Le timing de rachat de la dette callable : Une application sur le marché français

Le timing de rachat de la dette callable : Une application sur le marché français Maxime Debon Université de Rennes 1 - CREM 21 Juillet 2007 Abstract Cet article vérifie l adéquation entre les vagues de rachat d obligations callable et les principaux modèles de timing présents dans la littérature, en se basant sur le taux d intérêt comme critère de décision. Au sein d un échantillon de 76 titres émis sur le marché français, composé d institutions financières et d entreprises publiques et privées, la performance des différents modèles et leur confrontation aux rachats effectifs de la firme permet de valider la contribution importante de la gestion du coût de la dette dans cette prise de décision. 1 Introduction L inclusion d une option de rachat au crédit de l émetteur est une pratique très répandue dans la sphère bancaire et immobilière. Historiquement ancrée dans les contrats obligataires fonciers, Winn et Hess (1959) font remarquer que les premières restrictions imposées par les investisseurs sur le Call Privilege sont apparues dès la fin des années 30. L exercice de l option de rachat a un coût pour l investisseur, celui du replacement de ses fonds mais aussi la perte de revenus dû à un taux de replacement généralement moins favorable. Ainsi, l investisseur requiert une compensation financière à l émetteur pour accepter la clause de rachat. Si la demande pour l inclusion d une clause de rachat au gré de l émetteur est plus pressante lorsque les taux d intérêt sont élevés (Kidwell, 1976), se pose la question de la valeur de l option et du bénéfice pour l émetteur. Les économies sur charges d intérêts apparaissent comme l élément moteur du rachat qui, par ce prisme, peut se définir par la taille de l émission, le timing du rachat et la probabilité de baisse des taux d intérêt (Winn et Hess, 1959). Convaincus que ce déterminant n est pas unique, de nombreux articles traitent des autres motivations au rachat anticipé. Dès 1986, Vu présentait une étude empirique où la modification de la structure du capital et la suppression de clauses restrictives au contrat peuvent aussi expliquer l inclusion d une clause de rachat. Par la suite, Kish et Livingston (1992) et King et Mauer (2000) ont apportés de nouveaux éléments relatifs à la flexibilité managériale que peut procurer cette clause, la réduction des coûts d agence notamment. La seconde partie de la littérature, plus ancienne et dans laquelle s inscrit cet article, n est pas liée aux motifs mais au timing de l exercice. Hors de toute politique globale de couverture du risque de taux, Il ne s agit pas de savoir pourquoi la clause fait partie du contrat mais Je tiens à remercier sincèrement mes directeurs de thèse Franck Moraux et Patrick Navatte qui, dans l orientation, la conduite et le support, ont permis la réalisation de cette étude au sein de l équipe Macroéconomie et Finance du CREM (Centre de Recherche en Economie et Management). 1

de savoir comment l utiliser sachant qu elle fait partie du contrat. L optique des économies sur charges d intérêts est naturellement au centre de ces développements et a été confirmé empiriquement par King et Mauer en 2000. Alors que les premiers travaux de modélisation dynamique de rachat utilisent une chaine de Markov pour introduire l incertitude (Pye, 1966; Bierman, 1966; et Kraus, 1973), le développement de la financedemarchéetdelathéoriedes actifs contingents a précipité l avènement de modèles de décision basés sur les prix (Brennan et Schwartz, 1977; Mauer, 1993). Cependant, les imperfections du marché (Tchatcher et Tchatcher, 1992 : coûts de transaction et différences fiscales entre émetteurs et investisseurs), le manque de liquidité des marchés obligataires corporate (Sarkar, 1997) nuisent à la fiabilité de cette démarche. De plus, la valeur de marché de l obligation est le reflet de la politique de la firme, d où la création d une référence circulaire en basant la décision de la firme sur le prix de son titre (Chiang et Narayanan, 1991). Puisque le critère des prix a été mis en doute, les auteurs utilisent le taux de coupon de refinancement qui, conjointement à la valeur actuelle des économies sur charges d intérêts, précise les conditions optimales de rachat. Cette méthode a l inconvénient apparent de rendre nécessaire une réémission immédiate de dette et semble ne pas pouvoir s appliquer aux firmes qui ne refinance pas leur ligne de dette. Néanmoins, le timing qui en est résulte convient aux deux situations financières possibles. Si une firme dispose d une trésorerie limitée, le seul moyen sans équivoque pour racheter sa dette est d en réémettre une autre, parvenant à cette opération au moment où les économies sur charges d intérêts que les managers peuvent en attendre sont les plus fortes. Sur la durée restante du prêt et après déduction des coûts de transaction, celle-ci peut disposer d une valeur faciale plus importante pour le même prix ou d une valeur faciale identique pour un prix moindre. Si cette firme dispose au contraire d une trésorerie importante, les gestionnaires vont tenter de la faire fructifier tant qu aucun projet d investissement n apparaît rentable. Pendant que le taux d intérêt est stable, peu inférieur au coût de la dette, la firme peut obtenir des rendements identiques sur le marché. Par contre, si les taux d intérêt baissent nettement, la meilleure opportunité d investissement de cette trésorerie devient le rachat de son obligation, le marché n octroyant plus de tels taux de coupons. L opération sera effectuée lorsque la différence entre la valeur actualisée de la dette et la valeur du remboursement sera maximale, le moment où les économies sur charges d intérêts sont les plus fortes. Ainsi, quelque soit la situation de trésorerie, le timing de rachat est identique et ne dépend pas d un éventuel refinancement. En conséquence, les titres rachetés mais non refinancés immédiatement peuvent être associés à cette méthode de prise de décision. D une manière symétrique aux vagues d émissions, l exercice de l option de rachat a fait apparaître empiriquement un phénomène de vague de rachats. En vérifiant la pertinence des différents modèles de rachat dans l explication de ce fait stylisé, l objectif de l article est de créer une hiérarchie dans la performance des modèles et de déduire les enseignements de la gestion du taux d intérêt comme unique déterminant du rachat. Une première section est consacrée à la littérature du timing de rachat et à l exposition des différents modèles existants. La seconde section définit le cadre d hypothèse et détaille la modélisation retenue pour optimiser le rachat. La section suivante précise la méthodologie, le protocole opératoire tout d abord et les mesures de performance ensuite. Enfin, après avoir énoncé les caractéristiques de l échantillon de 76 titres dans la quatrième section, la dernière regroupe les principaux résultats. 2

2 Revue de littérature du timing de rachat Pendant les décennies 60, 70 voire 80, la plupart des obligations émises sur le marché étaient callable. En liaison avec leur forte demande, les modèles n ont cependant pas tous vus le jour durant cette période. Historiquement, Pye (1966) et Bierman (1966) sont les premiers à avoir intégré la nature non déterministe de la clause de rachat en proposant une chaîne de Markov pour la valoriser. En revanche, il faudra attendre Kraus (1973) pour que la valeur de l option soit prise en compte en utilisant un processus stochastique incluant, de fait, la volatilité du taux d intérêt. Le processus binomial est le plus répandu (Tchatcher et Tchatcher, 1992), il est supposé correspondre aux mouvements du taux de coupon de chaque rating. Sous l effet des modèles orientés "prix", la structure par terme des taux d intérêt est bientôt retenue par la modélisation du taux instantané dans Ling (1991) et Chiang et Narayanan (1991). En reprenant la notion de taux d indifférence développé par ces derniers, Sarkar (1997) ajoute que l hypothèse d un taux de refinancement basé sur le taux sans risque introduit un biais significatif dans la décision de rachat. Pour cette raison, son modèle intègre une modélisation du taux de coupon sous forme de fonction affine à partir de régressions du taux de coupon sur le taux court. Dans son approche pratique, Sarkar soutient que la nature de l option de rachat impose une évaluation particulière où la valeur de l option décline plus rapidement, augmente le taux d indifférence, et favorise un rachat anticipé plus précoce. Auparavant, Boyce et Kalotay (1979) avaient développé le concept d efficience de rachat par rapport à la valeur théorique afin d exercer l option plus rapidement 1. Néanmoins, si les premiers modèles dynamiques sont apparus dès les années 60 dans la littérature, en pratique, le modèle statique des 100 points de base a conservé une place privilégiée jusqu au milieu des années 80. Ce dernier revient a exercer l option de rachat dès que le taux d un éventuel refinancement est de 100 points de base inférieur au taux actuel. D autre part, Mauer (1993), a proposé un modèle orienté "prix" tenant compte des coûts de transaction. Contrairement au taux d imposition, ceux-ci ne sont pas pris en compte dans la modélisation par les taux de Sarkar (1997), ni dans la modélisation retenue dans le cadre de cette étude. 3 Modélisation 3.1 Le socle du modèle dynamique Un modèle est dit dynamique si le taux à partir duquel la firmealieuderachetersadetten est pas constant dans le temps. Pour l ensemble des modèles de taux, le rachat est fonction de l échéance de l obligation, du niveau actuel du taux de coupon, du niveau des taux d intérêt et des anticipations des niveaux de taux d intérêt. La prise de décision est un trade-off à chaque instant entre la valeur des économies sur charges d intérêts 2 (EPV) d un exercice immédiat et la valeur temps de l option de rachat. Si la valeur de l option est supérieure à l EPV alors la firme n exerce pas. Pour cette raison, la gestion du coût de la dette à partir d obligations callable repose fortement sur le niveau des taux d intérêt et notamment de la structure par terme. L avènement des modèles à un facteur, le taux d intérêt instantané, a conduit à un renouvellement des modèles pour intégrer cette avancée technique. En suivant le modèle de Sarkar (1997), le processus de Cox-Ingersoll et Ross (CIR) a été privilégié pour rendre compte de la structure des taux. Le taux instantané sans risque r est fonction de la moyenne de long terme θ, de la vitesse d ajustement à cette moyenne κ et de la volatilité σ. 1 Le seuil d efficience retenu durant les décennies 80 et 90 était de 85%; il est de 90% depuis 2000. 2 En traduction anglaise, Expected Present Value 3

dr = κ(θ r)dt + σ rdz (1) Dans ce contexte d évaluation, on suppose les investisseurs neutres face au risque et l obligation sans risque de défaut. En conséquence, le discount factor 3 qui sert à actualiser les flux futurs de l EPV est le taux sans risque. En prenant en compte le taux d imposition en vigueur τ c, la valeur actuelle des économies sur charges d intérêts d un rachat immédiat 4 est : " Z # T EPV (r, t) =(1 τ c ) (C C ref ) D t (s)ds k(t) (2) où C est le taux de coupon versé actuellement, C ref le taux de coupon de refinancement dépendant du taux instantané r et k(t), la prime de rachat 5. Le processus CIR est la passerelle essentielle entre le niveau des taux et la décision de rachat car il conduit à la valorisation de l option, la principale difficulté technique de la modélisation. En passant par le lemme d Itô, le processus CIR permet d évaluer tout produit dérivé de taux, d une obligation zéro-coupon à une option sur obligation. Il s ensuit l équation différentielle que doit respecter tout titre dérivé de taux et de prix P àpartirduprocessuscir: P + k(θ r) P t r + 1 2 σ2 r 2 P rp =0 (3) r2 l obligation zéro coupon peut être évaluée à partir d une formule fermée mais les autres actifs dérivés de taux sont le plus souvent évalués avec une procédure numérique. Au delà d une certaine période de temps 6, l option de rachat peut être généralement exercée à tout moment par la firme 7. Sa nature est américaine et elle admet une autre spécificité, un payoff nul àéchéance-. LavaleurV (r, t) de l option de rachat suit néanmoins la même équation différentielle mais réclame une méthode numérique de convergence forte. La méthode des différences finies implicite de Vetzal (1997) est particulièrement adaptée à cet effet grâce aux algorithmes spécifiques qui rendent les valeurs dynamiques aux bornes de la matrice 8. Celle-ci est fonction des deux variables dépendantes r et t. Utilisant une méthode backward àpartir de l échéance, la valeur de l option est, pour chaque point de la grille, le maximum entre l EPV et l actualisation de la valeur de l option de la période précédente à un même niveau de taux. V (r, t) =Max[V (r, t),epv(r, t), 0] (4) Achaqueinstantt, de l échéance jusqu à la période initiale, il existe une valeur de la variable d état r pour laquelle l EPV est égale à la valeur actualisée de l option. Le taux rt qui en résulte est le taux instantané d indifférence en t. Pour les valeurs de r supérieures à rt, la valeur de l option actualisée est supérieure à l EPV, l exercice n est pas théoriquement optimal. Pour les valeurs de r inférieures à rt, la valeur de l option est inférieure à l EPV, l exercice est conseillé car la valeur temps de l option est nulle 9. 3 Le discount factor D 0 (t) peut être interprété comme la valeur actuelle (en 0) d une unité monétaire versé en t. 4 La formule est utilisée par Sarkar (1997) et l intégrale est calculée par la méthode Romberg précisée dans l ouvrage Numerical Recipes de Press et al. 5 C(T t) D après Sarkar (1997), k(t, T )= avec T la maturité du titre et t le temps déjà écoulé. 6 T La clause dénommée two-tiered call est parfois incluse dans les contrats obligataires et proscrit l usage de l option de rachat pendant un certain temps après l émission, généralement 5 ans (Tchatcher, 1985) 7 La fréquence de rachat n est parfois qu annuelle et plusieurs auteurs utilisent une composition d options européennes (Buttler, 1995). Néanmoins, l écart de valorisation en utilisant directement une option américaine ne peut être que minime et sans conséquence pour le timing de rachat. 8 Détails dans l annexe. 9 Cette méthode d exercice est connue sous le nom de smooth pasting condition. La pertinence de ce critère de décision a été démontrée par Merton (1973). t 4

V (rt,t)=epv (rt,t), rt (5) Pour une date initiale donnée, l ensemble des taux instantanés d indifférence forment la frontière d exercice théorique optimale. Ainsi, le taux d indifférence initial est le taux constituant la prise de décision du modèle théorique. 3.2 Les variantes du modèle théorique A chaque instant t existe aussi une valeur de la variable r où l exercice de l option de rachat ne rapporte rien et ne coûte rien. L ensemble de ces valeurs constitue la frontière où l exercice de l option devient rentable pour la firme. Le taux correspondant au t initial forme le modèle Zéro, un indicateur d étalonnage des modèles dynamiques. En pratique, les taux d indifférence exigés par le modèle théorique sont parfois difficiles à atteindre et laissent des opportunités de rachat intéressantes s échapper. Partant du constat qu il existe un intervalle de taux important entre un exercice rentable et un exercice optimal, le modèle de Kalotay consiste à fournir le taux d indifférence où l efficience du rachat est de 85%. En t, le ratio d efficience estlerapportdel EPVsurlavaleurdel optiontelque: EPV (r, t) R eff (t) = (6) V (r, t) De là, selon Boyce et Kalotay, l exercice de l option doit être réalisé lorsque le ratio d efficience atteint 85%. Cependant, la valeur du coefficient utilisé par Kalotay relève davantage d une bonne connaissance du marché plutôt que d une justification théorique. Pour un effet similaire, le modèle de Sarkar utilise une équation différentielle légèrement modifiée, mais l auteur ne précise pas la teneur de la démarche qui l a conduit à sous-évaluer la valeur temps de l option. Ainsi, dans le cadre de cette étude, nous proposons le modèle Efficient. 3.3 LemodèleEfficient Ce modèle, reprend le principe d efficience de Boyce et Kalotay (1979) mais vise à rendre dynamique la valeur du coefficient en y adjoignant une notion existante aussi dans leurs travaux, la notion d efficacité constante. Le graphique 1 présente un exemple de calcul d option de rachat pour une échéance à 10 ans. Les frontières d indifférence des modèles Zéro, Efficient et théorique y sont présentées. En se situant sur la frontière de rentabilité nulle, l efficience du rachat est de zéro. En conservant l option, la firme ne peut perdre en efficience et ne gagnant rien, un rachat futur a 100% de chances d être plus efficace. A l inverse, en se situant sur la frontière d exercice optimal, l efficience du rachat est de 100%. La conservation de l option par la firme ne peut faire lui faire perdre ses 100% d efficience sans aucune opportunité d être plus efficace, en raisonnant à l optimum. Ainsi, pour tout état de la nature, il existe un taux où les pertes éventuelles en efficience égalisent le gain potentiel en efficacité, ce taux est dit efficient. Pour y parvenir, doit être calculée la probabilité, P eff, d être plus efficace dans le temps restant avant échéance. Pour cela, il faut calculer à quel moment le gain d un exercice immédiat va égaliser le gain d un exercice différé sur la courbe optimale. La probabilité, P eff, est le rapport du temps restant pour être plus efficace, d t, sur le temps restant avant échéance tel que : P eff (r, t) = d t T t lorsque EPV (r, t) =EPV (r t+d t,t+ d t ) (7) Sur le graphique 1, en t initial, le taux efficient est le taux où le risque de retour vers la frontière de rentabilité nulle est égal au temps restant pour être plus efficace. Les points 5

situés en dessous de la courbe d efficience, et jusqu à la courbe optimale, sont des points d exercice conseillé. Frontiere d exercice et Frontiere de rentabilite positive en fonction du temps 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 10 8 6 4 2 0 Graphique 1: Frontière d exercice optimal d une option de rachat de dette jusqu à son échéance (courbe continue bleue). Comparaison avec la frontière rentabilité positive où l option est dans la monnaie (courbe rouge pointillé long)etaveclacourbed effi cacité constante dont le point initial est le taux d indifférence du modèle Effi cient (courbe verte pointillé court). [Echéance 10 ans, Maturité 20 ans, Tx coupon=0.1, Call Premium = Vrai, kappa = 0.06, lambda = 0.0, theta = 0.07, sigma = 0.06] 3.4 La modélisation du taux de coupon L avancée technique majeure de Sarkar (1997) est d avoir proposé, en plus de la modélisation du taux court comme proxy du taux instantané, une modélisation du taux de coupon en fonction du taux court. En revenant à la formule de calcul de l EPV, la pierre angulaire de la prise de décision de rachat, le terme Cr, letauxdecouponderefinancement, doit retenir l attention. Jusqu au modèle de Sarkar, le taux de coupon n était pas pris en compte. Il fait dorénavant partie intégrante du modèle. Puisque le taux de coupon est généralement plus élevé que le taux court, le taux d indifférence qui provient du modèle traditionnel est plus faible que le taux de refinancement atteignable par les firmes. Pour modéliser le taux de coupon, Sarkar procède à plusieurs régressions pour différentes maturités tel que : C ref (r, t) =α(t)+β(t) r(t) (8) Sa période d estimation est relativement longue, de 1976 à 1992, et favorable pour obtenir des coefficients assez homogènes. Dans ce contexte, l utilisation de la régression est assez attractive mais son usage peut créer un effet de compression sur la grille de calcul de la valeur de l option lorsque la constante est trop élevée ou le coefficient trop faible 10. Cet effet de compression rend rigoureusement impossible l obtention d un taux d indifférence inférieur à la valeur de la constante. De plus, le coefficientjouelerôled uneffet de levier sur la variable 10 Cet effet semble avoir lieu dans les simulations effectuées par Sarkar si bien que l attribution de certains résultats aux performances du modèle de Sarkar sont avant tout les conséquences de la valeur des coefficients de régression, notamment pour la maturité de 20 ans. 6

d état r, une valeur nettement inférieure à 1 restreint alors fortement l amplitude de celle-ci dans la grille. En outre, les deux effets sont le plus souvent combinés et proviennent d une corrélation faible entre le taux court et le taux de coupon. Pour des raisons de souplesse d utilisation, la modélisation du taux de coupon est effectuée en calculant la moyenne du ratio Taux de coupon (C ind ) / Taux Court (r ind )telque: C ref (r, t) =G(t) r(t) où G(t) = 1 n tx t n C ind r ind (9) 0.1 Frontiere d exercice et Frontiere de rentabilite positive en fonction du temps 0.1 Frontiere d exercice et Frontiere de rentabilite positive en fonction du temps 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.05 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 Graphique 2: Comparaison des taux d indifférence issus de la modélisation du taux de coupon par régression (α=0.047;β=0.48) et par coeffi cient (G(t)=1.474), le 10/04/97. [Echéance 10 ans, Maturité 20 ans, Tx coupon=0.1, Call Premium = Vrai, kappa = 0.06, lambda = 0.0, theta = 0.07, sigma = 0.06] Le graphique 2 compare la valeur de l option calculée avec une modélisation du taux de coupon par régression et une modélisation par coefficient à partir du même historique de données. Issu de la régression, le premier graphique laisse apparaître en t initial un taux d indifférence d exercice optimal proche du taux de rentabilité nulle; une situation qui ne permet pas de prendre de décision en confiance. De plus, pour les valeurs de la grille situées près de l échéance, la valeur de la constante perturbe le calcul de l option. Au contraire, par des valeurs de paramètres de taux identiques, la méthode par coefficient distingue nettement les différentes frontières d indifférence, sans calcul biaisé. Concrètement, la modélisation du taux de coupon suppose un indice. En admettant que l indice soit en moyenne parfaitement représentatif de l échantillon étudié, cela ne signifie parquepriseuneàune,letauxde refinancement corresponde pleinement avec la qualité de crédit de la firme. L hypothèse des modèles est de supposer qu il existe une force de rappel vers le rating moyen du marché; une firme très bien notée à l émission ne pouvant que stagner ou perdre en qualité de crédit et une firme mal notée ne pouvant que stagner ou progresser. Néanmoins cette hypothèse peut paraître forte. Alors, les taux de coupons des firmes n étant pas tous alignés sur l indice, un modèle dénommé Beta est proposé, il porte sur le taux de refinancement une contrainte de coefficient égale à l écart constaté à l émission avec l indice tel que C beta (r, t) =C ref (r, t) ϕ où ϕ = C (10) C indice où le taux de refinancement est C beta. Si le taux de coupon de la firme est de 1.2 fois le taux de coupon indiciel à la même date, alors, le taux de refinancement sera de 1.2 fois l indice à la date de rachat. Contrairement aux autres modèles, ce dernier impose une prime de risque par rapport au marché identique, en proportion, à l émission que lors du rachat éventuel. 7

4 Méthodologie 4.1 Protocole La méthodologie est issue de l étude empirique de Thatcher et Thatcher (1992) sur le timing de rachat. Il s agit de confronter le modèle aléatoire, le modèle basique et le modèle de Finnerty, Kalotay et Farrell (1988) face aux performances réalisées par les firmes. En proposant ici 9 modèles de rachat, l objectif est de créer une hiérarchie des modèles tant dans leur performance que dans leur potentiel explicatif de l existence de vagues de rachats. Outre les 6 modèles dynamiques de rachat décrits précédemment, sont adjoints les modèles d étalonnage Basique, Aléatoire et Zéro. Le protocole consiste, sur la période de temps la plus large possible, pour chaque firme et pour chaque modèle, à évaluer mensuellement si l option doit être rachetée. Ainsi, pour chaque date, chaque firme et chaque modèle, on calcule le taux d indifférence quiséparelazoned exercicedelazonedenonexercice. Unedatederachatdemodèleest une date où le taux d indifférence retourné par le modèle est supérieur au taux de coupon en vigueur d après l indice du taux de coupon. 4.2 Mesures de Performance Idéalement, un modèle fondé la gestion du coût de la dette donnerait entièrement satisfaction si la première date d exercice spécifiée par le modèle était la date où l EPV est la plus forte de toute la période de vie de l obligation. La seconde date serait la valeur d EPV la plus forte de la période restante après la date du premier exercice; les autres dates d exercice suivant un raisonnement similaire. Alors, la performance d un modèle réside dans sa capacité à générer des économies sur charges d intérêts et la mesure prioritaire est, pour chaque modèle et chaque firme, l EPV à la date du premier taux d indifférence supérieur au taux de coupon, intitulé "Perf. EPV Initiale" dans le tableau 2. La performance peut aussi s envisager dans la mesure du pourcentage à la première date de rachat de l EPV Maximum possible, "Perf EPV Initiale / EPV Max", ou encore le pourcentage de firmes où le modèle a permis d atteindre l EPV Maximale, "Atteinte EPV Max". En utilisant l EPV réalisée par les firmes 11,peutêtre calculé l avantage qu aurait la firme, dans une recherche du maximum d économies, à utiliser l un des modèles, un mesure dénommé "Gain efficacité". Celle-ci est la différence entre le pourcentage de l EPV Maximum acquise par le modèle et la firme. Dans ce même sens, la "Supériorité Initiale" rend compte du pourcentage de titres où le modèle surperforme la firme. L attrait pour d un modèle peut aussi être associé à l ensemble des dates de rachat, plusieurs des mesures précédentes sont reprises sous cette forme, "Perf. EPV Moyenne" et "Supériorité Moyenne". Le terme "Validation" donne la mesure du pourcentage de firmes dont le modèle signale un rachat lors de la date effective choisie. Enfin, quelques indicateurs, "Tx Coupon Ref". et "Tx Indifférence", liés respectivement au taux de coupon de refinancement et au taux d indifférence lors des dates de rachat permettent de situer le degré d exigence de chaque modèle. 11 Cette méthode de calcul pose la question de la pertinence de l indice du taux de coupon comme valeur effective de refinancement de firme. La comparaison des taux de coupons émis par les firmes avec la valeur de l indice de référence, indique un écart de 47 points de base sur les 76 titres, soit 5,18% d écart. 8

5 Description des données 5.1 Echantillon d obligations callable Afin de compléter l étude par les prix des obligations callable sur le marché français de Bellier- Delienne (2001), l échantillon retenu est composé des titres émis en francs ou en euros. A partir de la base de données Datastream, peuvent être répertoriées 338 obligations rachetables correspondant sur le marché français. Etant étudiées dans une analyse par les taux et sous l angle de la gestion du coût de la dette, les obligations sélectionnées ont un coupon fixe; une option de rachat sur un contrat à taux variable n ayant sans doute pas le même mode d exercice. De 111 titres, doivent être conservés les titres rachetables au gré de l émetteur et exclus les titres à échéance perpétuelle. Enfin, seuls sont sélectionnés les titres émis après le 01/01/1984, date de commencement de l indice corporate, et avant le 01/01/2000 pour avoir quelques années de test sur chaque titre. En tenant compte d un rachat postérieur au 01/01/1991 puis en ajoutant quelques titres français de mêmes caractéristiques mais cotés sur le marché international, l échantillon se compose de 76 titres dont 48 ont été rachetés 12 et 28 non rachetés. Quelques émetteurs proviennent d entreprises publiques mais la majorité sont des institutions financières. Ce type de données est adapté à la validation des modèles pour deux raisons principales. D une part, un des coeurs de métier des institutions financières est l intermédiation des flux par la gestion du taux d intérêt. Constitutif de leur marge, ce sont les entreprises, privées ou publiques, les plus enclines à exercer leur option de rachat par un critère de décision lié au niveau des taux. D autre part, les modèles ne prenant pas en compte le risque de défaut, les titres de l échantillon doivent bénéficier d une exposition à ce risque limitée. Le tableau 1 regroupe les principales caractéristiques de l échantillon. Indicateur - Moyenne Echantillon - 76 Echantillon Exercé - 48 Echantillon Non Exercé - 28 Nombre Années Testées 10.03 9.93 10.20 Montant Emission (E) 265 220 785 346 912 340 125 178 720 TauxCourt Emission 5.16% 6.28% 3.26% TauxCoupon Emission 9.07% 9.46% 8.41% TauxCoupon Indice 9.54% 10.05% 8.67% Date Emission 27/10/1989 01/10/1988 28/08/1991 Date Rachat Anticipé 14/03/1998 30/09/1995 29/05/2002 Echéance Initiale 29/05/2001 27/10/2000 29/05/2002 EPVFirme Min -6.00% -5.86% -6.24% EPVFirme Max 12.21% 12.55% 11.64% EPVFirme Moyen 4.52% 4.95% 3.80% EPVEffective 4.35% 6.86% 0.00% Perf. Firme / EPVMax 32.45% 51.39% 0.00% Tableau 1: Principales caractéristiques quantitatives révélatrices de la nature de l échantillon étudié. En considérant l ensemble de l échantillon, les obligations callable françaises émises dans la période 1984-2000 ont une maturité moyenne de près de 12 ans et un rachat, quand 12 Parmi les titres rachetés, seuls 7 ont été explicitement refinancés. Plusieurs firmes ont néanmoins réémis de la dette peu après leur rachat sans entrer dans cette catégorie. 9

il a eut lieu, 5 ans avant échéance. Le taux de coupon moyen à l émission est de 9.07%, de 0.47% inférieur à l indice choisi pour représenter les titres. Le taux de coupon moyen est plus faible pour l échantillon non exercé avec 8.41%, un premier élément de la moindre propension à racheter de cet échantillon. Le montant d émission plus faible, le taux court près de deux fois inférieur et une maturité légèrement raccourcie sont autant d autres facteurs défavorables à l exercice. Une tendance confirmée par les écarts d EPV avec l échantillon exercé. En effet, ces dernières pouvaient économiser jusqu à 12.55% de la valeur faciale de la dette, contre 11.64% seulement pour l ensemble des 28 firmes. La valeur moyenne de l EPV sur la période est aussi à l avantage des firmes ayant exercé avec 4.95% contre 3.80%; des chiffres révélateurs des opportunités de rachat sur cette période. En outre, comme l a noté Bellier Delienne (2001), nombreux sont les rachats qui ont eu lieu en période de baisse des taux, un comportement attendu dans une optique de gestion du coût de la dette. De plus, les firmes ayant rachetés ont fait mieux que l espérance en économisant 6.86%, soit 51,39% du maximum possible. Néanmoins, la taille de l échantillon n a pu rendre l écart, entre l EPV moyenne et la performance des firmes, significatif. 12 Volume de rachat 10 8 6 4 2 0 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 Graphique 3: Répartition du volume de rachat annuel des obligations callable françaises de 1990 à 2003. 5.2 Estimation des paramètres L échantillon d obligation callable est à relier avec les taux d intérêt pour parvenir aux résultats. Une première étape consiste à modéliser le taux de coupon de refinancement, approché par l indice Corporate français dénommé "FRANCE CORP. YIELD (ECON) DEAD - MIDDLE RATE" puis l indice Corporate européen à partir du 06/01/1999 et dénommé "EURO AREA BOND YIELD CORPORATE (ECON) - MIDDLE RATE", à partir du taux court, le PIBOR 1 mois disponible depuis le 06/11/1987. Pour chaque date test, la valeur de coefficient entre le taux court et le taux de coupon est la moyenne historique sur trois ans. Ensuite, une seconde étape tient à l estimation des paramètres du processus CIR en environnement risque neutre 13. De façon similaire, l estimation des paramètres est mensuelle, à partir d un historique de trois ans. La méthode du maximum de vraisemblance a été utilisée à partir du taux Pibor 1 mois en fréquence hebdomadaire, comme De Winne (1995) le conseille. Sur l ensemble de la période effective de test, ces paramètres ont été estimés 215 fois. Le résultat figure sur le graphique 4. La convergence sur 3 ans n ayant pas fonctionné à chaque reprise, une estimation sur 5 ans 13 Sont estimés les paramètres κ, θ et σ mais λ reste nul. 10

a pu être utilisée pour la remplacer. En outre, le choix d une fenêtre glissée de 3 ans a pour but de garantir une certaine réactivité des entreprises tout en se protégeant des anomalies ponctuelles par des tests mensuels. 0.2 0.15 0.1 0.05 1990 1992 1993 1995 1996 1998 1999 2001 2002 2004 2006 2007 Rzero Kappa Theta Sigma Graphique 4: Estimation des paramètres du processus CIR entre 1990 et 2007 sur le Pibor 1 mois. 6 Confrontation empirique et résultats 6.1 Performance des modèles Les principaux résultats obtenus avec les modèles, sur l échantillon des titres exercés, sont regroupés dans le tableau 2. Tout d abord, tous les modèles dynamiques - Traditionnel, Sarkar, Théorique, Beta, Efficient et Kalotay - présentent en moyenne un gain en efficacité positif sur le rachat opéré par les firmes. De 1,47% pour le modèle Traditionnel à 21,41% pour le modèle Efficient, en passant par 10,17% pour le modèle théorique. En effet, L EPV obtenue grâce aux modèles dynamiques est supérieure à l EPV réalisée par les firmes, 7.73% pour le modèle théorique contre 6.86% pour les firmes. A contrario, les modèles témoins - Basic, Zéro et Aléatoire - ont des performances inférieures aux firmes. Au niveau de la hiérarchie des modèles, se retrouvent des similitudes entre les modèles dynamiques avec un taux de coupon de refinancement initial très proche, à 5.95% pour le modèle théorique. Le modèle efficient est à l écart en présentant un taux de coupon initial de 6.99% de moyenne et une EPV supérieure. Il illustre les deux dimensions du mécanisme de rachat anticipé, le taux de refinancement mais aussi le temps restant avant échéance. 11

