IUT. Brest. Morlaix. AU3 : Automatique. Travaux Dirigés.

AU3 : Automatique IUT Brest www.iut-brest.fr Morlaix 2014 Travaux Dirigés Enseignants : Vincent Choqueuse, Hervé Mangel, Jean-Luc Mourrain, Sylvie Turri contact : vincent.choqueuse@univ-brest.fr

IUT GEII Brest 2 Autonme 2014

Liste des TDs 1 Schémas Blocs 5 1 Modélisation statique d'un moteur.......................... 5 2 Identication de la zone linéaire........................... 6 3 Modélisation statique d'un capteur de position angulaire.............. 7 4 Modélisation dynamique d'une variation de temperature.............. 7 2 Modélisation et Fonctions de Transfert 9 1 Moteur électrique à ux inducteur constant..................... 9 1.1 Calcul direct de la fonction de transfert.................. 9 1.2 Calcul indirect de la fonction de transfert................. 10 3 Systèmes de 1 er ordre 11 1 Identication des systèmes de 1 er ordre....................... 11 1.1 Identication à partir de la réponse indicielle................ 11 1.2 Identication à partir de la réponse fréquentielle.............. 11 2 Bouclage d'un système de 1 er ordre......................... 12 2.1 Système en boucle ouverte.......................... 12 2.2 Système en boucle fermée.......................... 12 3 Modélisation simpliée d'un servo-moteur à courant continu............ 13 4 Systèmes de 2 e ordre 15 1 Identication à partir de la réponse indicielle.................... 15 2 Bouclage d'un système de 2 e ordre......................... 16 3 Asservissement de vitesse............................... 16 3.1 Reglage de l'amortissement par correction proportionnelle......... 17 3.2 Amélioration de la précision par boucle d'anticipation........... 18 5 Correction d'un premier ordre 19 1 Calcul direct du correcteur.............................. 19 2 Correcteur Proportionnel Intégral (PI)........................ 19 2.1 Correction par compensation........................ 20 2.2 Placement des pôles............................. 20 6 Précision d'un système bouclé 21 1 Réglage de l'amortissement.............................. 21 2 Correction tachymétrique............................... 21 3 Correcteur sur la consigne............................... 22 3

LISTE DES TDS 7 Asservissement de position 23 1 Correction proportionnelle.............................. 23 2 Correction PI..................................... 23 3 PID avec compensation................................ 24 4 Correcteur à avance de phase............................. 24 8 Initiation à Matlab 25 1 Correction d'un système de troisième ordre.................... 26 1.1 Analyse de la boucle ouverte........................ 26 1.2 Correction proportionnelle.......................... 27 1.3 Correction Proportionnelle-Intégrale.................... 27 1.4 Correction Proportionnelle-Intégrale-Dérivée................ 28 A Devoir AU3 (octobre 2012) 29 1 Système de 1 er ordre.................................. 29 2 Identication graphique d'un système de 2 e ordre................. 29 3 Asservissement de position.............................. 30 B Devoir AU3 (Janvier 2013) 33 1 Système de commande de l'angle d'inclinaison des pales............. 33 1.1 Identication des paramètres du moteur.................. 33 1.2 Calibration du correcteur.......................... 34 1.3 Inuence du seuil de démarrage du moteur................. 34 2 Système de régulation du couple.......................... 35 2.1 Calibration algébrique par approximation et compensation........ 35 2.2 Calibration graphique............................ 36 IUT GEII Brest 4 Autonme 2014

TD 1: Schémas Blocs Exercice 1: Modélisation statique d'un moteur. On alimente un moteur à courant continu par une tension d'induit U. La vitesse en régime permanent, notée Ω, a été mesurée pour diérentes valeurs de U. La gure 1.1 présente l'évolution de la vitesse en fonction de la tension d'induit. 350 300 250 Ω (rad.s -1 ) 200 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 U (V) Figure 1.1 Evolution de la vitesse en fonction de la tension d'induit. Question 1.1. Que vaut le gain statique K de ce système? Question 1.2. Donner la relation Ω = f(u). Question 1.3. Compléter le schéma-bloc fonctionnel avec U en entrée et Ω en sortie. U Ω 5

TD 1. SCHÉMAS BLOCS Question 1.4. On s'intéresse aux seules variations U et Ω autour d'une valeur U 1. Représenter le schéma-bloc. Exercice 2: Identication de la zone linéaire 400 S: Sortie (mm) 300 200 100 0 0 50 100 150 200 250 300 350 E: Entrée (mm) Figure 1.2 Caractéristique dentrée sortie d'un système de régulation du niveau d"eau. La gure 1.2 présente la caractéristique d'entrée-sortie d'un système de régulation du niveau d'eau. Question 2.1. Déterminer la zone dans laquelle le système présente un comportement linéaire. Question 2.2. Que vaut le gain statique K de ce système dans cette zone. Question 2.3. En supposant que nous travaillons dans la zone linéaire, compléter le schémabloc avec E en entrée (mm) et S en sortie (mm). E S Question 2.4. A partir du schéma-bloc précédent, déterminer la sortie du système lorsque l'entrée est égale à 100mm. Comparer votre résultat avec la gure 1.2 puis commenter. IUT GEII Brest 6 Autonme 2014

