Diviseurs de puissance et coupleurs directionnels

Chapitre 5 Diviseurs de puissance et coupleurs directionnels Des diviseurs de puissance et coupleurs directionnels sont des composants utilisés pour combiner ou diviser de la puissance, comme à la figure 5.1. Lorsqu on divise la puissance, un signal d entrée est séparé en deux (ou plus) composants de puissance plus faible. Généralement, la division de puissance est égale ( 3dB) de chaque côté. Un coupleur est un élément à trois ou quatre ports, avec ou sans pertes. On peut aussi avoir un déphasage de 90 ou 180 avec des coupleurs. 1 P 1 Diviseur ou P 2 = αp 1 coupleur P 3 = (1 α)p 1 1 2 3 Diviseur ou coupleur P 2 P 3 Figure 5.1 Circuits de division et addition de puissance 5.1 Propriétés de base On s intéresse ici au propriétés de base des diviseurs et coupleurs, pour des réseaux à 3 et 4 ports. On va aussi définir quelques paramètres de base : isolation, couplage, directivité. 1. Ces notes sont basées sur le manuel de Pozar, Microwave Engineering 1

5.1.1 Réseaux à 3 ports Le type le plus simple de réseau à trois ports est la jonction T, qui est un réseau avec deux entrées et une sortie. Un élément à trois ports général est montré à la figure 5.2. 1 2 [S] 3 Figure 5.2 Élément à 3 ports général La matrice S générale contient 9 éléments. Si tous les ports sont adaptés, S 11 = S 22 = S 33 = 0, et que le réseau est réciproque, on obtient : S 11 S 12 S 13 0 S 12 S 13 [S] = S 21 S 22 S 23 S 21 0 S 23 S 31 S 32 S 33 S 31 S 32 0 (5.1) Cependant, on peut démontrer qu il est imposssible d avoir un réseau à 3 ports qui est sans pertes et réciproque et adapté aux trois ports. Cependant, si le réseau n est pas réciproque, on peut avoir un système adapté aux 3 ports qui est aussi sans pertes. On appelle ceci un circulateur idéal. Pour réaliser un circulateur, il faut utiliser des ferrites : ces dispositifs permettent seulement à la puissance de circuler en une direction. Deux exemples sont montrés à la figure 5.3. Un circulateur permet seulement à la puissance de circuler dans le sens horaire (du port 1 au port 2, du port 2 au port 3, et du port 3 au port 1), tandis que l autre permet à la puissance de circuler en sens anti-horaire. Si on permet au réseau 3 ports d avoir des pertes, on peut alors créer un élément physique réciproque et adapté aux 3 ports. Le diviseur résistif, qu on verra à la section 5.2, est un exemple d un tel élément. De plus un élément à 3 ports ayant des pertes peut avoir des ports de sortie isolés (e.g. S 23 = S 32 = 0). Gabriel Cormier 2 GELE5222

2 2 1 0 0 1 [S] = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 [S] = 0 0 1 1 0 0 3 3 a) Circulateur horaire b) Circulateur anti-horaire Figure 5.3 Circulateurs idéaux 5.1.2 Réseaux à 4 ports (coupleurs directionnels) On considère maintenant un réseau à 4 ports, adapté aux 4 ports, comme montré à la figure 5.4. La matrice S de ce réseau est : 0 S 12 S 13 S 14 S [S] = 21 0 S 23 S 24 S 31 S 32 0 S 34 S 41 S 42 S 43 0 (5.2) 1 3 [S] 2 4 Figure 5.4 Élément à 4 ports général Si le réseau est sans pertes, on obtient 10 équations à partir des équations de conservation d énergie. Pour un système sans pertes, on peut démontrer qu il faut que : et S 14 ( S13 2 S 24 2) = 0 (5.3) S 23 ( S12 2 S 34 2) = 0 (5.4) qu on peut satisfaire si S 14 = S 23 = 0. Puisque le réseau est sans pertes, la matrice S est Gabriel Cormier 3 GELE5222

unitaire (le produit des amplitudes de chaque rangée est 1), et on obtient : ce qui implique que S 13 = S 24, et S 12 = S 34. S 12 2 + S 13 2 = 1 (5.5) S 12 2 + S 24 2 = 1 (5.6) S 13 2 + S 34 2 = 1 (5.7) S 24 2 + S 34 2 = 1 (5.8) Pour simplifier la matrice encore plus, on choisit des références de phase sur 3 des 4 ports, de sorte que : S 12 = S 34 = α (5.9) S 13 = βe jθ (5.10) S 24 = βe jφ (5.11) avec les conditions que α est réel, β est réel, et θ et φ sont des constantes de phase à déterminer. Puisque S 12 2 + S 13 2 = 1, on obtient α 2 + β 2 = 1. Pour ce coupleur directionnel sans pertes, la matrice S devient : 0 α βe jθ 0 α 0 0 βe [S] = jφ βe jθ (5.12) 0 0 α 0 βe jφ α 0 Le produit scalaire des rangées 2 et 3 doit être zéro : ou S 12 S 13 + S 24 S 34 = 0 (5.13) αβe jθ + αβe jφ = 0 (5.14) e jθ + e jφ = 0 (5.15) qui sera satisfait si θ = φ = π/2 ou θ = 0 et φ = π. Les symboles typiques pour des coupleurs directionnels sont montrés à la figure 5.5 ; où la convention de flux de puissance est montrée : l entrée est toujours au port 1, le port de sortie est au port 2, le port de sortie du signal couplé est au port 3, et le port isolé est le port 4. Dans un coupleur idéal, il n y a aucune puissance délivrée au port 4. Coupleur symétrique : θ = φ = π/2 Le coupleur symétrique est montré à la figure 5.6. Dans ce cas, on choisit θ = φ = π/2, ce qui veut dire que les termes d amplitude β ont la même phase. Gabriel Cormier 4 GELE5222

Entrée ➀ ➁ Transmis Isolé ➃ ➂ Couplé Entrée ➀ ➁ Transmis Isolé ➃ ➂ Couplé Figure 5.5 Deux symboles communs pour des coupleurs directionnels, et convention de flux de puissance 1 (0 ) Entrée ➀ ➁ Transmis α (0 ) Isolé ➃ ➂ Couplé β (90 ) Figure 5.6 Coupleur symétrique La matrice S du coupleur symétrique est : 0 α jβ 0 α 0 0 jβ [S] = jβ 0 0 α 0 jβ α 0 (5.16) Coupleur anti-symétrique : θ = 0 et φ = π Le coupleur symétrique est montré à la figure 5.7. Dans ce cas, on choisit θ = 0 et φ = π, ce qui veut dire que les termes d amplitude β ont 180 de déphasage. 1 (0 ) Entrée ➀ ➁ Transmis α (0 ) Isolé ➃ ➂ Couplé β (0 ) Figure 5.7 Coupleur anti-symétrique Gabriel Cormier 5 GELE5222

La matrice S du coupleur symétrique est : 0 α β 0 α 0 0 β [S] = β 0 0 α 0 β α 0 (5.17) Puisque α 2 + β 2 = 1, un coupleur directionnel idéal n a qu un seul degré de liberté. Si la puissance fournie au port 1 est 1 Watt, on obtient, pour un coupleur idéal, P 3 = puissance fournie à la sortie couplée = β 2 [W] (5.18) P 2 = puissance fournie à la sortie couplée = α 2 = 1 β 2 [W] (5.19) P 4 = puissance fournie à la sortie couplée = 0 [W] (5.20) On utilise typiquement trois paramètres pour définir un coupleur directionnel : Couplage = C = 10log P 1 P 3 = 20logβ db (5.21) Directivité = D = 10log P 3 P 4 = 20log β db (5.22) S 14 Isolation = I = 10log P 1 P 4 = 20log S 14 db (5.23) Le facteur de couplage indique le pourcentage de la puissance d entrée qui est couplé au port de sortie. La directivité est une mesure de la capacité du coupleur à isoler les ondes transmises et réfléchies, tout comme l isolation. Ces quantités sont reliées : I = D + C db (5.24) Un coupleur idéal aura une directivité et une isolation infinies (S 14 = 0). Dans ce cas, α et β peuvent être déterminés à partir du facteur de couplage C. Les coupleurs hybrides sont un cas spécial de coupleurs directionnels, où le facteur de couplage est 3dB, ce qui veut dire que α = β = 1/ 2. Il existe deux types de coupleurs hybrides. Le coupleur en quadrature a un déphasage de 90 entre les ports 2 et 3 (θ = φ = π/2) ; c est un coupleur symétrique. La matrice S est : 0 1 j 0 [S] = 1 1 0 0 j 2 j 0 0 1 0 j 1 0 (5.25) Gabriel Cormier 6 GELE5222

Le T-magique ou rat-race hybrid a un déphasage de 180 entre les ports 2 et 3 lorsque l entrée est au port 4 ; c est un coupleur anti-symétrique. Sa matrice S est : 0 1 1 0 [S] = 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 1 1 0 (5.26) 5.2 Jonction T La jonction T est un réseau à 3 ports qui peut être utilisé pour combiner ou diviser de la puissance, et peut être réalisé dans pratiquement n importe quel sorte de ligne de transmission. De façon générale, ce sont des réseaux sans pertes (autre que les faibles pertes de la ligne de transmission). Ceci implique qu on ne peut pas faire l adaptation aux 3 ports en même temps. 5.2.1 Diviseur sans pertes On peut modéliser la jonction T sans pertes par des lignes de transmission, comme à la figure 5.8. La susceptance jb modélise l effet de frange des champs à la jonction des trois lignes de transmission. Z 1 P in + V 0 jb Z 1 P 1 Y in Z 2 Z 2 P 2 Figure 5.8 Modèle par ligne de transmission d une jonction T Gabriel Cormier 7 GELE5222

Pour que l entrée soit adaptée, on doit avoir : Y in = jb + 1 Z 1 + 1 Z 2 = 1 (5.27) La susceptance peut être annulée (sur une largeur de bande faible) en ajoutant un élément réactif, ce qui donne B = 0, et donc : 1 = 1 Z 1 + 1 Z 2 (5.28) Soit V 0, la tension à la jonction. Si le système est adapté, Z in =, on obtient : P in = 1 V0 2 (5.29) 2 et les puissances de sortie sont (pour une charge Z 1 = R 1 et Z 2 = R 2 ) : P 1 = 1 V0 2 = P 2 Z 1 Z in 1 (5.30) P 2 = 1 V0 2 = P 2 Z 2 Z in 2 (5.31) qui sont deux équations de design. Il faut noter deux choses pour ce type de diviseur : 1. Ce diviseur permet d obtenir une adaptation à l entrée de, mais les deux sorties ne seront pas adaptées à. 2. Il n y a aucune isolation entre les ports de sortie. Exemple 1 Une jonction T sans pertes a une impédance de source de 50Ω. Calculer l impédance caractéristique des deux sorties de sorte que la puissance d entrée soit divisée par un rapport 2 :1. Calculer les coefficients de réflexion aux ports de sortie. Selon l énoncé, P 1 = 1/3P in, et P 2 = 2/3P in. On peut donc calculer l impédance pour chaque sortie, ) Z 1 = Z 2 = ( Pin P 1 ( Pin P 2 = 3 = 150Ω ) = 1.5 = 75Ω et donc l impédance d entrée à la jonction est Z in = Z 1 Z 2 = 50Ω, ce qui veut dire que l entrée est adaptée à la source de 50Ω. Gabriel Cormier 8 GELE5222

