MA3 Exercices corrigés TD n :dénombrement Exercice On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux d entre elles aient le même jour d anniversaire? (On suppose qu il n y a pas d années bissextiles) Exercice Un savant possède livres dans son bureau, livres de maths et livres de physique. Il souhaite ranger ses livres sur une étagère.. Combien y a t-il de rangements possibles s il souhaite ranger ses livres de façon à ce que les livres de maths soient groupés ensemble et les livres de physique ensemble?. Combien y a t-il de rangements possibles si la seule chose qui compte est que les livres de maths soient groupés ensemble? Exercice 3 Robert fait ses affaires pour aller skier. Son armoire est remplie de paires de gants. Il décide de prendre 4 gants. Le problème est que Robert est un garçon dans la lune et qu il choisit les gants au hasard. Quelle est la probabilité qu il tire:. deux paires complètes? ( veinard ). au moins une paire? 3. une paire et une seule? Exercice 4 On dispose d une urne contenant n boules, dont m sont noires, le reste étant des boules blanches. On effectue un tirage sans remise de r boules parmi ces n boules. Calculer la probabilité detirerk boules noires dans un tel tirage. Exercice 5 Un joueur de Poker recoit une main de 5 cartes d un jeu de 3. contienne: Quelle est la probabilté quesamain. Une seule paire?. deux paires? 3. un brelan? 4. un carré?
MA3 Exercices corrigés Exercice 6 On considère les lettres du mot : ANNIVERSAIRE. Combien de mots peut on former avec ces lettres? (On ne se préoccupera pas du sens des mots formés). Combien de mots commençant et finissant par une voyelle peut on former? 3. Combien de mots peut on former si on veut que toutes les voyelles soient groupées ensemble? Correction de l Exercice Il est ici plus facile de calculer la probabilité de l évènement contraire: A aucune des n personnes n a la même date d anniversaire On donne des numéros aux n personnes, et on note dans un n uplet leurs dates d anniversaire. L ensembles des résultats possibles est donc Ω {(d,d,...,d n ),d i date d anniversaire de la ième personne} Quel est le cardinal de Ω? C est évidemment 365 n (Pour chaque d i, il y a 365 choix possibles). Calculons card(a): Si aucune des personnes n a la même date d anniversaire, alors les d i sont àdistincts. Donc A {(d,d,...,d n ),d i d j si i j}. Pardéfinition, card(a) A n 365 (A est l ensemble des n arrangements) Donc P ( personnes ont la même date d anniversaire) An 365 365 n Correction de l Exercice. Il y a deux choix: Soit les livres de maths sont à gauche, soit ils sont à droite. Ensuite, à l intérieur du bloc des livres de maths, on peut faire! rangements différents. Etdanslegroupedeslivresdephysique, on peut faire! rangements différents. D où.!! rangements possibles. Ici, le bloc des livres de maths peut avoir plusieurs positions: être à gauche, avoir livre de physique à gauche et le reste à droite, livres de physique àgaucheetleresteà droite, etc. ce qui fait positions. Ensuite, on peut comme précédemment permuter les livres de maths de! façons et les livres de physique de! façons. D où.!! rangements possibles Correction de l Exercice 3. On suppose qu il choisit les gants simultanément. Il y a donc C 4 possibilités. Il a C façons de choisir les paires. Donc P ( il choisit paires ) C C 4.9. On va calculer la probabilité de l évènement contraire: { tous les gants proviennent de paires différentes }