TD 1. SCHÉMAS BLOCS Exercice 3: Modélisation statique d'un capteur de position angulaire. Pour mesurer la rotation d'un mobile, on monte sur son axe un potentiomètre à piste plastique conductrice dont la résistance varie linéairement entre une extrémité et le curseur. Ce potentiomètre est à piste circulaire coupée : la rotation maximum possible est limitée à une valeur θ m. La position du curseur est repérée par l'angle θ qu'il fait avec une position origine. La position angulaire est donc transformée en grandeur électrique lorsqu'on alimente les potentiomètres sous une tension E. θ m θ E Question 3.1. On mesure la tension au curseur V par rapport à la masse (V = 0V si θ = 0 o ) ; donner l'expression de V en fonction de E, θ et θ m. Question 3.2. Quel est le gain statique K de ce capteur? Question 3.3. Le potentiomètre a une course utile θ m = 300 o et est alimenté sous 24 V ; calculer le gain statique exprimé en unités rationnelles (V.rad 1 ). Question 3.4. Completer le schéma fonctionnel de ce système sachant que l'entrée choisie est θ et la sortie V. θ V Exercice 4: Modélisation dynamique d'une variation de temperature. Une résistance chauante est plongée dans un liquide. Les lois de la thermique disent que la température atteinte par le liquide, T, dépend de la puissance dissipée P selon l'expression : dt (t) P (t) = C T (t) T a (1.1) dt R th où C désigne la capacité calorique (J/ o C), T a désigne la température ambiante ( o C) et R th désigne la resistance thermique ( o C/W ). Question 4.1. La notion de fonction de transfert exige des conditions initiales nulles. Est-ce le cas ici? Il convient donc de faire un changement de variable : on prendra θ(t) = T (t) T a. Cette grandeur est appelée échauement. IUT GEII Brest 7 Autonme 2014

TD 1. SCHÉMAS BLOCS Question 4.2. Ecrire la nouvelle équation diérentielle puis sa transformée de Laplace. En déduire la fonction de transfert entre P (t) et θ(t) c-a-d H(p) = θ(p) P (p). Question 4.3. Completer le schéma-bloc de ce système sachant que l'entrée choisie est P et la sortie T. P (p) θ(p) T (p) IUT GEII Brest 8 Autonme 2014

TD 2: Modélisation et Fonctions de Transfert Exercice 1: Moteur électrique à ux inducteur constant. On considère un moteur électrique à ux inducteur constant (soit à courant inducteur constant, soit à aimant permanent) dont l'induit est alimenté par une tension u(t) et parcouru par un courant i(t) (voir gure 2.1). On désigne par : E la fcém développée par l'induit, J le moment d'inertie du moteur et de sa charge, r la résistance de l'induit, L la self-inductance de l'induit, k le coecient de couple du moteur ou de force contre-électromotrice, tous les couples de frottements sont négligés. u(t) i(t) L, r, E (t) Ω(t), θ(t) J Figure 2.1 Moteur éléctrique à ux inducteur constant. Question 1.1. Ecrire les équations diérentielles régissant le fonctionnement du moteur puis leurs transformées de Laplace. 1.1 Calcul direct de la fonction de transfert Question 1.2. En manipulant les équations de la question 1.1, determiner la fonction de transfert du moteur : T (p) = Ω(p) (rad.s 1 ) (2.1) U(p) (V ) Question 1.3. On veut asservir la position angulaire θ(t) de l'arbre moteur. Compte-tenu de la dénition de la vitesse angulaire, exprimer Ω(p) en fonction de θ(p) ; en déduire la fonction de transfert H(p) = θ(p) (2.2) U(p) 9

TD 2. MODÉLISATION ET FONCTIONS DE TRANSFERT Question 1.4. Mettre T (p) sous la forme : T (p) = A a 2 p 2 a 1 p 1 (2.3) Déterminer les expressions de A, a 1, a 2. Calculer les valeurs numériques sachant que l'on donne, pour ce moteur : J = 36 kg.cm 2, r = 0.28 Ω, L = 80µH, La fcém E vaut 44 V à 1000 t/mn ( attention aux unités). Question 1.5. La fonction de transfert peut aussi s'écrire sous la forme dite factorisée (pôles et zéros) : G T (p) = (2.4) (p p 2 ) (p p 1 ) Calculer G, p 1 et p 2. 1.2 Calcul indirect de la fonction de transfert Dans cette sous section, nous allons retrouver les résultats de la question 1.2 à partir d'une modélisation du système en schéma-blocs. Question 1.6. A partir des résultats de la question 1.1, compléter le schéma-bloc du moteur faisant apparaître les grandeurs suivantes : courant, couple moteur, vitesse angulaire Ω(p) et position θ(p) de l'arbre. U(p) I(p) C m (p) Ω(p) θ(p) E (p) Question 1.7. A partir des résultats de la question précédentes, retrouver la fonction de transfert, H(p), du système bouclé. IUT GEII Brest 10 Autonme 2014

TD 3: Systèmes de 1 er ordre Exercice 1: Identication des systèmes de 1 er ordre 1.1 Identication à partir de la réponse indicielle. On considère un système que l'on sait être du 1 er ordre. On applique à l'entrée un échelon d'amplitude E = 2V. La sortie s(t) est representée par la gure 3.1. 5 4 s(t) (V) 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) Figure 3.1 Réponse indicielle d'un système de 1 er ordre. Question 1.1. Déterminer la constante de temps en expliquant bien la méthode utilisée. Question 1.2. Déterminer le gain statique de ce système. Question 1.3. Déterminer l'expression de la fonction de transfert F (p). Question 1.4. Calculer la fréquence de coupure de ce système (Hz). 1.2 Identication à partir de la réponse fréquentielle. La gure 3.2 présente le module de la réponse fréquentielle d'un système de 1 er ordre. Question 1.5. Donner la pulsation de coupure (rad.s 1 ). Question 1.6. Que vaut le gain statique (valeur naturelle) et la constante de temps? 11

TD 3. SYSTÈMES DE 1 ORDRE er 0 5 db 10 15 20 10 0 10 1 10 2 10 3 ω (rad.s -1 ) Figure 3.2 Module de la eéponse fréquentielle d'un système de 1 er ordre. Question 1.7. Donner maintenant l'expression de la fonction de transfert H(p), Question 1.8. On applique à ce système une entrée sinusoïdale de pulsation ω = 300rad.s 1 et d'amplitude crête E m = 10V. Calculer l'amplitude crête S m de la sortie. Exercice 2: Bouclage d'un système de 1 er ordre 2.1 Système en boucle ouverte On donne la fonction de transfert d'un système du 1 er ordre : F (p) = 20 10 p (3.1) Question 2.1. Determiner le gain statique et le temps de réponse du système. Question 2.2. Donner la fréquence de coupure (Hz). 2.2 Système en boucle fermée E(p) ɛ(p) S(p) F (p) β Figure 3.3 Bouclage d'un système de 1 er ordre On boucle le système selon le schéma de la gure 3.3 avec β = 0.5 : IUT GEII Brest 12 Autonme 2014

TD 3. SYSTÈMES DE 1 ORDRE er Question 2.3. Calculer le gain statique et le temps de réponse du système bouclé. Question 2.4. Calculer la fréquence de coupure du système bouclé. On applique à présent une entrée telle que e(t) = 5. sin(ωt) avec ω = 30 rad.s 1. Question 2.5. Pour la sinusoïde de sortie s(t), donner la valeur de l'amplitude crête S m ainsi que la valeur du déphasage ϕ par rapport à e(t). Exercice 3: Modélisation simpliée d'un servo-moteur à courant continu. u(t) i(t) r, e (t) Ω(t), θ(t) J Figure 3.4 Servo-moteur à courant continu. On considére le système décrit par la gure 3.4. L'inertie des parties tournantes (rotor, volant, etc...) est notée J et le coecient de couple est notée k. Pour modéliser le système, nous considérons les hypothèses suivantes : H 1 : Le ux est créé par des aimants permanents, il est donc constant. H 2 : La self de l'induit est négligée, seule sa résistance R est prise en compte. H 3 : On néglige tous les couples résistants (frottements secs et visqueux). Question 3.1. Ecrire les équations diérentielles régissant le fonctionnement du moteur puis leurs transformées de Laplace. Question 3.2. A partir de la question précédente, completer le schéma bloc du moteur. U(p) I(p) C m (p) Ω(p) E (p) Question 3.3. A partir du schéma bloc précédent et de la formule des systèmes bouclés, determiner la fonction de transfert T (p) = Ω(p) U(p). Question 3.4. Determiner le gain statique, puis le temps de reponse du système. Question 3.5. Calculer les fonctions de transfert suivantes : I(p) U(p) et C m (p) U(p) Question 3.6. Que devient le schéma bloc si l'on ne néglige plus les frottements uides? (le couple résistant est alors proportionnel à la vitesse angulaire Ω(t), le coecient de proportionnalité est f). IUT GEII Brest 13 Autonme 2014

TD 3. SYSTÈMES DE 1 ORDRE er IUT GEII Brest 14 Autonme 2014

TD 4: Systèmes de 2 e ordre Exercice 1: Identication à partir de la réponse indicielle. La gure 4.1 donne la réponse indicielle d'un système du 2 e d'entrée d'amplitude E = 1.5V. ordre soumis à un échelon 5 4.5 4 3.5 s(t) (V) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Figure 4.1 Réponse indicielle d'un système de 2 e ordre (attention à l'origine de la réponse indicielle) t (s) Question 1.1. Déterminer le facteur d'amortissement m de ce système. Question 1.2. Déterminer le temps de réponse t r de ce système. Question 1.3. Déterminer le gain statique K de ce système. Question 1.4. Mesurer la pseudo-période T p ; en déduire la pulsation propre ω n. Connaissant m déterminé à la question 1.1, retrouver le temps de réponse en utilisant l'abaque. 15

TD 4. SYSTÈMES DE 2 ORDRE e Exercice 2: Bouclage d'un système de 2 e ordre On boucle un système du 2 e ordre F (p) selon le schéma de la gure 4.2. Le système F (p) possède un gain statique K, un amortissement m et une pulsation propre ω n. Ampli. Système E(p) ɛ(p) S(p) A F (p) 2 Capteur Figure 4.2 Bouclage d'un système de 2 e ordre Question 2.1. Ecrire F (p) sous la forme canonique d'un système du 2 e ordre. Question 2.2. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (calcul littéral) : G(p) = S(p) E(p) (4.1) Question 2.3. Determiner, pour G(p), la valeur de la pulsation propre ω n. Question 2.4. En déduire l'expression de l'amortissement m pour G(p) en fonction de K, A et m. Question 2.5. On donne K = 2, m = 1.5 et ω n = 50 rad.s 1. Calculer la valeur numérique de A permettant d'obtenir en boucle fermée un amortissement m = 0.5. Question 2.6. Quel est alors le temps de réponse du système bouclé? Commentez. Exercice 3: Asservissement de vitesse. On considère un moteur électrique à ux inducteur constant (soit à courant inducteur constant, soit à aimant permanent) dont l'induit est alimenté par une tension U(t) et parcouru par un courant i(t). u(t) i(t) L, r, E (t) Ω(t), θ(t) J Figure 4.3 Asservissement de vitesse. Pour la modelisation, nous admettrons que les couples de frottements sont négligeables. On désigne par : IUT GEII Brest 16 Autonme 2014

TD 4. SYSTÈMES DE 2 ORDRE e J le moment d'inertie du moteur et de sa charge, r la résistance de l'induit, L la self-inductance de l'induit, k le coecient de couple du moteur ou de force contre-électromotrice. La fonction de transfert du moteur est donnée par : T (p) = Ω(p) U(p) = 2.36 1.609 10 6 p 2 0.0056p 1 (4.2) On équipe le moteur avec une dynamo tachymétrique qui mesure la vitesse. La caractéristique de ce capteur est un simple gain b exprimé en V/(rad.s 1 ). Puis on boucle selon le schéma suivant : E(p) ɛ(p) G U(p) Ω(p) M(p) T (p) b G est le gain réglable de l'ampli de puissance et M(t) est la mesure de la vitesse en volts. La mesure de vitesse est comparée à la consigne E. La che technique de la dynamo tachymétrique donne : 3 V pour 1000 t/mn. Question 3.1. Calculer la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) F T BF (p) = M(p) E(p) (4.3) En déduire les expressions du coecient d'amortissement m et de la pulsation propre ω n en boucle fermée. 3.1 Reglage de l'amortissement par correction proportionnelle. Question 3.2. On veut régler l'amortissement de la boucle à m = 0.7, quelle valeur faut-il donner à G? Question 3.3. Pour cette valeur de G, calculer la pulsation propre ω n et déduire le temps de réponse t r. Donner aussi le gain statique K de la boucle fermée, et la valeur du premier dépassement relatif de la réponse indicielle. En régime permanent, le schéma-bloc précedent se simplie sous la forme : E ɛ G T (0) Ω b M Question 3.4 (Etude de la précision). La consigne est xée à 8 V, quelle est la valeur de la vitesse Ω obtenue en régime permanent? Que vaut l'écart ɛ en régime permanent? IUT GEII Brest 17 Autonme 2014

