TD n : Ondes électromagnétiques Exercice 1 : Réversibilité de l équation de propagation 1 Etablir l équation de propagation du champ électrique E Réaliser dans cette équation, le changement de variable suivant : t t' = t Quelle est l équation obtenue? r r' = r 3 Conclure et interpréter le résultat (on pourra faire appel à un film passant à l envers) Exercice : Ondes stationnaires et progressives à 1D Montrer que la superposition de deux ondes planes progressives de mêmes amplitudes, de mêmes pulsations ω, se propageant en sens inverses F1 ( x, = Acos( ω t kx) et F ( x, = Acos( ω t + kx) aboutit à une onde stationnaire Exercice 3 : Onde sphérique On cherche des solutions de l équation de propagation à symétrie sphérique 1 Sachant que le laplacien d une fonction f ne dépendant que de r s écrit f ( r, = 1 ( r f ( r, ), r r résoudre l équation de propagation à 3D Expliquer les deux termes obtenus et donner un exemple physique correspondant à chacun d entre eux 3 A-t-on une onde plane? Quelle est la surface d onde? Exercice 4 : Superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques électromagnétiques On s intéresse à la superposition de deux ondes planes progressives électromagnétiques monochromatiques de même amplitude E, de même pulsation ω se propageant respectivement selon les directions pointées par les vecteurs unitaires u 1 et u On pose : u1 = sin α u x + cosα uz et u = sin α u x + cosα uz 1 Quels sont les deux vecteurs d ondes k 1 et k Les champs électriques des deux ondes sont polarisés suivant Oy Donner l expression des champs électriques sous forme complexe puis réelle 3 Donner l expression du champ électrique résultant de la superposition des deux ondes 4 Est-ce une onde plane? Est-ce une onde transverse? 5 Calculer le champ magnétique de cette onde 6 Déterminer le vecteur de Poynting moyen Pouvait-on deviner sa direction? Exercice 5 : Onde se propageant entre deux plans Une onde électromagnétique se propage dans le vide, selon Ox, entre deux plans d équation z = - a et z = a Nous verrons ultérieurement que le champ électrique de cette onde s écrit comme celui d une onde de la π z forme : E ( x, z, = E cos( )cos( ω t kx) ey où A et a, k et ω sont des constantes a 1 Quel est le champ magnétique associé à cette onde? Est-ce une onde plane? Est-ce une onde transverse? 3 Montrer qu'il existe alors une relation entre k, ω, c et a, et que ce type de solution ne convient que si ω > ω où ω est une grandeur que l'on déterminera Cette relation est appelée dans la suite relation de dispersion 4 Quelle vitesse de phase peut-on associer à cette onde? Montrer que si ω > ω, la dépendance en ω t kx traduit un phénomène de propagation dont la vitesse dépend de ω Ce phénomène porte le nom de dispersion 5 Déterminer la vitesse c e de propagation de l énergie de cette onde Méthode : Calculer l énergie moyenne transportée pendant la durée élémentaire dt dans un parallélépipède de longueur x = c e t et de section droite S suivant Oz ; identifier en effectuant un bilan d énergie en calculant le flux du vecteur de Poynting sur cette même section droite S 6 Montrer que l'onde précédente se décompose en deux ondes planes progressives dont on précisera les directions de propagation Utiliser cette décomposition pour retrouver simplement la relation entre k, ω, c et a obtenue dans l'exercice précédent Que devient la direction de propagation de ces ondes lorsque ω tend vers la valeur ω calculée dans l'exercice précédent? Exercice 6 : Etude d un faisceau gaussien : le laser