MA3 Exercices corrigés 3 Il y a C 4 façons de choisir les 4 paires d où proviennent les gants. Ensuite, pour une paire, il y a choix possibles. D où P ( il tire au moins paire ) C4 4 C 4.37 3. En notant E {il tire paires}, E {il tire au moins une paire} et E 3 {il tire paire et seule}, ona: E E E 3.OrE et E 3 sont disjoints, donc P (E )P (E )+P (E 3 ). D où P ( il choisit paire et seule) C4 4 C 4 C C 4.97 On peut aussi le calculer directement, en écrivant P ( il choisit paire et seule) C 9 C 4 Correction de l Exercice 4 On peut ici raisonner de deux manières différentes. Le tirage effectué, on peut considerer le résultat comme:. une partie à r éléments de l ensemble des n boules, où l ordre n intervient pas.. Une liste ordonnée de r boules. ere méthode L ensemble des résultats possibles a dans ce cas Cn r éléments. il y a Cm k façons de tirer les k boules noires, et Cr k n m façons de tirer les boules blanches. Donc P (ilyak boules noires dans le tirage) Ck mcn m r k Cn r eme méthode L ensemble des résultats possibles a dans ce cas A r n éléments. Choissisons les instants où onatirélesk boules noires. Il y a Cr k possibilités. Ensuite, on a A k m façons de tirer les k boules noires, et A r k n m façons de tirer les r k boules blanches. Donc P (ilyak boules noires dans le tirage) Ak ma r k n m Ck r A r n (On vérifie qu on trouve bien le même résultat avec les méthodes) Correction de l Exercice 5 Le problème de l exercice est de comprendre ce que demande l énoncé et de connaitre les règles du poker (ce qui n est pas trop mon cas...) En fait, la solution que je donne n est peut etre pas exacte du point de vue du poker, car je me suis rendu compte qu il existait d autres figures que la paire, les paires, le brelan, le full ou le carré. Par exemple la couleur: dans la solution que je donne je n en tiens pas compte.. Choisissons la paire: Il y a 8 choix pour la valeur; ensuite il y a C4 façons de choisir les cartes qui composent la paire. Ensuite il reste 3 cartes à choisir. Ces 3 cartes doivent être de valeur différente, car si deux d entre elles ont la même valeur, on a paires; elles doivent aussi ne pas avoir la même valeur que celle de la paire choisie, sinon on aurait un brelan. Ce qui laisse 3 valeurs à choisir parmi 7; ensuite on a 4 couleurs possibles pour chaque valeur choisie. D où 8C4C 74 3 3 possibilités
MA3 Exercices corrigés 4. Choisissons les valeurs des paires: C8 possibilités. Une fois choisies ces valeurs, on a C 4 possibilités pour choisir les cartes qui compose une paire. Ensuite, il reste une carte à choisir, qui ne doit pas avoir la même valeur que les valeurs déjà choisies (sinon on aurait un full): ce qui donne 6.4 4 cartes possibles. On obtient ( ) C 4 4 possibilités C 8 3. On choisit la valeur du brelan: 8 choix possibles. On choisit les 3 cartes du brelan: C3 4 choix. Ensuite il faut choisir les cartes restantes: elles ne peuvent pas avoir la même valeur, (sinon on a un full), elles doivent avoir une valeur différente de celle du brelan (sinon on a un carré); Il faut donc choisir valeurs parmi les 7 valeurs possibles restantes. Ensuite 4 choix pour chaque carte. On obtient 8C 3 4 C 7 4 possibilités (la aussi se pose un problème sémantique: si la main contient un full, dit-on en langage de poker qu elle contient un brelan??? je ne sais pas, dans mon calcul j ai estimé que non) 4. Choisissons la valeur du carré: 8 possibilités; ensuite on a 8 possibilités pour la carte restante. On obtient 8.8 possibilités Correction de l Exercice 6. er méthode: IlyaA,E,R,IetN;etVetN. ( ) ( ) ( ) 8 PlaçonslesA:ilya façons de faire; Ensuite, il y a façons de placer les E, puis façons pour les R, et ainsi de suite. Il reste ensuite le V et le N à placer sur les places qui restent: on a choix. On obtient donc ( )( )( 8 )( )( ) 6 4 mots possibles. ième méthode: Il y a lettres dans le mot ANNIVERSAIRE. En les permutant, on obtient! mots possibles. Cependant, il y a A, E, R, I et N. Il faut donc diviser! par!!!!! ( car en permutant les A, les E..., on obtient les mêmes mots). On obtient donc!!!!!!! 49688 mots possibles. 5. On va distinguer cas: er cas: Les voyelles du début et de la fin sont identiques. Il y a 3 types de voyelles différentes: A, E, I. On a donc 3 façons la voyelle qui commence et finit le mot. Ensuite, il faut calculer le nombre de mots faisables avec les types de voyelles identiques restantes ( A et E par exemple si on a choisi le I pour commencer et finir le mot) et les N, R, le S et le V. Avec un raisonnement identique à celui de la question ), on obtient ( )( 8 )( )( ) 6 4 mots possibles.
MA3 Exercices corrigés 5 Dans ce cas, on trouve donc 3. ( )( 8 )( )( ) 6 4 3.!!!!! 3.! 4 mots ième cas: Les voyelles du début et de la fin ne sont pas identiques. Choisissons les types de voyelles parmi les 3 qui seront au début et àlafindumot.ilya Ensuite on peut les permuter de façons. ( ) 3 façons. Ensuite il reste comme lettres: N, R, V, R, ( type de voyelle non choisie pour commencer le mot), voyelle identique à celle du début, voyelle identique à celle de la fin. ( )( )( ) 8 6 Avec ces lettres, on peut former 4! mots. ( )( )( )( ) 3 8 6 On obtient donc 4! 3.! mots. Conclusion: Il y a donc 3.! 4 + 3.! 34 3. Le bloc des voyelles a 7 places possibles. A l interieur de ce bloc, il y a ( cf question )) 6! façons de 3 ranger les voyelles. Ensuite, il y a ( cf question )) 6! façons de ranger les autres lettres. 3 On a donc 7!6! 34 façons de ranger les lettres. 5 TD n : probabilités conditionnelles et indépendance Exercice 7 On considère un groupe de personnes. Parmi ces personnes figurent des medecins (8%) et des profs de maths (5%), et des gens normaux (77%) C est bien connu: les profs de maths écrivent très mal. Mais dans ce domaine ils sont battus par les médecins, qui écrivent encore plus mal. Ainsi 5% des profs de maths écrivent de facon illisible, mais cette proportion atteint 7% des medecins. Quand aux gens normaux, seuls 3% ecrivent de façon incompréhensible. On considère un mot écrit par une personne du groupe.. Quelle est la probabilité que ce mot soit illisible?. Le mot est en effet illisible. Quelle est la probabilité qu il ait été écrit par une main noble? (c est a dire par un prof de math) Exercice 8 ( formule des probabilités conditionnelles en cascade) Soit (Ω, A,P) un espace probabilisé. Soient A,A,..., A n des évènements.. Montrer que P (A A...A n )P (A )P (A A )...P (A n A A...A n ) (on suppose que P (A A... A n ) )
MA3 Exercices corrigés 6. On considère une urne qui contient n boules noires et n boules blanches. On tire deux par deux, sans remise, toutes les boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir à chaque tirage deux boules de couleur différentes? Exercice 9 Les Anglais et les Américains orthographient le mot rigueur, respectivement, rigour et rigor. On trouve dans un hôtel parisien ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard dans ce mot, c est une voyelle. Or 4% des anglophones de l hôtel sont des Anglais et les 6% restants sont Américains. Quelle est la probabilité que l auteur du mot soit anglais? Exercice (Indépendance) On considère une famille. Soit A l événement: la famille a des enfants des deux sexes et B l évènement: la famille a au plus un garçon.. Montrer que A et B sont indépendants si la famille a trois enfants.. Montrer que A et B ne sont pas indépendants si la famille a deux enfants. Exercice Un joueur de foot s entraine à tirer des penaltys. La probabilité qu il réussise est p. Iltiren penaltys. Les tirs sont supposés indépendants. Calculer la probabilité qu il réussisse k penaltys. (k n) Exercice On considère un jeu de 3 cartes truqué quipossède deux dames de coeur.. On tire n cartes au hasard dans le jeu. Calculer la probabilité de s apercevoir que le jeu est truqué.. On suppose n 4 et on renouvelle l expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d expériences à réaliser pour qu on s apercoive que le jeu est truqué avec une probabilité de.95? Exercice 3 Un quart d une population a été vaccinée. Si on est vacciné, on tombe malade avec une probabilité de. Parmi les malades, il y a 4 non-vaccinés pour vacciné. Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade? Exercice 4 (encore des maladies) On considére une maladie dont est atteinte % de la population. Si on est malade, on meurt avec la probabilité.5. Il existe un traitement contre la maladie, qui fait qu un individu malade et traité n a plus que % de chances de mourir. Le test de dépistage permet de detecter 8 % des malades, mais désigne aussi à tort 3% de personnes saines. Or si une personne saine est traitée, elle meurt dans % des cas.
MA3 Exercices corrigés 7. Si on effectue aucun test de dépistage, quelle est la probabilité de mourir de cette maladie?. On décide de procéder àundépistage généralisé età un traitement des individus désignés comme malades. Quelle est la probabilité de mourir dans ce cas? (a cause de la maladie ou du traitement ) Correction de l Exercice 7 On note A l évènement : la personne qui a écrit le mot est un prof de math, A la personne qui a écrit le mot est un médecin, A 3 la personne qui a écrit le mot est normale On a d après l énoncé P (A ).5, P (A ).8, P (A 3 ).77 Les évènements (A,A,A 3 ) forment un système complet d évènements. En effet, ils sont à disjoints, de probabilité non nulle, et recouvrent tous les cas possibles.. Pour cette question, on applique la formule des probabilités totales: P ( le mot est illisible ) P ( le mot est illisible A )P (A )+P ( le mot est illisible A )P (A ) + P ( le mot est illisible A 3 )P (A 3 ).5.5 +.7.8 +.3.77.36. On utilise ici la formule de Bayes. P (A le mot est illisible ) P ( le mot est illisible A )P (A ) P ( le mot est illisible ).5.5.7.36 Correction de l Exercice 8. On développe le membre de droite; On a : P (A A ) P (A A ) P (A ),P(A 3 A A ) P (A 3 A A )... P (A A ) Donc D où lerésultat. P (A A...A n )P (A ) P (A A ) P (A )... P (A A...A n ) P (A... A n ). On pose A i on tire boules de couleur différente au ième tirage. On a facilement P (A ) n,p(a Cn A ) (n )... En effet, le conditionnement nous permet de savoir Cn ce qui s est passé aux tirages précédents. D où lerésultat: P ( boules différentes à chaque tirage ) n (n ) Cn Cn... n (n!) après calculs n!
