Séquence 1. 1 ère partie : 2 e partie : 3 e partie : Deux nouvelles fonctions. Géométrie plane. Un peu de logique. Séquence 1 MA12

Séquence 1 1 ère partie : Deux nouvelles fonctions 2 e partie : Géométrie plane 3 e partie : Un peu de logique Séquence 1 MA12 1

1 ère partie Deux nouvelles fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. La fonction racine carrée 3. La fonction valeur absolue 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence 5. Exercices d approfondissement 2 Séquence 1 MA12

1 Pré-requis A Ordre dans Propriétés Soient trois réels a, b et c. Si a b, alors a+ c b+ c. Conséquence Soient quatre réels a, b, c et d. Si a b et c d, alors a+ c b+ d. Soient a, b, c de R tels que a b. Si c 0, alors ac bc, Si c 0, alors ac bc. Soient trois réels a, b et c tels que a b. Si c > 0, alors a b. c c Remarque Exemple 1 Solution Remarque Soient a, b de R, on a : a b si et seulement si b a 0. Cette remarque peut être utile pour démontrer certaines inégalités. Montrer que pour tout a de R, a 2 + 1 2a. Étudions le signe de la différence. 2 2 2 On a : a +1 2a a 2a 1 a 1 0 ( ) ( ) = + = 2 On en déduit l inégalité : a + 1 2a. ( ). Pour résoudre algébriquement une inéquation, on peut : se ramener à une inéquation du type > 0 ou < 0 (bien sûr les inégalités peuvent être larges : ou ) ; tout mettre sur le même dénominateur ; factoriser ; Séquence 1 MA12 3

Exemple 2 Solution éventuellement, utiliser un tableau de signes. x x Résoudre l inéquation : x < + 1 1 x + 2. L inéquation x x x < + 1 1 x + 2 est équivalente à x x x + 1 1 x + 2 < 0. De plus, on a : x x xx x x x + 1 x + = ( + 2) x x + ( + 1)( 1) xx ( + 2) ( x+ 1)( x 1) = 1 2 ( 1)( 2) ( x + 2)( x 1) ( x + 2)( x 1) 2 2 x + 2x ( x 1) 2x + 1 = = ( x + 2)( x 1) ( x + 2)( x 1) Éudions le signe des différents facteurs. La fonction a définie par ax ( )= 2x+ 1 est strictement croissante (coefficient directeur 2> 0) et s annule en 1 2. Ainsi : ax ( )> 0 si x > 1 2, ax ( )< 0 si x < 1 2. J + O I On étudie de même le signe des fonctions qui à x associent respectivement x + 2 et x 1. On obtient alors le tableau de signes suivant. x 2 1 2 1 + ( 2x + 1) 0 + + ( x + 2 ) 0 + + + ( x 1 ) 0 + Fonction croissante ( 1> 0) s annulant en 2 Fonction croissante ( 1> 0) s annulant en 1 2x + 1 ( x + 2)( x 1) + 0 + On déduit de cette étude l ensemble des solutions de cette inéquation : S = 1 ; 2 ;. 2 1 4 Séquence 1 MA12

B Fonctions : rappels et compléments Définitions 1. Sens de variation Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si pour tout couple ( a ; b ) d éléments de I tel que a b on a f( a) fb ( ). f est strictement croissante sur I si pour tout couple (a ; b) d éléments de I tel que a< b on a fa ( ) < fb ( ). f est décroissante sur I si pour tout couple ( a ; b) d éléments de I tel que a b on a f( a) fb ( ). f est strictement décroissante sur I si pour tout couple ( a ; b) d éléments de I tel que a< b on a f( a) > fb ( ). On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est croissante (resp. strictement) sur I ou lorsque f est décroissante (resp. strictement) sur I. Définitions Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. Si pour tout x I, f( x) f( x0 ), alors on dit que f( x0 ) est le maximum de f sur I ; Si pour tout x I, f( x) f( x ), alors on dit que f ( x ) est le minimum de f sur I. 0 0 Exemple Soit f définie sur R par : f( x) = ( x 2) 2. Pour tout réel x, on a : 2 f( x) = ( x 2) 2 2= f( 2) 2 alors f ( 2) = 2 est le minimum de f sur R. Définitions 2. Parité Soit f une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport au nombre 0. Si pour tout x de I, f( x) = f( x) alors f est paire. Si pour tout x de I, f( x) = f( x) alors f est impaire. Interprétation graphique Notons C f la courbe représentative de f dans un repère (O, I, J). Si f est paire alors C f est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Si f est impaire alors C f est symétrique par rapport à l origine O. Séquence 1 MA12 5

J M O I J M M O I M Une courbe représentative de fonction paire. Une courbe représentative de fonction impaire. 3. Autres éléments de symétrie J Soit f une fonction définie sur D f. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, I, J). C f admet la droite d équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : D f est symétrique par rapport à a ; h tel que a+ h D f, fa ( h) = fa ( + h) O I a h a a+h M C f admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : D f est symétrique par rapport à a ; J K M h tel que a+ h D f, fa ( h) + fa ( + h) = b 2 O I a h a+h a Exemple 3 x Soient f la fonction définie sur R \{ 3 } par : f( x)= représentative dans un repère (O, I, J). 2 5x + 7 x 3 et C sa courbe À l aide d un logiciel de géométrie dynamique comme GéoGébra, conjecturer l existence d un centre de symétrie K de C et préciser ses coordonnées. Démontrer la conjecture précédente. 6 Séquence 1 MA12

Solution La figure obtenue à l aide du logiciel GéoGébra est donnée ci-dessous. On peut conjecturer que la courbe admet le point K( 3; 1) comme centre de symétrie (pour le voir, on peut placer deux points de la courbe qui seraient symétriques et construire le milieu du segment correspondant). L ensemble de définition est symétrique par rapport à 3. Pour tout h tel que 3 h ait un sens, on a : ( ) + ( ) 53 7 2 2 f( 3 h) + f( 3+ h) 1 3 h 5( 3 h) 7 3 h = + ( + h) + + 2 2 ( 3 h) 3 ( 3+ h) 3 2 2 1 h h+ 1 h + h+ 1 = + 2 h h 1 2 2 h + h 1+ h + h + 1 = 2 h = 1 Ce qui prouve bien la conjecture. C Fonctions usuelles : rappels 1. La fonction carré Soit f définie par f( x) = x 2. La fonction f est définie sur R. La fonction f est décroissante sur ; 0 et croissante sur 0 ; +. Séquence 1 MA12 7