Une solution approchée des équations de Maxwell s écrit en coordonnées sphériques : ω E ( M, = A( r)expi( ω t kr) u θ avec k = c 1 Quelle est la direction de propagation de cette onde? Quelles sont les surfaces d ondes? Quel est le type d onde? proposer une dépendance caractéristique de A en fonction de r On utilise les coordonnées cartésiennes dans un plan de front M xy orthogonal à Oz On pose OM = z Près de M, développer au deuxième ordre en x /z et y /z pour montrer que : E ( M, = A( r)exp( iψ ( x, y, z))expi( ω t kz) u Expliciter exp( iψ ( x, y, z)) en fonction de λ Commenter l expression de E ( M, obtenue θ 3 une autre solution approchée des équations de Maxwell est l onde gaussienne qui se met sous la forme w ( x + y ) ( x + y ) suivante : E( M, = A exp( )exp( iϕ ( z))exp( iπ )expi( ω t kz) u θ w( z) w( z) λ R( z) avec zr R( z) = z + et z ( ) z z w et ϕ ( z ) = arctan( ) ( z) = w 1+ z R A, w et z R sont des constantes a) Dans quelle direction cette onde se propage-t-elle? b) Expliquer pourquoi R(z) est appelé rayon de courbure? c) On appelle intensité la norme du vecteur de Poynting moyen Calculer l intensité I de cette onde Tracer I(r,z) à z fixé avec r = x + y Donner une interprétation de w(z) d) Lorsque z >> z R, w( z) z tanθ où θ est appelé angle de divergence du faisceau laser L onde gaussienne décrit très correctement l onde issue d un laser Calculer θ pour un laser hélium néon avec w = 15 µm et z R = 11 cm On veut pointer un objet à m de distance Quelle est la taille de la tache lumineuse? Exercice 7 : Potentiels de l onde plane progressive électromagnétique On se propose de déterminer les potentiels de l onde plane progressive électromagnétique dans le vide, en l absence de charge et de courant On adopte ici soit la jauge de Lorentz soit la jauge de Coulomb On suppose que la direction de propagation de l onde s effectue suivant un axe Ox 1Rappeler les conditions de jauge de Lorentz et de Coulomb Etablir l équation de propagation (vectorielle!) pour les champs E et B ainsi que pour le potentiel vecteur A 3Comment se simplifie cette équation dans un problème à 1D Montrer que A dépend de x et de t par l intermédiaire d une variable : u = x ct 4On adopte la jauge de Lorentz Déterminer le potentiel scalaire V à partir de A Montrer que les champs E et B sont transversaux Retrouver la structure d onde plane progressive 5On adopte la jauge de Coulomb Montrer que A est transversal Montrer que les champs E et B sont transversaux et sont uniquement déterminés par A Retrouver la structure d onde plane progressive Exercice 8 : Superposition de deux ondes polarisées On considère deux ondes planes progressives électromagnétiques dont les champs sont données par : E 1 = E cos( ω t kx) et E E sin( ω t kx) = E cos( ω t kx) E sin( ω t kx) 1 Préciser les états de polarisation de ces deux ondes Donner la représentation complexe de ces deux ondes 3 Quel est l état de polarisation résultant de la superposition : E = E 1 + E Exercice 9 : décomposition d une onde polarisée rectilignement en deux ondes polarisées circulairement z R
On considère deux ondes planes progressives électromagnétiques dont le champ est données par : E = E cosα E sin α cos( ω t cos( ω t kx) kx) 1 montrer qu il s agit d une polarisation rectiligne Déterminer sa direction de polarisation 3 Montrer que ce champ électrique peut s écrire comme une superposition de deux ondes polarisées circulairement Exercice 1 : Polariseur et lumière naturelle De la lumière naturelle arrive sur un polariseur La direction de propagation est notée u z Exprimer l intensité lumineuse I 1 après le polariseur en fonction de celle, mesurée avant le polariseur et notée I dans les deux cas suivants : 1 On modélise la lumière naturelle par une superposition de deux ondes polarisées rectilignement et déphasée d une quantité qui varie aléatoirement au cours du temps sur une durée caractéristique grande devant la période de l onde, mais faible devant le temps de réponse de l œil On modélise la lumière naturelle par une ondes polarisée rectilignement mais dont la direction de polarisation varie aléatoirement au cours du temps sur une durée caractéristique grande devant la période de l onde, mais faible devant le temps de réponse de l œil Conclusion Exercice 11 : Analyse d une polarisation On s'intéresse à