TD N 1 : CINEMATIQUE Exercice 1 : Déplacement, vitesse et accélération instantanées Le tableau ci-dessous présente les enregistrements des positions d un objet animé d un mouvement unidirectionnel en fonction du temps. A partir de ces données, tracez : La courbe du déplacement ; Les courbes de la vitesse et de l accélération calculées par différences finies «pas à pas» et différences finies «centrées». En sachant que l équation mathématique qui décrit la courbe du déplacement (d) en fonction du temps (t) est : d = 2 cos(10 t) + 0,5 t 5 + 3 t 2-2 t + 1, calculez à chaque instant t la valeur exacte de la vitesse et de l accélération. Rappel : Dérivée de f ((g(x)) = g ' (x) * f ' (g(x)) et sin (x)=cos(x) ; cos (x)= - sin(x) Comment pouvez vous expliquer les variations observées entre les différentes courbes de vitesse et d accélération? Dans le domaine de l analyse du mouvement, quelle méthode de calcul pouvez vous suggérer pour calculer la vitesse et l accélération avec la plus grande précision? Temps (s) Position (m) Temps (s) Position (m) 0,05 2,66 0,55 2,25 0,10 1,91 0,60 2,84 0,15 0,91 0,65 2,98 0,20-0,11 0,70 2,66 0,25-0,91 0,75 2,00 0,30-1,31 0,80 1,19 0,35-1,20 0,85 0,48 0,40-0,62 0,90 0,10 0,45 0,29 0,95 0,20 0,50 1,33 1,00 0,82 1
Exercice 2 : Angles segmentaires et inter-segmentaires La figure ci-dessous représente une gymnaste au dernier instant de la phase d impulsion d un flip arrière. Chaque articulation corporelle est représentée par un marqueur dont les coordonnées dans le repère {O, x, y} sont obtenues à l aide d un système d analyse cinématique vidéo. A partir de ces informations, calculez chacun des angles θ 1 et θ 2 en utilisant d une part une méthode trigonométrique (arctangente) et d autre part une méthode vectorielle (produit scalaire). y (m) 1.8 1.5 1.2 θ 1 0.9 θ 2 0.6 0.3 x (m) 0.6 0.3 O 2
TD N 2 : CINEMATIQUE Exercice 1 Cinématique : Modélisation balistique du shoot au basket Lors d un match de basket, pour marquer un panier, il faut que le ballon passe dans un cercle métallique situé dans un plan horizontal à 3,05 m du sol. Pour simplifier, on remplacera le ballon par un point matériel devant passer exactement au centre C du cercle métallique. On suppose que la trajectoire démarre en B, à une altitude h 0 au-dessus du sol, et que la vitesse de lancement v 0 fait un angle α avec le plan horizontal (α = 45 ; g = 10 m s -2 ; h 0 = 2 m). Etablir les équations horaires de cette trajectoire après le lancer et en déduire l équation du mouvement. Quelle est la nature de la trajectoire? Le basketteur se situe à 7,10 m du panier. Quelle doit être la valeur de v 0 pour que le panier soit réussi? Combien de temps met la balle pour effectuer ce trajet? A quelle hauteur passe la balle à mi-parcours? Voulant arrêter le ballon, un adversaire, situé à 0,90 m du tireur, saute verticalement en levant les bras. La hauteur atteinte par ses mains est de 2,70 m par rapport au sol. Les valeurs de α et v 0 étant les mêmes que dans le cas précédant, le panier sera-t-il marqué? Exercice 2 Cinématique : Modélisation balistique du passage de relais Lors d une course de relais on représente deux coureurs (C1 et C2) d une même équipe de la manière suivante : A t 0 = 0 s on a : Pour C1 : position = x1 0, vitesse = v1 = 10 m s -1, accélération = 0 m s -2 Pour C2 : position = 0 m, vitesse = 0 m s -1, accélération = γ2 = 3 m s -2 Au moment de la transmission, on a : Distance entre C1 et C2 = 1 m Vitesse C1 = Vitesse C2 A partir de l ensemble de ces données : Déterminez les équations horaires de C1 et de C2 Calculez l instant t de la transmission Quel est l écart de distance qui sépare C1 et C2 à t 0 : x1 0
Exercice 3 Cinématique : Rebond d une balle Une balle est lancée verticalement vers le bas d une hauteur h = 70 cm avec une vitesse initiale V 0. Après l impact au sol elle remonte à la même hauteur h. Quelle est la vitesse de la balle (V 2 ) à l instant de la remontée? Si le coefficient de restitution lié à la déformation de la balle lors de l impact au sol vaut k = 0,76, quelle est la vitesse de la balle (V 1 ) lors du contact au sol? Quelle vitesse (V 0 ) doit être donnée à la balle pour qu elle remonte à la hauteur h?
TD N 2 : CINEMATIQUE Exercice 1 Cinématique : Modélisation balistique du shoot au basket Lors d un match de basket, pour marquer un panier, il faut que le ballon passe dans un cercle métallique situé dans un plan horizontal à 3,05 m du sol. Pour simplifier, on remplacera le ballon par un point matériel devant passer exactement au centre C du cercle métallique. On suppose que la trajectoire démarre en B, à une altitude h 0 au-dessus du sol, et que la vitesse de lancement v 0 fait un angle α avec le plan horizontal (α = 45 ; g = 10 m s -2 ; h 0 = 2 m). Etablir les équations horaires de cette trajectoire après le lancer et en déduire l équation du mouvement. Quelle est la nature de la trajectoire? Le basketteur se situe à 7,10 m du panier. Quelle doit être la valeur de v 0 pour que le panier soit réussi? Combien de temps met la balle pour effectuer ce trajet? A quelle hauteur passe la balle à mi-parcours? Voulant arrêter le ballon, un adversaire, situé à 0,90 m du tireur, saute verticalement en levant les bras. La hauteur atteinte par ses mains est de 2,70 m par rapport au sol. Les valeurs de α et v 0 étant les mêmes que dans le cas précédant, le panier sera-t-il marqué? Exercice 2 Cinématique : Modélisation balistique du passage de relais Lors d une course de relais on représente deux coureurs (C1 et C2) d une même équipe de la manière suivante : A t 0 = 0 s on a : Pour C1 : position = x1 0, vitesse = v1 = 10 m s -1, accélération = 0 m s -2 Pour C2 : position = 0 m, vitesse = 0 m s -1, accélération = γ2 = 3 m s -2 Au moment de la transmission, on a : Distance entre C1 et C2 = 1 m Vitesse C1 = Vitesse C2 A partir de l ensemble de ces données : Déterminez les équations horaires de C1 et de C2 Calculez l instant t de la transmission Quel est l écart de distance qui sépare C1 et C2 à t 0 : x1 0
TD N 3 : CENTRE DE MASSE Exercice 1 Centre de masse : Estimation «anthropométrique» de la position du CdM A partir de la figure de l athlète (masse : 65 kg, taille : 1.80 m) et du tableau anthropométrique présentés ci-dessous : Calculez, en coordonnées réelles, la position du centre de masse de chacun des segments suivants : Avant-Bras, Tronc et Jambe. Déterminer, en coordonnées réelles, la position du centre de masse total de l athlète. m segment / mtotale Main 0,006 0,506 Avant-bras 0,016 0,430 bras 0,028 0,436 Pied 0,0145 0,500 Jambe 0,0465 0,433 Cuisse 0,100 0,433 Tronc 0,497 0,500 Tête et cou 0,081 1,000 PCdM / Lsegment Valeurs de la masse relative (m segment / m totale ) et la position relative (P CdM / L segment par rapport à l articulation proximale) du centre de masse des segments corporels.