TD 4. SYSTÈMES DE 2 ORDRE e 3.2 Amélioration de la précision par boucle d'anticipation. An d'annuler l'écart en régime permanent, on munit le système d'une boucle d'anticipation de gain reglable C : C E ɛ G T (0) Ω b M Question 3.5. Calculer la valeur de C qui garantit un écart nul. Question 3.6. Avec une consigne de 8 V, quelle est la vitesse désormais obtenue? IUT GEII Brest 18 Autonme 2014

TD 5: Correction d'un premier ordre Un système du 1er ordre est asservi selon la boucle classique de la gure 5.1 : E(p) Correcteur Système C(p) F (p) S(p) Figure 5.1 Système de 1 er ordre bouclé La fonction de transfert du système a été determinée à partir de mesures en boucle ouverte : F (p) = 2 1 0.1p (5.1) Exercice 1: Calcul direct du correcteur. Question 1.1. Le correcteur C(p) étant pour l'instant indéterminé, calculer l'expression de la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF). On impose à cette FTBF d'être identique à un modèle du 2ème ordre H m (p) caractérisé par les paramètres suivants : m = 0.8, t r : 1/5 e du temps de réponse du système non corrigé en boucle ouverte, Gain statique égal à 1 (pas d'erreur statique). Question 1.2. Determiner la fonction de transfert H m (p). Question 1.3. Calculer alors l'expression du correcteur C(p). Exercice 2: Correcteur Proportionnel Intégral (PI). On considère un correcteur PI standard décrit par la fonction de transfert : ( ) Ti p 1 C(p) = K T i p (5.2) On va étudier plusieurs techniques de réglage des paramètres T i et K. 19

TD 5. CORRECTION D'UN PREMIER ORDRE 2.1 Correction par compensation La technique de correction par compensation consiste à xer le zéro du correcteur pour supprimer le pôle du système. Dans notre contexte, cela revient à xer T i = 0.1s. Question 2.1. Donner l'expression de F T BO(p) = C(p)F (p) lorsque T i = 0.1s. Question 2.2. A partir du résultat précédant, calculer la FTBF du système ainsi corrigé. Question 2.3. Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir un temps de réponse égal à 1/5 e du temps de réponse du système non corrigé en boucle ouverte. 2.2 Placement des pôles La technique par placement des pôles consiste à regler K et T i pour imposer les pôles (et donc la dynamique) de la fonction de transfert corrigé. Question 2.4. On souhaite conserver un correcteur type PI standard et on cherche à régler K et T i. Calculer l'expression littérale de la FTBF. Calculer à présent K et T i permettant d'imposer à la FTBF les mêmes pôles que ceux du modèle H m (p) du 2 e ordre établi à la question 1.2 (i.e. le dénominateur de la FTBF doit être identique à celui du modèle précédent). La présence d'un "zéro" dans la FTBF précédente peut entraîner une réponse non conforme au modèle 1. Pour comprendre le problème, nous allons tracer le diagramme asymptotique de la réponse fréquentielle d'un système du 2 e ordre sans résonance comportant un "zéro" c-a-d : M(p) = 1 T p 1 2m ω n p 1 p ω 2 (5.3) n 2 Question 2.5. Pour m = 0.8, déterminer le diagramme asymptotique de la réponse fréquentielle du système M(p) lorsque : 1 T > ω n, 1 T < ω n Pour établir le diagramme asymptotique, on utilisera que le fait que le numérateur de M(p) est l'inverse d'un système de 1 er ordre. 1. Le problème peut se résoudre en ltrant la consigne par un 1 er ordre qui "compense" le "zéro" indésirable". IUT GEII Brest 20 Autonme 2014

TD 6: Précision d'un système bouclé L'asservissement de la position d'un mobile est représenté par le schéma-bloc de la - gure 6.1 : E(p) ɛ(p) A U(p) B Ω(p) 1 S(p) 1 τp p Figure 6.1 Système bouclé où B = 20 et τ = 0.1s. On étudiera diverses solutions pour améliorer certaines performances du système. On cherche dans un premier temps à obtenir un amortissement m = 0.5. Les paramètres à étudier seront : l'écart statique ɛ évalué lorsque l'entrée est un échelon (unitaire) c-a-d e(t) = u(t), l'écart de traînage évalué lorsque l'entrée est une rampe avec une pente unitaire c-a-d e(t) = t (t 0). Exercice 1: Réglage de l'amortissement. Question 1.1. Calculer le gain A 1 nécessaire pour obtenir un amortissement de m = 0.5. Question 1.2. A partir de la valeur A 1, determiner la valeur de l'écart statique ɛ 1 et de l'écart de trainage 1 Question 1.3. Déterminer la valeur du temps de réponse, t r1. Exercice 2: Correction tachymétrique. On modie la structure de l'asservissement en introduisant une boucle supplémentaire dite de correction tachymétrique (voir la gure 6.2). Question 2.1. Montrer que la boucle interne (entre U(p) et Ω(p)) est équivalente à : H(p) = B 1 τ p (6.1) dont on précisera les expressions de B et τ. On est donc ramené au cas de la gure 6.1. Question 2.2. On cherche à obtenir un écart de traînage 2 = 1 /10 tout en stabilisant la boucle avec un coecient d'amortissement m = 1 (on ne tolère aucun dépassement). En déduire les valeurs qu'il faut régler pour les gains A 2 et λ. 21