Aléatoire Basic Traditionnel Sarkar Théorique Beta Efficient Kalotay Zero Gain Efficacité -114.35% -7.67% 1.47% 12.23% 10.17% 10.64% 21.41% 14.69% -8.99% Validation 70.83% 81.25% 25.00% 20.83% 22.92% 25.00% 50.00% 25.00% 81.25% Supériorité Initiale 6.25% 29.17% 60.42% 52.08% 50.00% 45.83% 62.50% 60.42% 35.42% Supériorite Moyenne 27.08% 50.00% 33.33% 35.42% 31.25% 33.33% 47.92% 35.42% 50.00% Perf. EPV Initiale -3.23% 4.92% 7.89% 7.88% 7.73% 7.72% 8.25% 8.17% 4.95% Perf. EPV Moyenne 5.15% 6.35% 5.18% 5.41% 5.00% 4.99% 6.33% 5.20% 6.34% Perf. Initiale / EPV Max -62.97% 43.71% 62.88% 63.61% 61.56% 62.02% 72.80% 66.08% 42.40% Perf. Min / EPV Max -69.40% 1.97% 1.47% 1.47% 1.47% 3.33% 1.51% 3.95% 1.47% Atteinte EPV Max 64.58% 100.00% 27.08% 33.33% 27.08% 27.08% 91.67% 35.42% 100.00% Tx Coupon Initial Ref. 10.38% 8.11% 6.02% 5.97% 5.95% 5.95% 6.99% 5.97% 8.08% Tx Coupon Moyen Ref. 6.80% 6.22% 5.43% 5.37% 5.39% 5.36% 5.76% 5.39% 6.22% Tx Indifference Initial 15.53% 8.47% 6.28% 6.25% 6.17% 6.21% 7.22% 6.22% 8.41% Tx Indifference Moyen 13.31% 8.46% 7.46% 7.30% 7.36% 7.28% 7.67% 7.31% 8.56% Tableau 2: Analysedelaperformancedesmodèles. D autres indicateurs démontrent les bonnes performances du modèle efficient, celui-ci est plus efficace que 62.50% des firmes, 12.50% de plus que le modèle théorique en supériorité initiale, 16,67% de plus en supériorité moyenne. Enfin, avec 91,67%, le modèle efficient atteint le plus fréquemment le maximum de l EPV possible des modèles dynamiques. Par ailleurs, la validation par les modèles des dates de rachat des firmes reste faible pour les modèles dynamiques et ne peut être imputé à un exercice mitigé car l écart entre le taux d indifférence et le taux de coupon dépasse les 0.2%. Le Graphique 5 résume les performances obtenues par les principaux modèles. Le degré d exigence des modèles en terme de taux de refinancement impacte son profil d utilité. Si le modèle Efficient est le plus performant en moyenne, il le tient de son surcroît d efficacité pour les EPV faibles à moyennes (firmes numérotées de 1 à 30). Les modèles plus exigeants - Théorique, Traditionnel, Beta - sont, sans ambiguïté, plus adaptés aux espérances d EPV fortes (firmes numérotées de 31 à 48). Enfin, comme le graphique le démontre, le modèle Beta est plus moins dispersée autour des performances des firmes que le modèle théorique. Son utilisation permet de saisir une EPV nettement plus forte sur la dernière observation. Outre la hiérarchie des modèles, l analyse de la performance a aussi pour but la différenciation des deux sous échantillons pour vérifier si le non exercice de 28 firmes sur 76 est justifié. 6.2 Justification du non exercice Les caractéristiques de l échantillon exercé face à l échantillon non exercé semblent rendre l usage de la clause de rachat moins favorable au second sous échantillon. Déjà abordé plus avant, il s agit de vérifier, avec le tableau 3, si les différences sont significatives au regard du nombre de firmes, en s appuyant sur l EPV moyenne et la durée restante lors de la première date du rachat des modèles. Au niveau de l EPV, les moyennes obtenues sur l échantillon non exercé sont toutes inférieures à l échantillon exercé; les différences étant significatives pour les modèles Sarkar et Basic 14. Si, les résultats confortent une incitation plus faible à l exercice 14 Test de Kolmogorov et Smirnov pour déterminer si les deux sous-échantillons (exercé et non-exercé) sont différents. H0 : La distribution des deux échantillons n est pas significativement différente. Ha : Les distributions des deux échantillons sont significativement différentes. 12

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46-0.05-0.1 Firme Basic Traditionnel Théorie Beta Efficient Graphique 5: Economiessurchargesd intérêts(epv)desmodèlesfaceauxfirmes, classées en valeur croissante. sur le second échantillon, ils ne parviennent pas à convaincre totalement du bien fondé du non exercice. Une remarque déjà établie par King et Mauer (2000) affirmant "qu il est difficile d échapper à la sensation que la plupart des obligations non rachetées auraient dû l être". Ainsi, malgré une propension plus faible à exercer, les modèles démontrent que, dans une optique de gestion du coût de la dette, l exercice aurait été bénéfique et laisse penser que des motivations annexes ont trop retardé le rachat pour qu il reste intéressant. 6.3 Explication de la vague de rachat D après Kish et Livingston (1992), l option de rachat est plus fréquente dans les contrats de dette lorsque les taux d intérêt sont élevés. Ce phénomène qualifié de vague d émission pourrait trouver un écho dans le phénomène de vague de rachats rapporté par Winn et Hess (1959) puis Mauer (2000). Cette vague peut être observée sur l échantillon de données françaises entre 1992 et 1998 sur le graphique 3. Pour vérifier si la vague de rachats est un fait stylisé corroboré par les modèles, est calculé l écart type des dates de rachat observées et * : Ha est retenue avec un risque alpha de 10% bilatéral **:Haestretenueavecunrisquealphade5%bilatéral ***: Ha est retenue avec un risque alpha de 1% bilatéral 13

EPV moyenne du modèle Echéance lors du rachat Exercice Non Exercice Significatif Exercice Non Exercice Significatif Aléatoire -3.23% -3.87% Non* 9.22 9.81 Non* Zéro 4.95% 1.20% Oui*** 7.43 7.83 Non* Basic 4.92% 4.59% Non* 7.51 7.90 Non* Théorique 7.73% 7.04% Non* 3.88 3.94 Non* Efficient 8.25% 7.13% Non* 6.57 6.86 Non* Sarkar 7.88% 1.40% Oui*** 3.96 4.08 Non* Kalotay 8.17% 7.07% Non* 4.11 4.06 Non* Beta 7.72% 7.12% Non* 3.85 3.80 Non* Traditionnel 7.89% 7.88% Non* 4.00 4.15 Non* Tableau 3: Comparaison des échantillons des firmes ayant exercé et non-exercé. l écart type de dates de rachat des modèles. On vérifie, sur le tableau 4, que tous les modèles concentrent les dates de rachat par un écart inférieur de près d un an à celui observé. Par conséquent, les modèles dynamiques dont l essence est la gestion du coût de la dette valident et accroissent le phénomène de vague de rachats. L écart type constaté est supérieur (3.15), et peut signifier que d autres motivations entrent en interférence avec la gestion du coût de la dette. Provoquant parfois la dispersion des rachats dans temps, voire leur annulation pour certaines firmes de l échantillon non exercé 15. D autre part, la confrontation des dates moyennes de rachat avec la valeur moyenne de l EPV confirme qu un exercice tardif n est passynonymedeperformancemaximale. EntémoignelemodèleEfficient qui avec une date moyenne de rachat le 07/05/1994, dépasse de manière significative les résultats des firmes dont la date moyenne du rachat est le 30/09/1995. Toutefois, la dispersion autour des dates de rachat initiales des firmes est de 3.25 années. La proximité avec les 3.15 années observées lors du rachat pourrait indiquer que la vague de rachats n est qu une conséquence mécanique de la vague d émission d obligations callable. 6.4 Période d exercice conseillée Par leur degré d exigence sur le taux de refinancement, les modèles semblent avoir des qualités distinctes suivant le potentiel d économies réalisable, celui-ci variant en fonction de taux de coupon et de la maturité du titre notamment. Ce degré d exigence est fortement corrélé avec les dates d exercice d un modèle, en particulier la première. En effet, plus le taux d indifférence requis est bas, plus la firme doit attendre que les taux baissent et plus le rachat s éloigne dans le temps. Dans la continuité de l analyse de la vague de rachats, il peut être utile de connaître la répartition des firmes et leur performance entre les rachats antérieurs à la date d un modèle et les rachats postérieurs au modèle. 15 Les tests de normalité étant validés, l analyse de la variance des échantillons de dates entre les firmes et chaque modèle est effectuéavecletestdefisher 14

Valeur Moyenne EPV 2 Date Moyenne Rachat 3 Ecart type Date Rachat (en années) Firme 6.86% 30/09/1995 3.15 Aléatoire -3.23%*** 27/09/1991*** 2.30** Zéro 4.95%*** 01/07/1993*** 1.97** Basic 4.92%** 04/06/1993*** 2.06** Théorique 7.73% 30/12/1996*** 2.62 Efficient 8.25%** 07/05/1994*** 2.30** Sarkar 7.88% 02/12/1996*** 2.87 Kalotay 8.17% 10/10/1996*** 2.72 Beta 7.72% 09/01/1997*** 2.74 Traditionnel 7.89% 16/11/1996*** 2.55 Tableau 4: Dispersion des dates de rachat des modèles face aux firmes. Exercice de la firme Avant le modèle Exercice de la firme Après le modèle Perf. Modèle % %relatif % global % %relatif % global % global Aléatoire 2.08% 100.00% 2.08% 97.92% 93.62% 91.67% 6.25% Zéro 6.25% 0.00% 0.00% 93.75% 68.89% 64.58% 35.42% Basic 6.25% 0.00% 0.00% 93.75% 75.56% 70.83% 29.17% Théorique 75.00% 50.00% 37.50% 25.00% 50.00% 12.50% 50.00% Efficient 31.25% 20.00% 6.25% 68.75% 45.45% 31.25% 62.50% Sarkar 70.83% 47.06% 33.33% 28.17% 50.00% 14.58% 52.08% Kalotay 70.83% 38.24% 27.08% 28.17% 42.86% 12.50% 60.42% Beta 75.00% 52.78% 39.58% 25.00% 58.33% 14.58% 45.83% Traditionnel 72.92% 40.00% 29.17% 27.08% 38.46% 10.42% 60.42% Tableau 5: Détail des échantillons autour des dates d exercice des modèles. Le tableau 5 indique que 75% des firmes exercent avant la première date de rachat stipulée par le modèle théorique. Parmi elles, 50% génèrent plus d économies que le modèle théorique, soit 37.50% du nombre total de firmes. Cela signifie aussi que 25% des firmes exercent après la première date du modèle théorique. Le tableau indique que 50% d entre elles sont plus performantes que le modèle, soit 12.50% de l échantillon complet. Le tableau 6 permet de détailler ces résultats, pour s apercevoir que les firmes qui exercent après sont plus performantes de près de 14.67% sur les firmes qui exercent avant cette date. A la lecture du tableau 6, puisque l écart de performance est significatif, on peut conseiller aux firmes de ne pas exercer avant validation du modèle efficient. Le modèle efficient, au delà sa performance, est une condition préalable qui peut être exigée pour tout exercice. Constituant une date de départ d éventuels rachats, il serait intéressant de parvenir à une date butoir des rachats afin de délimiter une période de rachat conseillée. En remarquant que les dates de rachat sont, pour chacun des modèles, la première date où le rachat est validé; alors cette date initiale a une propriété de durée que les dates suivantes n ont pas dans sa portée d exercice. Pour 15

Exercice avant la date du modèle Exercice après la date du modèle Ecart Nb Obs. Ratio Perf. Date Moy. Rachat Nb Obs. Ratio Perf. Date Moy. Rachat Performance Théorique 36 47.72% 29/03/1995 12 62.39% 07/04/1997 14.67% Sarkar 34 46.52% 13/04/1995 14 63.19% 14/11/1996 16.67% Kalotay 34 46.52% 13/04/1995 14 63.19% 14/11/1996 16.67% Beta 36 47.72% 29/03/1995 12 62.39% 07/04/1997 14.67% Traditionnel 35 46.73% 24/02/1995 13 63.93% 07/05/1997 17.20% Théorique 6m 41 50.70% 05/04/1995 7 55.40% 03/08/1998 4.70% Efficient 15 36.43% 08/06/1993 33 58.18% 17/10/1996 21.75%* Tableau 6: Répartition de la performance autour des dates d exercice des modèles. cette raison, on considère que la validation initiale est valable pour une durée de 6 mois 16, période au delà de laquelle l exercice ne peut plus être conseillé sur ce seul fait. Une période d exercice peut alors être définie à partir de la validation du modèle efficient jusqu à la validation d un autre modèle ajouté d un délai de 6 mois accordé à sa portée d exercice. Puisque les performances des modèles dynamiques Sarkar, Kalotay, Traditionnel, Beta et Théorique sont similaires d après ce tableau, le modèle théorique est privilégié. La période conseillée est spécifique à chaque firme et s étend sur l ensemble de l échantillon (48) de la date moyenne de rachat par le modèle efficient, le 07/05/1994, à la date moyenne de rachat du modèle théorique, le 30/06/1997, soit une période de 3.15 années. La lecture du tableau 7 confirme que cette période d exercice conseillée est validée empiriquement puisque la performance des firmes y est, de manière significative, de 21.77% supérieure. Parmi les 22 observations dont l exercice a eu lieu en période déconseillée, 7 ont lieu après la période conseillée et 15 ont lieu avant. Sur cet échantillon, l analyse par les taux infirme les résultats obtenus en analyse par les prix (Vu, 1986; King et Mauer, 2000) selon lesquels les firmes exercent leur option trop tard. Deux fois plus de titres semblent être exercés plutôt avec avance qu avec retard sur le marché français des années 90. Une remarque en contradiction avec les conclusions souvent retenues des études du rachat par les prix, notamment l analyse de Bellier-Delienne (2001) sur données françaises. Exercice conseillé Exercice déconseillé Ecart Nb Obs. Ratio Perf. Echantillon Nb Obs. Ratio Perf. Echantillon Performance Efficient 26 56.38% 22 34.60% 21.77%* Tableau 7: La performance pendant la période d exercice conseillée. 16 Silecritèredeportéed exerciceestthéoriquementjustifié, la valeur de 6 mois est arbitraire et fer al objet d un calcul dynamique dans la prochanine version de l article. 16