MA3 Exercices corrigés 8 Correction de l Exercice 9 Notons V la lettre choisie dans le mot est une voyelle, C le lettre choisie est une consonne, A lemot est écrit par un anglais, A lemotestécrit par un américain. On cherche donc P (A V ). D aprèslaformuledebayes,p (A V ) { P (V A ) 3 6 Or P (V A ) 5 D où P (V A )P (A ) P (V A )P (A )+P (V A )P (A ) ( si l auteur du mot est anglais, c est rigour qui comporte 6 lettres dont 3 voyelles ) P (A V ), 5., 4, 5., 4+ 5, 6 Correction de l Exercice. Listons toutes les possibilités possibles: si la famille a 3 enfants, la composition de celle ci est {G, G, G}, {G, F, G}, {F, F, G}, {F, F, F} (4 posiblités, sans tenir compte de l ordre de naissance des enfants. Si on décide de tenir compte de l ordre, ce qui est un choix possible, on trouve 8 possibilités) P (A B) P ( la famille a exactement un garçon) 4 (un seul cas favorable: {F, F, G}) Or P (A) 4 ( les cas {G, F, G} et {F, F, G}), de même P (B) 4. D où l indépendance de A et B, puisque P (A B) P (A)P (B).. Il n y a plus que 3 eventualités possibles dans ce cas: {G, G}, {F, G}, {F, F} P (A B) 3,etP (A) 3, P (B) 3. On a plus d indépendance. Correction de l Exercice Vu en cours Correction de l Exercice. S apercevoir que le jeu est truqué, c est tirer les dames de coeur parmi les n; si on doit tirer les n cartes, et que pour deux d entre elles nous n avons pas le choix, cela revient àtirern cartes parmi les 3 qui restent. Or il y a en tout C3 n tirages possibles. Donc P (voir que le jeu est truqué ) Cn 3 C3 n. C est le même raisonnement que l on a fait dans un exercice du cours. On cherche k tel que P ( s apercevoir de l erreur en k tirages).95. Il est plus simple de calculer P ( ne pas s apercevoir de l erreur en k tirages). En effet, si on note p probabilité de s apercevoir de l erreur lors d un tirage, on a P ( ne pas s apercevoir de l erreur en k tirages) ( p) k par indépendance des tirages On cherche donc k tq ( p) k.95. On calculé p àlaquestionprécédente, ici on trouve p 3 48 et k 47
MA3 Exercices corrigés 9 Correction de l Exercice 3 Notons : V être vacciné, M être malade. On notera V le contraire de V. D après l énoncé, on peut écrire: P (M V ), P (V M) 5, P (V ) 4. On cherche x P (M V ). On a: x P (M,V ) P (V ) P (V M)P (M) P (V ) Or: P (M) P (M V )P (V )+P (M V )P (V ) ( formule des probas totales ). D où: x P (V M) ( ) P (M V )P (V )+P (M V )P (V ) P (V ) P (V M) ( ) P (M V )P (V )+xp (V ) P (V ) Or P (V M) 4 5. D où x 4 5 ( 4 ) + x 4 5 x 5 4 Correction de l Exercice 4 Notons: M être malade, Mo mourir, D être désigné positif par le test. D après l énoncé, on sait que: P (M)., P (Mo M,D).5, P (D M).8, P (D M).3, P (Mo D, M)., P (Mo D, M). On aura besoin par la suite des valeurs suivantes:. P (D) P (D M)P (M)+P (D M)P (M).8. +.3.99.377 P (D, M) P (D M)P (M).8..8 P (D, M) P (D M)P (M).3.99.97 P (M,D) P (M) P (D, M)..8.. On cherche P (Mo). Dans ce cas, il n y a pas de test donc P (Mo)P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D).5. +.99.5. C est plus compliqué. On a: P (Mo)P (Mo M)P (M)+P (Mo M)P (M). (a) Calculons P (Mo M) P (Mo,M). P (M) D où P (Mo M).8..8 P (Mo,M) P (Mo,M,D)+P (Mo,M,D) P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D)..8 +.5 (.).8
MA3 Exercices corrigés (b) Calculons P (Mo M) P (Mo,M). P (M) P (Mo,M) P (Mo,M,D)+P (Mo,M,D) P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D)..97 +.594 D où P (Mo M).594.99.6 (c) D où lerésultat: P (Mo).8. +.6.99.394 On constate donc que la probabilité de mourir est plus faible; il vaut donc mieux faire effectuer un traitement systématique des personnes détectées. Et tant pis pour les personnes traitées à tort et qui mourront des suites du traitement... 3 TD n 3: V.Adiscrètes Exercice 5 On considère une v.a X prenant 5 valeurs k,..., k 5. On a regroupé ces valeurs dans le tableau:. Calculer la valeur du paramètre a.. Calculer E(X), var(x). k i k k k 3 k 4 k 5 P (X k i ) a a a 3 a 4 a Exercice 6 Dans un zoo on a regroupé danslemême parc chameaux, 5 lamas et 4 dromadaires. Un visiteur prend au hasard 3 animaux en photo. On note X nombre de bosses présentes sur la photo.. Calculer la loi de X.. Calculer E(X) et var(x) Exercice 7 On considère un réseau où on transmet des bits. Chacun de ses bits a une probabilité p d être détruit ou perdu. Une trame formée de n bits est erronée si il manque au moins un bit.. Quelle est la probabilité qu une trame soit erronée?. Si on doit emettre 4 trames consécutivement (et de maniere indépendante), combien de trames intactes peut on espérer recevoir? 3. Combien peut on espérer recevoir de trames intactes avant l arrivée de la première trame erronée? Exercice 8 Robert vit mal son célibat et décide pendant cette soirée de quitter cette condition difficile. Il n est pas très doué pour la séduction, et adopte la tactique suivante: il va voir chaque fille jusqu à ce que l une d entre elle accepte ses propositions. La probabilité qu une fille accepte ses propositions est p.