TD 6. PRÉCISION D'UN SYSTÈME BOUCLÉ E(p) ɛ(p) A 2 U(p) B Ω(p) 1 S(p) 1 τp p λ Figure 6.2 Système bouclé avec correction tachymétrique Question 2.3. Déterminer la nouvelle valeur du temps de réponse t r2. Exercice 3: Correcteur sur la consigne. On réalise le système décrit par le schéma-bloc de la gure 6.3 : αp E(p) 3 (p) A 2 U(p) Ω(p) 1 S(p) H(p) p Figure 6.3 Système bouclé avec correction sur la consigne Question 3.1. En utilisant le fait que E(p) = 1/p 2 (rampe) et le théorème de la valeur nale, montrer que : 3 = 1 αa 2H(0) (6.2) A 2 H(0) Question 3.2. Montrer que, pour une valeur particulière de α que l'on précisera, l'écart de traînage peut être annulé. IUT GEII Brest 22 Autonme 2014

TD 7: Asservissement de position Un asservissement de position angulaire peut être représenté par le schéma-bloc de la gure 7.1. L'entrée est une tension (exprimée en volt) et la sortie est une angle (exprimée en radian). E(p) ɛ(p) 15 Ω(p) C(p) 1 0.1p 1 p S(p) Figure 7.1 Asservissement de position angulaire. Exercice 1: Correction proportionnelle. On suppose que le correcteur est un simple amplicateur c-a-d C(p) = K. Question 1.1. Calculer la FTBF du système corrigé. En déduire les expressions du coecient d'amortissement m, de la pulsation propre ω n du gain statique G. Question 1.2. Justier physiquement la valeur du gain statique. Question 1.3. On impose pour cette boucle un amortissement m = 0.52 ; en déduire le réglage correspondant de K. Evaluer le temps de réponse. Question 1.4. La consigne est un échelon d'amplitude 2V c-a-d e(t) = 2u(t). Calculer la sortie S 1 en régime permanent (S est une position angulaire qui s'exprime en radian). Exercice 2: Correction PI On considère un correcteur PI décrit par la fonction de transfert : ( ) Ti p 1 C(p) = K T i p (7.1) Question 2.1. Determiner la fonction de transfert en boucle fermée du système. Question 2.2. En utilisant le critère de Routh, determiner pour quelles valeurs de K et T i le système reste stable en boucle fermé. Question 2.3. A partir du résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la technique de réglage par compensation (c-a-d T 1 = 0.1s), n'est pas pertinante ici. 23

TD 7. ASSERVISSEMENT DE POSITION Exercice 3: PID avec compensation. On utilise un correcteur PID non standard dont la fonction de transfert est donnée par : C(p) = K (1 T 1p) (1 T 2 p) T 1 p (7.2) On choisit de compenser la constante de temps du système à corriger en xant T 1 = 0.1s. Question 3.1. Determiner la fonction de transfert en boucle fermée du système. Question 3.2. En utilisant le critère de Routh, montrer que le système en boucle fermé reste stable quelque soit la valeur de K et T 1. Ce résultat est-il surprenant? Question 3.3. Determiner les expressions de l'amortissement m 1 et de la pulsation propre ω n1 du système en boucle fermée. Pour répondre à cette question, on negligera la présence du zéro au numérateur. Question 3.4. On impose un amortissement m = 0.52 et un temps de réponse t r = 0.5s. En déduire les valeurs de K et T 2. Exercice 4: Correcteur à avance de phase. On décide de prendre plutôt un correcteur à avance de phase dont la fonction de transfert est donnée par : ( ) 1 T1 p C(p) = K (7.3) 1 T 2 p Tout comme dans l'exercice 3, on choisit de compenser la constante de temps du système. Question 4.1. Calculer alors la FTBF et déduire les expressions de l'amortissement m 2 et de la pulsation propre ω n2. IUT GEII Brest 24 Autonme 2014

TD 8: Initiation à Matlab Matlab est en environnement de développement possédant son propre langage de programmation. Par rapport à d'autres langages, les avantages de Matlab sont les suivants : un très grand nombre de fonctionnalités disponibles (statistique, traitement du signal, électronique, automatique,...). Ces fonctionnalités peuvent être enrichies au moyen de toolbox (gratuites ou payantes). un langage intuitif et simple à utiliser (pas de déclaration de variable, gestion de la mémoire transparente, pas de compilation, etc). De part ses caractéristiques, Matlab est souvent utilisé comme un environnement de "prototypage" d'algorithmes. Cet environnement est majoritairement utilisé par des entreprises de R&D, des laboratoires de recherche ou dans l'enseignement supérieur. Avant propos Exécuter Matlab à partir de l'icône sur le bureau ou du menu démarrer. L'environnement de travail se compose de 4 fenêtres : la fenêtre Current Directory permet de visualiser le contenu du répertoire courant. la fenêtre Workspace permet de visualiser le nombre, le nom ainsi que le contenu des variables en mémoire. la fenêtre Command History présente un historique des dernières instructions Matlab eectuées. la fenêtre Command Window permet de lancer des instructions. Sous Matlab, les instructions doivent être spéciées dans la Command Window. Matlab intègre un grand nombre de fonctions et d'instructions. Pour avoir un aperçu de l'ensemble des fonctionnalités, il est possible de charger la documentation en lançant dans la Command Window l'instruction : >> doc La documentation permet d'obtenir le prototype, la syntaxe et des exemples d'utilisation pour l'ensemble des fonctions. 25

TD 8. INITIATION À MATLAB Exercice 1: Correction d'un système de troisième ordre Dans cet exercice, nous souhaitons corriger le système suivant : E(p) ɛ(p) 12 C(p) p 3 3p 2 3p1 S(p) 1 où C(p) correspond à la fonction de transfert du correcteur. 1.1 Analyse de la boucle ouverte Manipulation 1.1 (Dénition de la fonction de transfert). Nous allons tout d'abord dénir la fonction de transfert du système non bouclé et non corrigé dans l'environnement Matlab. Pour dénir cette fonction, nous allons lancer l'instruction : F = tf ([12],[1 3 3 1]) Lorsque vous exécutez cette commande, Matlab ache dans la fenêtre de commande l'expression de la fonction de transfert. Par défaut Matlab utilise la notation anglo-saxonne c'est à dire que la variable p est remplacée par la variable s. Manipulation 1.2 (Achage de la réponse indicielle). Nous allons acher la réponse indicielle du système non bouclé et non corrigé. Pour acher la réponse du système à un échelon d'amplitude unitaire, nous allons lancer l'instruction : step ( F ) Question 1.1. A partir de la courbe précédente, déterminer la gain statique et le temps de réponse du système non bouclé et non corrigé. Manipulation 1.3 (Achage de la réponse harmonique). Nous allons acher la réponse harmonique du système pour avoir une idée de son comportement en boucle fermée. Pour acher le diagramme de Bode du système, nous allons lancer l'instruction : bode ( F ) Question 1.2. Déterminer la marge de gain M G et la marge de phase M φ du système. Sans correction (C(p) = 1), est-ce que le système sera stable en boucle fermée? Pour valider votre réponse à la question précédente, nous allons boucler le système et observer sa réponse indicielle. Manipulation 1.4 (Achage de la réponse indicielle du système bouclé). Pour acher la réponse indicielle du système bouclé, nous allons lancer les instructions : FTBF = feedback (F,1) step ( FTBF ) Vérier que le système est bien instable en boucle fermée. IUT GEII Brest 26 Autonme 2014

TD 8. INITIATION À MATLAB 1.2 Correction proportionnelle Pour stabiliser la boucle fermée, nous choisissons tout d'abord un correcteur proportionnel c-a-d C(p) = K (8.1) Système en limite de stabilité Question 1.3. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée. A partir du critère de Routh, déterminer la valeur limite K, notée K OSC, permettant d'obtenir un système en boucle fermée en limite de stabilité. Nous allons maintenant déterminer la fonction de transfert du système bouclé et corrigé. Pour obtenir cette fonction de transfert, nous utiliserons les commandes suivantes : C =? ; % a completer en fonction du correcteur FTBO = C * F ; % calcul de la FTBO FTBF = feedback ( FTBO,1); Manipulation 1.5. Acher la réponse indicielle du système bouclé et corrigé lorsque C(p) = K OSC. Question 1.4. Déterminer la période T OSC des oscillations en boucle fermé. Système stable Question 1.5. En utilisant le diagramme de Bode du système non-corrigé et non bouclé (voir manipulation 1.3), déterminer approximativement la valeur de K 1 (en db) permettant d'obtenir une marge de gain M G de 6dB. Exprimer K 1 en valeur naturelle. Manipulation 1.6. Acher la réponse indicielle du système bouclé et corrigé (avec K = K 1 ). Question 1.6. A partir de la courbe précédente, déterminer la gain statique et le temps de réponse du système bouclé et corrigé. 1.3 Correction Proportionnelle-Intégrale Pour améliorer la précision du système, nous allons utiliser un correcteur PI décrit par la fonction de transfert suivante : ( ) Ti p 1 C(p) = K (8.2) T i p Les paramètres du correcteur seront déterminés via le technique de Ziegler-Nichols. Cette technique se base sur les paramètres K OSC et T OSC déterminés précédemment. Plus précisément, pour un correcteur PI, les paramètres K et T i sont xées de la manière suivante : K = K OSC 2.2 T i = T OSC 1.2 Question 1.7. Déterminer les valeurs numériques de K et T i. IUT GEII Brest 27 Autonme 2014

TD 8. INITIATION À MATLAB Manipulation 1.7. En vous inspirant des manipulations 1.1 et 1.3, acher le diagramme de Bode du correcteur. Manipulation 1.8. Acher la réponse indicielle du système bouclé et corrigé. Question 1.8. A partir de la courbe précédente, déterminer la gain statique et le temps de réponse du système bouclé et corrigé. 1.4 Correction Proportionnelle-Intégrale-Dérivée Pour améliorer la dynamique du système, nous allons utiliser un correcteur PID décrit par la fonction de transfert suivante : ( Ti T d p 2 ) T i p 1 C(p) = K (8.3) T i p Les paramètres du correcteur seront déterminés via le technique de Ziegler-Nichols. Pour un correcteur PID, les paramètres sont xées de la manière suivante : K = K OSC 1.7 T i = T OSC 2 T d = T OSC 8 Question 1.9. Déterminer les valeurs numériques de K, T i et T d. Manipulation 1.9. Acher le diagramme de Bode du correcteur. Manipulation 1.10. Acher la réponse indicielle du système bouclé et corrigé. Question 1.10. A partir de la courbe précédente, déterminer la gain statique et le temps de réponse du système bouclé et corrigé. IUT GEII Brest 28 Autonme 2014

Archive A : Devoir AU3 (octobre 2012) Durée : 1h30. Exercice 1: Système de 1 er ordre On considère le système de premier ordre suivant : F (p) = 3 2p 4 (A.1) Question 1.1. Déterminez le gain statique K du système. Question 1.2. Déterminez la constante de temps τ du système. Question 1.3. Déterminez le temps de réponse t r du système. Question 1.4. Déterminez la pulsation de coupure, ω c, puis la fréquence de coupure f c du système. Question 1.5. Déterminez l'unique pôle, noté p 1, du système. Question 1.6. (réponse harmonique). Déterminez le module F (jω) de la fonction de transfert à la pulsation ω. Question 1.7. (réponse harmonique). On envoie une sinusoïde de pulsation ω = 1 rad/s et d'amplitude crête E = 2V à l'entrée du système F (p), determinez l'amplitude crête en sortie du système. Exercice 2: Identication graphique d'un système de 2 e ordre La gure A.1 présente la réponse indicielle d'un système du 2 e ordre soumis à un échelon d'entrée d'amplitude E = 2V. Question 2.1. Déterminez graphiquement le gain statique K (en expliquant votre méthode). Question 2.2. Déterminez graphiquement le temps de réponse t r (en expliquant votre méthode). Question 2.3. Déterminez graphiquement la valeur du premier dépassement relatif D 1r (%) en pourcent (en expliquant votre méthode). Question 2.4. Déduisez-en la valeur du coecient d'amortissement m. 29