Sa courbe représentative est une parabole. y 20 10 4 2 O 2 4 x Tableau de variation. x + f 0 Ce qui précède peut s exprimer de la façon suivante. Si a et b sont positifs alors ils sont rangés comme leurs carrés a 2 et b 2. Si a et b sont négatifs alors ils sont rangés dans l ordre inverse de leurs carrés a 2 et b 2. 2. La fonction inverse Soit f définie par f( x)= 1. x La fonction f est définie sur ; 0 0 ; + que l'on peut écrire R \ { 0} ou R. La fonction f est décroissante sur ; 0 et sur 0 ; +. Ce qui précède peut s exprimer de la façon suivante. Si a et b sont de même signe, alors ils sont rangés dans l ordre inverse de leurs inverses 1 a et 1 b. Sa courbe représentative est une hyperbole. 8 Séquence 1 MA12

4 y 2 6 4 2 O O 2 4 6 x 2 4 x 0 + f D Racines carrées Le nombre a est défini si a 0. Pour tout a 0, ( a) = a. Pour tout a 0, a = a. Pour tout b 0, b = b. 2 2 2 Pour tous réels positifs a et b, ab = a b. Pour tous réels a 0 et b > 0, a a =. b b Séquence 1 MA12 9

2 La A fonction racine carrée Activités 1. Trouver un carré Dans le plan muni d un repère orthonormé (O, I, J), on considère A(1 ; 0) et B( 1 ; 0). Pour tout point M de la demi-droite [OA), on considère les points N, P et Q définis de la façon suivante. N est le milieu de [BM]. Le cercle de centre N passant par B coupe la droite (OJ) en 2 points. L un a une ordonnée positive, on le note P. Q est alors le point tel que OMQP soit un rectangle. Conjecture a) Faire la figure à l aide du logiciel GeoGebra. b) Conjecturer l ensemble des points M tels que OMQP soit un carré. Étude On note x l abscisse de M. Déterminer les coordonnées de N. En déduire les coordonnées de P. Déterminer alors les coordonnées de Q. Que peut-on dire de l ensemble C des points Q lorsque x décrit 0 ; +? Sur la figure, faire apparaître C et la droite D d équation y = x. Montrer que OMQP est un carré si et seulement si x = 0 ou x = 1. 2. Courbes symétriques On considère la fonction f définie sur 0 ; + par f( x)= x. On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, I, J). On note, de plus, C la courbe représentative de la fonction carré, C les points de C d abscisses positives et D la droite d équation y = x dans ce même repère. Soient x et y deux réels strictement positifs. On note M le point de coordonnées ( x ; y) et N le point de coordonnées (y ; x ). a) Montrer que le milieu I de [MN] appartient à D. 10 Séquence 1 MA12

b) Montrer que OM = ON. c) En déduire que la droite D est la médiatrice de [MN]. On déduit de la question précédente que le symétrique par rapport à D du point de coordonnées ( x ; y ) a pour coordonnées ( y ; x). a) Soit M un point de C. Montrer que son symétrique par rapport à D appartient à C f. b) Soit M un point de C f. Montrer que son symétrique par rapport à D appartient à C. c) Que peut-on en déduire? B Cours 1. La fonction racine carrée Soit f définie par f( x) = x. La fonction f est définie sur 0 ; +, ce que l on peut écrire D f = R +. Propriété 1 La fonction racine carrée conserve l ordre, autrement dit elle est croissante sur 0 ; +. Si a et b sont réels positifs alors ils sont rangés comme leurs racines carrées. Démonstration Soient a et b deux réels positifs ou nuls tels que : a b. La fonction carrée est croissante sur 0 ; + et a, b sont positifs, et sont donc rangés comme leurs carrés. 2 2 De plus : ( a) = a et ( b) = b de sorte que : a et b sont rangés comme a et b. Ainsi : a b. L exercice suivant propose une autre démonstration de la propriété précédente. Exemple 4 Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que a b et a b ont le même signe. Conclure. Séquence 1 MA12 11

Solution On peut utiliser l expression «conjuguée» de a b, c est-à-dire a + b; on a : a ( b = a + a b 1 = = = (a b). a + b a + b a + b a + b a b) ( b) a 2 ( 2 b) ( ) Comme a et b sont strictement positifs, alors que ( a b) et ( a b) ont le même signe. 1 a + > 0. Ce qui prouve bien b Si a b alors a b 0 et donc a b 0, soit a b, ce qui prouve bien le résultat. La courbe de la fonction racine carrée est une portion de parabole. C est l image par la symétrie par rapport à la droite d équation y = x de l ensemble des points d abscisses positives de la parabole d équation y = x 2. x 2 5 x 0 0 2 4 6 8 x 2. Positions relatives des courbes des fonctions carré, racine carrée et f définie sur par : f (x) = x. Les positions relatives de ces courbes sont justifiées par les inégalités de la propriété suivante. Propriété 2 Pour tout x de 0 ; 1, 0 2 < < < x x x. 2 Pour tout x de 1 ; +, 0 < x < x < x. 12 Séquence 1 MA12

Démonstration 2 Pour tout x, x x = x( x 1). Ainsi pour tout x > 0, x x et x 1ont le même signe. Donc si x < 1 alors x 1< 0 ce qui nous prouve que x x < 0 et par suite : 2 x < x. 2 De même, si x > 1 alors x > x. ( ) Pour tout x > 0, x x = x x 1. Ainsi pour tout x > 0, x x et ( x 1 ) ont le même signe. Donc si x < 1 alors ( x 1) < 0 ce qui nous prouve que x x <0 et par suite : x > x. 2 2 De même, si x > 1 alors x < x. On a ainsi prouvé toutes les inégalités de la propriété, illustrées ci-après. y y = x 2 y = x y = x J O I x C Exercices d apprentissage Exercice 1 Vrai ou faux? Justifier. 2 a) Si 0 x 3alors 0 x 9 2 b) Si 1 x 2 alors 1 x 4 Séquence 1 MA12 13

c) Si x 2 alors x 2 4 d) Si x 2 4 alors x 2 e) Si x 2 9 alors x 3 f) Si 0< x 3 alors x 3 g) Si x > 4 alors x > 2 h) Si x 1 alors x 1. Exercice 2 Exercice 3 Donner la contraposée de l affirmation «Si x > 3, alors x > 9». Démontrer alors l affirmation «Si x > 3, alors 1 1 x < 9». Un peu de calculs Écrire les nombres suivants sous la forme a b c d + où a, b, c, d et e sont des entiers relatifs, c étant positif. e 1 1 ; 20 2 1 ; 2 2 7. 2 2+ 7 On considère a = 17 + 12 2. a) Développer 3+ 2 2 2 ( ). b) En déduire une autre expression de a. c) Montrer que 17 + 12 2 + 17 12 2 est entier. 14 Séquence 1 MA12

3 La A fonction valeur absolue Activités 1. Axe routier Nous allons nous intéresser à l axe routier qui relie Paris et Brest en passant par Chartres, Le Mans, Laval, Rennes, Saint-Brieuc, Guingamp, Morlaix. Nous allons représenter ces villes sur un axe en prendant comme origine Rennes et pour unité le km (on prendra 1 cm pour 50 km sur la figure) et le sens positif est de l ouest vers l est. On donne les distances par rapport à Rennes : à l est de Rennes ; Paris (350 km) ; Le Mans (156 km) ; Laval (70 km) ; à l ouest de Rennes : Saint-Brieuc (98 km) ; Morlaix (188 km) ; Brest (245 km). De plus Chartres se trouve entre Paris et Le Mans et Guingamp se trouve entre Saint-Brieuc et Morlaix. Faire une figure (l abscisse de Laval est (+70) et celle de Morlaix est ( 188)). Calculer les distances suivantes : Laval Paris ; Morlaix Le Mans ; Saint- Brieuc Brest ; Laval Morlaix. Les abscisses de Chartres et de Guingamp sont notées x et x. Dans quels intervalles se situent x et x? Déterminer leur signe. Exprimer à l aide de x ou x les distances Chartres Paris ; Chartres Laval ; Chartres Brest ; Guingamp Brest, Guingamp Paris ; Guingamp Chartres. Déterminer les abscisses des villes situées à 40 km de Rennes ; à 50 km de Laval, à 30 km de Chartres. Représenter sur l axe tous les points situés à moins de 50 km de Saint-Brieuc ; à moins de 100 km du Mans. 2. Distance entre deux réels Soit D une droite numérique de repère normé (O ; I). Soient M le point d abscisse x et N le point d abscisse y. On appelle distance entre les réels x et y, la distance MN ; on la note d( x ; y) ; d( x ; y ) étant une distance est positive (ex : d( 2; 3) = 5). On admet les propriétés suivantes. x y, alors d( xy ; ) = y x. x y, alors d( xy ; ) = x y. 2 0 0 5 I 3 Séquence 1 MA12 15

Calculer d( 3 ; 7), d(3 ; 9), d(15 ; 31) et d( 27 ; 43). Montrer à l aide des deux propriétés précédentes que : a) d( x ; y ) = 0 si et seulement si x = y. b) d( x ; y) = d( x y ; 0). Montrer que pour tous x, y, z réels, on a : d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z). B Cours 1. Valeur absolue et distance Définition 1 Pour tout réel x, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = d( 0 ; x). L activité 1 nous prouve les résultats suivants. Propriété 3 Pour tout réel x, x 0 x = 0 si et seulement si x = 0, x est égal à celui des deux nombres x et x qui est positif : si x 0 x = x Pour tous réels x, y d(x ; y) = x y si x 0 x = x. On en déduit les résultats suivants. Propriété 4 Pour tout réel x, x = x 2 x = x Propriété 5 Soit r > 0. x = r ( > 0 ) si et seulement si x = r ou x = r. x = y si et seulement si x = y ou x = y. 16 Séquence 1 MA12

2. Propriétés algébriques Propriété 6 Pour tous x, y réels, on a : x y = x y. Démonstration Le tableau suivant récapitule tous les cas possibles. x 0 x < 0 y 0 y < 0 xy = xy, x = x et y = y Donc l égalité est vraie xy = xy, x = x et y = y Donc l égalité est vraie xy = xy, x = x et y = y Donc l égalité est vraie xy = xy, x = x et y = y Donc l égalité est vraie Ce raisonnement par disjonction de cas nous prouve la propriété. On en déduit la propriété suivante. Propriété 7 Pour tous x, y réels tels que y 0, on a : x y x =. y Démonstration On a, d après la propriété précédente : x x y = y = x ce qui prouve bien l égalité demandée. y y Propriété 8 (inégalité triangulaire) Pour tous x, y réels, on a : x y x + y, x + y x + y. Démonstration L activité 1 nous prouve que pour tous x, y, z réels, on a : d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z). On en déduit : x y = d( x ; y) d( x ; 0) + d( 0 ; y) x + y. Pour le 2 e point : x + y = x ( y) x + y = x + y. Séquence 1 MA12 17

3. Valeur absolue et intervalle Théorème 1 Soient a de R et r > 0. On a : x a r si et seulement si x a r ; a+ r. Démonstration Exemple 5 Solution x a r si et seulement si d( x ; a) r si et seulement si r x a r si et seulement si a r x a + r si et seulement si x a r ; a+ r. Résoudre x 2 > 1. L inéquation x 2 > 1 est équivalente à d( x ; 2) > 1. Le schéma suivant nous permet, alors de conclure : 0 1 2 3 S = ] ; 1[ ] 3 ; + [ (ce qui est hachuré sur le dessin). Exemple 6 Solution Résoudre x + 1 = x 2. L équation x + 1 = x 2 est équivalente à d( x ; 1) = d( x ; 2). Ce qui veut dire que x est le milieu de [ 1; 2 ] donc S = {, 15 }. 4. La fonction valeur absolue a. Courbe représentative Notons f la fonction définie sur R, par : f( x)= x et C sa courbe représentative dans un repère (O, I, J). Pour tout x 0, on a : f( x) = x = x. Ainsi la portion de C correspondant aux y = x abscisses positives est la demi-droite définie par : x 0 Pour tout x 0, on a : f( x) = x = x. Ainsi la portion de C correspondant aux y = x abscisses négatives est la demi-droite définie par : x 0 On en déduit l allure de C. 18 Séquence 1 MA12

C J O I b. Sens de variation On déduit de la précédente étude la propriété suivante. Propriété 9 La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur La fonction valeur absolue est strictement croissante sur 0 ; +. ; 0. Exemple 7 Solution Soit f définie sur R par : f( x)= x + x 2. À l aide d un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, conjecturer l existence et la valeur du minimum de f sur R. Démontrer cette conjecture. On obtient la courbe suivante à l aide d un logiciel comme GéoGébra (entrer : f( x) = abs( x) + abs( x 2)). 6 5 4 3 2 1 Il semblerait que le minimum soit 2 et qu il soit atteint pour tous les réels de [0 ; 2]. 0 2 1 0 1 2 3 4 5 1 Séquence 1 MA12 19

Démontrons ce résultat (démonstration par disjonction de cas). x < 0 alors : x 2< 0 d où : f( x) = x + x 2 = ( x) + ( x 2) = 2x + 2> 2. x > 2 alors : x 2> 0d où : f( x) = x + x 2 = ( x) + ( x 2) = 2x 2> 2. x 0 ; 2 alors : x 2 0d où : f( x) = x + x 2 = ( x) + ( x 2) = 2. Ainsi, pour tout réel x, f( x) 2 et 2 est atteint par f pour tout réel de [0 ; 2] ce qui prouve que 2 est le minimum de f sur R. C Exercices d apprentissage Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Calculer d( 3+ 1; 3 1) ; 4 17 ; π 3 ; 3 5 ; 3+ 5. Traduire les termes suivants à l aide d une distance : x 4 ; x a ; x + 1 ; x + 3 2. Résoudre a) x 2 b) x + 5 3 c) 2 x + 1. 3 On suppose que x [ 3; 7]. Calculer x 3 + x 7. Dans le tableau suivant, un réel x vérifie une condition exprimée de 4 manières différentes comme il est indiqué dans la première ligne. Compléter le tableau pour que, sur chaque ligne, les 4 cases expriment la même propriété. Encadrement intervalle distance valeur absolue 1 x 5 x [ 1, 5] d( x ; 2) 3 x 2 3 10 x 100 x [ 5; 10] d ( x ; 2) 1 x + 5 2 3 20 Séquence 1 MA12

Exercice 9 A et B sont deux points d une droite graduée, d origine O, d abscisses respectives 1 et 2. M A O B 1 0 2 M est un point quelconque de cette droite. On désigne par x son abscisse. Soit f : x MA + MB. Représenter graphiquement la fonction f. Résoudre graphiquement et par le calcul l équation f( x) = 4. Séquence 1 MA12 21

4 Synthèse A de la partie 1 de la séquence La fonction racine carrée Soit f définie par f( x) = x. La fonction f est définie sur 0 ; +, ce que l on peut écrire D f R. = + Propriété 1 La fonction racine carrée conserve l ordre, autrement dit, elle est croissante sur 0 ; +. Si a et b sont réels positifs alors ils sont rangés comme leurs racines carrées. Sa courbe représentative est une portion de parabole. C est l image par la symétrie par rapport à la droite d équation y = x de l ensemble des points d abscisses positives de la parabole d équation y = x 2. y=x 2 y=x 5 y= x 0 0 2 4 6 8 x B La fonction valeur absolue Définition 1 Pour tout réel x, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = d( 0 ; x). 22 Séquence 1 MA12

Soit r > 0. x = r ( > 0) si et seulement si x = r ou x = r. x = y si et seulement si x = y ou x = y. Soient a de R et r > 0. On a : x a r si et seulement si x a r ; a+ r. L activité 1 nous prouve les résultats suivants. Propriété 3 et 4 Pour tout réel x, x 0 x = 0 si et seulement si x = 0, x est égal à celui des deux nombres x et x qui est positif : si x 0 x = x si x 0 x = x. Pour tous réels x, y d(x ; y) = x y Pour tout réel x, x = x 2 x = x La courbe de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. C J O I Séquence 1 MA12 23

5 Exercices d approfondissement Exercice I Exercice II Exercice III Soient f définie sur R par : f( x)= x + x + 1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J). 2 Montrer que, pour tout réel x, x + x + x x + 2 + 1 1 > 0. En déduire le signe de f (x). a) À l aide d un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, tracer la courbe C représentative de la fonction f. b) Soient a réel, M et N les points de C d abscisses respectives a et a. Faire varier a et émettre une conjecture quant aux positions des droites (MN). a) Déterminer les coordonnées de M et N. b) Démontrer la conjecture précédente. Soit f définie sur [0 ; 1] par : f( x)= 2 x x. Calculer f (0), f (1) et f (0,25). À l aide d un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, tracer la courbe C représentative de la fonction f. La courbe C semble être un quart de cercle. Est-ce le cas? Justifier. (question de recherche). On considère le nombre suivant : 1 1 1 1 S = + + +... +. 1 + 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100 2 Calculer cette somme à l aide d une feuille de calculs. 1 a) Montrer que pour tout k > 0, k 1 k k + k + 1 = +. b) En déduire que : S = 100 1. c) Conclure. Exercice IV x y x y Soit f définie par : f( x ; y)= + +. 2 Calculer f (1 ; 0), f (3 ; 5), f ( 2 ; 3) et f (7 ; 7). On suppose que : x y. Simplifier f ( x ; y ). Conclure. 24 Séquence 1 MA12

Exercice V désignant un nombre réel, on pose fλ( x)= x 1+ 2x 2+ λ x 4 pour x 0. a) Faire apparaître sur l écran de la calculatrice les représentations graphiques des fonctions f 2, f 3 et f 4. b) Suivant ces valeurs de, quels sont les réels x pour lesquels f x λ ( ) a une valeur minimale? c) Justifier ces résultats en simplifiant, suivant les valeurs de x, fλ ( x ). Dans un camping de bord de mer, l entrée (E) est à 400 m de la plage (F) ; la guérite du gardien (G) et l aire de jeux (A) sont respectivement à 100 et 200 m de l entrée. E G A F Un campeur désire s y installer en ayant le moins de pas à faire dans une journée. Sachant que tous les jours il doit aller une fois chez le gardien, deux fois à l aire de jeux, où doit-il installer sa tente dans chacun des cas suivants : a) Il va deux fois à la plage. b) ll va trois fois à la plage. c) Il va quatre fois à la plage (ou plus?). Exercice VI Le point M de la figure ci-dessous appartient au segment [CD]. Les droites (AC) et (BD) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (CD). AC = 3, CD = 6 et BD = 2. Existe-t-il un point M minimisant la somme MA + MB? On pose CM = x. Calculer MA + MB en fonction de x. Soit f la fonction x MA + MB. Construire la représentation graphique de f en déterminant de nombreux points de cette courbe. En déduire alors graphiquement l existence d un point M minimisant la somme cherchée. Soit A le symétrique de A par rapport à C, expliquer pourquoi le point M cherché est aligné avec A et B. En déduire le réel x définissant le point M cherché. A C M D B Séquence 1 MA12 25

2 e partie Géométrie plane Sommaire 1. Pré-requis 2. Vecteurs directeurs d une droite 3. Décomposition d un vecteur du plan 4. Synthèse de la partie 2 de la séquence 5. Exercices d approfondissement 26 Séquence 1 MA12

1 Pré-requis A Équations de droites Propriété 1. Équations de droites Dans un repère (O, I, J) du plan, toute droite, non parallèle à l axe des ordonnées, a une équation unique de la forme y = mx + p, où m et p sont des constantes. Toute droite, parallèle à l axe des ordonnées, a une équation unique de la forme x = c où c est une constante. Dans le cours de seconde on avait plutôt choisit d écrire une telle équation sous la forme y = ax + b. Ici nous changeons de lettres pour désigner les deux coefficients de cette équation. Ça ne change évidemment rien (ce n est qu une question de notation), mais c est pour éviter une confusion dans la suite du cours. Définitions Si une droite a pour équation y = mx + p dans un repère du plan : p est l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0. On l appelle l ordonnée à l origine de la droite. m indique la «pente» de la droite. On l appelle le coefficient directeur de la droite. À savoir Si une droite, non parallèle à l axe des ordonnées, passe par les points A ( ) ( ) alors le coeffi- et B dont les coordonnées sont A xa; ya et B xb; yb, cient directeur de la droite est égal à : m = y B y A. xb xa Séquence 1 MA12 27

Propriété 2. Application géométrique Deux droites, non parallèles à l axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. B Vecteurs et colinéarité 1. Translations et vecteurs Définition La translation qui transforme le point A en B est la translation de vecteur AB. Conséquence Un vecteur est donc un «objet mathématique» qui caractérise une translation. Un vecteur non nul est donc défini par la donnée : une direction, ici la droite (AB), un sens, ici de A vers B, une longueur (on dit aussi une norme), ici AB. Remarque Le début du chapitre suivant va vous permettre de mieux comprendre la notion de direction d un vecteur. Définition Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme). Commentaire Cela correspond au fait que la translation qui transforme A en B est la même que celle qui transforme C en D. On peut aussi remarquer que cela signifie que les vecteurs AB et CD, s ils sont non nuls, ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont parallèles), le même sens (on va dans le même sens de A vers B et de C vers D) et la même longueur (AB = CD). 28 Séquence 1 MA12

2. Coordonnées d un vecteur Définition Soit u un vecteur du plan. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M tel que : OM = u. Propriété Les coordonnées du vecteur AB sont : AB ( xb xa ; yb ya ) où A x A ; y A ( ) et B ( x ; y ). B B Propriété Soient ua; b ( ) et v( c; d) deux vecteurs et k un réel. + v sont ( a+ c; b+ d). Les coordonnées de u Celles de ku. sont ( ka ; kb). 3. Construction de la somme de deux vecteurs Propriété Règle de Chasles Soient A, B et C, trois points du plan. On a : AB + BC = AC. C A B Propriété Règle du parallélogramme Soient A, B et C, trois points du plan. On a : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. C D A B Séquence 1 MA12 29

4. Colinéarité de deux vecteurs Définition Deux vecteurs u et v sont colinéaires si il existe un réel k tel que : u = kv. ou v = ku.. Conséquence Remarque Soient u et v deux vecteurs du plan différents du vecteur nul. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Le début du chapitre suivant va vous permettre de mieux comprendre la notion de direction d un vecteur. Propriété Les vecteurs ua; b ad = bc. ( ) et v( c; d) sont colinéaires si et seulement si : Remarque Cette propriété vue en seconde sera démontrée à nouveau dans le chapitre suivant. 30 Séquence 1 MA12

2 Vecteurs A directeurs d une droite Activités 1. Sans coordonnées Classer les droites de la figure ci-dessous en regroupant celles qui sont parallèles. De même, classer les vecteurs A1A 2, BB 12, CC 1 2, EE 12, FF 12, GG 1 2, HH 12, KK 1 2, LL 12 et MM 1 2 en regroupant ceux qui sont colinéaires. d 1 d 2 C 1 B 1 B 2 A1 d 3 d 4 E 1 K2 K 1 E 2 d 5 C 2 F 2 d 6 M 1 L 1 G 1 G 2 F 1 A 2 L 2 d 7 d 8 M 2 H 1 H 2 d 10 d 9 2. Avec coordonnées Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne les coordonnées des points suivants : ( ) ( ) ( ) ( ) C ( ),C ( ), A 1 0; 3, 5,A 2 1; 0, 5,B 1 3; 3, 5,B 2 0, 5; 4, 1 4; 5 2 0; 2 E 1( 45, ; 35, ), E 2( 05, ; 25, ), F1( 1; 125, ),F 2( 2; 1),G 1( 3; 1), G2 ( 175, ; 0, 75),H 1( 2; 2, 5),H 2( 4, 25; 3, 75),K1( 2, 5; 2, 5), K2( 35, ; 3), L1( 05, ; 05, ), L2( 25, ; 1), M1( 45, ; 0) et M2 ( 05, ; 25, ). Voir figure page suivante. Séquence 1 MA12 31

( ) ( BB ), En utilisant les coefficients directeurs, classer les droites AA 1 2, 12 ( CC 1 2), ( EE 12), ( FF 12), ( GG 1 2), ( HH 12), ( KK 1 2), ( LL 12 ) et ( MM 1 2 ) en regroupant celles qui sont parallèles. De même, en utilisant leurs coordonnées, classer les vecteurs A1A 2, BB 12, CC 1 2, EE 12, FF 12, GG 1 2, HH 12, KK 1 2, LL 12 et MM 1 2 en regroupant ceux qui sont colinéaires. d 1 C 1 d 2 B 2 d 3 B 1 A1 d 4 E 1 K 2 K 1 E 2 C 2 d 5 J F 2 d 6 M 1 G 1 G 2 F 1 L 1 0 A 2 I L 2 d 7 d 8 M 2 H 1 H 2 d 10 d 9 B Cours 1. Direction de droite. Direction de vecteur a. Direction de droite Lorsque l on classe des droites en regroupant celles qui sont parallèles, comme dans les activités ci-dessus, on s intéresse à leur «pente». En mathématique, on dit qu on les classe suivant leur direction. 32 Séquence 1 MA12

Définition 1 On dit que deux droites ont même direction si et seulement si elles sont parallèles. Dans le langage courant, le terme direction, n a pas tout à fait la même signification qu en mathématiques. Lorsque vous êtes à Rennes et que vous prenez un TGV Paris-Brest, vous prenez celui en direction de Paris ou celui en direction de Brest. Ce n est pas la même chose! En mathématiques, la direction ParisBrest est la même que l on aille vers Paris ou vers Brest. Ce qui distinguera les deux, toujours en mathématiques, c est ce que l on appelle le sens. En mathématiques, on dira : on prend le TGV de direction ParisBrest, dans le sens vers Brest. Les propriétés vues en seconde, et rappelées ci-dessus (pré-requis), permettent d énoncer la propriété. Propriété 1 Deux droites, non parallèles à l axe des ordonnées, ont même direction si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Deux droites parallèles à l axe des ordonnées ont même direction. b. Direction de vecteur De la même façon, lorsque l on classe des vecteurs en regroupant ceux qui sont colinéaires, comme dans les activités ci-dessus, on s intéresse aussi à leur «pente». D ailleurs vous avez pu constater l analogie entre le travail sur les droites et celui sur les vecteurs, ainsi que l analogie des résultats trouvés. On dira aussi qu on les classe suivant leur direction. Définition 2 On dit que deux vecteurs non nuls ont même direction si et seulement si ils sont colinéaires. On a évidemment la même difficulté avec le langage courant que pour la notion de direction de droite. Séquence 1 MA12 33

Remarque Le vecteur nul n indique aucune direction. On dit qu il n a pas de direction (c est le seul vecteur dans ce cas). Les propriétés vues en seconde permettent d énoncer la propriété. Propriété 2 Dans un repère (O, I, J) du plan, les vecteurs uab ; direction si et seulement si ad = bc. ( ) et v( c; d) ont même Démonstration Remarque Si les vecteurs uab ; il existe un réel k tel que : u = kv. ou v = ku.. Prenons v = k. u (ce serait analogue avec u = kv. ). Les coordonnées de v vont alors vérifier : c = ka et d = kb. ( ) et v( c; d) ont même direction, ils sont colinéaires, donc On vérifie alors facilement que ad = akb = bc. Réciproquement, si l on a ad = bc, cela signifie que les coordonnées a; b c; d k tel que : c = ka et d = kb. Ce qui nous montre alors que l on a v = ku. et donc que uab ; ; sont colinéaires. ( ) et ( ) sont proportionnelles (égalité des produit en croix). Il existe donc un réel ( ) et v( c d) Même si le vecteur nul n a pas de direction, on considère qu il a même direction que tout autre vecteur puisqu il lui est colinéaire : 0= 0.u. 2. Vecteurs directeurs d une droite Comme vous l avez vu dans les activités 1 et 2, le vecteur LL 12 permet de définir la droite d 9 puisque les deux points L 1 et L 2 sont distincts et sur cette droite (au même titre que le vecteur HH 12permet de définir la droite d 7, ou autres). Mais le vecteur L 12 L suffit aussi pour vérifier que les droites d 8 et d 10 ont même direction que d. 9 Il suffit pour cela par exemple de montrer que les vecteurs KK 1 2 et MM 1 2 ont même direction que L12 L (ce que l on a fait dans ces activités en classant les vecteurs colinéaires). Autrement dit, le vecteur L 12 L donne la direction les droites d 8, d 9 et d 10. On dit que L 12 L est un vecteur directeur des droites d 8, d 9 et d 10. Bien sûr, KK 1 2et MM 1 2 sont aussi des vecteurs directeurs des droites d 8, d 9 et d 10. 34 Séquence 1 MA12

Définition 3 On dit qu un vecteur non nul u est un vecteur directeur d une droite d si et seulement si il est colinéaire à un vecteur défini à l aide de deux points distincts de cette droite. Remarques Exemple 1 Solution a) Le vecteur nul n a pas de direction, il n est donc vecteur directeur d aucune droite. b) Une droite a une infinité de vecteurs directeurs (tous colinéaires). c) Un vecteur non nul est vecteur directeur d une infinité de droites (toutes parallèles). En reprenant les données de l activité 2, donner cinq vecteurs directeurs de la droite d. 2 En reprenant les données de l activité 2, donner cinq vecteurs directeurs de la droite (OJ). La droite d 2 est définie par les points B 1 et B 2. Le vecteur BB 12 est donc un vecteur directeur de cette droite. Mais il en est de même du vecteur BB 2 1(qui a même direction). Tout autre vecteur colinéaire à B 12 B est aussi un vecteur directeur de la droite d 2. C est le cas des vecteurs EE 12, GG 1 2et HH 12. Mais nous aurions pu tout aussi bien prendre les vecteurs 3BB 12, ou 2 BB 12, ou autres. Un vecteur directeur «naturel» de la droite (OJ) est le vecteur OJ. Il en est de même des vecteurs JO, BG, 1 1 BE 22, LE 12, OC 2, AJ, 1 IA 2 et HF 12 qui sont tous colinéaires à OJ puisque leur abscisse est nulle. Nous venons de définir la notion de vecteur directeur d une droite. Vous connaissez aussi la notion de coefficient directeur d une droite (non parallèle à l axe des ordonnées). Regardons quel lien il y a entre ces deux notions. Propriété 3 Dans un repère (O, I, J) du plan, si une droite (non parallèle à l axe des ordonnées) a pour coefficient directeur m (donc une équation de la forme y = m x + p), l un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u de coordonnées : u( 1;m). Séquence 1 MA12 35

Démonstration Pour démontrer cette propriété, nous pouvons envisager de prendre deux points particuliers de cette droite et de regarder quel vecteur directeur cela nous donne, ou prendre deux points quelconques et faire le même travail. Nous ferons les deux démonstrations. Première démonstration Considérons les deux points A et B de la droite dont les abscisses dans (O, I, J) sont respectivement 0 et 1. L ordonnée du point A est : ya = mxa + p = m 0 + p = p. L ordonnée du point B est : yb = mxb + p = m 1+ p = m+ p. On a donc : A( 0 ; p) et B( 1; m + p). Un vecteur directeur de la droite est donc le vecteur AB dont les coordonnées sont : AB ( x B x A; y B y A), soit AB 1;m + p p. Et donc : AB 1;m. ( ) Ce qui démontre la propriété. ( ) Deuxième démonstration Considérons deux points A et B de la droite dont les abscisses dans (O, I, J) sont respectivement x A et x B. L ordonnée du point A est : ya = mxa + p. L ordonnée du point B est : yb = mxb + p. On a donc : A( xa; mxa + p) et B ( xb; mxb+ p). Un vecteur directeur de la droite est donc le vecteur AB dont les coordonnées sont : AB ( x B x A; y B y A), soit AB ( x B x A; m x B + p m x A p ). Donc : AB ( x B x A; m ( x B x A) ). Comme la droite n est pas parallèle à l axe des ordonnées, les abscisses des points A et B sont distinctes. On a donc : xb xa 0. 1 On peut donc prendre comme vecteur directeur de la droite le vecteur AB. xb x Notons-le v. A 1 1 Ses coordonnées sont : v x x x x x B x ( B A) ( A xb x B A ). ; m A Soit : v ( 1; m). Ce qui démontre la propriété. Remarque Vous avez vu en seconde que le coefficient directeur d une droite peut se lire graphiquement si l on a tracé la droite. Il suffit, pour ce faire, de prendre sur cette droite deux points dont la différence des abscisses vaut 1. Le coefficient directeur est alors égal à la différence des ordonnées. Sur l exemple ci-après on a tracé la droite d équation y = 3x 15,. Les points A( 115 ;, ) etb( 2; 45, ) sont deux points de cette droite dont la différence des abscisses vaut 1. On lit directement le coefficient directeur : m = 3. 36 Séquence 1 MA12

B Mais on voit aussi facilement que le vecteur AB, qui est un vecteur directeur de la droite, a pour coordonnées AB ( 1; 3 ), ce qui correspond bien à AB 1;m. ( ) 3 J A 1 O I 3. Vecteurs directeurs d une droite et équations cartésiennes de cette droite Pour établir l équation d une droite (non parallèle à l axe des ordonnées), nous avions l habitude, jusqu à présent, d utiliser deux points de cette droite (voir cours de seconde). Maintenant que l on connaît la notion de vecteur directeur, on peut envisager de définir une droite par un point et un vecteur directeur (un point seul ne suffit pas, un vecteur directeur seul non plus). En effet, le vecteur directeur nous définit la direction de la droite, et, parmi toutes les droites parallèles ayant cette direction, il en est une seule qui passe par le point donné. Voyons ce que cela nous donne en terme d équation de droite, d abord sur un exemple. On travaille dans un repère (O, I, J) du plan. Déterminons une équation de la droite d, passant par le point A( 21 ; ) et le vecteur directeur u( 4; 3). Prenons un point M( x; y) quelconque du plan. Ce point appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Séquence 1 MA12 37