Exercice 2 Centre de masse : Estimation «mécanique» de la position du CdM A partir du schéma ci-dessous : Donnez l expression mathématique permettant d estimer la position horizontale du CdM total du corps (LPp) en fonction de : F, PP, PS, L et LPs pour un sujet de 1,80 m. Calculez cette position pour : PP = 700 N ; PS = 100 N ; F = 379 N L = 2 m ; LPs = 1 m Quelle est l intensité de la réaction R au point O? R ur
TD N 4 : STATIQUE Exercice 1 Statique : Maintien du bras en position horizontale. Dans la situation illustrée ci-dessous : a) Calculer la force F D développée au point D par le muscle deltoïde avec un angle α de 15 par rapport à l horizontale pour garder le bras étendu, ce dernier ayant une masse (m B ) de 2,8 kg s exerçant à 24 cm de l articulation de l épaule (E). b) Quelle serait le force F D si la main portait une masse (m P ) de 10 kg située à 50 cm de l articulation de l épaule? c) Quelles sont l intensité et la direction de la force réaction articulaire F E développée au niveau de l épaule (E) dans le cas 1.b.? α F D D C P E F E 12 cm 24cm 50 cm P = m g B B
Exercice 2 Statique : Contraintes sur l articulation lombo-sacrée. Une personne se tient debout, le tronc fléchi avec un angle β de 30, en portant dans ses mains charge de poids W égal à 200 N qui s applique au point G W. On suppose qu un poids P de 500 N se retrouve au dessus de l articulation lombo-sacrée (O) et s applique au point G P. L angle du sacrum par rapport à l horizontale, α, est de 40º. Dans ces conditions statiques, illustrées sur le schéma ci-dessous, appliquer le principe fondamental de la statique pour donner l expression mathématique puis l intensité de : a) la force musculaire F des extenseurs de la colonne qui s insèrent au point E ; b) la force de réaction articulaire horizontale R X qui s applique au point O ; c) la force de réaction articulaire verticale R Y qui s applique au point O. 35 cm G P 20 cm W r G W P r R r O α Y 5 cm R r X E β F r
TD N 5 : DYNAMIQUE Exercice 1 Dynamique : début d ascension en cyclisme On considère qu un cycliste grimpe une côte en produisant une force de traction résultante (F) parallèle à la pente. En négligeant les résistances aérodynamiques et de frottement, déterminez les coordonnées (a Gx, a Gy ) du vecteur accélération, puis la valeur de l accélération résultante (a G ) du centre de gravité du système mécanique : cycliste + cycle. Application numérique : g = 9,81 m s -2, m = 80 kg, F = 450 N, R 1 = 280 N, R 2 = 400 N, θ = 30. Exercice 2 Dynamique : transformation au rugby Au moment de la frappe lors d une transformation au rugby, un capteur situé sous le sommet inférieur du ballon mesure une force Fx de 4 N sur l axe horizontal et une force Fy de 1 N sur l axe vertical. On modélise le ballon par un cylindre de hauteur h = 30 cm et de largeur l = 15 cm, de masse m = 0,25 kg et de moment d inertie par rapport au centre de gravité du ballon I = 0,05 kg m².
Fp l h d y + Fy Fx x Déterminez l intensité de la force de frappe Fp appliquée sur le coté droit du ballon pour qu il s élève avec une accélération de 64 m/s² dirigée vers la gauche avec un angle de 20 par rapport à l horizontale. Déterminez la position verticale d du point d application de Fp par rapport au centre de gravité du ballon si l accélération angulaire du ballon est de -28 Rad/s²?
