔL=4cm, calculer la raideur K.
Exercice 2: Un solide (S) de masse m = 200 g est relié à un fil de masse négligeable passant par la gorge d'une poulie à axe fixe (Δ), de masse négligeable et de rayon r. L'autre extrémité du fil est attachée à un ressort de raideur k et de masse négligeable. A l'équilibre, l'axe du ressort fait un angle a = 30 avec l'horizontale et le ressort est allongé de ΔL = 4 cm. On néglige tout type de frottement. 1-Représenter les forces exercées sur le solide (S). 2-Écrire la condition d'équilibre de (S) et déterminer l'expression de la tension du fil f1, puis calculer sa valeur. 3-Représenter les forces exercées sur la poulie. 4-En appliquant le théorème des moments, déterminer la tension du fil f2. 5-Déduire la tension du fil f2 au point A. 6-Déterminer la valeur de la raideur du ressort k. 7-Par projection de la relation vectorielle, traduisant l'équilibre de la poulie, dans un repère orthonormé, montrer que la valeur de la réaction R de l'axe (Δ) est R = mg 2(1 + sinα).calculer sa valeur. On prendra : g = 10 N. kg _1
Exercice 3:
Exercice 4: