Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

1 Les divers types de problèmes que l on se pose Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance 4 paramétriques Test d une moyenne, σ connu Test d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ connu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ inconnu échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

de comparaison Cas d échantillons Gaussiens Cas d échantillons non Gaussiens Comparaison d échantillons Gaussiens appariés Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques 1 Les divers types de problèmes que l on se pose Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques 2 3 4 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Introduction : les 3 grandes lignes Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, de donner une zone dans laquelle un paramètre, a de grande chance de se trouver de prendre des décisions. Chacune de ses questions correspond à une thématique en statistiques. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Echantillonage Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L échantillonnage permet de passer (de la loi connue d un paramètre θ dans une population de taille N ) à une estimée d une quantité θ n fabriquée à partir seulement d une population de taille n plus petite (échantillon). Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ n inconnu θ connu FIGURE: Principe de l échantillonnage. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple : échantillonnage Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans une entreprise qui comptent 659 employés, on sait que 0, 03% des employés sont mécontents. On pioche un échantillon de 15 employés. Quel est l ordre de grandeur des employés mécontents dans cet échantillon? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L estimation permet d induire, à partir des résulats observés sur un échantillon, des informations sur la population totale. Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ connu n θ inconnu FIGURE: Principe de l estimation. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple : estimation Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans un échantillon de 15 employés d une entreprise, 7% s estiment sous pression. Quel est l ordre de grandeur des employés sous pression parmi tout le personnel de l entreprise? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Test statistiques Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Etant donné, une marge d erreur α, on rejettera ou ne rejettera pas une hypothèse au risque α% de se tromper. Remarque On ne dira pas "qu on valide une hypothèse" mais on dira "qu on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théories probabilistes permettent de dire que sous une certaine hypothèse, il n y a pas de contradictions... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple : test d un paramètre Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon des employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35h. Peut on considérer que le temps de sommeil des employés de cette entreprise est significativement inférieur au temps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Principe général commun Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on sait que : une quantité θ n converge en loi vers une loi connue (loi normale, loi du χ 2, loi de Student, loi de Fisher, etc...en fonction des situations) Par l allure des densités de chacune de ces lois, on sait donc où la variable θ n doit de trouver avec grosse probabilité... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Prérequis : lois classiques et convergence en loi Lois limites classiques (que l on obtiendra). Connaître et savoir lire dans les tables les lois suivante : Loi normale N (0; 1) et passage à N (µ; σ), Loi du χ 2, Loi de Student, Loi de Fischer. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Prérequis : lois classiques et convergence en loi Rappel : convergence en loi. On dit que la suite de v.a (θ n ) n converge en loi vers la loi d une v.a θ si, pour tout intervalle [a; b], on a : lim P(θ n [a; b]) = P(θ [a; b]). n + L Notation : On écrit θ n θ Exemple : Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (X i ) i étaient iid et d espérance finie µ et d écart-type σ, alors la variable n σ ( X n µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 Les divers types de problèmes que l on se pose 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 3 4 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Décor, notations valables pour toute la suite du cours Soit un échantillon de taille n. Pour 1 i n, notons X i les valeurs d un paramètre que prennent les n individus de l échantillon. Les X i sont donc des v.a supposées iid, de moyenne µ et d écart-type σ (connus ou pas). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n La moyenne empirique X n On pose, Moyenne empirique des X i i=1...n X n = X i. n Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Propriétés de X n 1 2 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. (conséquences des propriétés de linéarité de l espérance et de pseudo linéarité de la variance) lim n Xn = µ p.s (Loi des grands nombres) 3 n σ ( X n µ) L N (0; 1). (Théorème central limite) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Justification de l intérêt de la quantité X n Ainsi, la statistique X n converge (en un certain sens) quand n tend vers l infini vers µ = E(X i ). On dit que c est un estimateur de µ. On dit qu il est sans biais car, E( X n ) = µ (l espérance de l estimateur est égale à la valeur que l on cherche à estimer). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemples d application La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Parmi le personnel d une entreprise, il y a 300 femmes et 600 hommes. On réalise une enquête sur un échantillon de 55 personnes. Donnez une fourchette du nombres d hommes et de femmes de l échantillon, avec proba 0,95. Marcheur aléatoire (cf cours précédent) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Variance empirique La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : Sn 2 = 1 (X i n X n ) 2 = 1 n [ Xi 2 ] X 2 n. i=1...n i=1...n variance empirique des X i Avantage de cet estimateur, on n a pas besoin de connaître l espérance µ. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Propriétés La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 2 (loi des grands nombres aux X 2 i et X i ) E(Sn) 2 = n 1 n σ2 (petit calcul) On dit que S 2 n a un biais, E(S 2 n) σ 2. 3 On admet que, Sn 2 n 1 n σ2 Var(Sn) 2 L N (0; 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Une remarque La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Si l on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l estimateur S 2 n par l estimateur : Ŝ n 2 = 1 n i=1...n (X i µ) 2 = 1 n [ i=1...n X 2 i ] µ 2 Avantage : Ŝ n 2 est sans biais, puisque E( Ŝ n 2 ) = σ 2 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Si les X i suivent une loi Normale N (µ; σ), on a : X n N (µ; σ2 n ) ns 2 n σ 2 χ2 (n 1) ie : i=1...n (X i X n ) 2 σ 2 χ 2 (n 1) X n et S 2 n sont indépendants. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Et donc, en posant : T n 1 := = n σ ( X n µ) ns 2 n (n 1)σ 2 n 1 S n ( X n µ) suit une loi de Student à n 1 degrès de liberté Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ et servira donc dès que ce paramètre est inconnu. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens De même pour l estimateur Ŝn2, on peut prouver : 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) ie : i=1...n (X i µ) 2 σ 2 χ 2 (n) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Retenir et ns 2 n σ 2 χ2 (n 1) 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) n 1 S n ( X n µ) Student(n 1) Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Rappel : Loi de Student La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Definition Soient X N (0, 1) et Y χ 2 (n). Posons T = X. Alors T Y /n suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note Student(n) La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allure que la loi normale centrée réduite. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Une application La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Exemple : Les durées de vie moyenne des écrans d ordinateurs d une société sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On suppose que les durées de vie de chaque machines, suivent des lois normales et sont indépendantes. On prend au hasard 10 écrans. Trouver probabilité que l écart-type de l échantillon obtenu soit compris entre 60h et 80h. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Un exemple La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 Pour 1 i 10, notons X i les durées de vie des 10 écrans de l échantillon. Par hypothèse, on a X i N (3000; 70). 2 La variance de l échantillon est donnée par 2 Sˆ 1 10 = 10 i=1...10 (X i 3000) 2 3 Or, on sait que la v.a Z = 10 S ˆ 2 10 suit une loi du χ 2 (10). 70 2 Il ne reste plus qu à traduire l événement demandé avec la v.a Z. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Un exemple La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Donc, on a : S 10 2 P(60 S ˆ 10 602 10 80) = P( 70 2 10 ˆ 70 2 ou calculatrice, logiciel. 10 602 10 802 = P( 70 2 Z 70 2 ) = P(7, 34 Z 13, 06) = P(Z 13, 06) P(Z 7, 34) 10 802 70 2 ) = 0, 473 à l aide de la table du χ 2 (10), Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance 1 Les divers types de problèmes que l on se pose 2 3 décor par intervalles de confiance 4 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Outil : estimateur décor par intervalles de confiance Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction des observations, (une statistique/une v.a) qui tend vers la quantité souhaitée, à l aide des théorémes limites ( type Loi des grands nombres). On préférera une statistique sans biais On essaye de connaître la loi limite de cette statistique. On est alors capable, de donner les fluctuations les plus probables de la statistique, et de donner par exemple un intervalle de confiance. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance 3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance d une moyenne, lorsque σ connu Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Etant donné une marge d erreur α, (par ex 5%), on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). Ainsi avec proba 1 α, on a : n σ ( X n µ) u α. ie : σ X n u α n µ X σ n + u α n Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple 1 décor par intervalles de confiance Une machine produit en grande série des objets de masse théorique 180g. On admet que la variable aléatoire qui associe à un objet sa masse a pour ecart-type 0,92g. On préléve un échantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, on obtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de risque de 1%, de la masse µ d un objet. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple 1 décor par intervalles de confiance Soit X i, la v.a qui renvoit la masse de l objet i de l échantillon. On cherche un intervalle de confiance de µ = E(X i ) On sait qu avec proba 1 α, X n u α σ n µ X n + u α σ n α = 0, 01 donne un u α = 2, 58. (table 2 de la loi normale centrée réduite) D où, 0, 92 0, 92 179, 93 2, 58 µ 179, 93 + 2, 58 100 100 ie : Avec proba 0, 99 on a, µ [179, 69; 180, 17]. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance Exemple 2 : intervalle de confiance d une proportion Intervalle de confiance d une proportion lors d une élection, voir exemple détaillé en cours 3. Rappel des grandes lignes : Dans ce cas, les X i Bernoulli(p) avec p inconnu. La variance p(1 p), est donc également inconnue! On a donc avec proba 1 α, X n u α p(1 p) n µ X n + u α p(1 p) n L estimée précédente est à priori sans intérêt, puisque p(1 p) est inconnu.la clef consiste à remarquer que pour tout p [0; 1], on a p(1 p) 1/4. Ainsi, avec proba 1 α, X n u α 2 n µ X n + u α 2 n. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance d une moyenne, lorsque σ inconnu Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois normales N (µ, σ). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance n 1 On utilise le fait que T = S n ( X n µ) suit une loi de Student(n 1). Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de la loi de student, tel que P( T t α ) 1 α, où T Student(n 1). On conclut, qu avec proba au moins 1 α, on a : Ainsi, n 1 S n ( X n µ) t α. S n S n X n t α µ X n + t α n 1 n 1 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple décor par intervalles de confiance Le chiffre d affaire mensuel d une entreprise suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σ inconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000 euros. Donner une estimation de µ par intervalle de confiance au niveau 0, 98. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple décor par intervalles de confiance Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11) A l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98 Donc, 11 S 12 ( X 12 µ) 2, 718 avec proba 0, 98. ie : µ [ X 12 2, 718 S 12 11 ; X 12 2, 718 S 12 11 ]. Avec X 12 = 10000 et S 12 = 2000, on obtient µ [8360, 9; 11639, 02], avec proba 0, 98. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance 3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance Complément : estimation d une variance, lorsque µ connue et échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance Etimation de la variance, on ne traitera que le cas GAUSSIEN! On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois normales N (µ, σ). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Cas où la moyenne µ est connue. décor par intervalles de confiance On utilise l estimateur Ŝn 2 = 1 n i=1...n (X i µ) 2 On sait que Z = nŝn 2 χ 2 (n) σ 2 Etant donné, un taux d erreur α, à l aide de la table de la loi du χ 2, on détermine deux nombres m α et M α tels que : P(m α Z M α ) 1 α, où Z χ 2 (n). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance Détermination des nombres m α et M α : une méthode... Une manière possible de procéder est de trouver m α et M α tels que P(Z M α ) = α/2 et P(Z m α ) = α/2 FIGURE: Allure de la densité d un χ 2. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Cas où la moyenne µ est connue. décor par intervalles de confiance On déduit donc, P(m α nŝn 2 σ 2 M α ) 1 α. Ainsi, ie : P( nŝn 2 σ [Ŝn M α σ 2 nŝn 2 ) 1 α. m α n n ; M Ŝn ] avec proba 1 α. α m α Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

