Lagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ).

Chapitre 1 Exercice 1 : Portefeuilles financiers Considérons trois types d actions qui sont négociées à la bourse et dont les rentabilités r 1, r 2 et r 3 sont des variables aléatoires d espérances µ i = Er i et de covariances σ i,j = cov(r i, r j ) (i, j = 1,2,3). Valeurs numériques : µ = t (µ 1, µ 2, µ 3 ) = t (0.07, 0.10, 0.12) 0.0144 0.0117 0.0041 V = (σ i,j, i, j = 1, 2, 3) = 0.0117 0.0225 0.0104 0.0041 0.0104 0.0529 Le but est de déterminer un portefeuille P composé d actions de ces trois types tel que la variance de la rentabilité de P, notée σp 2(= var r p), est minimale, sous la condition que l espérance de la rentabilité, notée µ p (= Er p ), est au moins égale à µ 0 = 0.09. a) Formuler la minimisation de σp 2 en termes d un programme quadratique. Quelles sont les contraintes? b) Déterminer la fonction de Lagrange, et calculer les conditions du théorème de Kuhn-Tucker. (Noter λ 1 et λ 2 les multiplicateurs de Lagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ). c) Admettons que l inverse de 2V µ 1 t µ 0 0 est donné par t 1 0 0 3.3250 8.3126 4.9875 28.8113 3.0741 20.7814 12.4688 22.0283 1.6854 7.4813 6.7830 0.3888 23.8500 1.9275 0.1808 En déduire la composition du portefeuille recherché. d) Étudier la composition du portefeuille optimal en fonction de µ 0 en faisant varier µ 0, de 0.1, entre 0.1 et 1. Ne pas exclure les ventes à découvert. Exercice 2 : Optimisation de forme Supposons qu on souhaite construire un parallélépipède rectangulaire (voir figure 1) de volume maximal à l aide de six rectangles qu on découpe dans une feuille de papier qui mesure 1 mètre sur 1 mètre. Admettons que l on ait déjà placé les six rectangles sur la feuille suivant la figure 2. b b c c 1 c b b a a 1 Fig. 1 Fig. 2 a Le but est de déterminer les valeurs de a, b et c dans la figure 2 telles que les rectangles tiennent sur la feuille et telles que le volume du parallélépipède soit maximal. Procédons la façon suivante : a) Posons a=1/2. Formuler le programme non linéaire qui permet de trouver ce volume maximal. 1

b) Résoudre ce programme non linéaire graphiquement. Si vous n y arrivez pas, déterminer la fonction de Lagrange et les conditions de Kuhn-Tucker, et résolvez le système d (in)égalités donnés par ces conditions. Remarquons que la fonction à maximiser n est pas concave, et que les conditions de Kuhn-Tucker ne sont donc pas suffisantes en général pour l optimalité de la solution. Il faut donc confirmer graphiquement que la solution trouvée par les conditions de Kuhn-Tucker est bien une solution optimale. c) Supposons maintenant qu on a découpé la feuille en petits carrés de 1cm par 1cm et qu on constitue les six rectangles en collant des petits carrés. De nouveau, on recherche un parallélépipède de volume maximal. Formuler le programme non linéaire qui permet de déterminer a, b et c tel que le volume du parallélépipède construit de cette façon soit maximal. Déterminer la fonction de Lagrange et les conditions de Kuhn-Tucker (la résolution du système n est pas demandée). Exercice 3 : Le problème du vendeur de journaux Soit x le nombre d exemplaires de journaux qu un vendeur de journaux achète le matin auprès de l éditeur (x u = nombre maximal d exemplaires) c le prix unitaire qu il paye à l éditeur q le prix auquel il vend le journal (q>c) ζ (variable aléatoire) le nombre d exemplaires effectivement demandés durant la journée y(x,ζ)=min(x,ζ) le nombre d exemplaires effectivement vendus w(x,ζ) le nombre d exemplaires ramenés à l éditeur le soir r le prix unitaire que l éditeur paye pour les exemplaires retournés (q>c>r) Données : q, c, r et la fonction de répartition F de ζ et u. Question : Comment le vendeur doit-il choisir x pour que l espérance de son bénéfice soit maximal? Exercice 4 : Le problème de l agriculteur Supposons que les données pour la plantation et la vente de froment et d avoine sont les suivantes : f roment avoine Rendement moyen (tonnes/ares) 2.5 3 Coût de plantation ( /are) 150 230 Prix de vente ( /tonne) 170 150 Minimum exigé (tonnes) 200 240 Prix d achat (par tonnes) 238 210 Supposons que la surface totale disponible est de 500 ares. But: minimiser le coût total de l agriculteur sachant qu il achète du froment et de l avoine sur le marché s il n arrive pas au minimum exigé et qu il vend le surplus par rapport à ce minimum au prix de vente indiqué. Hypothèse : le rendement dépend des conditions climatiques non prévisibles. L agriculteur estime que le rendement (tonnes/are) est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [a,b] où a est 80% du rendement moyen et b est 120% du rendement moyen. Ces rendements effectifs, notés ζ i, sont des variables aléatoires indépendantes. Exercice 5 : Reprenons le problème non linéaire de la production traité en cours : Maximiser f(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 5x 2 x 2 1 x2 2 sous les hypothèses x 1 + 2x 2 8 0, 3x 1 + x 2 9 0, x 1, x 2 0 2

a) Retrouver la solution optimale obtenue en cours en appliquant le théorème de Kuhn-Tucker. Donner en particulier la fonction de Lagrange, calculer les conditions du théorème de Kuhn-Tucker (sont-elles nécessaires et/ou suffisantes), et résoudre le système d (in)égalités. b) Résoudre le programme non linéaire (quadratique) en le transformant en un programme linéaire avec une contrainte non linéaire (voir section I.3 du cours) et en appliquant le simplexe. Exercice 6 : Soit le programme non linéaire : maximiser f(x 1, x 2 ) = 36x 1 + 9x 2 1 6x 3 1 + 36x 2 3x 3 2 sous les hypothèses x 1 + x 2 3, x 1, x 2 0 Le point x = (1,2) est-il solution optimale de ce programme? Exercice 7 : Minimiser f(x 1, x 2 ) = 20x 1 + 10x 2 + 3x 2 1 + 2x2 2 sous les hypothèses 2x 1 x 2 6, x 1 + x 2 10, 2x 1 + 3x 2 8, x 1, x 2 0 Exercice 8 : Résoudre le programme suivant à l aide des conditions de Kuhn-Tucker ou à l aide de l algorithme applicable aux programmes quadratiques : Maximiser f(x 1, x 2 ) = 8x 1 + 4x 2 x 2 1 x2 2 sous les hypothèses x 1 + x 2 2, x 1, x 2 0 Exercice 9 : Considérons le programme quadratique de maximisation donné par ( ) ( ) c = (2, 3) t 4 1 0.5 1 b = (3, 5) Q = A = 1 6 1 0.5 la notation est celle de la section I.3 du cours. Déterminer le système d équations linéaires à résoudre pour obtenir la solution optimale. Exercice 10: Minimiser f(x 1, x 2,..., x n ) = x 2 1 x 2 + x 2 2 x 3 + x 2 3 x 4 +... + x 2 n x 1 n sous les hypothèses x i = 1, x i 0 (i=1,2,3..,n) Exercice 11: i=1 Minimiser f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 1 x 2 + x 2 x 3 sous les hypothèses x 1 2, x 2 4, x 3 0 Exercice 12: Considérons 2 types de titres sous risque dont les rendements notés r 1 et r 2 sont considérés comme des variables aléatoires d espérance µ 1 = Er 1 = 0.08, et µ 2 = Er 2 = 0.010, de variances σ 2 1 = var r 1 = 0.0010 et σ 2 2 = var r 2 = 0.0012 et de covariance σ 12 = 0.0006. Ajoutons un troisième titre sans risque dont le rendement est r 3 = 0.05. Le but de cette question est de constituer un portefeuille P composé de ces trois titres tel que l espérance 3

du rendement de P, noté µ p est au moins égal à 0,075 et tel que la variance du rendement de P est minimale. 1) Formuler un programme non linéaire dont la solution optimale est le portefeuille recherché. 2) Déterminer la fonction de Lagrange et les conditions de Kuhn-Tucker (la résolution du système d (inégalités n est pas demandée). 3) Les conditions de Kuhn-Tucker en partie 2) sont-elles suffisantes ou seulement nécessaires pour une solution optimale du programme non linéaire. Justifier votre réponse. Exercice 13: Considérons le programme (P) suivant: Maximiser f(x 1, x 2 ) = 4x 1 + 6x 2 x 3 1 2x 2 2 sous les hypothèses x 1 + 3x 2 5, 5x 1 + 2x 2 7, x 1, x 2 0 Le but est de remplacer (P) par une approximation linéaire par partie et de le ramener à un programme linéaire. a) Soit f 1 (x 1 ) = 4x 1 x 3 1 et f 2(x 2 ) = 6x 2 2x 2 2. Calculer l approximation linéaire par partie de f 1 qui passe par les points (x 1i,f 1 (x 1i )) et l approximation linéaire par partie de f 2 qui passe par les points (x 2i,f 2 (x 2i )) où x 11 = x 21 = 0.5, x 12 = x 22 = 0.75, x 13 = x 23 = 1, x 14 = x 24 = 1.25 et x 15 = x 25 = 1.5. b) Formuler un programme linéaire qui permet de trouver un point x = (x 1, x 2 ) où x 1 est combinaison convexe de deux valeurs successives x 1,j et x 1,j+1 où x 2 est combinaison convexe de x 2,i et x 2,i+1, tel que x est solution réalisable de (P) et tel que x est point maximal de l approximation linéaire par partie de f. (La résolution de ce programme linéaire n est pas demandée.) 4

Chapitre 2 a) Chaînes de Markov Exercice 1 : Soit X(t) le nombre d unités d un produit en stock chez un vendeur à la fin de la semaine t. Supposons que le vendeur commande 3 unités de produit si X(t) = 0 et qu il ne commande rien si X(t) 1. Supposons aussi que les unités commandées en fin de semaine sont livrées et disponibles au début de la semaine suivante. Question préliminaire : Supposons que X(0) = 3. Quel est l ensemble S des valeurs possibles de X(t) pour t > 0. 1) Quelles sont les hypothèses qui permettent de modéliser (X(t), t 0) comme chaîne de Markov avec des probabilités de transition stationnaires? 2) Supposons que (X(t), t 0) est une chaîne de Markov avec des probabilités de transition stationnaires. Supposons que les probabilités de transition p ij = p(x(t + 1) = j/x(t) = i) sont données par la matrice P = (p ij, i, j = 1, 2, 3) = 0.07 0.10 0.40 0.43 0.60 0.40 0 0 0.20 0.44 0.36 0 0.13 0.20 0.24 0.43 Le vendeur se demande comment il peut obtenir d éventuelles prévisions sur deux semaines. On lui propose de calculer la matrice des probabilités de transition P(X(t + 2) = j/x(t) = i) (i, j S). Énoncer la formule qui permet de calculer cette matrice à partir de P. En déduire la formule pour la loi de X(2) sachant que X(0) = 3, cad la formule pour calculer les probabilités que X(2) = j sachant que X(0) = 3 (j S). Effectuer une évaluation numérique pour j=2. 3) Le vendeur aimerait connaître la loi que X(t) suit à longue durée. On lui propose alors de calculer la loi stationnaire en admettant qu elle existe. Énoncer et résoudre le système d équations qui permet de calculer cette loi. Exercice 2 : Supposons que le cours d échange à Paris de l US -Dollar ($) est aujourd hui égal à X 0 (nombre entier de centimes d euros). Les autorités monétaires interviennent dès que le cours du $ atteint les limites d une certaine fourchette, notée [X min ;X max ]. Supposons que X max X min = 6 centimes. Supposons aussi que l évolution du cours d échange est réglée par le modèle suivant d une chaîne de Markov à valeurs dans {X min, X min + 1, X min + 2,...,X max } : (i) si, pour n 1, X n 1 ]X min, X max [, alors X n = X n 1 + Z n où Z n prend les valeurs -1, 0, +1 avec probabilité égale à 1/3, (ii) si, X n 1 = X min, alors X n = X n 1 + Z n où Z n prend les valeurs 0, +1 avec probabilité égale à 1/2, (iii) si X n 1 = X max, alors X n = X n 1 + Z n où Z n prend les valeurs -1, 0 avec probabilité égale à 1/2, Supposons que les variables aléatoires Z n sont indépendantes. a) Justifier brièvement qu il s agit bien d une chaîne de Markov. Déterminer la matrice P de ses probabilités de transition. b) Supposons qu un chef d entreprise doive acquérir aux Etats Unis des matières premières dans 3 mois. Il est donc intéressé par la loi de X 90 et les probabilités de transition P(X 90 = j/x 0 = i). Comment peut-il calculer ces probabilités de transition à partir de P? 5

Exercice 3 : Le producteur d un certain dentifrice, nommé A dans la suite, contrôle actuellement 60% du marché d une région. La comparaison avec les chiffres de l année précédente montre que 88% des consommateurs de A sont restés fidèles à A, tandis que 12% utilisent maintenant le dentifrice du concurrent, nommé B dans la suite. En plus, pour la même période, 85% des utilisateurs de B sont restés fidèles à B, tandis que 15% ont changé et utilisent maintenant le dentifrice A. a) Quelles sont les hypothèses qui permettent de décrire le comportement de la clientèle par une chaîne de Markov? Déterminer sa matrice de transition. b) Supposons que le comportement de la clientèle reste le même dans le futur. Quelle sera la partie du marché contrôlée par A dans 5 ans? à long terme? c) Répondre aux questions posées en b) si la partie du marché contrôlée actuellement par A n est pas 60% mais 90%. Exercice 4 : Soient M1 et M2 deux machines qui font partie d un système de production et qui sont révisées dès qu elles cessent de fonctionner régulièrement. Supposons que la révision d une machine est effectuée le jour même et qu elle refonctionne le lendemain, sauf si les deux machines cessent de fonctionner le même jour. Dans ce cas la réparation de M1 est prioritaire, c est-à-dire que M1 est révisée et fonctionne le lendemain, mais M2 reste en attente et sera révisée le lendemain seulement. Et si M1 retombe en panne le lendemain, M2 attendra encore et sera révisé le jour suivant seulement. On peut supposer que les durées de fonctionnement de chaque machine entre deux révisions sont des variables aléatoires indépendantes et que les deux machines fonctionnent indépendamment l une de l autre. Il y a donc quatre états qui sont possibles chaque jour : 1. M1 et M2 fonctionnent 2. M1 est en révision et M2 fonctionne 3. M1 fonctionne et M2 est en révision 4. M1 est en révision et M2 en attente Le but de cette question est de décrire l état X n des machines au jour n à l aide d une chaîne de Markov. a) Soit p 1 (resp. p 2 ) la probabilité que M1 (resp. M2) doit être révisée (ces probabilités sont supposées égales à chaque jour n). Déterminer les probabilités de transition p i,j = P(X n+1 = j/x n = i) (i, j = 1, 2, 3, 4) en fonction de p 1 et p 2. b) Évaluer le résultat en partie a) pour p 1 = 3/10 et p 2 = 1/3. Donner le système d équations qu il faut résoudre pour obtenir les probabilités stationnaires de X n. Quelle est l utilité de ces probabilités dans ce cas? Exercice 5 : Supposons qu un programme de formation d inspecteurs de production comporte deux étapes : 1) une formation théorique de 3 semaines, et 2) un stage de 3 semaines sous la direction d un inspecteur certifié. L expérience montre que 60% des personnes inscrites en 1ère étape seront admises et passeront en seconde étape; les autres 40% quitteront la formation définitivement. 70% des personnes admis en stage seront diplômés inspecteur de production, 10% répéteront le stage et 20% quitteront définitivement la formation. a) Modéliser le flux des personnes concernées par cette formation à l aide d une chaîne de Markov en supposant que les inspecteurs de production ne quittent pas leur fonction. Déterminer en particulier la matrice des probabilités de transition P pour les quatre états possibles de cette chaîne de Markov. b) Supposer qu il y a actuellement 45 personnes inscrites en 1ère étape et 21 personnes inscrites en 2nde étape. Écrire cette donnée en terme de loi initiale de la chaîne P(X 0 = i) i = 1, 2, 3, 4. 6

Quel est, à long terme, le pourcentage des personnes qui auront quitté la formation (sans devenir inspecteur), le pourcentage des personnes qui seront inspecteur de production, en admettant que lim n (existe et) est donnée par 1 0 0 0 8/15 0 0 7/15 2/9 0 0 7/9 0 0 0 1 (Dans cette matrice la succession des quatre états possibles est la suivante : quitter, en 1 er étape, en 2 e étape, inspecteur.) c) Déterminer les mêmes probabilités sous l hypothèse qu actuellement il y a 66 personnes en 1ère étape et aucune en 2nde étape. d) On s aperçoit que les résultats de b) et c) sont différents, un fait qui est à première vue en contradiction avec ce qui a été dit sur les probabilités stationnaires. Expliquer. Exercice 6 : prévision du temps On considère le modèle suivant de prévisions : jour : (n 1, n) n + 1 Probabilité (pluie,pluie) pluie 0.6 (pluie,soleil) soleil 0.75 (X n 1, X n ) = = X (soleil,pluie) pluie x+1 0.5 (soleil,soleil) soleil 0.8 On considère Y n = (X n 1, X n ). 1) Montrer que (Y n, n 1) est une chaîne de Markov. Déterminer les états possibles. Quelle est la matrice des probabilités de transitionă? 2) Justifier le fait que la chaîne est récurrente positive et apériodique. Déterminer le système d équations linéaires à résoudre pour obtenir la loi stationnaire. Exercice 7 : contrôle de production Notons p la probabilité qu une pièce fabriquée en ligne est défectueuse (0<p<1). Supposons que le contrôle de qualité se fait en 2 phases de la façon suivante : Phase A: une pièce qui sort de la production est contrôlée avec probabilité r (0<r<1) Phase B : toutes les pièces produites sont contrôlées Supposons que le contrôle change de la phase A vers la phase B dès qu une pièce défectueuse a été détectée et qu on change de la phase B vers la phase A dès que N pièces successives non défectueuses ont été contrôlées. Le système de contrôle se trouve dans un des états suivants : - E j, j = 0, 1, 2,...N 1 contrôle en phase B avec j pièces successives non défectueuses - E N contrôle en phase A. 1) Notons X n l état du contrôle à l instant n. Démontrer que (X n, n 0) est une chaîne de Markov. Donner sa matrice et son graphe de transition. 2) Justifier les hypothèses du théorème II.2. Quelle est la loi stationnaireăde X n? 3) Quelle est la proportion de pièces contrôlées? Déterminer l efficacité du contrôle défini par le quotient du nombre de pièces défectueuses détectées et le nombre de pièces défectueuses. (On pourra calculer l efficacité à partir de la loi stationnaire). 7

Exercice 8 : bonus-malus pour l assurance voiture Il est bien connu que si on roule pendant un an sans accident on profite d un bonus et si on produit un ou plusieurs accidents on a un malus qui croit avec le nombre et la gravité des accidents. Le modèle comporte : l classes notées, 1, 2... l où l est la meilleure classe (super bonus) b = (b 1...b l ) le vecteur des primes que l assuré doit payer en fonction de sa classe b 1 b 2... b l. T = (t ij, i, j = 1,...l) la matrice des règles de transition où { } 1 si la police est transférée de la classe i vers la classe j t ij = 0 sinon En général, T dépend du nombre d accidents T=T(k) où k, un entier, est le nombre d accident au cours de l année. I 0 est la classe initiale d un nouvel assuré Une loi pour le nombre d accidents, par exemple loi de Poisson de paramètre donné λ > 0, est donnée par P(nb d accidents=k) = e λ λ k k=0,1,... k! Supposons que les nombres d accidents des années successives sont indépendants. Exemple : classe prime k=0 k=1 k=2 k 3 j b j Transfert vers la classe 4 80 3 4 4 4 3 40 2 3 4 4 2 20 1 2 3 4 1 10 1 1 2 4 Soit X n la classe où se trouve l assuré pour la nième année. 1) Démontrer que (X n, n 0) est une chaîne de Markov. Donner sa matrice de transition. Supposons que λ = 0.4. 2) Supposons que I 0 =3. Déterminer la loi de X 2. 3) Supposons maintenant que λ est passé à λ = 0.3. Déterminer à nouveau la loi de X 2. 4) Comparer les moyennes et variances des primes correspondantes. 5) Calculer la loi stationnaire de la chaîne. Exercice 9 : Le but de cette question est d étudier le fonctionnement d un canal de transmission à l aide d une chaîne de Markov. Supposons que cette chaîne comporte 4 états notés E i, i=0, 1, 2, 3. L état de la chaîne est E i (i=0, 1, 2, 3) si i bits ont été transmis de façon erronée depuis le dernier bit transmis correctement. Si quatre bits ont été transmis de façon erronée depuis le dernier bit transmis correctement, le canal est réinitialisé et se comporte comme s il se trouvait à l état E 1. Notons X n l état de cette chaîne à l instant n N. Admettons que la matrice P = (P(X n+1 = j/x n = i) i, j = 0, 1, 2, 3) est donnée par p = 0.99 0.01 0 0 0.15 0 0.85 0 0.10 0 0 0.90 0.05 0.95 0 0 Supposons qu initialement (à l instant n=0) un bit a été transmis correctement et qu à l instant n=1, une erreur s est produite (X 1 = E 1 ). 8

1) Calculer les probabilités que X 2 = E j sachant que X 1 = E 1, j=0, 1, 2, 3. 2) Calculer les probabilités que X 3 = E j sachant que X 1 = E 1, j=0, 1, 2, 3. 3) Énoncer les conditions suffisantes pour l existence d une loi stationnaire pour (X n, n 0). Donner des arguments simples qui justifient que ces conditions sont satisfaites dans le cas présent. (Une démonstration complète n est pas exigée). 4) Déterminer le système d équations à résoudre pour obtenir cette loi stationnaire. Noter, π i = P(X n = e i ), i=0, 1, 2, 3 les probabilités stationnaires. (La solution numérique de ce système n est pas demandée). 5) Admettons que la loi stationnaire de (X n, n 0) est donnée par π = (0.917; 0, 032; 0.027; 0.024). Quelle est la probabilité qu un bit choisi au hasard soit le deuxième ou le troisième bit transmis de façon erronée après le dernier bit transmis correctement? Exercice 10: Considérons une chaîne de Markov en temps continu (X t, t 0) prenant deux valeurs (S = {0, 1}) (par exemple un guichet avec/sans client). Supposons que : p 01 (h) = λh+o(h) p 10 (h) = µh+o(h) p 00 (h) = 1 λh+o(h) p 11 (h) = 1 µλ+o(h), h 0, où λ, µ > 0 1) Déterminer explicitement la matrice P ij (t) = (p ij ; i, j = 0, 1). Indication : Appliquer l égalité de Chapman-Kolmogorov à p ij (t + h) et en déduire une équation différentielle pour p ij (t). Résoudre cette équation en admettant que la solution de l équation f (t) = (a + b)f(t) + b, f(0) = 1 est donnée par f(t) = a a + b e (a+b)t + b a + b 2) Déterminer la limite de P(t) quand t. En déduire la loi stationnaire de X. Quelle est son interprétation? Exercice 11: Considérons n machines identiques qui tombent en panne avec un taux µ : cad que la probabilité qu une machine tombe en panne entre t et t + t est égal à µ t. Supposons aussi que les pannes des différentes machines sont indépendantes les unes des autres. Une intervention rapide lors d une panne étant souhaitée, le responsable du fonctionnement envisage deux stratégies : i) Engager R réparateurs (R < n). Lors d une panne un réparateur se déplace vers la machine en question pour la réparer. Si la panne intervient quand tous les réparateurs sont occupés, les réparations ont lieu dès qu un réparateur est libre et dans l ordre de l occurrence des pannes. ii) Engager un seul réparateur, mais acheter s machines en réserve. Lorsqu une machine en service tombe en panne et la réserve n est pas vide, une machine en réserve prend la place de celle tombée en panne, la durée d interruption est supposée négligeable. La machine tombée en panne est réparée si (ou dès que) le réparateur est libre. La machine réparée est mise en réserve. Si la réserve est vide, il faut attendre qu une machine sorte de réparation. Dans les deux cas, la durée de réparation est supposée aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ. Supposons pour l évaluation numérique que n = 4, µ = 1 6 (par jour), λ = 1(par jour), R = 2, s = 2. A) Soit (X t, t 0) le nombre de machines en état de fonctionnement au temps t selon la stratégie ii). a) Justifier à l aide du graphe des probabilités de transition qu il s agit d un processus de naissance et de mort. Quels sont les taux de naissance, les taux de mort? b) Déterminer les probabilités stationnaires. Comment les interpréter dans cet exemple? Déterminer l espérance du nombre de réparateurs inoccupés et l espérance du nombre de machines en panne sous le régime stationnaire. B) Soit (Y t, t 0) le nombre de machines en état de fonctionnement (en service ou en réserve) au temps t selon la stratégie i). a) Justifier à l aide du graphe des probabilités de transition qu il s agit d un processus de naissance et de mort. Quels sont les taux de naissance? les taux de mort? 9