Il est important de bien comprendre que l on a une équivalence entre les deux propositions «le point M appartient à la droite d» et «les vecteurs AM et u sont colinéaires». On dit aussi que la propriété «les vecteurs AM et u sont colinéaires» est une condition nécessaire et suffisante pour que «le point M appartienne à la droite d». Nous allons donc traduire la propriété «les vecteurs AM et u sont colinéaires» par une égalité et nous obtiendrons quelque chose (une égalité) qui caractérisera le fait que «le point M appartient à la droite d». Traduisons le fait que «les vecteurs AM et u sont colinéaires» en utilisant leurs coordonnées. Les coordonnées de AM sont : AM ( x + 2 ; y 1). On connaît celles de u : u( 4; 3). Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 4( y 1) = 3( x + 2). Soit : 4y 4= 3x + 6. On obtient donc que le point M appartient à la droite d si et seulement si : 4y = 3x + 10. En divisant par 4 les deux membres de l égalité, on obtient une égalité ( y = 075, x + 25, ) qui caractérise les points de la droite d et qui est sous une forme connue : c est l équation réduite de la droite d. Mais avant de diviser par 4, on avait déjà une égalité ( 4y = 3x + 10) qui caractérisait les points de la droite d. Une telle égalité est appelée équation cartésienne de la droite d. On pouvait d ailleurs l écrire autrement, par exemple 4y 3x = 10, ou 3x 4y + 10= 0, ou autres. Ce sont aussi des équations cartésiennes de la droite d. Elles sont toutes équivalentes. On remarque que les coefficients de x et y ont un rapport direct avec les coordonnées du vecteur directeur u. Par contre le troisième coefficient (ici 10) n est pas immédiatement identifiable. Généralisons. Propriété 4 Dans un repère (O, I, J) du plan, une droite a pour vecteur directeur le vecteur u( a; b) si et seulement si elle a une équation cartésienne de la forme bx ay + c =0, a et b n étant pas nuls tous les deux et c étant un réel quelconque. 38 Séquence 1 MA12

Démonstration Remarques Considérons la droite d (qui peut être parallèle à l axe des ordonnées) définie par le point A( x A ; y A ) et le vecteur directeur u( ab ; ). Prenons un point M( x; y) quelconque du plan. Ce point appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Il est, là encore, important de bien comprendre que l on a une équivalence entre les deux propositions «le point M appartient à la droite d» et «les vecteurs AM et u sont colinéaires». La propriété «les vecteurs AM et u sont colinéaires» est une condition nécessaire et suffisante pour que «le point M appartienne à la droite d». Traduisons la propriété «les vecteurs AM et u sont colinéaires» (par une égalité), nous obtiendrons une égalité qui caractérisera le fait que «le point M appartient à la droite d». Traduisons le fait que «les vecteurs AM et u sont colinéaires» en utilisant leurs coordonnées. Les coordonnées de AM sont : AM ( x x A; y y A). On connaît celles de u : u( ab ; ). Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : a( y ya) = b( x xa ). On obtient donc que le point M appartient à la droite d si et seulement si : ay ay A = bx bx A. Que l on peut écrire : bx ay + ay A bx A = 0. On obtient donc une équation cartésienne de la droite d qui est bien de la forme : bx ay + c =0. Le fait que c = aya bxa n est pas très intéressant à retenir. Notez bien les rôles distinctifs des coordonnées a et b du vecteur directeur u comme coefficients de x et y dans l équation et en particulier le fait que c est l opposé de a qui est coefficient de y. a) Dans la forme bx ay + c =0 on ne retrouve plus les coordonnées du point A. Donc si l on connaît A et u on peut obtenir l équation cartésienne bx ay + c =0 (le calcul nous donne c). Par contre, si l on connaît une équation cartésienne bx ay + c =0 on a directement les coordonnées d un vecteur directeur u mais pas directement celles d un point (on les retrouve par calcul). b) Une droite a bien entendu une infinité d équations cartésiennes puisqu elle a une infinité de vecteurs directeurs. L équation réduite y = mx + p est l une d entre elles. On peut d ailleurs retrouver la propriété du paragraphe précédent. L équation réduite y = mx + p peut s écrire mx 1y + p = 0, ce qui nous montre qu un vecteur directeur de la droite est le vecteur u( 1; m). Séquence 1 MA12 39

C est pour cette raison que l on a changé de notation pour l équation réduite d une droite ( y = mx + p au lieu de y = ax + b pour ne pas confondre le rôle des coefficients a et b). c) Il est intéressant de noter que l obtention d une équation cartésienne de droite est possible pour une droite parallèle à l axe des ordonnées (voir dans les exemples ci-dessous). On en déduit que toutes les droites du plan ont des équations cartésiennes. Ce n est que pour l équation réduite (de la forme y = mx + p ) que se pose le problème des droites parallèles à l axe des ordonnées. Exemples 2 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère le point A de coordonnées A05 (, ; 15, ) et les vecteurs u, v et w de coordonnées u( 2 ; 1), v( 1 ; b) et w( a ;1). a) Déterminer une équation cartésienne des droites d, 1 d 2 et d 3 passant par A et de vecteurs directeurs respectifs u, v et w. b) En déduire l équation réduite de chacune de ces droites. Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les droites d, 1 d 2 et d 3 d équations cartésiennes respectives : 3x + 4y + 8= 0 pour d, 1 9y 7x = 1 pour d 2 et 91, x = 2+ 117, y pour d. 3 a) Déterminer un vecteur directeur de chacune de ces droites. b) Déterminer si deux d entre elles sont parallèles. Solutions a) Pour déterminer une équation cartésienne de la droite d 1 on considère un point M quelconque, de coordonnées M ( x; y). Ce point appartient à la droite d 1 si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Les coordonnées de AM sont : AM ( x 05, ; y 15, ), celles de u : u( 2 ; 1). Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 2 y 15, 1 x 0, 5. ( ) = ( ) Une équation cartésienne de la droite d 1 est donc : 2y 3= x + 0, 5. Que l on peut aussi écrire : x + 2y 3, 5= 0. Procédons de la même façon, pour obtenir une équation de d. 2 Le point M appartient à la droite d 2 si et seulement si les vecteurs AM et v sont colinéaires. Les coordonnées de AM sont : AM ( x y ) 05, ; 15,, celles de v : v( 1 ; b). Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 1 y 15, b x 0, 5. ( ) = ( ) Une équation cartésienne de la droite d 2 est donc : y 15, = bx 0, 5b. Que l on peut aussi écrire : bx y + 15, 0, 5b = 0. Enfin, pour la droite d. 3 40 Séquence 1 MA12

Le point M appartient à la droite d 3 si et seulement si les vecteurs AM et w sont colinéaires. Les coordonnées de AM sont : AM ( x y ) 05, ; 15,, celles de w : w( a;1). Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : a y 15, 1 x 0, 5. ( ) = ( ) Une équation cartésienne de la droite d 3 est donc : ay 15, a = x 0, 5. Que l on peut aussi écrire : x ay + 15, a 0, 5= 0. b) Pour obtenir l équation réduite des droites, il suffit de transformer les équations cartésiennes obtenues ci-dessus. Pour d 1 on a obtenu l équation 2y 3= x + 0, 5. On peut l écrire 2y = x + 3, 5 ou encore y = 05, x + 175, (en divisant par 2 les deux membres de l égalité). On obtient l équation réduite. Pour d 2 on a obtenu l équation y 15, = bx 0, 5b. On peut l écrire y = bx + 15, 0, 5b. On obtient ainsi l équation réduite. Enfin pour d 3 on a obtenu l équation ay 15, a = x 0, 5. On peut l écrire ay = x + 15, a 0, 5. Pour obtenir l équation réduite de d 3 il faut diviser par a les deux membres de l égalité. Attention cela n est possible que si a 0. Dans ce cas on obtient l équation réduite de d 3 : y 1 = a x + 15 05,,. a Par contre, si a = 0, il n y a pas d équation réduite pour d. 3 Il est facile de comprendre pourquoi : un vecteur directeur est alors w ( 01 ; ), ce qui montre que la droite d 3 est alors parallèle à l axe des ordonnées. Elle n a donc pas d équation réduite. a) Il est facile d obtenir un vecteur directeur d une droite lorsqu on en a une équation cartésienne. Il faut juste faire attention au rôle de chaque coefficient. Pour d, 1 d équation cartésienne 3 x + 4 y + 8= 0 (qui est de la forme bx ay + c =0 ), un vecteur directeur est le vecteur u 4; 3. ( ) Pour d 2, d équation cartésienne 9 y 7 x = 1, il faut faire attention à l ordre des termes. Un vecteur directeur est le vecteur v 9; 7. ( ) Pour d 3, d équation cartésienne 91, x = 2+ 117, y, il vaut mieux transformer d abord l équation qui peut s écrire 9, 1x 117, y 2= 0. Un vecteur directeur est le vecteur w ( 11, 7; 9, 1). b) Pour déterminer si deux d entre elles sont parallèles, regardons si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour d 1 et d 2 regardons si u 4; 3 et v 9; 7 sont colinéaires. ( ) ( ) Séquence 1 MA12 41

Notation ( ) ( ) = ( ) Regardons donc si 4 7 3 9? La réponse est non. Les droites d 1 et d 2 ne sont pas parallèles. ( ) Pour d 1 et d 3 regardons si u 4; 3 et w 11, 7; 9, 1 ( ) = ( ) sont colinéaires. A-t-on 4 9, 1 3 117,? La réponse est encore non. Les droites d 1 et d 3 ne sont pas parallèles. Pour d 2 et d 3 regardons si v ( 9; 7) et w ( 11, 7; 9, 1) sont colinéaires. A-t-on ( 9) 9, 1= ( 7) 117,? La réponse est cette fois oui. Les droites d 2 et d 3 sont parallèles. Il est souvent pratique d envisager l écriture d une équation de droite sous la forme la plus simple possible. Au lieu de la noter bx ay + c =0, avec l arrière pensée que l un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u( a; b), on peut la noter αx + βy + γ =0, ici avec des lettres grecques pour noter les coefficients, ou plus simplement ax + by + c =0, mais alors les coefficients a et b ne jouent plus du tout le même rôle que dans l écriture initiale ; entre autre un vecteur directeur de la droite sera alors le vecteur u b; a. ( ) C Exercices d apprentissage Exercice 1 Exercice 2 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) A 115 ;,,B 3; 05,,C 3; 35, etd 0; 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à (AB) passant par C. L équation 2x + y = 1 peut-elle être une équation cartésienne de la droite parallèle à (AB) passant par D? Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère la droite d 1 dont une équation cartésienne est 7x 2y = 1. Déterminer un vecteur directeur de d 1. En déduire le coefficient directeur de cette droite. Déterminer les coefficients a et b tels qu une équation cartésienne de cette droite soit ax + by 5= 0. L équation 21x + 6y = 3 est-elle une équation cartésienne de d 1? 42 Séquence 1 MA12

Exercice 3 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère le point A x A ; y A non nul u( a; b). ( ) et le vecteur Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A et de vecteur directeur u. À quelle condition cette droite est-elle parallèle à (OI)? À quelle condition est-elle parallèle à (OJ)? On suppose qu elle n est ni parallèle à (OI), ni parallèle à (OJ). Déterminer les coordonnées de son point d intersection avec (OI). Déterminer les coordonnées de son point d intersection avec (OJ). Exercice 4 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) On pourra faire une figure. A 115 ;,,B 3; 05,,C 3; 35, etd 0; 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). La droite (AB) coupe l axe des abscisses en E et l axe des ordonnées en F. Calculer les coordonnées de ces points. Les droites (AB) et (CD) se coupent en K. Calculer les coordonnées de ce point. Exercice 5 Exercice 6 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) A 4; 1,B 15, ; 3,C 6; 1 etd 3, 5; 3. On pourra faire une figure. On appelle E le point défini par : AE = 1 AB. 3 La droite parallèle à (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F. La droite parallèle à (BD) passant par F coupe la droite (DC) en K. Montrer que ABCD est un parallélogramme. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). b) En déduire les coordonnées du point F. Déterminer les coordonnées du point K. Démontrer que les droites (AC), (EK) et (BD) sont concourantes. Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : A 115 ;,,B 3; 1 et C 1; 3. ( ) ( ) ( ) On pourra faire une figure. a) Déterminer les coordonnées du point E milieu du segment [BC]. b) En déduire une équation cartésienne de la médiane issue de A du triangle ABC. Séquence 1 MA12 43

a) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de B du triangle ABC. b) Déterminer les coordonnées du point G, point d intersection de ces deux médianes. Démontrer que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes. Exercice 7 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) On pourra faire une figure. A 115 ;,,B 3; 1etC 1; 3. On appelle E, F et G les points définis respectivement par : BE = 2 BC, CF = 1 CA 5 3 et AG = 3 AB. 4 Déterminer les coordonnées des points E, F et G. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AE). En déduire les coordonnées du point K, point d intersection des droites (AE) et (BF). Démontrer que les droites (AE), (BF) et (CG) sont concourantes. Exercice 8 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) On pourra faire une figure. A 115 ;,,B 3; 1etC 1; 3. On appelle R et Q les points définis respectivement par : AR = AB et AQ = a AC a étant un réel différent de 1. Pour la figure éventuelle on fixera une valeur pour a (par exemple a = 2 3 ). ( ) Déterminer les coordonnées des points R et Q. Déterminer une équation cartésienne de la droite (RQ). En déduire que le point P, point d intersection des droites (BC) et (RQ), a pour coordonnées : 3 a a xp = 5 et y a P = 1 5. 1+ 1+ a Que se passe-t-il si a = 1? Soit M et N les points respectivement définis par : BM = CQ et AN = CP. Déterminer les coordonnées des points M et N. Montrer que M, N et R sont alignés. 44 Séquence 1 MA12