MA3 Exercices corrigés. On note X nombre d essai avant qu une jeune fille cède à sa demande. Calculer la loi de X.. Au bout de combien d essais peut il espérer sortir du célibat? Exercice 9 Le nombre de clients entrant dans un magasin en un jour suit une loi de Poisson Poi(λ). Ce magasin possède n caisses, chaque client choisit sa caisse au hasard parmi les n. OnnoteX nombre d utilisateurs de la caisse.. On suppose que tous les clients entrant achètent au moins un article. Calculer la loi de X, etendéduire le nombre moyen de clients passant àlacaisse. On suppose que client sur n achete rien et ne passe pas à la caisse. Calculer la loi de X. Exercice Le nombre N d enfants d une famille d une population est une v.a de loi de Poisson de paramètre λ. Chaque enfant a la probabilité p d avoir un gène A, et ceci de façon indépendante. Soit X le nombre d enfants d une famille ayant le gène A et Y le nombre d enfants de la famille ne l ayant pas.. Quelle relation existe-t-il entre N, X, Y?. Pour n N et k {...n}, déterminer P (X k N n). Calculer la loi de X. 3. Déterminer la loi de Y. 4. Montrer que X et Y sont indépendantes. 5. Application. λ, p, 4. Déterminer la probabilité pour une famille d avoir 3 enfants présentant le gène A et enfants ne l ayant pas. Exercice Un fleuriste doit faire un bouquet de p + roses blanches pour un client. Son stock de roses est consitué de 4n roses, dont n sont blanches. (p +<n) Mais, troublé par une cliente venant d entrer, il choisit les roses au hasard. Soit X n le nombre de roses blanches dans le bouquet.. Calculer la loi de X n. Que se passe t-il si n tend vers +? Correction de l Exercice 5 Pas de problème Correction de l Exercice 6
MA3 Exercices corrigés. On determine d abord l ensemble des valeurs que peut prendre X. Au pire il y a 3 lamas et bosses, au mieux il y a 3 chameaux, donc 6 bosses sur la photo. X {,...6}. Donc Ensuite on en déduit le tableau suivant: k 3 4 5 6 P (X k) C5 3 C9 3 C 5 C 4 C 3 9 C 4 C 5 + C C 5 C 3 9 C 3 4 + C 4 C C 5 C 3 9 C 5 C + C 5 C 4 C 3 9 C 4 C C 3 9 C 3 C9 3 On vérifie bien que k P (X k). On trouve E(X) et var(x) Correction de l Exercice 7. On a P (trame erronée) P (trame correcte) ( p) n. X nombres de trames intactes reçues. On a affaire au schéma classique d une loi binomiale. (nombre de succès dans la réalisation de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes). Si on note q P (trame correcte), on a donc X B( 4,q). Donc E(X) 4 q 4 ( p) n 3. Notons Y nombre de trame intactes reçues avant de recevoir la premiere trame erronée. On a P (Y k) q k ( q) Pour faire une analogie avec le cours (nombre de tentatives que met un joueur de foot àréussir son penalty), Y + est un loi géométrique de paramètre q. Or l espérance d une telle loi géométrique est q. Donc E(Y )+E() q E(Y ) q q Correction de l Exercice 8. On est en présence d un schéma géométrique: la v.a prend ses valeurs dans {,...} N et P (X k) p( p) k Attention, ce n est pas (c en est presque une!) la loi géométrique telle qu elle a été définie dans le cours; il y a une translation de : la v.a X +estgéométrique de paramètre p. On cherche donc E(X). Or E(X +) p,donc E(X) p p Correction de l Exercice 9
MA3 Exercices corrigés 3. C est un exercice important, car on doit employer la formule des probabilités totales, ce qui arrive fréquemment. Le principe de raisonnement est le suivant: On est incapable de calculer directement la loi de X, car cette loi depend du nombre de clients qui sont entrées dans le magasin, or ce nombre est aléatoire! Notons N nombre de clients qui sont entrées dans le magasin. D après l énoncé, N Poi(λ). Si N k (si je sais combien de clients sont entrées), il est facile de calculer P (X k) En effet, cela revient à choisir parmi les k ceux qui sont passés à la caisse, sachant que pour un