b) Déterminer les probabilités stationnaires. Déterminer l espérance du nombre (fractionnaire) de réparateurs inoccupés. c) Déterminer l espérance du nombre de machines en panne sous le régime stationnaire : - parmi le total des 6 machines, - parmi les 4 machines en état de fonctionnement. C) Pour faire une comparaison économique des deux stratégies, on se donne les coûts suivants : 500 le salaire journalier d un réparateur 2000 par machine et par jour la perte causée par l indisponibilité d une machine 300 le coût d amortissement par machine et par jour. Quelle est la stratégie qui minimise l espérance de la somme suivante : Coût de l inactivité des réparateurs + perte causée par l indisponibilité des machines + coût d amortissement des machines (par jour). Exercice 12: Le but de cette question est d étudier le flux des appels passant par un central téléphonique qui dispose de 6 lignes extérieures. Supposons que le temps d attente entre deux appels consécutifs et la durée des conversations sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles de paramètres µ (pour le temps d attente) et (pour la durée des conversations). Soit Z t le nombre de lignes libres au temps t (Z t {0, 1, 2, 3,..., 6}). a) Justifier brièvement que, sous les hypothèses faites ci-dessus (Z t, t 0) est une chaîne de Markov à temps continu. b) Supposons que la durée d attente moyenne entre deux appels est de 6 minutes et que la durée moyenne d une conversation est de 12 minutes. En déduire les valeurs de λ et µ. c) Admettre les probabilités de transition suivantes de (Z t, t 0) (voir le cours pour une justification) P(Z t+h = i + 1/Z t = i) = 1 e λh(6 i) i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 et P(Z t+h = j 1/Z t = j) = 1 e µh(6 i) j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 En déduire les intensités, notées λ i, d un saut positif et les intensités, notées µ i, d un saut négatif. d) Donner la formule qui permet de calculer les probabilités stationnaires de (Z t, t 0). En déduire la valeur numérique de la probabilité que - aucune ligne n est occupée, - aucune ligne n est libre. Exercice 13: Un atelier dispose de cinq machines qui tombent en panne selon un processus de Poisson d intensité λ = 1/8 par heure. La durée de réparation d une machine est de 5 heures en moyenne et suit une loi exponentielle. L atelier dispose de deux mécaniciens (pour réparer les machines tombées en panne) et de trois ouvriers (qui travaillent sur les machines lorsqu elles fonctionnent). Il est impossible qu un ouvrier ou un mécanicien travaille sur plus d une machine en même temps. Toute machine en production (un ouvrier travaille sur la machine) rapporte un bénéfice de 100 euros par heure. Les salaires d un mécanicien et d un ouvrier sont de 40 euros et de 30 euros par heure, respectivement. On suppose que tout temps non travaillé est coûteux, qu il s agisse d un ouvrier ou d un mécanicien. En plus on suppose que chaque machine en état de fonctionnement peut tomber en panne, indépendamment du fait qu un ouvrier travaille sur la machine ou non. Le but est de décrire le fonctionnement de l atelier à l aide d une chaîne de Markov à temps continu. Soit X t le nombre de machines en panne au temps t. a) Donner une représentation graphique des intensités de transition. b) Déterminer les probabilités stationnaires. En déduire le nombre moyen de machines en panne. c) Déterminer le temps moyen de production perdu chaque heure si 0, 1 ou 2 machines seulement fonctionnent, par le manque d ouvriers, si 4 ou 5 machines fonctionnent, 10

si un ou les deux mécanicien(s) ne travaille (nt) pas parce qu une ou zéro machine seulement est en panne. d) En déduire l espérance des recettes provenant des machines en production et l espérance des pertes causées par les évènements décrits en partie c). e) Etudier de la même façon les cas où l atelier fonctionne avec i mécaniciens et j ouvriers (i = 2, 3 ; j = 1, 2, 3, 4, 5). En déduire la composition optimale de l atelier. 11

b) Files d attente Exercice 1 : Une station de taxis permet à quatre taxis au maximum de s arrêter pour attendre les clients. Les taxis arrivent à la station de façon aléatoire suivant une loi de Poisson d intensité égale à µ (taxis par minute). Lorsque la station est complète, les taxis poursuivent la route, sinon ils s arrêtent pour attendre les clients en se mettant en dernière position de la file d attente. Les clients arrivent de façon aléatoire suivant une loi de Poisson d intensité égale à λ (clients par minute). Ils se mettent en dernière position de la file d attente. On observe qu ils renoncent à attendre s il y a cinq clients qui attendent déjà. a) Décrire les évènements à la station de taxis par un processus de naissance et de mort. Donner en particulier le graphique des intensités de transition. b) Calculer les probabilités