TD N 6 : DYNAMIQUE INVERSE (statique) Dynamique inverse : Ergonomie en conditions statiques En utilisant les coefficients anthropométriques du tableau 1, déterminez, dans chacune des postures 1 et 2, le moment musculaire résultant à l articulation de la hanche lorsque l individu de taille l = 1,80 m et de masse m = 80 kg soulève un objet de masse m = 40 kg. Quelle posture doit être adoptée lors d un soulevé de charge, pourquoi? Tableau 1 : Coefficients anthropométriques. Segment m (kg) * l (m) ** r (m) Pied 0,0145 0,152 0,429 Jambe 0,0465 0,246 0,433 Cuisse 0,1000 0,245 0,433 Tronc et tête (Hanche-Epaule) 0,5780 0,405 0,500 Bras 0,0280 0,186 0,436 Avant-bras 0,0160 0,146 0,430 Main 0,0060 0,108 0,506 * rapport de la masse du segment sur la masse totale de l individu. ** rapport de la longueur du segment sur la taille de l individu. rapport de la distance de l articulation proximale au CdG du segment sur la longueur du segment. Posture 1 Posture 2 Tableau 2 : Angles articulaires dans chacune des postures 1 et 2 illustrées ci-dessus. θ ( ) par rapport à l horizontale Segment Posture 1 Posture 2 Pied (-) 20 (-) 20 Jambe 85 45 Cuisse (-) 60 (-) 25 Tronc et tête (Hanche-Epaule) 10 55 Bras (-) 110 (-) 90 Avant-bras (-) 70 (-) 70 Main (-) 45 (-) 45
TD N 8 : PUISSANCE, TRAVAIL, ACTION MUSCULAIRE A partir des courbes ci-dessous représentant l angle articulaire et le moment musculaire résultant à l articulation du genou droit lors d un mouvement sportif, tracez la courbe de la puissance P en fonction du temps. A partir de la courbe P(t), identifiez les différentes phases d activité musculaire en précisant pour chacune d entre elles le groupe musculaire actif et le mode d action. Questions supplémentaires (facultatif) : A partir de la courbe P(t) et en utilisant la méthode des trapèzes, estimez le travail concentrique (positif) et le travail excentrique (négatif) lors de la première phase pliométrique. En admettant que le rendement des actions concentrique et excentrique de la pliométrie est respectivement R + = 35 % et R - = 50 %, quelle est la dépense énergétique DE de cette phase d action pliométrique? 180 160 angle ( ) 140 120 100 80 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 temps (s) 250 200 moment (Nm) 150 100 50 0-50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 temps (s) Flexion Extension Flexion Extension
TD N 9 : ENERGETIQUE, RENDEMENT Exercice 1 : montée de marches On considère que l enchaînement de la montée d une marche pendant une certaine durée permet de simuler un déplacement strictement vertical vers le haut. Sous cette hypothèse, déterminez le rendement d un individu de masse m = 70 kg, de VO 2 max = 65 ml/kg/min qui monte une marche de 50 cm à une cadence de 40 marches/min pendant 10 min si il consomme 70 % de sa VO 2 max (QR = 1). Quelle est la masse d un individu qui produirait un travail de 200 kj dans les mêmes conditions (même dépense énergétique)? Quelle serait la dépense énergétique de l individu de 70 kg si son rendement était de 25 %? Exercice 2 : cycle ergométrique On considère qu un cycle ergométrique permet de simuler un déplacement horizontal en résistant à une charge fixée par l expérimentateur. Sous cette hypothèse, déterminez le rendement d un individu de masse m = 65 kg, de VO 2 max = 75 ml/kg/min qui pédale pendant 20 min à 65 % de sa VO 2 max face à une charge de 3 kg avec une fréquence de pédalage et 70 tours/min et un développement de 6 m. Exercice 3 : tapis roulant incliné La marche sur tapis roulant peut être décomposée en un déplacement vertical vers le haut et un déplacement horizontal indépendants l un de l autre. Sous cette hypothèse, déterminez le rendement d un sujet de 80 kg et de VO 2 max = 65 ml/kg/min marchant à une vitesse de 6 km/h à 85 % de sa VO 2 max pendant 5 min sur un tapis roulant incliné de 10, en considérant que la résistance au déplacement horizontal équivaut à s opposer à une charge de 2 kg.