Parallélogrammes particuliers C H A P I T R E 16 Énigme du chapitre. Construire un parallélogramme ABCD de périmètre 36 cm de périmètre et dont la longueur AB est le double de la longueur BC. Objectifs du chapitre. Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux élements de symétrie) du carré, du rectangle et du losange.
I/ À la découverte des parallélogrammes particuliers Activité A. Trier les propriétés des parallélogrammes particuliers On donne les quadrilatères suivants : parallélogramme rectangle losange carré Pour chacune des quatre figures ci-dessus, indiquer les numéros des propriétés qu elle possède. 1. Les côtés opposés sont parallèles. 2. Les côtés opposés ont la même longueur. 3. Les angles opposés ont la même mesure. 4. Les quatre angles sont droits. 5. Les diagonales ont le même milieu. 6. Les diagonales ont la même longueur. 7. Les diagonales sont perpendiculaires. 8. Les quatres côtés ont la même longueur. Définitions Le rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Le losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Le carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Propriétés Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur ; les diagonales ont le même milieu qui est aussi le centre de symétrie ; les angles opposés ont la même mesure. Propriétés (Propriétés sur les diagonales) Le rectangle a ses diagonales de même longueur.
Le losange a ses diagonales perpendiculaires. Le carré a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires. Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Du parallélogramme aux rectangle, losange, carré Activité B. Du parallélogramme aux rectangle, losange, carré Partie A : Parallélogramme avec un angle droit 1. Construire un parallélogramme ABCD tel que AB = 7 cm, AD = 4 cm et [ BAD = 90. Que semble-t-on pouvoir dire de plus de ABCD? 2. Quelle donnée de l énoncé permet d affirmer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles? Que peut-on affirmer alors pour les droites (AD) et (DC)? 3. Raisonner de même pour les autres angles du parallélogramme ABCD. 4. Recopier et compléter : «Si un parallélogramme a un angle droit,...» Partie B : Parallélogramme avec les diagonales de même longueur 1. Construire un parallélogramme ABCD tel que AC = BD = 8 cm. Que semble-t-on pouvoir dire de plus de ABCD? 2. Construire le point E tel que B soit le milieu de [AE]. Que peut-on affirmer alors les segments [DC] et [BE]? le quadrilatère BDCE? les longueurs DB et CE? 3. Pourquoi le triangle ACE est-il isocèle en C? 4. Que peut-on en déduire pour l angle [ ABC? pour le parallélogramme ABCD? 5. Recopier et compléter : «Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, : : :». Partie C : Application 1. Construire un parallélogramme ABCD tel que AB = 5 cm et AD = 5 cm. Que semble-t-on pouvoir dire de plus de ABCD? 2. Coder les données sur la figure et démontrer la conjecture émise à la question précédente. Propriété Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. Exemple Données : ABCD est un parallélogramme [BAD = 90. Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. Donc : ABCD est un rectangle. D A C B Propriété Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. Exemple
Données : ABCD est parallélogramme AC = BD. Or, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. Donc : ABCD est un rectangle. D A C B Propriété Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. Exemple Données : ABCD est un parallélogramme B AC = BC. Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. A C Donc : ABCD est un losange. D Propriété Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. Exemple Données : ABCD est un parallélogramme B (AC)? (BD). Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. A C Donc : ABCD est un losange. D Faire les exercices 6 7 8 9 F 10 F Problèmes : Faire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F
III/ Résumé des propriétés
IV/ Une activité TICE Activité C. Activité TICE : les parallélogrammes particuliers Avant de commencer Ouvrez votre session. Si ce n est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans «Mes documents». Ouvrez GeoGebra pour l activité. Pour chaque partie, créer un nouveau fichier sur GeoGebra (Fichier -> Nouveau à chaque fois que vous finissez une partie de l activité. Tout ce qui est en italique est à faire sur GeoGebra. On répond aux autres questions sur une feuille à part ou sur votre cahier de cours. Pour vous aider, vous pouvez faire apparaître le quadrillage dans le cadre de construction de figure (Affichage -> Grille). À rendre à la fin de l activité (2 heures) : les fichiers GeoGebra et les réponses sur feuille à part. Partie A : Un parallélogramme avec un angle droit Vous enregistrez votre travail sous un fichier nommé QUADP_1_Nom_Prenom.ggb et vous faites des sauvegardes de votre travail réguilèrement. 1. Construire les points A(0; 0), B(0; 2), C(3; 2). 2. Que peut-on dire de l angle [ ABC? Faire apparaître la mesure de l angle [ ABC sur l écran. 3. Où faut-il placer le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme? Placer le point D sur la figure. 4. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD)? Le faire apparaître sur l écran. Quelle donnée de l énoncé permet de l affirmer? Justifier. 5. Que peut-on dire des angles du parallélogramme? Faire apparaître les mesures d angle sur l écran. 6. En déduire la natruce de ABCD. Justifier. 7. Recopier et compléter la phrase suivante : «Si un parallélogramme a un angle droit alors : : :.» Partie B : Diagonales d un parallélogramme de même longueur Vous enregistrez votre travail sous un fichier nommé QUADP_2_Nom_Prenm.ggb et vous faites des sauvegardes de votre travail réguilèrement. 1. Placer les points A(0; 0), B(0; 3), C(4; 3) et D(4; 0). Tracer le parallélogramme ABCD.» 2. Tracer les segments [AC] et [BD] et vérifier qu ils ont la même longueur. 3. Placer le point O, centre du parallélogramme. 4. Construire le symétrique E du point A par rapport à B. Construire le point P, intersection des segments [BC] et [DE]. Que peut-on dire du point P intersection des segments [BC] et [DE]?
5. En déduire la nature du quadrilatère BDCE. 6. Que peut-on dire sur la longueur des segments (a) [DB] et [CE]? (b) [AC] et [DB]? En déduire que AC = CE. 7. Montrer que C et B appartiennent à la médiatrice de la droite (AE). Que peut-on dire des droites (BC) et (AE)? 8. En se servant de ce qui a été fait en Partie A, en déduire la nature du quadrilatère ABCD. 9. Recopier et compléter la phrase : «Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors : : :». Partie C : Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur Vous enregistrez votre travail sous un fichier nommé QUADP_3_Nom_Prenm.ggb et vous faites des sauvegardes de votre travail réguilèrement. 1. Placer les points A(0; 0), B(5; 0), D(4; 3). 2. Placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme. 3. Montrer sur l écran que AB = DC et BC = AD. Justifier pourquoi on a ces égalités. 4. En déduire AB = DC = BC = AD. 5. Quelle est la nature de ABCD? Justifier. 6. Recopier et compléter la phrase suivante : «Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors : : :». Partie D : Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires Vous enregistrez votre travail sous un fichier nommé QUADP_4_Nom_Prenm.ggb et vous faites des sauvegardes de votre tra vail réguilèrement. 1. Placer les points A(3; 0), B(6; 2), C(3; 4) et D(0; 2). Tracer le parallélogramme ABCD. 2. Montrer sur l écran que les diagonales sont perpendiculaires. 3. Construire le point E symétrique de B par rapport à l axe (AC). Qu observe-t-on? Justifier votre réponse. 4. Que peut-on dire du symétrique de [BA] par rapport à l axe (AC)? Recopier et compléter la phrase suivante : «Comme la symétrie conserve les : : :, BA = : : :.» 5. En déduire la nature de ABCD. Justifier votre réponse en vous appuyant sur la Partie C. 6. Recopier et compléter la phrase : «Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors : : :»