12. PROLEMES : DES GRANDEURS AUX MESURES Problème 1 : Une sorbetière a la forme d un pavé droit de dimension 16 cm sur 12 cm sur 10 cm. Elle est remplie aux 4/5 e de glace. 1/ Combien de demi-boules de glace peut-on faire avec une cuillère de glace dont le diamètre est de 45 mm? 2/ Le glacier compte 20 % de perte pour fabriquer ses boules avec sa cuillère. Il achète la sorbetière 3,50 et vend ses glaces à une seule boule à 1,50 pièce. Sachant que chaque cornet lui coûte 0,15, calculer le bénéfice du glacier hors charges sur une sorbetière. Problème 2 : On se propose de fabriquer un cylindre en roulant une feuille de carton rectangulaire dont les dimensions sont 30 cm par 21 cm. Il existe deux façons de rouler la feuille pour obtenir le cylindre. 1a/ Quel est le périmètre de la base du cylindre A? 1b/ Calculer en cm 3, le volume du cylindre A. 2/ Calculer de la même façon le volume du cylindre. Quel cylindre a le plus grand volume? 3/ Calculer l aire latérale de chaque cylindre. 21 cm 30 cm Cylindre A cylindre Problème 3 : On a représenté ci-contre un tube creux en aluminium en perspective. Son diamètre intérieur est 8 cm, son diamètre extérieur est 12 cm. L aluminium a une masse volumique de 2,7 g/cm 3. On veut transporter un certain nombre de ces tubes dans un camion dont la charge utile ne peut dépasser 14 tonnes. En supposant que le volume du camion est suffisant, combien peut-on transporter de tubes au maximum? 75 cm Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 12 des grandeurs aux mesures Page 1
Problème 4 : 1/ Mon oncle roule 1 heure à 60 km/h, puis 1 heure à 40 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l ensemble du parcours? 2/ Ma mère marche 1 km à 6km/h puis 1 km à 4 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l ensemble du parcours? 3/ Mon cousin cycliste roule 30 km à 18km/h et trouve sa performance médiocre. Il veut accélérer sur les 30 km du retour pour atteindre la vitesse moyenne de 24 km/h sur l ensemble du parcours. Quelle doit être sa vitesse sur le retour? Problème 5 : concours On s intéresse à la fabrication d emballages ayant la forme d un parallélépipède rectangle, appelés «bricks». On néglige l épaisseur de la matière utilisée pour ces emballages. 1/ Une des faces rectangulaire d un «brick» de 1 litre de lait a pour dimensions 19 cm et 9,4 cm. Calculer la 3 ème dimension du brick et en donner une valeur approchée par excès au millimètre près. 2a/ La hauteur d un brick à base carrée d un litre de jus d orange mesure 20 cm. Calculer la longueur du côté du carré. En donner une valeur approchée par excès au millimètre près. 2b/ On souhaite modifier la hauteur du brick précédent pour que, en conservant la même base, il contienne 20 % de jus d orange en plus. Déterminer la nouvelle hauteur. 3/ On considère les bricks de volume 1 dm 3 dont les mesures en centimètres des arêtes sont des entiers supérieurs à 3. Déterminer toutes les possibilités. Justifier. 4/ Dessiner deux patrons différents d un même parallélépipède rectangle, dont les trois dimensions sont distinctes, en indiquant clairement par un codage les côtés de même longueur. Problème 6 : concours Un horticulteur envisage la construction d une serre ayant la forme d un parallélépipède rectangle surmonté d une pyramide comme l indique la figure ci-après. S C A K D 3 m F E 8 m H 6 m G On désigne par x la mesure de la hauteur SK(exprimée en mètres) de la pyramide SACD. 1/ Montrer que la mesure V du volume (en m 3 ) de la serre est donnée par la formule V = 144 +16 x. 2/ Calculer ce volume pour x = 1,5. 3/ Pour quelles valeurs de x la serre a-t-elle un volume de 200 m 3? Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 12 des grandeurs aux mesures Page 2
On s intéresse maintenant à la surface vitrée de la serre (surface constituée des quatre faces latérales et du toit). Le graphique suivant donne l aire de la surface vitrée en fonction de la hauteur x de la pyramide. 4/ Par lecture graphique, donner l aire de la surface vitrée correspondant à x = 5 m. 5/ Pour des raisons de coût, l horticulteur souhaite limiter l aire de la surface vitrée à 150 m². Quelle est, dans ce cas, la hauteur maximum de la pyramide indiquée par le graphique? 6/ Dans le cas où x = 0, préciser la forme de la serre. Quelle aire de la surface vitrée le graphique indique-t-il? Retrouver ce résultat par le calcul. Problème 7 : concours Une bougie a la forme d un cône de révolution de sommet S. S Sa base est un disque de centre A et de rayon 14 cm. On donne S = 21 cm. 1a/ Calculer la valeur exacte de la hauteur de la bougie. En donner une valeur approchée au mm près. 1b/ Calculer le volume exact de la bougie et en donner une valeur Approchée au mm 3 près. 1c/ Combien de bougies de ce type peut-on fabriquer avec 20 litres de cire? A Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 12 des grandeurs aux mesures Page 3
2/ Pour fabriquer ces bougies, on construit un moule en papier qui est un cône de révolution de mêmes dimensions que les bougies. La figure ci-contre représente un patron non à l échelle de ce moule. a/ Calculer la longueur exacte de l arc de cercle. b/ Calculer l angle en degré du secteur de disque. 3/ En utilisant le même moule, on décide de fabriquer des bougies bicolores rouges et blanches. On procède de la manière suivante : on remplit le moule(pointe en bas) de cire blanche jusqu à mi-hauteur et on complète avec de la cire rouge. Quelle est la proportion de cire blanche dans le volume total de la bougie? Problème 8 : concours Cet exercice comporte deux questions indépendantes. 1/ Des petites briques de jus d orange d une contenance de 20 cl ont la forme de pavés droits dont la base a pour dimensions 4 cm et 6 cm. a/ Calculer la hauteur h d une de ces briques. On donnera une valeur approchée de h à 1 mm près par excès. b/ Un magasin propose ces briques au prix de 2,89 le lot de six. Calculer le prix d un litre de jus d orange, arrondi au centime. c/ Lors d une opération promotionnelle le magasin propose deux options : option A : une remise de 30 % sur le prix d un lot ; option : prix du lot inchangé mais avec deux briques «gratuites» en plus. Quelle option donne le prix le moins élevé? Justifier la réponse. 2/ Dans un autre magasin, une offre promotionnelle consiste à «rembourser» la TVA sur tous les produits. Ainsi le client voit affiché le prix TTC (toutes taxes comprises) mais ne paie en caisse le prix que le prix hors taxes. a/ Quel est le prix payé en caisse (arrondi au centime) si le prix affiché est 42,55 et le taux de TVA est 5,5%? b/ Pour pouvoir retrouver les prix promotionnels des objets qu il achète dans ce magasin, un client prépare, à l aide d un tableur, la feuille de calcul suivante : A C D 1 PRODUITS PRIX(TTC) TAUX DE TVA PRIX PROMO 2 PRODUITS ALIMENTAIRES 5,5% 3 PRODUITS A TAUX NORMAL 19,6% 4 5 Quelle formule peut-il taper dans la case D2 pour que s affiche le prix promotionnel d un produit alimentaire dès qu on entre son prix affiché en 2? Quelle formule peut-il taper en D3? Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 12 des grandeurs aux mesures Page 4
Problème 9 : La figure F ci-contre est constituée d un demi-cercle de diamètre [C], de centre O et de rayon1, et des trois côtés [A], [CD], [DA] d un carré ACD. 1/ Calculer l aire A de la surface S délimitée par F. C 2/ La figure F est la trajectoire d origine A, d un point mobile M O qui se déplace dans le sens des aiguilles d une montre. Le réel x désigne la distance parcourue par le point M depuis son départ en A. On associe à x l aire A(x) de la surface balayée par le segment [OM] pendant le déplacement de M. Démontrer l égalité A(x) = x / 2 dans ces trois cas : A D a/ M appartient au segment [A] b/ M appartient au demi-cercle d extrémités et C. c/ M appartient au segment [CD]. 3/ Le point M s arrête en un point P au moment où l aire de la surface M balayée par le segment [OM] est le quart de l aire de la surface S. a/ Calculer la distance exacte parcourue x par le point M à ce C moment-là. O b/ Placer le point M de manière précise en justifiant sa position. A D Master 1, UE 4, EC9A : Eléments de mathématiques chapitre 12 des grandeurs aux mesures Page 5