Bac blanc 2015 Mathématiques - Série ES - durée : 3 heures Sujet pour les élèves n ayant pas suivi la spécialité maths Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies. L'usage de la calculatrice est autorisé mais uniquement à titre individuel et personnel. LE CANDIDAT RENDRA DEUX COPIES SEPAREES : UNE AVEC LES EXERCICES 1 ET 2, L AUTRE AVEC LES EXERCICES 3 ET 4. Indiquer sur la 2 ème copie si vous avez ou non suivi l enseignement de spécialité mathématiques. Exercice 1 : Commun à tous les candidats (4 points) Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s intéresse à deux caractéristiques : Le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ; l existence d un système de chauffage. Il obtient les résultats suivants : 50% des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80% ont fait installer un système de chauffage ; 40% des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60% seront chauffées ; les autres clients ont préféré une piscine en bois. On choisit au hasard la fiche d un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d être tirée. On note les évènements suivants : T : «Le client choisit une piscine traditionnelle» ; R : «Le client choisit une piscine avec coque en résine» ; B : «Le client choisit une piscine en bois» ; C : «Le client fait installer un chauffage». On note p(t ) la probabilité de l évènement T et p T (C) la probabilité de l évènement C sachant que l évènement T est réalisé. Pour tout évènement A, on note A l évènement contraire de l évènement A. Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième. 1. Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L arbre pourra être complété tout au long de cet exercice. 2. Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est 0,4. 3. On sait aussi que 70% des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine. a. Calculer la probabilité p(b C). b. En déduire p B (C) et compléter l arbre pondéré précédent. 4. Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle.
Exercice 2 : Commun à tous les candidats (7 points) On considère f la fonction définie sur R par f ( x) xe x 1 On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et f la fonction dérivée de f. x 1. a. Montrer que, pour tout réel x, f ( x) e (1 x). b. En déduire le sens de variation de f sur R. 2. a. Montrer que l équation f (x) = 0 admet une unique solution sur l intervalle [ 1 ; 0]. b. Donner un encadrement de à 10 1 près. 3. Montrer que l équation réduite de la tangente T à Cf au point d abscisse 0 est y = x +1. 4. L objectif de cette question est de déterminer la position relative de Cf par rapport à T. À l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l expression et le signe de f (x) où f désigne la dérivée seconde de f. Instructions Réponse 1 f ( x) x exp( x) 1 x xe 1 f ( x) dérivée seconde f ( x) x e ( x 2) 2 3 résoudre ( x 2) exp( x) 0 x 2 a. Déterminer le sens de variation de la dérivée f de la fonction f sur R. b. Déterminer l intervalle de R sur lequel la fonction f est convexe puis celui sur lequel elle est concave. c. En déduire la position relative de Cf par rapport à T sur l intervalle ] ; 2]. 5. On a tracé ci-dessous la courbe Cf et la tangente T dans un repère orthonormé. x a. On considère la fonction F définie sur R par F( x) e ( 1 x) x Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R. b. Calculer, en unités d aire, l aire du domaine hachuré compris entre la courbe Cf, la tangente T et les droites d équations x = 0 et x = 1 puis donner le résultat arrondi à 10 3 près.
Exercice 3. Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité maths (3 points) On considère une fonction f définie sur R et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : A( 2 ; 0) ; B(0 ; 6) et C(3 ; 0). 3 2 1-3 A -2-1 0 1 C 2 3 4 5 6 7 8-1 -2-3 -4-5 -6-7 B Courbe représentative de la fonction f Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d arguments graphiques. 1. La courbe représentative de f admet-elle des points d inflexion? 2. Sur [ 2 ; 3], la fonction est-elle convexe? Est-elle concave? 3. Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction f : laquelle? Justifier la réponse. Courbe 1 Courbe 2 60 60 40 40 20 20-6-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5 6-6-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5 6
Exercice 4. Commun à tous les candidats (6 points) On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012. À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l établissement, le lycée conserve 70% de son effectif pour l année suivante. Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée. 1. Calculer le nombre d élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. 2. On définit la suite (a n ) par : a 0 = 700 et, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,7 a n + 240. Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = a n 800. a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme. b. Exprimer u n en fonction de n. c. En déduire l expression de a n en fonction de n. 3. On choisit de modéliser le nombre d élèves du lycée par les termes de la suite (a n ). Il faudra agrandir le lycée dès que l effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves. a. Montrer que résoudre l inéquation 800 100 0,7 n 780 revient à résoudre l inéquation 0,7 n 0,2. b. Résoudre algébriquement cette inéquation et en déduire avant quelle rentrée il faudra agrandir le lycée. 4. A partir de la rentrée 2014, la modification des règles d orientation amène les spécialistes à choisir un nouveau modèle d évolution du nombre d élèves : ils pensent que, désormais, le lycée va conserver 75% de son effectif pour l année suivante, en accueillant toujours 240 nouveaux élèves à chaque rentrée. On décide de déterminer l effectif prévisible pour ce lycée à la rentrée 2014 + N, avec ce nouveau modèle, à l aide d un algorithme. Recopier et complèter l algorithme ci-dessous pour qu il donne le résultat attendu : Variables A est un nombre réel I et N sont des nombres entiers Initialisation Saisir une valeur pour N Affecter à A Traitement Pour I allant de 1 à N faire Affecter à A Fin pour Sortie Afficher
Corrigé du n 2. On considère f la fonction définie sur R par f (x) = xe x +1. 1. a. f (x) = 1 e x +x ( 1) e x = e x (1 x) b. Pour tout réel x, e x > 0 ; donc f (x) est du signe de 1 x. Sur ] ;1[, 1 x > 0 donc f est strictement croissante. Sur ]1;+ [, 1 x < 0 donc f est strictement décroissante. 2. a. D après la question 1.b, on a le tableau de variations suivant : x 1 0 variations de f -e+1-1.7 D après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = 0 admet une solution unique sur [ 1;0]. b. D après la calculatrice, 0.6 < < - 0.5 3. L équation réduite de la tangente au point de la courbe Cf d abscisse a est y = f (a) (x a)+ f (a). En a = 0, l équation de T est : y = f (0) (x 0)+ f (0). Or f (0) = e 0 = 1 et on sait que f (0) = 1. L équation réduite de la tangente T est : y = x +1. 4. a. D après le tableau donné dans le texte, f (x) = e x (x 2) ; cette dérivée seconde est du signe de x 2 car e x > 0 pour tout réel x.. Sur l intervalle ] ;2[, x 2 < 0 donc f (x) < 0 et donc la fonction dérivée f est strictement décroissante. Sur l intervalle ]2;+ [, x 2 > 0 donc f (x) > 0 et donc la fonction dérivée f est strictement croissante. b. On sait qu une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est croissante sur cet intervalle. Or f est croissante sur ]2;+ [, donc la fonction f est convexe sur l intervalle ]2;+ [. On sait qu une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est décroissante sur cet intervalle. Or f est décroissante sur ] ;2[, donc la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[. c. Une fonction est concave sur un intervalle quand sa courbe représentative est entièrement située en dessous de toutes ses tangentes. On sait que la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[ et que T est une tangente à la courbe au point d abscisse 0 qui appartient à ] ;2[. Donc la courbe Cf est située en dessous de T sur l intervalle ] ;2[. 5. a. F est une primitive de f si et seulement si F = f. F (x) = ( 1) e --x ( 1 x)+ e x ( 1)+1 = e x (1+x 1)+1 = x e x +1= f (x) Donc F est une primitive de f. b. La tangente T est d équation y = x +1 donc c est la représentation graphique de la fonction g définie par g (x) = x +1. On sait que sur ] ;2[ la droite T est au dessus de la courbe Cf donc c est encore vrai sur [0;1] ; donc sur cet intervalle g > f et donc g f > 0. D après le cours, on peut dire que l aire du domaine hachuré est, en unités d aires, 0 1 La valeur exacte n est pas le résultat avec dix décimales donné par la calculatrice
Corrigé du n 1. Le résultat arrondi au millième est 0.571.
Corrigé du n 3. Corrigé du n 4. 3. b.