Dallages Liens entre la géométrie et les arts Jocelyne Lambert
Dallages Les dallages sont à l étude à partir du deuxième cycle du primaire et au secondaire. Ils nous permettent d explorer et de nous familiariser avec le recouvrement du plan, les propriétés des figures planes ainsi que les transformations géométriques. La première partie de ce document vous suggère quelques activités d exploration des dallages à l aide de figures planes. Ces activités permettent aux élèves d approfondir les propriétés des polygones. On explore entre autre les notions d angle, de côtés parallèles, de côtés égaux, de régularité et d aire. L étude des dallages offre aussi une occasion aux élèves d approfondir les transformations géométriques. Dans la deuxième partie de ce document, on présente quelques techniques permettant de transformer un polygone en une nouvelle forme géométrique pouvant être utilisée pour construire un dallage. En appliquant ces techniques de façon concrète, l élève invente des formes géométriques des plus originales. Le résultat est immédiat. Si l élève a bien effectué ses transformations géométriques, la nouvelle forme créée s assemblera parfaitement à des formes identiques pour former un dallage artistique. À la fin de ces activités, vous pourrez utiliser ces techniques de transformations pour créer vos propres dallages. Vous pouvez enseigner ces techniques à vos élèves; cependant, la seule chose que vous ne pouvez leur enseigner est la créativité. Lors de ces activités, laissez libre cours à votre imagination. Explorons ensemble ce monde fascinant de la deuxième dimension où les mathématiques et les arts ne font qu un. Je vous souhaite beaucoup de plaisirs, Jocelyne Lambert 2
Dallages et régularités Première partie 3
Construction de dallages à l aide de figures géométriques Avant d amener l élève à créer une forme géométrique avec laquelle il inventera un dallage original, il est important qu il explore et se familiarise avec la notion de dallages réguliers et semi-réguliers construits à l aide de polygones. Quelques suggestions d activités : Exploration avec les triangles Construction de dallages avec un type de polygone Matériel: papier, règle, crayon, ciseaux (copie de différents types de triangle - facultatif) Consigne: Dessine un triangle sur une feuille de papier puis découpe-le. Découpe plusieurs triangles identiques à ton premier triangle. Peux-tu recouvrir une surface avec ces triangles? Colle ta solution sur une feuille de papier. Encouragez vos élèves à essayer avec différents types de triangle : triangle équilatéral triangle isocèle triangle scalène triangle rectangle triangle acutangle triangle obtusangle Discussion en groupe et conclusion. Exploration avec les quadrilatères (même démarche qu avec les triangles) Encouragez vos élèves à essayer avec différents types de quadrilatères : carré trapèze losange rectangle parallélogramme quelconque Discussion en groupe et conclusions. Même démarche d exploration avec d autres polygones ( pentagones, hexagones...). 4
Environnement et histoire Les dallages font partie de notre quotidien. À la maison, tout comme à l école, les élèves sont constamment en contact avec des dallages. Tuiles, céramiques, qu elles soient sur les planchers ou sur les murs ou encore la répétition de formes géométriques sur du papier peint ou sur du tapis, les dallages sont présents dans notre environnement. L histoire témoigne de chefs-d oeuvre artistiques, tels les décorations et les mosaïques créées par les sumériens datant de 4000 ans av. J.C. On retrouve, dans les livres d arts et d histoire, différents dallages aussi fascinants les uns que les autres. Demandez à vos élèves de faire une recherche personnelle sur les dallages. Observation de l environnement, recherche dans les livres... Les élèves peuvent faire un plan des dallages observés : exemple dallages observés (plan) Polygones utilisés hexagones réguliers triangles équilatéraux Construction de dallages avec deux types de polygones Remettre aux élèves une copie des polygones réguliers (annexe I). Activité : Peux-tu recouvrir une surface en utilisant deux types de polygones? Garde toujours la même séquence au sommet. Discussion des trouvailles des élèves en groupe. Construction de dallages avec trois types de polygones (même démarche que l activité précédente) À la suite de ces activités, les élèves ont observé certaines régularités et sont en mesure d élaborer une définition de qu est un dallage. 5
