Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Centre Scientifique d Orsay - Université de Paris-Sud Année 2010-2011 Physique de la Matière Condensée Partiel du 13 Janvier 2011 Durée : 3 heures. Remarques : Les documents et portables ne sont pas autorisés, mais les calculatrices le sont, pour les applications numériques seulement. Il est vivement conseillé de lire l ensemble du texte avant de composer. Les deux exercices sont indépendants. L ensemble du sujet est long ; il vous permet, le cas échéant, de sélectionner une partie plutôt qu une autre. L ensemble sera noté sur plus que 20. Données numériques : Constante de Boltzmann : k = 1, 38 10 23 J/K. Nombre d Avogadro : N A = 6, 02 10 23 Constante de Planck : h = 6, 62 10 34 J.s Masse de l électron : m e = 9 10 31 kg Masse du neutron : m n = 1, 675 10 27 kg Charge de l électron e = 1, 6 10 19 C 1 Effet tunnel d électrons libres : application au microscope à effet tunnel (prix Nobel 1986) On considère deux solides métalliques identiques dont les surfaces planes perpendiculaires à Oz sont séparées par un petit intervalle de vide d épaisseur s. A l intérieur de chacun des solides, les électrons peuvent se déplacer librement dans les 3 directions de l espace, avec un vecteur d onde k et une énergie cinétique ϵ( k) = h 2 k 2 /2m. Leur énergie de Fermi est ϵ F. L intervalle entre les deux plaques correspond à une barrière d énergie potentielle U = ϵ F + ϕ. L énergie potentielle des électrons ne dépend que de leur position sur l axe z, normal aux deux surfaces, et peut se représenter par le schéma suivant : 1
On applique une différence de potentiel entre les deux métaux de telle manière que les métaux (1) et (2) soient respectivement aux potentiels 0 et V > 0. L énergie potentielle des électrons et la position du niveau de Fermi dans chacun des métaux sont alors donnés par le schéma suivant : L écart en énergie entre les 2 niveaux de Fermi est ev ( e est la charge de l électron) et on suppose ev ϕ et ev ϵ F. 1.1 Préliminaires : le gaz d électrons libres à 3D Pour un gaz d électrons libres à 3D, occupant un volume Ω et dont le nombre d électrons par unité de volume est noté n : 1. Rappeler la valeur de la densité d états dans l espace des k, g( k) ; on utilisera les conditions aux limites périodiques. 2. Exprimer n sous forme d une intégrale qui fait intervenir g( k) puis calculer le module du vecteur d onde de Fermi, k F, en fonction de n et de constantes. En déduire l énergie de Fermi. 3. Calculer k F puis ϵ F en (ev), dans le cas du cuivre, de masse atomique A Cu = 63, 5 10 3 kg de densité d = 8, 9, avec un électron par atome. 2
1.2 Condition de l effet tunnel A température nulle, T = 0, les électrons de (1) peuvent passer par effet tunnel dans (2) si et seulement si : k z > 0 (1) ϵ F ev h2 k 2 2m ϵ F (2) (k z est la composante selon z du vecteur d onde de l électron libre considéré). On rappelle que dans un processus tunnel, les électrons conservent leur énergie. 1. Justifier les deux conditions (1) et (2). 2. Représenter les états correspondants dans l espace des k. On notera l invariance par rotation autour de l axe k z et on pourra effectuer une coupe dans le plan k y = 0. 1.3 Les électrons candidats à l effet tunnel à T = 0 K 1. On considère les électrons du métal (1), vérifiant les conditions d effet tunnel et dont le vecteur d onde k fait un angle avec l axe z compris entre θ et θ + dθ (dθ infiniment petit). Donner le volume de l espace des k correspondant, dv k (k, k + dk; θ, θ + dθ) ; dk représente la petite variation de k = k déduite de l équation (2). 2. En déduire le nombre d électrons correspondant, à T = 0 et par unité de volume, dn(θ, θ+dθ), susceptibles de passer par effet tunnel à travers la barrière de potentiel dans la direction (θ, θ + dθ). Montrer qu on peut le mettre sous la forme : dn(θ, θ + dθ) = mev 2π 2 h 2 k F sin θ dθ 1.4 Courant tunnel à T = 0 K On admet que le coefficient de transmission par effet tunnel à travers la barrière, D, est donné par D = exp( 2k 0 s) avec k 0 = 1 h 2mϕ D = nombre d électrons transmis/nombre d électrons incidents. 1. A partir des résultats de la question précédente, écrire le nombre d électrons par unité de volume dn (θ, θ + dθ) transmis dans la direction (θ, θ + dθ) et en déduire que la contribution dj z au courant tunnel traversant la barrière selon z s écrit sous la forme : dj z = B cos θ sin θ dθ où B est une constante exprimée en fonction des données du problème. 2. En déduire, sous forme intégrale, la densité de courant total j z circulant par effet tunnel entre les deux plaques. 3. Calculer j z et montrer qu elle peut se mettre sous la forme : j z = AV exp( 2k 0 s) Exprimer la valeur de A en fonction ϵ F et de constantes. 4. Application numérique : Quelles sont les valeurs prises par 2 k 0, D, A et j z (préciser les unités) si l on donne : ϵ F = 5 ev ϕ = 3 ev V =0.05 Volt s = 5Å 3
1.5 Microscope à effet tunnel En fait l une des électrodes est constituée d une pointe très fine (terminée par un atome!) située à une distance s au dessus d une surface métallique. Cette substitution ne modifie pas sensiblement les résultats ci-dessus. 1. Sachant qu il est possible de discerner les variations de courant de l ordre de 10%, évaluer la variation de s susceptible d être ainsi discriminée (résolution topographique du microscope tunnel). On prendra s = 5 Å. 2. Dessiner schématiquement la variation du courant en fonction de la tension (caractéristique courant-tension). A quoi correspond la partie V < 0 de la caractéristique? 4
2 Structures cristalline et magnétique de fluorures de métaux de transition AF 2 Certains fluorures anhydres de métaux de transition divalents, de formule générique AF 2 (A=Mn, Fe, Co, Ni, Zn), cristallisent dans une structure dite de type rutile observée pour l oxyde de titane TiO 2. Cette structure est décrite dans une maille quadratique simple de paramètres a = b et c (un parallélipipède rectangle), dont les valeurs sont proches pour les différents fluorures. Dans ce texte, basé sur les études de ces fluorures dans les années 50 par diffraction de rayons X et de neutrons, on considère uniquement le cas du fluorure de manganèse MnF 2 pour lequel a = b = 4, 8734 Ået c = 3, 3103 Å. 2.1 Réseau réciproque et diffraction (a) Donner la nature du réseau réciproque d un réseau quadratique simple de paramètres a et c et exprimer ses paramètres de maille en fonction de a et c. (b) Rappeler les conditions de Bragg sur l angle 2θ entre faisceau incident et faisceau diffracté, pour obtenir une intensité diffractée. On exprimera le résultat en utilisant la longueur d onde λ du rayonnement utilisé, les paramètres de maille du réseau réciproque, a et c et des entiers h, k et l, puis on exprimera la relation donnant sin θ en fonction de λ, a, a/c et ces entiers h, k et l. (c) Application numérique : i. On utilise des neutrons thermalisés à 520 K, c est à dire dont l énergie cinétique correspond à une température de 520 K. Les neutrons sont des particules qui, dans ces conditions obéissent aux lois de la mécanique classique. Montrer que la longueur d onde associée aux neutrons est λ = 1, 2 Å. ii. Comparer au diagramme de diffraction de la figure 2-2 obtenu à 300 K. On se contentera d examiner les raies (1,1,0) et (2,1,0). Dans cette maille quadratique simple, les positions des six ions du motif sont données ci dessous : A 2+ (0, 0, 0) ; (1/2, 1/2, 1/2) F (u, u, 0) ; (1 u, 1 u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 u, 1/2) ; (1/2 u, 1/2 + u, 1/2) Le nombre u a une valeur approximative de 0,3. 2.2 Réseau de Bravais (a) Donner un schéma décrivant la maille quadratique simple de cette structure cristalline et placer les ions en prenant u 0, 3. (b) Combien de formules AF 2 la maille contient-elle? 2.3 Facteur de structure (a) En notant f A, f F les facteurs de diffusion respectifs des ions A 2+ et F, donner l expression du facteur de structure S(h, k, l) associé au motif. L exprimer sous la forme : S(h, k, l) = f A [1 + g(h + k + l)] + 2f F [cos 2π(h + k)u + g(h + k + l) cos 2π(h k)u] 5
(b) Dans le cas h + k + l impair, montrer que l intensité sera nulle si h ou k est nul. (c) Quel devrait être le premier pic de Bragg observé? Est-ce en accord avec le spectre à 300 K de la figure 2-2? 2.4 Diffraction des rayons X et détermination de u Afin de déterminer la valeur du paramètre u, on utilise les résultats des expériences de diffraction des rayons X sur MnF 2. (a) Calculer le rapport des facteurs de structure pour les raies (2,0,2) et (3,1,1) en fonction de f Mn, f F et u. (b) Ce rapport vaut 1,22. En déduire la valeur numérique de u (on gardera la valeur la plus grande) et montrer qu une variation de 1% de u induirait une variation de plus de 30% sur ce rapport d intensité. On donne f Mn /f F = 2, 42 et la représentation graphique ci-dessous. f(x) 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8 0 1 2 3 4 5 X Représentation graphique de la fonction (2, 42 + 2 cos x)/(cos 2x cos x) 2.5 Structure magnétique et diffraction des neutrons Dans le fluorure de manganèse, les ions Mn 2+ portent un moment magnétique. Les couplages entre premiers voisins tendent à anti-aligner les moments magnétiques qui s ordonnent en dessous de 67 K comme indiqué sur la figure 2-1. Les neutrons portent un spin et on peut alors montrer que le facteur de diffusion neutronique dépend de l orientation des moments. Il convient alors de distinguer le facteur de diffusion pour les moments orientés vers le haut f Mn et de celui des moment orientés vers le bas f Mn. Les ions F ne sont pas affectés. 6
Figure 2-1 : Structure magnétique dans la phase ordonnée : seuls les ions Mn 2+ ont été représentés. Le nouveau motif est donc : Mn 2+ (0, 0, 0) ; Mn 2+ (1/2, 1/2, 1/2) F (u, u, 0) ; (1 u, 1 u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 u, 1/2) ; (1/2 u, 1/2 + u, 1/2) (a) Donner l expression du nouveau facteur de structure S m (h, k, l). (b) On considère le cas h + k + l impair, la condition d extinction h = 0 ou k = 0 est-elle toujours vérifiée? (c) Commenter la différence entre les diagrammes de diffraction obtenus en dessous et au dessus de la température de transition. (d) En fait, la différence entre les facteurs de diffusion f Mn et f Mn s annule dans le cas où les moments sont parallèles au vecteur de diffusion. Montrer que le diagramme obtenu confirme l orientation des moments choisis sur la figure 2-1. Figure 2-2 : Diagramme de diffraction de neutrons au dessus (300 K) et en dessous (23 K) de la transition magnétique. 7