stationnaires. c) Quel est le nombre moyen par heure de taxis qui arrivent à la station sans pouvoir s arrêter? Quel est le nombre moyen par heure de clients qui renoncent à attendre? d) Application numérique : λ = 1.2; µ = 1. Exercice 2 : Dans un petit magasin d alimentation il y a une seule caisse, et, en périodes creuses de la journée, la personne à cette caisse aide aussi les clients à mettre dans des sachets les produits qu ils ont achetés. Les clients arrivent à la caisse selon un processus de Poisson, en moyenne 30 clients par heure. Le temps d un service d un client suit une loi exponentielle de moyenne égale à 2 minutes. Dès qu il y a 3 clients ou plus à la caisse (le client en cours d être servi inclus) une seconde personne se rend à la caisse pour mettre en sachets les produits que les clients ont achetés. La durée de service d un client suit toujours une loi exponentielle, mais la moyenne se réduit à une minute. Déterminer a) la loi stationnaire du nombre de clients à la caisse, b) le nombre moyen de clients à la caisse et le nombre moyen de clients dans la file d attente. Exercice 3 : Supposons qu il y a trois agents à un aéroport pour effectuer les formalités de douane. Les voyageurs arrivent selon un processus de Poisson à raison d un voyageur toutes les trois minutes en moyenne. La durée de l enregistrement est une variable aléatoire de loi exponentielle de moyenne égale à deux minutes. a) Préciser de quelle file d attente il s agit. b) Quelle est la probabilité qu il n y a aucun voyageur à l enregistrement? c) Quelle est la probabilité que les trois agents sont occupés? d) Quel est le nombre moyen de voyageurs qui attendent leur tour? e) Quelle est la durée d attente moyenne avant l enregistrement? Exercice 4 : Le site "auto wash self service" dispose de 4 tunnels de lavage où les clients peuvent laver leur voiture (une voiture par tunnel) et de 3 places d attente pour les clients qui arrivent lorsque les 4 tunnels sont occupés. Supposons que les clients arrivent selon un processus de Poisson à une fréquence moyenne de 15 voitures par heure et que la durée d un lavage est de 12 minutes en moyenne et suit une loi exponentielle. Supposons en plus qu un client qui arrive à un instant où les tunnels et les places d attente sont occupés, va laver sa voiture ailleurs. a) De quel type de file d attente s agit-il? Pour répondre aux questions suivantes on suppose que les arrivées et les départs peuvent être décrits par des probabilités stationnaires. b) Quelle est la probabilité qu il n y a pas de clients au site? c) Quel est le nombre moyen de clients dans la file d attente? Quelle est la durée moyenne qu un client 12

passe dans la file d attente? d) Quelle est le nombre moyen (par heure) de clients qui n ont pas d accès au site parce qu il est complet? Exercice 5 : Supposons qu une grande société de location de voitures doit se décider pour un des deux garages G1 ou G2 pour effectuer l entretien de ses voitures. Elle estime que toutes les 40 minutes en moyenne une de ses voitures se rend au garage. Chez G1, il y a deux stations de service à disposition, et il faut prévoir 30 minutes en moyenne pour un service. Chez G2, il y a une seule station plus moderne et la durée moyenne d un service est de 15 minutes. On peut supposer que les intervalles entre deux arrivées successives de voitures et les durées de service sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles. En plus, on suppose que la société enverra ses voitures au garage choisi quelle que soit la longueur de la file d attente des voitures à ce garage. 1) Supposons que la société choisit le garage G1. De quel modèle de file d attente s agit il? Calculer le nombre moyen N s de voitures qui se trouvent, à un certain instant t, au garage G1. Calculer de même le nombre moyen N w de voitures qui se trouvent en file d attente et la durée moyenne T s d un séjour d une voiture au garage G1. Indication : Effectuer les calculs sous le régime de la loi stationnaire. 2) Supposons que la société choisit le garage G2. De quel modèle de file d attente s agit-il? Calculer les mêmes quantités N s, N w et T s pour le garage G2. 3) Soit C1 (resp. C2) le coût par heure du séjour d une voiture au garage G1 (resp. G2). Déduire des résultats de 1) et 2) des conditions sur C1 et C2 qui impliquent que le coût de l entretien des voitures de la société est moins élevé au garage G1 qu au garage G2. Exercice 6 : Partie A: Un médecin a observé que la durée moyenne d une consultation est de 15 min. Il se dit qu en convoquant ses patients à des heures fixées, séparées par un intervalle de 20 min, il verra décroître l excessive occupation de sa salle d attente. En fait la durée des consultations suit une loi exponentielle et l arrivée des clients, qui ont toujours une bonne excuse pour se présenter aléatoirement, peut être assimilée à une loi de Poisson. 