client, P ( passer àlacaisse n.c est un schéma binomial. Récapitulons : je connais Posons p n.ona: P (X i) { la loi de N: P (N k) e λ λ k k! la loi conditionnelle de X sachant N: P (X i N k) Ck i ( i ( n n) n + k + ki + ki e λ p i λ i + λ (λp)i e i! P (X i N k)p (N k) P (X i N k)p (N k) Ck i pi ( p) k i λ λk e k! ki + ki C i k k! λk i ( p) k i (λ( p)) k i (k i)! car on a forcément X N ) k i Or + ki (λ( p)) k i (k i)! e λ( p).d où P (X i) e λp (λp) i. Ainsi X Poi(λp) i!. C est exactement le même raisonnement, sauf que p ne vaut plus n,mais 9 n. Correction de l Exercice. On a N X + Y. Pour n N et k {...n}, onap (X k N n) Cnp k k ( p) n k. En effet, si on sait que la famille possède n enfants, que X k, onaforcément n k enfantsaveclegène B. On en déduit : P (X k) + nk + nk P (X k N n)p (N n) Cnp k k ( p) n k λ λn e n! e λ p k λ k + λ (λp)k e k! nk + nk C k n n! λn k ( p) n k (λ( p)) n k (n k)!
MA3 Exercices corrigés 4 Or + nk (λ( p)) n k (n k)! e λ( p) D où P (X k) e λp (λp) k. Ainsi k! 3. Par le même raisonnement, Y Poi(λ( p). X Poi(λp) 4. Soient k N,q N. calculonsp (X k, Y q). On a {X k, Y q} {N k + q}. Donc P (X k, Y q) P (X k, Y q,n k + q) P (X k, Y q N k + q)p (N k + q) (C k+q k pk ( p) q) ( e λ ) (k + q)! (λ)k+q λp (λp)k λ( p) (λ( p))q e e k! q! D où P (X k, Y q) P (X k)p (Y q). QED 5. Application. λ, p, 4. On cherche P (X 3,Y ). Parindépendance, P (X 3,Y )P (X 3)P (Y ).8 Correction de l Exercice. P (X n k) C k p+ A k n Ap+ k 3n A p+. 4n Rmq: en raisonnant d une autre manière, on peut aussi trouver P (X n k) Ck nc p+ k 3n même chose!) C p+ 4n (ce qui est la. Quand n +, ona:a k n nk. En effet, A k n est un polynôme en n; en+, il est donc equivalent à son terme de plus haut degré. On en déduit: P (X n k) Cp+ k n k (3n) p+ k (4n) p+ Cp+ k ( 4 ) k ( ) 3 p+ k 4 ( Donc P (X n k) k ( 3 ) p+ k. n + Ck p+ 4) 4 Quand n est grand, la loi de Xn est la loi B(p +, 4 ). On parle de convergence en loi. 4 TD n 4: V.Acontinues
MA3 Exercices corrigés 5 Exercice La vitesse d une molécule au sein d un gaz homogène en état d équilibre est une variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par m kt où b de la molécule. Évaluer a en fonction de b. f(x) ax exp( bx )six>,f(x) sinon et k, T, m sont respectivement la constante de Boltzmann, la température absolue et la masse Exercice 3 (Calcul de densités). Soit X une variable aléatoire continue ayant pour densité f(x) rx (r+) si x etf(x) sinon. (r>) (a) Donner l espérance et la variance de X. (b) Trouver la densité delavariablealéatoire Y ln(x). Soit X une v.a de loi N(, ). calculer la densité dey e X 3. Soit λ R +,soitu une v.a de loi uniforme sur [, ]. On considère X ln(u) λ. (a) Pourquoi peut on dire que X existe presque surement? (b) Calculer la loi de X Exercice 4 On considère une requête informatique. Deux serveurs A et B peuvent la traiter; le routeur envoie la requête au serveur A dans x% des cas, sinon à B. Le serveur B traite la requete selon un temps S B qui suit une loi Exp(), le serveur A fait le même travail selon un temps S A qui suit une loi Exp( ).. Quel serveur est le plus rapide en moyenne?. On note T temps de traitement de la requete. Calculer la loi de T 3. Quelle valeur donner à x pour qu en moyenne, le temps T soit inférieur à.5? Exercice 5 (Minimum de v.a de loi exponentielles). Soient T et T v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ et λ. On considère la v.a Z min(t,t ). Calculer la loi de Z. Généraliser au cas de n v.a (X,..., X n ) suivant respectivement des lois Exp(λ i ) 3. Robert attend au bureau de poste. Devant lui sont deux guichets occupés. Soient X et X les temps d occupation respectifs des deux guichets, on suppose que X et X sont indépendants st suivent des lois Exp(λ )etexp(λ ). On note Y le temps d attente de Robert. Calculer la loi de Y.