ANNEXE A. DEVOIR AU3 (OCTOBRE 2012) 6 5.5 5 4.5 4 Sortie (V) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Temps (seconds) Figure A.1 Réponse indicielle d'un système de second ordre. Question 2.5. Déterminez la valeur de la pulsation propre ω n. Question 2.6. Donnez l'expression de la fonction de transfert, notée G(p). Question 2.7. Est ce que la réponse harmonique de ce système présentera une résonance? Justiez. Exercice 3: Asservissement de position Partie 1) Modélisation du moteur Considérons un moteur électrique à ux inducteur constant dont l'induit est alimenté par une tension u(t) et parcouru par un courant i(t). Sous l'hypothèse que les frottements et l'inductance de l'induit sont négligés, nous obtenons les relations suivantes : où : u(t) = e (t) r.i(t) (A.2) e (t) = k.ω(t) (A.3) C m (t) = k.i(t) (A.4) C m (t) = J. dω(t) (A.5) dt IUT GEII Brest 30 Autonme 2014

ANNEXE A. DEVOIR AU3 (OCTOBRE 2012) u(t) correspond à la tension (en V), e (t) correspond à la fcem (en V), Ω(t) correspond à la vitesse de rotation (rad/s), J le moment d'inertie du moteur et de sa charge, r correspond à la résistance de l'induit, k représente le coecient de couple du moteur ou de fcem. Question 3.1. Déterminez les transformées de Laplace des diérentes équations. On notera respectivement E (p), U(p), Ω(p) et I(p) les transformées de Laplace de e (t), u(t), Ω(t) et i(t). Question 3.2. Calculez la Fonction de Transfert en Boucle Fermée du système c-a-d H(p) = Ω(p) U(p) (A.6) Question 3.3. Recopiez puis complétez le diagramme fonctionnel du moteur faisant apparaître les grandeurs suivantes : courant, couple moteur, vitesse angulaire Ω(p) et vitesse angulaire Ω(p). U(p) I(p) C m (p) Ω(p) E (p) Figure A.2 Diagramme Fonctionnel du moteur Question 3.4. A partir du diagramme précédent, retrouvez l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée H(p). Question 3.5. Exprimez H(p) sous la forme canonique d'un système de premier ordre. En déduire, le gain statique K et la constante de temps τ de ce système. Question 3.6. Calculez les valeurs numériques de K et τ sachant que l'on donne (attention aux unités!) : J = 36 kg.cm 2, r = 0.28 ohm, La fcem E vaut 44V à 1000 tr/min. Partie 2) Asservissement de position Dans cette partie, nous considérons l'asservissement de la position angulaire décrit par le schéma bloc de la gure A.3. L'entrée est une tension E (exprimée en volt) et la sortie est un angle θ (exprimée en radian). La boucle de retour possède un gain réglable λ. La fonction de transfert du moteur est approximée par : H(p) = 2 1 0.005p (A.7) IUT GEII Brest 31 Autonme 2014

ANNEXE A. DEVOIR AU3 (OCTOBRE 2012) Ampli Système E(p) ɛ(p) U(p) Ω(p) θ(p) 1 3 H(p) p λ Figure A.3 Asservissement de position Question 3.7. Calculez la Fonction de Transfert en Boucle Fermée, F T BF (p). Question 3.8. Déterminez le gain statique K, le facteur d'amortissement m et la pulsation propre ω n de la fonction de Fonction de Transfert en Boucle Fermée. Question 3.9. Déterminez la valeur de λ permettant d'obtenir en régime permanent (c-a-d statique) un déplacement θ = 0.1 radian lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude E = 2V. Question 3.10. Pour cette valeur de λ, déterminez le temps de réponse t r en boucle fermée. Question 3.11. On envoie un échelon d'amplitude E = 2V à l'entrée du système, déterminez la valeur du premier dépassement relatif D 1r (%) (en pourcent). En déduire la valeur maximale de la sortie θ(t). Question 3.12. On envoie une sinusoïde de pulsation ω = 5 rad/s et d'amplitude crête E = 1V à l'entrée du système, déterminez la pulsation de la sinusoïde en sortie du système. " La première récompense du devoir accompli, c'est de l'avoir fait.", Albert 1 er IUT GEII Brest 32 Autonme 2014

Archive B : Devoir AU3 (Janvier 2013) Durée : 1h30. Le devoir est composé de deux exercices. Ces exercices s'articulent autour d'un objectif commun : la régulation du couple d'une éolienne. Les éoliennes récentes disposent d'un système de régulation du couple. Ce système consiste à faire varier l'angle de calage des pâles pour proter au maximum du vent ou limiter la casse lors de vent violent. La variation de l'angle de calage entraine une diminution ou une augmentation de la portance de la pale et donc du couple moteur. Dans ce devoir, nous allons nous intéresser à : l'étude du système de commande de l'angle d'inclinaison des pâles, l'étude de la régulation du couple. Exercice 1: Système de commande de l'angle d'inclinaison des pales Le système de commande des pâles est décrit par le schéma-bloc de la gure B.1. L'angle d'inclinaison des pâles est commandé par un moteur. Le système est en boucle fermé et comporte un correcteur proportionnel de gain réglable A. E(p) correcteur moteur intégrateur A U(p) B 1τp Ω(p) 1 p θ(p) 2 capteur Figure B.1 Commande de l'angle d'inclinaison des pâles. 1.1 Identication des paramètres du moteur Le moteur se comporte comme un système de premier ordre de gain statique B et de constante de temps τ. La réponse indicielle obtenue pour une entrée égale à E = 2V est représentée par la gure B.2. 33

ANNEXE B. DEVOIR AU3 (JANVIER 2013) Ω (rad/s) 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 5 10 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 temps (s) Figure B.2 Réponse indicielle du moteur (entrée E = 2V). Question 1.1. A partir de la gure B.2, déterminez le gain statique B et la constante de temps τ du moteur. Par la suite, on remplacera B et τ par leurs valeurs numériques (pas d'inquiétude, des mauvaises valeurs ne vous pénaliseront pas pour les questions suivantes.) 1.2 Calibration du correcteur Question 1.2. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée dénie par : H(p) = θ(p) E(p) (B.1) Question 1.3. En déduire les expressions de l'amortissement m, de la pulsation propre ω n et du gain statique G de la fonction de transfert H(p). Question 1.4. Calculez le gain nécessaire A pour obtenir un amortissement m = 1 en boucle fermée. Question 1.5. Pour la valeur de A précédemment calculée, déterminez le temps de réponse du système H(p). 1.3 Inuence du seuil de démarrage du moteur Le moteur présente un seuil de démarrage qui peut être modélisé par une perturbation de type échelon (voir gure B.3). Pour calculer la variation de sortie causée par cette perturbation, nous supposerons que l'entrée E(p) est nulle c-a-d E(p) = 0. Question 1.6. Lorsque D(p) est un échelon d'amplitude D = 0.2V et lorsque E(p) = 0, calculez la sortie θ en régime permanent (sortie en radian). Cette valeur correspond en fait à la variation de sortie θ causée par la perturbation. IUT GEII Brest 34 Autonme 2014

