BACCALAUREAT BLANC GENERAL Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices concernant sa partie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu 'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Spécialité 1/6
EXERCICE 1 Dans une commune comportant un seul hypermarché A, on annonce l ouverture d un harddiscount B au mois de mars 2013. Au mois de février 2013, on s intéresse aux familles faisant leurs achats une fois par mois et clientes de l hypermarché A. Par la suite, ces familles feront leurs achats une fois par mois, soit à l hypermarché A, soit au hard-discount B. Les mois sont comptés à partir du mois de février 2013, que l on appellera mois 0 (le mois de mars 2013 est donc le mois 1, etc.). Pour tout entier naturel n, on désigne par : a n la probabilité qu une famille ait choisi l hypermarché A pour faire ses achats le mois n (on a donc a 0 = 1) ; bn la probabilité qu une famille ait choisi le hard-discount B pour faire ses achats le mois n (on a donc b 0 = 0) ; P n la matrice (a n b n ) traduisant l état probabiliste le mois n. On a donc P 0 = (1 0). On estime que d un mois sur l autre, les familles vont se répartir de la façon suivante : 30 % des familles clientes de A changent pour B ; 75 % des familles clientes de B restent fidèles à B. 1 Représenter cette situation par un graphe probabiliste noté G. a. Donner la matrice de transition M du graphe G en respectant l ordre alphabétique des sommets. M = ( ) b. Montrer que P 2 = (0,565 0,435). En déduire la répartition du nombre de familles pour chaque magasin au mois d avri1 2013. P 1 = P 0 M = ( ) = P 2 = M P 1 = ( ) = 56,5% des familles vont à A et 43,5% à B Spécialité 2/6
c. Ecrire la relation donnant une prévision de la répartition des familles au mois de juillet 2013. En déduire la répartition du nombre de familles pour chaque magasin au mois de juillet 2013. Les calculs pourront être faits à la calculatrice, ou on pourra choisir parmi les matrices M 3, M 4 et M 5 dont les coefficients sont arrondis au millième: Juillet correspond à n = 5 ( ) ( ) ( ) P 5 = P 0 M 5 = ( ) = ( ) = 2. Exprimer P n+1 en fonction de P n P n+1 = P n 3. En déduire que, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,45a n + 0,25. d où a n+1 = 0,45a n + 0,25. EXERCICE 2 Sur la figure jointe en annexe, les points E, F, G, H appartiennent respectivement aux segments [SA], [SB] et [SD]. 1. Justifier que les droites (EF) et (AB) sont sécantes en un point K. Le construire. 2. Construire l intersection des plans (EFG) et (ABC). 3. En déduire la section de la pyramide SABCD par le plan (EFG). EXERCICE 3 On considere la fonction f définie sur [0 ;+ par Ou désigne par (C) Ia courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormal (O ; I ; J) ). Cette courbe est donnée en annexe. l. Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose : a. Démomrer que la fonction F est dérivable sur [1 ;+ si une fonction f est continue et positive sur l intervalle [a ;b] la fonction F définie sur [a ;b] par est dérivable sur [a ;b] de dérivée f. or d après la courbe en annexe, f est continue et positive sur [1 ;+ donc la fonction est dérivable sur [1 ;+ b. Montrer que la fonction est une primitive de f sur [1 ;+ si oui alors ( posons G(x) = définie et dérivable sur [1 ;+ comme composée de fonctions définies et dérivables sur [1 ;+ alors G = (uv) donc G = u v + uv d où G (x) = -1 = f(x) En déduire que pour tout x de [1 ;+, F(x) = 2. Soit un réel m supérieur ou égal à 1. On considére la partie D m du plan, limitée par la courbe (C), l axe des abscisses et les droites d équation x = l et x = m. Spécialité 3/6
Déterminer, à l aide de la calculatrice, m tel que l'aire, en unités d'aires, de D m soit égale à et hachurer D m sur le graphique. Par définition, D m = = Et la calculatrice nous donne m 7 EXERCICE 4 Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par u n+1 = Si f est la fonction de définie sur l intervalle [-2 ; par f (x) =, alors on a. pour tout nombre entier naturel n, u n+1 = f (u n ). On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative C de la fonction f ainsi que la droite d équation y = x. 1. a. Sur l axe des abscisses. Placer u 0 puis construire u 1, u 2 et u 3 en laissant apparents les traits de construction. b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (u n )? la suite semble être décroissante et converger vers 1 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a u n - l > 0. Initialisation : n =0 alors u 0 - l = 5 1 = 4 > 0. Donc proposition vérifiée Hérédité : supposons que pour k, 0 < k < n on ait u k - l > 0. Montrons qu à cette condition u k+1 - l > 0. u k+1 l = or u k - l > 0 donc 3(u k l) > 0 et u k +2 > 0 d où u k+1 l > 0 ie la proposition est héréditaire. Conclusion la proposition est vraie pour n = 0 et est héréditaire b. Dans cette question. Toute trace de recherche. même incomplète. ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation : Valider par une démonstration les conjectures émises à la question l. b. Spécialité 4/6
Montrons que la suite est décroissante. Pour tout n, u n+1 u n = u n < 0 clairement. La suite est donc décroissante. Montrons que la suite est convergente. La suite est décroissante et minorée par 1, donc elle converge ver avec 3. Dans cette question. on se propose d'étudier la suite ((u n ) par une autre méthode, en déterminant une expression de u n en fonction de n. l. Pour tout nombre entier naturel n, on pose v n = a. Démontrer que la suite est une suite arithmétique de raison = pour tout n donc la suite est arithmétique de raison b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer v n puis u n en fonction de n. par définition, or donc ainsi, = et donc comme on obtient c. En déduire la limite de la suite (u n ). qui a pour limite 1 Spécialité 5/6
Annexe à joindre à la copie Figure de l exercice 2. Figure de l exercice 3. Spécialité 6/6