Sommets et angles Observations possibles On retrouve la même séquence de polygones à chacun des sommets d un dallage. Exemple : Dallage construit avec des carrés et des triangles équilatéraux. Chacun des sommets est formé de trois triangles équilatéraux et de deux carrés. Dans un dallage, on retrouve toujours la même séquence de polygones au sommet. La somme des angles au sommet est toujours de 360. Polygones Il est possible de construire un dallage avec tous les types de triangle. Il est possible de construire un dallage avec tous les types de quadrilatère. 6
Dallages réguliers Polygones réguliers Seuls trois types de polygones réguliers peuvent former un dallage régulier : Triangles équilatéraux Carrés Hexagones réguliers 7
Dallage : Dallages Recouvrement du plan à l aide d un ensemble fini de formes géométriques répétées. Un dallage est régulier s il est formé d un seul type de polygone régulier. Un dallage est semi-régulier lorsqu il est formé de deux ou plusieurs types de polygones réguliers. Polygones réguliers et dallages Polygones réguliers et dallages (limites : The Rev. Mr. Jones 1785) 1. Il ne peut y avoir plus de six polygones réguliers par sommet. q 2. Il ne peut y avoir moins de 3 polygones réguliers par sommet. 3. Il ne peut y avoir plus de 3 différents types de polygones réguliers par sommet. Un sommet formé par un triangle équilatéral, un carré et un pentagone, égale 258. Si nous ajoutons un hexagone, la somme des angles au sommet sera : (258 + 120 = 378 ). Donc, impossible de former un dallage. 4. Si on utilise quatre polygones réguliers, deux de ces polygones doivent être de même type. 5. Si on utilise cinq polygones réguliers, trois de ces polygones réguliers doivent être de même type. Seymour Dale; Britton Jill. 1989. Introduction to TESSALATIONS. United States of America. Dale Seymour Publications. p 51. 8
Selon les 5 points de Mr. Jones, il est possible de créer 21 combinaisons de polygones réguliers pouvant former un dallage. six triangles équilatéraux 6 X 60 trois hexagones 3 X 120 quatre carrés 4 X 90 Angles intérieurs et polygones réguliers Polygones nombre de côtés mesure des angles nombre d angles intérieurs deux carrés et trois triangles équilatéraux 2 X 90 + 3 X 60 ou deux hexagones et deux triangles équilatéraux 2 X 120 + 2 X 60 ou un hexagone et quatre triangles équilatéraux 120 + 4 X 60 un hexagone et deux carrés et un triangle 120 + 2 X 90 + 60 ou triangle 3 60 quadrilatère 4 90 pentagone 5 108 hexagone 6 120 heptagone 7 128 4/7 octogone 8 135 ennéagone 9 140 décagone 10 144 dodécagone 12 150 15-gone 15 156 18-gone 18 160 20-gone 20 162 24-gone 24 165 42-gone 42 171 3/7 - - - - - - n-gone n (n-2)180 n un dodécagone et deux triangles et un carré 90 + 2 X 60 + 150 deux octogones et un carré 2 X 135 + 90 deux dodécagones et un triangle 2 X 150 + 60 ou un dodécagone et un carré et un hexagone 90 + 120 + 150 un décagone et deux pentagones 2 X 108 + 144 un décagone et 15-gone et un triangle 60 + 144 + 156 un triangle et un ennéagone et un 18-gone 60 + 140 +160 un 20-gone et un carré et un pentagone 90 + 162 + 108 un octogone et un triangle et un 24-gone 135 + 60 + 165 9 un triangle et un heptagone et un 42-gone 60 +128 4/7 + 171 3/7
Dallages Deuxième partie
Dallages et transformations géométriques Il existe plusieurs façons de transformer une figure géométrique. Dans cette deuxième partie, nous utiliserons les transformations géométriques pour modifier des polygones. Les nouvelles figures géométriques obtenues nous permettrons de construire de nouveaux dallages. Trois types de transformation géométrique seront à l étude. Tout d abord la translation. La translation est le déplacement d une figure dans une direction donnée. Ce déplacement s effectue toujours en ligne droite. La deuxième transformation géométrique étudiée sera la rotation. La rotation est un déplacement qui permet de faire tourner une figure autour d un point appelé centre de rotation. Finalement, nous terminerons cette partie sur les transformations géométriques avec la réflexion. Une réflexion reproduit une figure en la retournant sur elle-même ou par rapport à un axe de symétrie. À la suite d une réflexion, nous obtenons une nouvelle figure symétrique à la figure initiale. C est à l aide de ces transformations géométriques que nous modifierons un polygone sans en changer l aire. La nouvelle figure géométrique créée servira à construire un nouveau dallage des plus originaux. Pegasus, M. C. Escher 11