MA3 Exercices corrigés 6 Exercice 6 Une entreprise fabrique du chocolat. Une presse façonne les tablettes dont le poids X (exprimé en grammes suit une loi N(m, σ ), avec σ 3. Le réglage de la presse permet de modifier m par pas de. sans affecter σ. Les services de contrôle permettent que.5% des articles puissent peser moins que le poids net mentionné sur l emballage.. Determiner m pour respecter la loi si on indique 5 g sur l emballage.. On décide de vendre les paquets par lots de, avec comme indication 5 g. Calculerm dans ce cas. Si on vend plaques, quelle est en moyenne l économie réalisée? (On se souviendra que la loi de la somme de v.a indépendantes de loi N(m,σ )etn(m,σ ) est la loi N(m + m,σ + σ )) Exercice 7 Un appareil éléctrique fonctionne avec 3 piles P, P, P 3. Chacune de ces piles P i a une durée de vie X i, qui est une v.a de loi Exp(λ). On suppose de plus que les 3 durées de vie sont indépendantes. L appareil cesse de fonctionner dès que de ses piles sont mortes. On note T la durée de fonctionnement de l appareil.. Calculer G, la fonction de répartition de T.. T admet elle une densité? Si oui, la calculer. Exercice 8 Robert entre chez le coiffeur. Celui ci est occupé avec un client. La coupe dure (exactement) 3 min, et celle ci a débuté selon une durée aléatoire uniformément répartieentreet3min. Calculer la probabilité que t minutes après l entrée de Robert, le coiffeur n ait pas fini la coupe. Correction de l Exercice Il suffit de vérifier que. f(x). R f(x)dx Il suffit d avoir a pour que la première condition soit vraie. Pour la deuxième par contre, il faut faire un calcul. + f(x)dx ax e bx dx R a[ x b e bx ] + + a b + + π e bx dx (IPP) a b a π 4b 3 e bx dx a b b D où a 4b 3 π
MA3 Exercices corrigés 7 Correction de l Exercice 3. + E(X) xf(x)dx R [ rx r+ E(X) r r r ] + xrx (r+) dx On a par ailleurs var(x) E(X ) E(X).CalculonsE(X ): E(X ) x f(x)dx donc R + r r var(x) r dx xr [ rx r+ r r ( ) r r r On demande la densité deln(x). Notons g cette densité. g est la dérivée de F ln(x),lafonctionde répartition de ln(x). Or a R, F ln(x) (a) P (ln(x) a) Notons d abord que P (ln(x) a) sia, car X ] + P (ln(x) a) P (X e a ) car e x est croissante F X (e a ) Ainsi F ln(x) (a) F X (e a ). Dérivons cette relation, on obtient: ( Fln(X) ) (a) e a (F X ) (e a ) g(a) f(e a )e a car (F X ) densitédex! D où Rmq: ln(x) Exp(r) g(a) { { sia sia r e a re ra e a(r+). On va noter f la densité dex (donc f(x) π e x ), et on note g la densité dee X. On va calculer la fonction de répartition de e X, et ensuite la dériver pour trouver g. Soita R, calculons F e X (a) P (e X a). On a trivialement P (e X a) sia care X. On prend donc a>. P (e X a) P (X ln(a)) car ln est croissante F X (ln(a)) Donc en dérivant cette relation: (F e X ) (a) (F X ) (ln(a)) a g(a) a f(ln(a)) a ln(a) π e
MA3 Exercices corrigés 8 sia La densité dee X est donc g(a) ln(a) e sinon a π 3. (a) X est définie si U>. Or P (U ) P (U )caru est une v.a àdensité. Ainsi P (X n est pas définie) (b) Soit x R. Si x, on a bien sûr P (X x). Sinon, si x, : Donc X Exp(λ). P (X x) P ( ln(u) x) λ P (U e xλ )carlnestcroissante e λx Correction de l Exercice 4. En moyenne, le temps que met A à accomplir sa tache est E(S A ) Ainsi B est plus rapide en moyenne.. Soit a R. CalculonsP (T a). Si a, on a P (T a). On prend donc a. ;pourb c est E(S B ). Onacas:soitlarequête est traitée par A, soit elle est traitée par B. On est donc dans la sitution de l utilisation de la formule des probabilités totales. On note P (A) P (la requete passe par A), idem pour P (B). P (T a) P (T a A)P (A)+P (T a B)P (B) P (T a A)x + P (T a B)( x) Mais { P (T a A) a e t dt car S A Exp( ) P (T a B) a e t dt car S B Exp() Donc 3. On a E(T ) P (T a) x( e a )+( x)( e a ) ( x)e a xe a + P (T a)da ( x)+x x + + ( x)e a + xe a da On a donc + x, 5 x, 5 Correction de l Exercice 5