1. Expliquer comment modéliser par une file d attente. 2. Calculer le nombre moyen de clients dans le cabinet. 3. Calculer le nombre moyen de clients dans la salle d attente et le temps d attente moyen. 4. Calculer les probabilités stationnaires si elles existent. 5. En déduire le temps où le médecin est inoccupé en une heure. Rem: on peut calculer la probabilité qu un patient attende plus d une heure (resp. plus de deux heures): 0,276 (resp. 0,101). Partie B: Le médecin décide de convoquer les patients toutes les 25 min. 1. Calculer et le temps d attente moyen dans la salle d attente. 2. Déterminer le temps où le médecin est inoccupé en une heure. Rem: on peut calculer la probabilité qu un patient attende plus de 68 min : 0.10. Partie C: Le médecin s adjoint un jeune confrère (mais qui ne rapporte pas de nouvelle clientèle); tout patient est reçu indifféremment par l un ou l autre médecin. 1. Pendant quelques jours, des rendez-vous ayant déjà été pris, l intervalle de 20 min entre convocation est maintenu. a) Expliquer comment modéliser par une file d attente. b) Calculer les probabilités stationnaires si elles existent. c) Calculer le temps d attente moyen dans la salle d attente. Rem: on peut calculer la probabilité qu un patient attende plus de une heure : 0.0014. 2. Chacun des médecins souhaitent assurer trois consultations par heure en moyenne. a) Déterminer l intervalle de temps entre les convocations. 13

b) Calculer le temps d attente moyen dans la salle d attente. c) Déterminer le temps où les médecins sont inoccupés en une heure. Rem: on peut calculer la probabilité qu un patient attende plus de une heure : 0.087. Exercice 7 : Partie A: Dans une entreprise, il existe un bureau de la Sécurité Sociale, auquel les ouvriers ont accès pendant les heures de travail. On suppose que les arrivées au guichet se font suivant la loi de Poisson avec un taux de 0.25 arrivées par minute. La loi des services est exponentielle, il faut en moyenne 3.27 min pour servir un client. 1. Déterminer le nombre moyen de clients à la Sécurité sociale. 2. Déterminer le temps moyen d attente dans la file d attente. 3. En supposant que les ouvriers travaillent 8h par jours, en déduire le temps perdu par les ouvriers (qui ne participent pas à la production). 4. Déterminer la durée d occupation du guichetier sur 8 heures de travail. Partie B: On cherche à optimiser le nombre de guichetiers (1, 2, 3... ). 1. Expliquer comment modéliser par une file d attente. 2. Pour 1, 2, 3 guichetier(s), déterminer le temps d attente dans la file d attente et la probabilité que le(s) guichetier(s) soi(en)t inoccupé(s). 3. En supposant que le coût de l inactivité des employés représente le salaire (et les charges) soit de 12 de l heure et que le temps perdu en attente par les ouvriers peut être évalué à 50 de l heure, déterminer les pertes pour 1, 2, 3 guichetier(s). Conclure. Exercice 8 : Supposons que la fabrication d une pièce se fasse en plusieurs étapes et que, pour une certaine étape, on envisage l intervention d une des machines de type M1 ou M2, disponibles sur le marché. Le but de cette question est de fournir une aide à la décision pour l achat de l une ou l autre de ces 2 machines. Sur la machine M1, il est possible de traiter 2 pièces simultanément, et il faut compter 3 min en moyenne pour le traitement d une pièce. Avec la machine M2, il n est pas possible de traiter 2 pièces simultanément, mais le temps moyen de traitement d une pièce est de 1.5 min seulement. Supposons que l intervalle entre 2 arrivées successives de pièces à traiter sont des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle et qu en moyenne une pièce à traiter arrive toutes les 4 min. Supposons en plus que les durées de traitement d une pièce sont, sur les deux machines, des variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles. Procédons à une comparaison de M1 et M2 à l aide de modèles de file d attente. Partie A: Considérons d abord M1. 1. Quel est le type de file d attente qui décrit le passage des pièces? 2. Sous la loi stationnaire, calculer le nombre moyen de pièces dans le système le nombre moyen de pièces en attente la durée moyenne passée par une pièce dans le système. Partie B: Considérons M2. Mêmes questions que pour la partie A. Partie C: Pour une comparaison simple de M1 et M2, notons C1 (resp. C2) le coût par minute que cause une pièce qui se trouve en état d attente ou de traitement par la machine de type M1 (resp. M2). Quelle est la valeur maximale du quotient C1/C2 pour que le coût total avec M1 soit en moyenne inférieur à celui avec M2? 14