décor par intervalles de confiance Complément : estimation d une variance, lorsque µ inconnu et échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Cas où la moyenne µ est inconnue. décor par intervalles de confiance On utilise même démarche en remplaçant Ŝ n 2, par l estimateur S 2 n = 1 n (X i X n ) 2 i=1...n On sait alors que Z = ns2 n σ 2 χ 2 (n 1) A l aide de la table du χ 2, pour le taux α, on détermine deux nombres m α et M α tels que : P(m α Z M α ) 1 α, où Z χ 2 (n 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Cas où la moyenne µ est inconnue. décor par intervalles de confiance On déduit donc, P(m α ns2 n σ 2 M α) 1 α. Ainsi, P( ns2 n M α σ 2 ns2 n m α ) 1 α. ie : σ [S n n M α ; S n n m α ] avec proba 1 α. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple décor par intervalles de confiance Une entreprise comporte un grand nombre d employés avec un système de pointage des heures d arrivée. Chaque employé doit arriver à 8h. On a relevé le retard d un échantillon de 25 employés. On a obtenu un retard moyen de 6,47 min pour un écart-type moyen 1,12 min. A partir de ces informations, donner un intervalle de confiance au seuil de 0,9 pour l écart-type du temps de retard. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple décor par intervalles de confiance Soit X i le temps de retard de l employé i. On a X 25 = 6, 47 et S 25 = 1, 12 On cherche une estimée de σ 2 = Var(X i ). On sait que Z = 25S2 25 σ 2 χ 2 (24) A l aide de la table de la loi d un χ 2, on détermine m α 13, 848 et M α 36, 415 tels que P(Z M α ) = 0, 05 et P(Z m α ) = 0, 05. on obtient σ 2 [ 25S2 25 36,415 ; 25S2 25 13,848 ] avec proba 0, 9. ie : σ [0, 927; 1, 505] avec proba 0, 9. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison 1 Les divers types de problèmes que l on se pose 2 3 4 paramétriques de comparaison Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison 4 paramétriques Test d une moyenne, σ connu Test d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ connu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ inconnu échantillon Gaussien de comparaison Cas d échantillons Gaussiens Cas d échantillons non Gaussiens Comparaison d échantillons Gaussiens appariés Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Point de vue global paramétriques de comparaison C est une stratégie analogue à celles des estimations. On utilise la même technologie. On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que, sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique) doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorème limites, distribution d échantillonage) On vérifie alors, avec un taux α, "l adéquation" des 2 lois. (Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux.) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test d une moyenne, σ connu Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Test moyenne, cas où σ connu paramétriques de comparaison On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que pour n grand, la v.a n σ ( X n µ 0 ) doit suivre une N (0; 1). Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). La position du nombre n σ ( X n µ 0 ) par rapport à [ u α ; u α ], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Test moyenne, cas où σ connu paramétriques de comparaison Ainsi, Si n σ ( X n µ 0 ) [ u α ; u α ], on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Test moyenne, cas où σ connu paramétriques de comparaison FIGURE: Zones rejet et non rejet de H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Dans le cas où σ est inconnu, c est le même principe mais on raisonne cette fois avec la variable de décision T n 1 et on suppose que les X i suivent une loi Normale N (µ; σ). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, n 1 T n 1 = ( S X n µ 0 ) doit suit une loi de Student(n 1) n Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de Student(n 1), tel que P( T n 1 t α ) 1 α. Etude de la position de [ t α ; t α ]. n 1 S n ( X n µ 0 ) par rapport à Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Ainsi, on a la même discussion, Si T n 1 [ t α ; t α ], on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison FIGURE: Zones rejet et non rejet de H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Exemples : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon de 30 employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35h. En supposant que le temps de sommeil d un employé suit une loi normale, peut on considérer que le temps de sommeil des employés de cette entreprise est inférieur au temps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 au seuil 5%? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Exemples : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, 5. 29 Sous H 0, on a T 29 = S 30 ( X 30 7, 5) Student(29) La table de Student donne P( T 2, 045) 0, 95 Ici T 29 = 29 1,35 (6, 56 7, 5) = 3, 74 Donc T 29 / [ 2, 045 : 2, 045], et on rejette H 0 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test d une variance, µ connu mais échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ connu C est encore la même démarche, avec cette fois avec la variable de décision Z = nŝ2 n σ 2 = 1 σ 2 i=1...n (X i µ) 2 qui doit suivre un χ 2 (n), si le σ est correct. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ connu On veut tester l hypothèse H 0 : σ = σ 0 contre H 1 : σ σ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, Z n = nŝ2 n σ 2 0 doit suit une loi de χ 2 (n) Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain c α à l aide de la table de χ 2 (n), tel que P(Z n c α ) = α où la v.a Z n χ 2 (n). Etude de la position de nŝ2 n σ 2 0 par rapport à c α. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ connu Ainsi, on a la même discussion, Si Z n c α, on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison FIGURE: Zones rejet et non rejet de H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test d une variance, µ inconnu et échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ inconnu Si les X i suivent une loi Normale N (µ; σ), et lorsque µ est inconnu, on utilise : ns 2 n σ 2 qui doit suivre un χ2 (n 1), si le σ est correct. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : σ = σ 0 contre H 1 : σ σ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, Z n 1 = ns2 n doit suivre une loi de χ 2 (n 1) σ0 2 Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain c α à l aide de la table de χ 2 (n 1), tel que P(Z n 1 c α ) = α où la v.a Z n χ 2 (n 1). Etude de la position de ns2 n σ 2 0 par rapport à c α. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ inconnu Ainsi, on a une fois de plus la même discussion, Si Z n 1 c α, on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ inconnu FIGURE: Zones rejet et non rejet de H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison 4 paramétriques Test d une moyenne, σ connu Test d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ connu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ inconnu échantillon Gaussien de comparaison Cas d échantillons Gaussiens Cas d échantillons non Gaussiens Comparaison d échantillons Gaussiens appariés Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Problématique : Etant donné deux échantillons de taille n A et n B, peut-on admettre qu ils ont été prélevés dans une même population. Ces deux échantillons ayant été prélevés independamment l un de l autre. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Test de comparaison paramétriques de comparaison Population A Population B Echantillon Echantillon Moyenne :µ A Ecart-type : σ A Taille :n A X A n A Moyenne :µ B Ecart-type : σ B Taille :n B X B n B S A n A S B n B Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de de comparaison des variances d échantillon Gaussien. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des variances Soient deux échantillons A et B Pour 1 i n A, notons X A i les valeurs de la variable étudiée, issue de A, avec X A i N (µ A ; σ A ). De même, pour 1 i n B, notons X B i les valeurs de la variable étudiée, issue de B, avec X B i N (µ B ; σ B ). On veut tester l hypothèse H 0 : σ A = σ B. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des variances En appliquant les résultat de la théorie de l échantillonnage, on sait que : n A S A n A 2 σ 2 A χ 2 (n A 1) et n B S B n B 2 σ 2 B χ 2 (n B 1), où Sn A 2 A et S B 2 nb désignent les estimateurs respectifs de la variance de l échantillon A et B. Ainsi, la v.a Z := n A S A n A 2 (n A 1)σ 2 A n B S B n B 2 (n B 1)σ 2 B, rapport de deux χ 2 divisés par les degrés de liberté, suit donc (par définition) une loi de Fisher-Snedecor F(n A 1, n B 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des variances Sous l hypothèse H 0 : σ A = σ B, cette expression se simplifie en : Z = n A S A n A 2 (n A 1) n B S B n B 2 (n B 1) Ainsi, sous H 0, la variable Z doit suivre une loi de Fisher-Snedecor F(n A 1, n B 1)., Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des variances Principe du test : On suppose H 0 : σ A = σ B. Etant donné un seuil α, on détermine un f α à l aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor tel que P(F f α ) = 1 α où F F(n A 1, n B 1). On compare la valeur Z = n A S A n A 2 (n A 1) n B S B n B 2 (n B 1), à f α. Si Z < f α alors on ne rejette pas H 0, sinon on rejette. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test variance, cas d un échantillon Gaussien et µ inconnu FIGURE: Zones rejet et non rejet de H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Remarques paramétriques de comparaison Si les deux échantillons ont même taille (n A = n B ), l expression se simplifie en : S A n A 2 S B n B 2. En pratique, on met toujours au numérateur la plus grande des deux quantités. Possible de faire un test de Fisher-Snedecor bilateral FIGURE: Test de Fisher-Snedecor bilateral. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de de comparaison des moyennes d échantillon Gaussien. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Rappels paramétriques de comparaison Prérequis : Ainsi, Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a : Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennes indépendantes est encore une Gaussienne. si X N (µ 1, σ 1 ) et Y N (µ 2, σ 2 ), on a : Si les X i N (µ, σ), alors X + Y N (µ 1 + µ 2, σ 1 + σ 2 ) X n N (µ, σ n ) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des moyennes On suppose désormais σ A = σ B := σ, et on veut tester µ A = µ B. Par les résultats de distribution d échantillonnage, on sait que : Donc, et n A S A n A 2 X A N (µ A, σ 2 χ 2 (n A 1) et X A X B N (µ A µ B, σ n A S A n A 2 + nb S B n B 2 σ na ) et XB N (µ B, n B S B n B 2 σ nb ) σ 2 χ 2 (n B 1) 1 n A + 1 n B ) (1) σ 2 χ 2 (n A + n B 2) (2) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des moyennes Si on a la valeur de σ, on peut directement tester l adéquation de X A X B avec une normale centrée par (1). Sinon, on forme le rapport de (1) par (2), puis aprés simplification par σ et par définition de la loi de Student, on a : T := X A X B (µ A µ B ) na + n B 2, (n A Sn A 2 A + nb Sn B 2 B )( 1 n A + 1 n B ) qui suit une loi de Student(n A + n B 2), comme quotient d une loi normale et de la racine d un χ 2 (divisé par son degré de liberté). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison des moyennes Sous l hypothèse µ A = µ B, on calcule donc T = X A X B na + n B 2, (n A Sn A 2 A + nb Sn B 2 B )( 1 n A + 1 n B ) que l on teste (exactement comme pour le test de la moyenne avec σ inconnu), avec une loi Student(n A + n B 2). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Cas d échantillon non Gaussiens Le test de variance n est plus valable en général. ( ns2 n σ 2 suit pas forcément un χ 2 ) Parcontre, si n A et n B sont assez grands ( 30), on peut quand même tester les moyennes avec la formule de Student. ne Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Un exemple : comparaison des moyennes du chiffre d affaire de 2 réseaux d entreprises Un réseau A d entreprises constitué de n A = 31 entreprises, possède un chiffre d affaire moyen annuel de 27 432 euros pour un écart-type moyen de 2349 euros. Un réseau B du même secteur d activité que A, est constitué de n B = 41 entreprises, a un chiffre d affaire moyen annuel de 30431 euros avec un écart-type moyen de 1802 euros. Peut on considérer que les moyennes du chiffre d affaire annuel du réseau A et du réseau B sont égales (au seuil 5%)? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Un exemple : comparaison des moyennes du chiffre d affaire de 2 réseaux d entreprises Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, mais n A et n B grands ( 30), donc on peut tout de même faire le test des moyennes de student. X A = 27423, X B = 30431 et Sn A A = 2349, Sn B B = 2496 On teste d abord H 0 : σ A = σ B? Z = n A S A n A 2 (n A 1) n B S B n B 2 (n B 1) = 31 2349 2 30 41 2496 2 40 0, 892 A l aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on a P(F 1, 74) = 0, 95 où F F(30, 40). 0, 892 < 1, 74 donc on ne rejette pas H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Un exemple : comparaison des moyennes du chiffre d affaire de 2 réseaux d entreprises On suppose donc l égalité des variances H 0 et on teste maintenant l hypothèse H 0 : µ A = µ B. X On calcule T = A X B na + n B 2, On trouve (n A S A n A 2 +nb S B n B 2 )( 1 n A + 1 n B ) T 0, 00024 A l aide de la table de la loi de Student, on a P( S 1, 99) = 0, 95 où S Student(70) (n A + n B 2 = 70.) 0, 00024 [ 1, 99; 1, 99] donc on ne rejette pas H 0. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

paramétriques de comparaison Test de comparaison d échantillons Gaussiens appariés. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Appariement paramétriques de comparaison On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i. Les échantillons (X i ) i et (Y i ) i sont dits appariés et ne peuvent plus être considérés comme indépendants. On veut (par ex) comparer µ X et µ Y. En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.a Z := X Y qui suit une N (µ; σ). (différence de deux Gaussiennes indépendantes) Faire un test de comparaison de µ X et µ Y, revient donc à comparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple paramétriques de comparaison Dans une entreprise, on veut comparer le temps de sommeil d une équipe en période de projet et en période normale. Pour cela, on demandé à 10 individus de l équipe de donner leur temps de sommeil durant les deux périodes. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant : En projet 4,5 7 6 6 6 7 6 6 7 5 Normal 6 8 7 7 6 7 8 7 7 7 Peut on considérer que les temps de sommeil sont identiques durant les deux périodes, au risque 5%? On supposera que les temps de sommeil suivent des lois normales. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

Exemple paramétriques de comparaison Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Y en période normale. Soit Z = X Y, on Z 10 = 0, 95h et S 10 = 0, 72h Sous H 0 := µ X = µ Y, on sait que la v.a, n 1 T n 1 = ( S Z n ) doit suit une loi de Student(n 1) n (ici n = 10) Etant donné une marge d erreur α = 5%, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de Student(9), tel que P( T 9 t α ) 0, 95,on trouve t α = 2, 262 On a T 9 3, 94 / [ 2, 262; 2, 262], donc on rejette H 0. Ainsi, on peut conclure que le personnel dort significativement moins en période de projet. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et