une ondes planes progressives électromagnétiques (de pulsation ω ) qui se propage suivant z croissant Le champ électrique en z = est : E = E cos( ω t kz) E = E = E cos( ω t kz + ϕ ) y x y x 1 Divers types de polarisation : rappeler les conditions pour que cette OPPM soit : a) polarisée rectilignement ; b) polarisée circulairement ; c) polarisée elliptiquement Polariseur et lames à retard : rappeler les effets que produisent sur une telle OPPM : a) un polariseur d'axe ; b) une lame demi-onde d'axes neutres (Ox) et (Oy) ; c) une lame quart d'onde d'axes neutres (Ox) et (Oy) 3 Détermination d'une polarisation On étudie un rayonnement monochromatique Celui peut présenter les caractéristiques suivantes : P : non polarisé ; P1 : polarisé rectilignement ; P : polarisé circulairement ; P3 : polarisé elliptiquement On place un analyseur dont on fait tourner l'axe dans le plan (xoy) (θ est l'angle que fait avec (Ox)) On enregistre l'intensité lumineuse I après le polariseur en fonction de θ a) Que s'attend-on à enregistrer comme courbe I(θ ) pour P, P1, P, P3? b) On dispose de plus d'une lame quart d'onde adaptée à la longueur d'onde de ce rayonnement Comment discerner P, P1, P et P3? Exercice 1 : Expérience de Fresnel et Arago On rappelle qu'un filtre polarisant (ou filtre polaroid) de direction de polarisation d éclairé en incidence normale ne laisse passer que la composante suivant d du champ E incident, cette composante étant multipliée à la traversée du filtre par un coefficient de transmission T tenant compte à la fois de l'absorption et du déphasage introduits par le filtre Ici, pour ne pas alourdir inutilement les calculs, on prendra T = 1
L'expérience de Fresnel et Arago est destinée à mettre en évidence le rôle des états de polarisation dans une expérience d'interférences Pour ce faire, on interpose devant chacune des deux fentes d'un dispositif classique de fentes d'young un filtre polarisant; les directions de polarisation sont indiquées sur la figure ci-contre 1 Dans un premier temps on effectue le montage suivant : On admettra qu'après la fente source, les composantes sur axes Ox et Oy du champ E sont : E = E cos( ω t kz + ϕ ) E x y = E cos( ω t kz + ϕ x y ) où il n'y a aucune corrélation entre ϕ x et ϕ y ; autrement dit, le terme ϕ x -ϕ y varie aléatoirement au cours du temps Une telle onde représente la lumière dite «naturelle» a) Quelles sont les composantes (E a x, E a y) et (E b x, E b y) du champ E sur les axes Ox et Oy pour les rayons ayant traversé les fentes (a) et (b) respectivement? b) Peut-on observer des phénomènes d'interférences entre ces rayons? On réalise le montage suivant : les On notera que par rapport au montage précédent on a intercalé entre le plan des fentes et le plan z = z 3 un filtre polariseur dont la direction fait l'angle β avec Ox Calculer à nouveau les composantes (E a x3, E a y3) et (E b x3, E b y3) pour chaque rayon Peut-on observer des interférences entre ces rayons? 3 On réalise enfin le montage suivant Deux filtres polariseurs sont maintenant placés sur le trajet des rayons lumineux : - l'un avant les fentes (angle α de la direction de polarisation avec Ox ), - l'autre après les fentes (angle β de la direction de polarisation avec Ox ) a) En opérant de proche en proche, donner les expressions de : (E a x3, E a y3) et (E b x3, E b y3) b) Que deviennent ces composantes pour les valeurs suivantes de a et /3 : i α = π / 4 et β = π / 4 ii α = π / 4 et β = π / 4 c) Montrer que l'on peut ainsi obtenir des interférences entre les rayons (a) et (P) Que peut-on dire des deux systèmes de franges obtenus dans les deux cas précédents Exercice 14 : Impulsion du champ électromagnétique (II)
