Objectifs Mettre en évidence deux lois propres aux fluides visqueux : Responsable : O.Frantz, J.Geandrot la loi de Stokes (force de frottement exercée sur une sphère en mouvement dans un fluide) ; la loi de Poiseuille (écoulements dans des tubes fins). L analyse de ces phénomènes permettra de procéder à une mesure de viscosité. La viscosité d un fluide est une grandeur physique qui caractérise sa résistance à l écoulement. Elle se mesure en Pa.s (pascal.seconde), se note η et dépend fortement de la température pour les liquides. 12.1 Chute d une bille dans le glycérol 12.1.1 Formule de Stokes Georges Stokes s est intéressé à la force de frottement qu un écoulement visqueux produit autour d une sphère. Il s est placé dans le cas où l écoulement est gouverné par la viscosité. Stokes obtient qu une sphère de rayon r, immobile, plongée dans un liquide visqueux en ligne d écoulement v Ft Figure 12.1 Traînée sur un obstacle sphérique immobile écoulement permanent, ressent une force de frottement, dite force de traînée Ft = 6πηr v (12.1) où v représente la vitesse de l écoulement par rapport à la sphère et loin de la sphère. 77
Cette loi est vérifiée à condition que le régime d écoulement soit gouverné par la viscosité. Il existe un nombre qui permet de mesurer le caractère plus ou moins visqueux de l écoulement : le nombre de Reynolds R e : R e = µ v d η { Re 1 écoulement visqueux R e 1 écoulement non visqueux où µ est la masse volumique du fluide, v la vitesse d écoulement et d le diamètre de la bille. la formule de Stokes n est valable que si R e < 0,3, quand on souhaite une précision meilleure que 1%. 12.1.2 Vitesse de chute Considérons le problème de la chute d une bille dans un fluide au repos dans le référentiel du laboratoire. Effectuons le bilan des forces s exerçant sur la bille. Le poids : 4/3 πr 3 µ b g où µ b est la masse volumique de la bille. La poussée d Archimède : 4/3 πr 3 µ g. La force de frottement visqueux : 6π η r v où v est la vitesse de la bille. Attention cette force est opposée au vecteur vitesse. Dans le référentiel d étude, considéré galiléen, la seconde loi de Newton donne 4 dv 3 πr3 µ b dt = 4 3 πr3 (µ b µ) g 6π η r v Si la vitesse initiale est nulle, cette équation différentielle conduit à la solution v = 2 g (µ b µ) 9 η r 2 ( 1 e t/τ ) avec τ = 2 µ b 9 η r2 Lorsque t > 3τ, le terme exponentiel est négligeable devant 1 et la vitesse devient v = 2 g (µ b µ) 9 η Cette vitesse limite permet ainsi de remonter à la viscosité du fluide. r 2 (12.2) 78
12.2 Écoulement dans un tube fin 12.1.3 Expérimentation (45 ) L expérience consiste à faire tomber des billes d acier dans un tube rempli de glycérol (de formule CH 2 OH CHOH CH 2 OH) et à mesurer la vitesse limite. 1. Munissez-vous d un chronomètre ou utilisez le chronomètre en ligne à l adresse : http://www.chronometre-en-ligne.com/ 2. Lâchez une bille dans le tube puis mesurez, à l aide du chronomètre, la durée t correspondant au parcours entre deux repères que vous choisirez. Présentez un aimant une fois le deuxième repère franchi pour arrêter la chute de la bille puis la remonter. 3. Faites la mesure pour 6 billes de taille différente (diamètres : 20,0 mm ; 12,6 mm ; 6,35 mm ; 5,55 mm ; 4,75 mm et 4,00 mm). 4. Pour chaque bille on effectuera deux mesures de temps ce qui permettra d accéder à la valeur moyenne t et à l incertitude de cette moyenne t. Pour simplifier on prendra t = t max t min. 5. Calculez la vitesse de chute v ainsi que son incertitude. En portant la vitesse limite en fonction de r 2, montrez que la loi de Stokes est bien vérifiée pour certaines billes. Sachant que µ b = 7850 kg.m 3 et µ = 1261 kg.m 3, en déduire la viscosité du glycérol η ainsi que son incertitude. Comparer avec la viscosité théorique, sachant que celle-ci est dépend fortement de la température. 