MA3 Exercices corrigés 9. Soit x R +.L évènement (Z >x) est egal àl évènement (T >x; T >x) En effet, si le minimum de deux nombres est plus grand que x, cela revient à dire que ces deux nombres sont plus grands que x. Donc : P ((Z >x) P (T >x; T >x) P (T >x)p (T >x)parindépendance e λx e λx e (λ +λ )x Donc P (Z <x) e (λ +λ )x, ce qui prouve que Z Exp(λ + λ )(six<, on trouve trivialement P (Z <) ). Montrons par récurrence que la loi de min(t,..., T n )estexp(λ + λ +... + λ n ). Si n, c est evidemment vrai. Soit n. Supposons que la loi de min(t,..., T n ) est la loi Exp(λ +... + λ n ), et calculons la loi de min(t,..., T n ). Si on note Z min(t,...t n ), on a: Z et T n indépendantes Z et T n suivent des lois exponentielles de paramètres (λ +... + λ n )etλ n min(t,..., T n )min(z, T n ) Donc d après la question ), la loi de min(t,..., T n ) est donc la loi Exp((λ +... + λ n )+λ n ). Donc: n N, la loi de min(t,..., T n ) est une loi exponentielle dont la paramètre est la somme des paramètres des T i. Correction de l Exercice 6. On cherche m tel que P (X >5).975. On a : Or si X N(m, σ ), X m σ P (X >5) P ( X m σ N(, ). > 5 m ) σ La table nous indique que si α.96, P ( X m σ >α).975. On a donc.96 5 m m 5.96σ m44. σ. On cherche maintenant m tel que P (X + X > 5) 975, où X et X représentent les poids de tablettes fabriquées. X et X sont donc indépendantes et suivent toutes deux des lois N(m, σ ). X + X suit donc la loi N(m, σ ). On a: P (X >5) P ( X m σ > 5 m σ ) On a donc comme au ) 5 m σ.96 m 5.96 σ m45.8
MA3 Exercices corrigés En moyenne, chaque plaque pèse donc m 45.8 grammes. En moyenne, on gagne donc 4. g par tablette si le réglage avait été simplement fait sur m 5 Ce qui fait, sur plaques, une écomomie de 4 g... 4 tonnes de chocolat, ce qui n est pas négligeable!!! Correction de l Exercice 7. Soit x R. CalculonsP (T x) Si x<, on a evidemment P (T x). Sinon, P (T x) P ( piles au moins sont tombées en panne pendant l intervalle [,x]) P ( piles exactement sont en panne ) + P (les3pilessontenpanne) Notons p P (une pile choisie au hasard tombe en panne pendant [,x]). Les piles ayant des durées de vie indépendantes, les évènements P i estenpanne et P j est en panne sont indépendants. Donc: P (T x) C 3 p ( p)+p 3 Or p P (D <x) e λx. Donc P (T x) 3e λx ( e λx ) +( e λx ) 3 { six< La loi de T est donc donnée par: P (T x) 3e λx ( e λx ) +( e λx ) 3 sinon Remarque: en développant, on obtient une expression plus simple: G(x) { six< +e 3λx 3e λx sinon. La fonction de répartition de G, calculée àlaquestionprécédente, est continue et de classe C par morceaux; ainsi T possède une dénsité qui est la dérivée de G. Le densité det est donc donnée par: { six< 6e 3λx +6e λx sinon Correction de l Exercice 8 Notons U le temps (en minutes) que le coiffeur a déjà passé avec le client qu il coiffe à l entrée de Robert. D après l énoncé, ce temps suit une loi uniforme sur [, 3]. Ainsi, la coupe va durer encore (3 U) minutes.soitt P ( le coiffeur n a pas fini sa coupe t minutes apres l entrée de Robert) P (3 U>t)P (U <3 t) si 3 t 3 t Or P (U <3 t) 3 si 3 t 3 si 3 3 t si 3 t t 3 si t 3 sit