Le champ électrique d'une onde plane sinusoïdale qui se propage dans le vide dans la direction de l'axe (Oz) a la forme E ( r, = E cos( ω t kz) ex 1 Exprimer le champ magnétique B oscillant associé, dans cette onde, au champ électrique précédent Montrer que la compatibilité du champ de l'onde avec les équations de Maxwell dans le vide impose une relation entre k et ω (on prendra k>, pour une propagation à z croissan Quelle est la valeur moyenne temporelle de la densité d'énergie de cette onde? 3 La grandeur g = ε E B est appelée impulsion volumique du champ (ou quantité de mouvement par unité de volume) L'unité de cette grandeur est-elle en accord avec cette définition? 4 Dans un modèle corpusculaire, on associe à cette onde un faisceau de photons se déplaçant à la vitesse c de l'onde On rappelle qu'un photon est une particule (relativiste) de masse nulle, d'énergie E = h v (où v désigne la fréquence de l'onde) et d'impulsion, ou quantité de mouvement p = k Quelle densité particulaire n de photons peut être associée à cette onde? En déduire l'expression de l'impulsion volumique associée à l'onde et vérifier qu'elle s'identifie bien à la moyenne temporelle de la grandeur g définie à la question 3)
Physique des ondes Exercice 1 : Ligne télégraphique Exercice : Corde vibrante Une corde sans raideur de masse linéique dm/dx = µ est soumise à une tension T constante Dans ces conditions, elle coïncide pratiquement avec l'axe horizontal Ox (la tension est supposée assez importante pour que le poids soit négligeable) On désigne par F1 et F les forces exercées respectivement à gauche et à droite sur un élément de longueur dl de la corde On se propose de déterminer l'équation de propagation d'un ébranlement le long de cette corde, ébranlement caractérisé par la déformation ψ selon Oy qui est fonction de x et de t Isoler par la pensée un petit élément de longueur dx de la corde et faire un inventaire des forces Écrire le principe fondamental de la dynamique projeté sur Oy en supposant qu'à chaque instant ψ / x << 1 1 Montrer que l'on obtient des équations de couplage entre la fonction ψ (x, et la grandeur F = F 1y Montrer que l'on obtient ainsi, pour la fonction ψ (x,, l'équation d'onde Déterminer la célérité c de l onde se propageant dans la corde en fonction de µ et T 3 Montrer que ψ peut s exprimer comme : ψ ( x, = f ( t x / c) + g( t + x / c) 4 Rechercher une solution ψ sous forme d onde stationnaire c est-à-dire ψ ( x, = F( x) G( 5 Dans l expérience de la corde de Melde, un vibreur communique une excitation sinusoïdale à l extrémité de la corde en x = avec ψ ( x =, = acos( ω La corde est supposée de longueur L Déterminer l amplitude des déformations ψ (x, en tout point de la corde et à chaque instant Interpréter et commenter le phénomène de résonance Donner les valeurs des fréquences et longueurs d onde de résonance Exercice 3 : Modèle d onde sonore à 1D Un tuyau calorifugé de section S est partagé en une infinité de compartiments (C n ) par des pistons calorifugés Π n de section S et de masse m Dans chaque compartiment se trouve une mole d'air, assimilé à un gaz parfait, évoluant de manière isentropique selon la loi de Laplace pv γ = constante À l'équilibre, l'abscisse du piston (n) vaut x n,eq = na et la pression a la même valeur p o dans chaque compartiment Hors d'équilibre, l'abscisse du piston (n) vaut xn = na + ζ n( avec ζ (t n ) << a La pression dans le compartiment (n) vaut p n 1 Établir l'expression de la pression p n en fonction de p o, γ, a, ζ (t n ) et ζ n+ 1( t ) Linéariser cette équation En déduire l'équation du mouvement du piston : d ζ n γ Sp = ( ζ 1 1 ) n+ + ζ n ζ n dt ma 3 On fait l approximation des milieux continus en définissant une fonction ζ ( x, variant peu à l échelle de a et telle que ζ ( x = na, = ζ n( Montrer, en utilisant un développement de Taylor à l ordre, que ζ ( x, satisfait à une équation de propagation Identifier la célérité c de l onde sonore Commenter son expression 4 Evaluer la célérité du son dans l air à 5 C en supposant désormais que les pistons de masse m du modèle sont en réalité constitués de volume d air V = Sa compris entre deux pistons