12.2 Écoulement dans un tube fin 12.2.1 Formule de Poiseuille Considérons un récipient de diamètre D dans lequel on branche un tube horizontal de diamètre d D. Ce tube dispose de 3 tubes verticaux en contact avec l air. Dans un premier temps, on bouche la sortie du tube horizontal et on remplit le récipient d un fluide. On attend le repos du liquide. On montre alors que la pression en un point du liquide ne dépend que de sa cote z. Ainsi, la surface libre qui est à la pression atmosphérique est nécessairement un plan horizontal. C est pourquoi le niveau du liquide est le même dans le récipient et dans les tubes verticaux comme l indique la figure ci-dessous. diamètre D Liquide visqueux h g L Dans un deuxième temps, on ouvre le tube horizontal : il y a écoulement. La pression n est alors plus uniforme dans le tube horizontal. À cause de la viscosité, la pression est plus forte 79
en amont (à la sortie du récipient) qu en aval (à la sortie du tube horizontal). Il existe alors une différence de pression que l on appelle perte de charge. Si l écoulement est suffisamment lent, la pression diminue linéairement le long du tuyau. Poiseuille a montré que p amont p aval = où Q v est le débit volumique de vidange (en m 3.s 1 ). 128 ηl πd 4 Q v h(t) Figure 12.2 Écoulement Dans le récipient, le liquide est quasiment au repos de sorte que la pression au fond s identifie à la pression hydrostatique p amont = p atm +µgh. En sortie du tube la pression vaut p aval = p atm. Finalement on a la relation 128 ηl µgh = πd 4 Q v (12.3) 12.2.2 Loi de vidange Cherchons la loi de vidange c est-à-dire l équation donnant l évolution du niveau h du liquide au cours du temps t sachant que h = h 0 à t = 0. Selon la loi de Poiseuille, le débit volumique est proportionnel à la hauteur de liquide h : Q v = µgπd4 128 ηl h Ainsi, entre t et t + dt, le niveau de liquide passe de h(t) à h(t + dt) de sorte que le volume perdu vaut dv = πd2 (h(t) h(t + dt)) 4 Par définition du débit volumique, on a dv = Q v dt = µgπd4 128 ηl h dt Par identification, on obtient l équation différentielle du premier ordre dont la solution s écrit h(t + dt) h(t) dt = ḣ = µgd4 32 ηld 2 h h(t) = h 0 e t/τ avec τ = 32 ηld2 µgd 4 (12.4) Ainsi, la mesure du temps caractéristique τ permet de déduire la viscosité du fluide. 80
12.3 Écoulement à travers un étranglement (30 ) 12.2.3 Expérimentation (45 ) Le tube de Poiseuille est fragile. Prenez en soin! On se propose de déterminer la viscosité de l eau du robinet. Procédez comme suit. 1. Obturez le tube horizontal et remplissez le récipient jusqu à environ 25 cm. 2. Munissez vous d un chronomètre ou d un smartphone en mode chronomètre et apprenez à vous en servir avant de commencer l expérience. 3. Ouvrez l extrémité du tube horizontal puis déclenchez le chronomètre à l instant où h = 20 cm. Enregistrez les instants correspondants aux hauteurs h = 18 cm, 16 cm, 14 cm, 12 cm et 10 cm. 4. À la fin de l expérience obturez le tube de Poiseuille et laissez le matériel en place. En portant ln h(t) en fonction de l instant t, montrez la validité de la loi de Poiseuille puis calculez la viscosité η de l eau sachant que L = 1 m, D = 6,1 cm et d = 4 mm. 12.3 Écoulement à travers un étranglement (30 ) 12.3.1 Expérimentation (30 ) 1. Remplacer le tube horizontal de section constante par un tube similaire mais présentant un étranglement. 2. Obturez le tube horizontal et remplissez le récipient jusqu à environ 25 cm. 3. Filmez (ou à la rigueur photographiez) à différents instant l écoulement. 4. Que constate-t-on? La chute de pression est-elle constante? Comment l expliquer? 5. Comment cela évolue-t-il au cours du temps? 6. Si vous avez le temps, utilisez le logiciel avimeca pour analyser les images. IMPORTANT Nettoyez les billes avec de l eau (le glycerol est soluble dans l eau) puis bien sécher. Nettoyer la paillasse à l eau. Matériel : un sachet de quelques billes calibrées ; un chronomètre ; un aimant ; Un kit pour l écoulement de Poiseuille ; Un thermomètre. 81