ANNEXE B. DEVOIR AU3 (JANVIER 2013) E(p) correcteur D(p) moteur intégrateur A B 1τp Ω(p) 1 p θ(p) 2 capteur Figure B.3 Inuence de la zone morte du moteur (D = 0.2V ). Question 1.7. Sur quel paramètre pouvons-nous agir pour réduire la variation de sortie θ. Quel sera alors la conséquence sur la valeur du (premier) dépassement en boucle fermée. Exercice 2: Système de régulation du couple Le système de régulation du couple est décrit par la gure B.4. Ce système est composé du système de commande des pâles précédent et d'un bloc modélisant le comportement de l'éolienne et du générateur. correcteur pâle éoliennegénérateur R(p) E(p) θ(p) Γ(p) C(p) H(p) F (p) 1 capteur Figure B.4 Schéma bloc du système de régulation du couple. Les fonctions de transfert H(p) et F (p) sont égales à : 0.5 H(p) = (1 0.1p) 2 (B.2) F (p) = 10 1 10p (B.3) Le système est en boucle fermée et comporte un correcteur Proportionnel-Intégral (PI) dont la fonction de transfert est : (1 T p) C(p) = K (B.4) T p Nous allons considérer deux techniques pour la calibration des paramètres du correcteur : une technique "algébrique" par compensation, une technique "graphique". 2.1 Calibration algébrique par approximation et compensation Pour calibrer le PI par compensation, nous allons tout d'abord approximer le système pâleéoliennegénérateur par un système de premier ordre. IUT GEII Brest 35 Autonme 2014

ANNEXE B. DEVOIR AU3 (JANVIER 2013) Question 2.1. En calculant les pôles de H(p) et F (p), expliquez pourquoi la fonction de transfert H(p)F (p) peut être approximée par : H(p)F (p) 5 1 10p En utilisant l'approximation précédente, le schéma-bloc du système devient : (B.5) R(p) correcteur C(p) pâleéoliennegénérateur E(p) 5 110p Γ(p) Figure B.5 Schéma-bloc simplié du système de régulation de couple. Nous choisissons de compenser la constante de temps du système approximé c-a-d T = 10 s. Question 2.2. En xant T = 10 s, déterminez la fonction de transfert en boucle fermée du système de la gure B.5 c-a-d F T BF (p) = Γ(p) (B.6) R(p) Question 2.3. A partir de la question précédente, déterminez la valeur de K permettant d'obtenir en boucle fermée un temps de réponse t r = 1 s. 2.2 Calibration graphique Pour la calibration graphique du correcteur, nous allons considérer le système sans approximation. Dans ce cas, le schéma-bloc est R(p) correcteur C(p) pâleéoliennegénérateur E(p) Γ(p) G(p) Figure B.6 Schéma-bloc non-simplié du système de régulation du couple. La fonction de transfert G(p) est donnée par : G(p) = 5 (1 10p) (1 0.1p) 2 (B.7) Question 2.4. Déterminez les expressions analytiques du gain (en db) et de la phase (en degré) de G(p) à la pulsation ω. Complétez alors le tableau B.1 (vous indiquerez simplement sur votre copie la valeur du gain et de la phase à ω = 0.5rad.s 1 ). Question 2.5. En utilisant le tableau, représentez la fonction de transfert dans le plan de Black-Nichols (plan fourni avec le devoir). IUT GEII Brest 36 Autonme 2014

ANNEXE B. DEVOIR AU3 (JANVIER 2013) ω (rad.s 1 ) 0.1 0.5 1 2 3 3.5 4 5 10 20 Gain (db) 10.9? -6.1-12.4-16.3-17.9-19.3-21.9-32.0-46.0 Phase ( o ) -46.1? -95.7-109.7-121.4-126.9-132.1-141.9-179.4-216.5 Table B.1 Gain et phase de G(p) Calibration du gain K Question 2.6. Nous considérons un correcteur proportionnel C(p) = K. Déterminez le gain K (en valeur naturelle) nécessaire, pour obtenir une marge de phase d'environ M φ = 55 o. Calibration du paramètre T Nous considérons maintenant un correcteur Proportionnel-Intégral C(p) réglé avec la valeur de K précédente. Concernant le réglage de T, nous choisissons T = 5 ω r, où ω r représente la pulsation de résonance de KG(p) en boucle fermée. Question 2.7. En représentant l'allure de KG(p) dans le plan de Black-Nichols (K étant réglé à la valeur trouvée dans la question 2.6) et en utilisant les contours de gain, déterminez la valeur de ω r puis déduisez-en la valeur de T. Le plan de Black-Nichols fournit avec le devoir présente l'allure de la fonction de transfert C(p)G(p) avec les paramètres K et T tirés de la question précédente. Nous supposons ici que le système se comporte en boucle fermée comme un système de second ordre. Question 2.8. En utilisant les contours de gain, déterminez le facteur de surtension Q (db), le coecient d'amortissement m et la pulsation de résonance ω r en boucle fermée. En utilisant le fait que ω r = ω n 1 2m 2, déduisez-en la pulsation propre ω n en boucle fermée, puis le temps de réponse. Question 2.9. Nous considérons maintenant la perturbation liée au seuil du démarrage du moteur (voir gure B.3). Déterminez la sortie pour une entrée égale à R = 10V et une perturbation égale à U 0 = 0.2V (sortie en N.m). IUT GEII Brest 37 Autonme 2014