Transformation d un polygone à l aide de translations Ces transformations peuvent être effectuées sur tous les quadrilatères ayant des côtés parallèles et des côtés égaux ainsi, que sur toutes les figures géométriques formant un dallage naturellement et ayant des côtés opposés parallèles et égaux. Première étape Choix du polygone : Exemple : un carré Modifier un côté du carré en découpant une partie de celui-ci. Deuxième étape Effectuer une translation avec la partie découpée vers le côté opposé. Troisième étape Modifier l autre côté de votre carré de la même façon que les étapes précédentes. Il est possible d effectuer plusieurs translations. Toutefois, il est très important de ne jamais découper un des sommets de notre figure. Quatrième étape Vous pouvez maintenant créer un nouveau dallage avec votre forme. Tracer votre forme sur une feuille. Vous pouvez dessiner un objet, un animal à partir de votre forme. 12
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Transformation d un polygone à l aide de rotations autour d un sommet Ces transformations peuvent s effectuer sur des polygones réguliers tels : le carré, le triangle équilatéral et l hexagone régulier. Elles peuvent aussi être utilisées sur des figures ayant des côtés adjacents égaux. Première étape Choix du polygone : exemple : un carré Modifier un côté du carré en découpant une partie de celui-ci. Puisque les rotations se font autour d un sommet, découper votre morceau à partir d un sommet. Attention de ne pas découper un sommet. Deuxième étape Effectuer une rotation avec la partie découpée à partir d un sommet. Troisième étape Modifier l autre côté de votre carré de la même façon que les étapes précédentes. Quatrième étape Vous pouvez maintenant créer un nouveau dallage avec votre forme. Tracer votre forme sur une feuille. Vous pouvez dessiner un objet, un animal... à partir de votre forme. 15
Etourdissant! Transformation d un carré par rotation à partir d un sommet 16
Transformation d un polygone à l aide de rotations à partir du milieu du segment Ces transformations peuvent s effectuer sur des triangles, des quadrilatères et l hexagone régulier. Première étape Choix du polygone : exemple un carré Modifier un côté du carré en découpant une partie de celui-ci. Utiliser une règle pour trouver le milieu de chacun des segments. Le centre de rotation se fait à partir du milieu du segment. Deuxième étape Effectuer une rotation avec la partie découpée à partir du milieu du segment. Troisième étape Modifier les autres côtés de votre carré de la même façon que les étapes précédentes. Quatrième étape Vous pouvez maintenant créer un nouveau dallage avec votre forme. Tracer votre forme sur une feuille. Vous pouvez dessiner un objet, un animal... à partir de votre forme. 17
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Transformation d un polygone à l aide de rotations autour d un sommet et à partir du milieu d un segment Exemple : un triangle Rotation autour du sommet Rotation à partir du milieu d un segment 19
Transformation d un polygone à l aide de symétries glissées Ces transformations peuvent s effectuer sur tout type de polygone qui forme un dallage ayant des côtés parallèles et égaux tels: carrés, losanges, rectangles et parallélogrammes. Cette transformation implique deux déplacements soit une réflexion et une translation. Première étape Choix du polygone : exemple un carré Modifier un côté du carré en découpant une partie de celui-ci. Deuxième étape Effectuer une translation vers le côté opposé. Effectuer une réflexion. Vous obtenez une symétrie glissée. Troisième étape Modifier les autres côtés de votre carré de la même façon que les étapes précédentes. translation réflexion Quatrième étape Vous pouvez maintenant créer un nouveau dallage avec votre forme. translation réflexion figure finale Tracer votre forme sur une feuille et créer un dallage original. 20
Petits poulets 21
Procédures pour créer un dallage à l ordinateur Dessiner le polygone avec les outils de dessins. Exemple : un carré Outil : rectangle Logiciel : Pour découper la forme : AppleWorks Associer : OBJET Copier : Coller : EDIT EDIT Translation (souris ou les flèches) Effacer le carré et associer la forme. Exemple : un triangle Outil : polygone régulier Découper la forme avec l outil trait ou main levée. Associer - Copier - Coller Rotation de 60 0 degrés - OBJET - rotation Effacer le triangle, la ligne supplémentaire et associer la forme. 22
Références Seymour Dale; Britton Jill. 1989. Introduction to TESSALATIONS. United States of America. Dale Seymour Publications. 256 pages. http://www.mcescher.com/ http://www.mathcats.com/explore/tessellationtown.html http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html http://mathworld.wolfram.com/tessellation.html http://www.peda.com/ 23
Annexes Formes à découper 24
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