7 Conclusion Au travers de la période d exercice conseillée, cet article répond au questionnement du timing d exercice de l option de rachat. Borné par le modèle efficient et le modèle théorique, l étude a permis de mettre à jour un intervalle de temps dynamique où l exercice de l option est significativement plus efficace en terme de gestion du coût de la dette et tout en conservant une flexibilité temporelle pour prendre en compte d éventuelles autres motivations. De plus, les modèles confirment l observation du phénomène de vague de rachats et, ne prenant en compte qu un seul déterminant, intensifient sa réalisation. Toutefois, la vague de rachats n est pas plus forte que la vague des échéances initiales, ce qui manifeste vraisemblablement l existence de vagues d émissions d obligations callable. Ainsi, outre la perspective d intégrer de nouveaux déterminants à l exercice de l option de rachat, comme le taux d endettement cible où les opportunités d investissement, une perspective d étude consisterait à déterminer le timing d émission d une obligation callable. A Annexe A.1 Application de la méthode implicite aux actifs dérivés de taux L évaluation des actifs dérivés de taux d intérêt repose essentiellement sur la qualité de crédit de l émetteur et sur les anticipations du marché au travers de la structure par terme. En considérant des titres peu soumis au risque de défaut ou en le négligeant, la valorisation de ces titres restreint l analyse à la dynamique des taux d intérêt étudiée précédemment. Ainsi, l application de la méthode implicite aux actifs dérivés de taux peut s effectuer dans le cadre du processus de Cox, Ingersoll et Ross et de l équation d équilibre des obligations à coupons sans risque de défaut. L équation 3, de degré 2, peut être approximée par des développements de Taylor de même degré pour conduire au schéma implicite au voisinage des trois noeuds nécessaires à sa composition avec F r = F r et 2 F r 2 = F rr. ( ) F (r j ) =F (r j )+F r ( )+F 2 rr 2 F (r j )=F (r j )+F r (0) + F rr (0) () F (r j + ) =F (r j )+F r ()+F 2 rr 2 ( )2 ½ F (rj )+F (rj)+frr Fr 2 = F rr = 2F (r j+) 2F (r j ) 2F r () d où, ½ Fr = F (r j )+F (r j )+F (r j +) F (r j ) F r() F rr = 2F (r j+) 2F (r j )+2F (r j ) 2F (r j ) () F rr( ) 2 2 ½ F r = F (r j+) F (r j ) 2 F rr = F (r j+) 2F (r j )+F r (r j ) Sous forme indicielle, le développement de Taylor conduit la dérivée première et seconde du taux r à être discrétisées par le schéma des différences centrales : Ainsi, F r = F i+1,j F i 1,j 2 ; 2 F r 2 = F i+1,j + F i 1,j 2F i,j 17

F i+1,j F i,j + F i+1,j F i 1,j (k(θ r)) + 1 t 2 2 σ2 r F i+1,j + F i 1,j 2F i,j rf i,j =0 P i+1,j P i,j t + P i+1,j P i 1,j 2 (k(θ r)) + 1 2 σ2 r P i+1,j + P i 1,j 2P i,j rp i,j =0 Puis, après développement, F i+1,j F i,j + k(θ r j) t (F i,j+1 F i,j 1 )+ σ2 r j t 2 2 (F i+1,j + F i 1,j 2F i,j )=r j F i,j t En réarrangeant les termes, on obtient, F i+1,j = C j,j 1 F i,j 1 + C j,j F i,j + C j,j+1 F i,j+1 (11) Avec, C j,j 1 = 1 σ 2 r j t 2 k(θ r j) t (12a) C j,j = 1+r j t + σ2 r j t (12b) C j,j+1 = 1 σ 2 r j t 2 + k(θ r j) t (12c) L équation 11 caractérise le schéma des différences finies implicite en exprimant la valeur de F au nœud j à partir des trois nœuds immédiatement antérieurs et peut être employée directement pour évaluer le prix d un actif dérivé de taux d intérêt, notamment l option de rachat. A.2 Méthode de Vetzal appliquée au processus CIR La méthode générale décrite ci-avant est n est pas adaptée à la gestion des bornes de la grille. Non fixées, ces bornes perturbent les valeurs extrêmes de la grille d évaluation. Fixées de façon statique, celles-ci biaisent le processus d évaluation. De ce constat, Hull et White (1990) ont fait le choix de travailler à partir de la méthode explicite qui n impose pas de bornes pour fonctionner. Vetzal (1997) rappelle que la méthode implicite est plus stable. Il propose une méthode pour que ses bornes deviennent endogènes pour profiter de sa plus grande souplesse d utilisation. F (r 1 )=F (r 1 )+F r (0) + F rr (0) F (r 1 + ) =F (r 1 )+F r ()+F rr 2 F (r 1 +2) =F (r 1 )+F r (2)+F rr (2) 2 C 1,1 =1+r 1 t 1 2 2 σ 2 r 1 t ½ F (r1+2)+4f (r1+) 3F (r1) Fr = 2 F rr = F (r 1+2) 2F (r 1 +)+F (r 1 ) 3k(θ r 1) t (13a) 18

C 1,2 = σ2 r j t σ 2 r 1 t C 1,3 = 1 2 2k(θ r 1) t k(θ r 1) t (14a) (15) Schéma spécifique à la borne supérieure F (r M 2) =F (r M )+F r ( 2)+F rr ( 2) 2 ( ) F (r M ) =F (r M )+F r ( )+F 2 rr 2 F (r M )=F (r M )+F r (0) + F rr (0) C M,M 2 = 1 2 2 σ 2 r M t C M,M 1 = σ2 r M t ½ F (rm 2)+4F (rm )+3F (rm ) Fr = 2 F rr = F (r M 2) 2F (r M +)+F (r M ) + k(θ r M) t + 2k(θ r M) t (16a) (16b) C M,M =1+r M t 1 σ 2 r M t 2 + 3k(θ r M) t (16c) Ces schémas particuliers aux bornes stabilisent la valeur de l obligation et par conséquent de l option de rachat sur l obligation. Cependant, afin derésoudreleschémaimplicitepar l algorithme Lower Upper, Vetzal (1997) souligne sans l expliciter qu il est commode d utiliser une matrice tridiagonale pour passer des valeurs en t aux valeurs en t 1. Pour cela, le schéma de la borne inférieure ne doit plus dépendre de F 1,3, la valeur de C 1,3 est ajoutée à C 1,2. De même, le schéma de la borne supérieure ne doit plus dépendre de F M,M 2, la valeur de C M,M 2 est ajoutée à C M,M 1. Sous cette forme, l algorithme derésolutionlowerupper peut être appliqué. Bibliographie [1] AHANGARANI P. (2004), "An empirical estimation and model selection of the shortterm interest rates", University of South California, Working Paper. [2] BELLIER-DELIENNE A. (2001), "Politique de remboursement anticipé des obligations", Finance Contrôle Stratégie, Vol. 4, No. 4. [3] BIERMAN H. (1966), "The bond refunding decision as a markov process", Management Science, Vol 12, No. 12. [4] BLACK F. et SCHOLES M. (1973), "The pricing of options and corporate liabilities", Journal of Political Economy, Vol. 81, p. 637-659. [5] BOYCE W.M. et KALOTAY A.J. (1979), "Optimum bond calling and refunding", Interfaces, Vol. 9, No. 5. [6] BRENNAN M. et SCHWARTZ E. (1977), "Savings bonds, retractable bonds and callable bonds", Journal of Financial Economics,Vol. 5, p. 67-88. 19

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