P 3 CHAPITRE 5. DIVISEURS DE PUISSANCE ET COUPLEURS DIRECTIONNELS Pour calculer les coefficients de réflexion, il faut calculer les impédances vues par chaque port de sortie. On calcule : puis on obtient : Z i1 = 50 75 = 30Ω Z i2 = 50 150 = 37.5Ω 30 150 Γ 1 = 30 + 150 = 0.666 37.5 75 Γ 2 = 37.5 + 75 = 0.333 5.2.2 Diviseur résistif Si un réseau 3 ports contient des composantes avec pertes, on peut faire l adaptation aux 3 ports, mais les 2 ports de sortie ne seront pas isolés. Le circuit est montré à la figure 5.9. Z /3 + P 2 + /3 + /3 V 2 P 1 V 1 V + Z in Z V 3 Figure 5.9 Diviseur de puissance résistif On suppose que tous les ports sont terminés par l impédance caractéristique. L impédance d entrée à la jonction en regardant dans l une des branches de sortie est : Z = 3 + = 4 3 (5.32) Gabriel Cormier 9 GELE5222

et puisqu on a 2 branches en parallèle, Z in = 3 + 4 3 4 3 = (5.33) ce qui veut dire que l entrée est adaptée. Puisque le réseau est symétrique pour les trois ports, la sortie des trois ports est adaptée : S 11 = S 22 = S 33 = 0. On peut aussi démontrer que S 21 = S 31 = S 23 = 1/2, ce qui est 6 db en dessous du niveau de puissance de l entrée. La puissance à l entrée est : P in = 1 V1 2 (5.34) 2 et la puissance aux sorties est : ( 12 V 1 ) 2 P 2 = P 3 = 1 2 = 1 4 P in (5.35) La moitié de la puissance est dissipée dans les résistances /3. En résumé : 1. La jonction T sans pertes a deux désavantages : (a) n est pas adapté à tous les ports (b) n a pas d isolation entre les ports de sortie 2. La jonction T résistive est adaptée aux 3 ports, mais (a) a des pertes (b) n a pas une bonne isolation entre les ports de sortie 5.3 Diviseur de puissance Wilkinson On peut améliorer le design d une jonction T pour qu elle soit sans pertes lorsque les ports de sortie sont adaptés, en utilisant un circuit appelé un diviseur de puissance Wilkinson. Ce type de diviseur est généralement utilisé avec des circuits intégrés; un exemple est montré à la figure 5.10. Le diviseur de puissance Wilkinson est un diviseur à 3dB. Un modèle en ligne de transmission du diviseur de puissance Wilkinson est montré à la figure 5.11. Si une onde TEM est injectée au port 1, deux signaux en phase se rendent aux points a et b. Il n y a aucun courant qui circule dans la résistance, et deux signaux égaux ressortent Gabriel Cormier 10 GELE5222

2Z0, λ/4 Résistance R = 2 2Z0, λ/4 Figure 5.10 Diviseur de puissance Wilinson sur microruban a λ 4 2Z0 2 2Z0 b λ 4 Figure 5.11 Modèle du diviseur de puissance Wilkinson des ports 2 et 3. On obtient donc un diviseur de 3dB. Le port 1 sera adapté si les lignes λ/4 ont une impédance de 2. Si une onde TEM est appliquée au port 2, avec des charges adaptées aux ports 1 et 3, la résistance est mise à la terre (virtuelle) au point b. Des signaux égaux se propagent vers le port 1 et dans la résistance, et le port 2 est adapté. La moitié de la puissance ressort au port 1, et l autre moitié est dissipée dans la résistance. Le comportement est semblable si le port 3 est l entrée. Gabriel Cormier 11 GELE5222

La matrice S de ce système est : S = 1 0 j j j 0 0 2 j 0 0 ce qui montre que les trois ports sont adaptés, et que les port 2 et 3 ne sont pas couplés. (5.36) On peut aussi créer un diviseur Wilkinson ayant une division de puissance arbitraire. Le schéma est montré à la figure 5.12. λ 4 2 3 R R 2 = K λ 4 R 3 = K Figure 5.12 Modèle du diviseur de puissance Wilkinson à division inégale Si le rapport de puissance entre les ports 2 et 3 est K 2 = P 3 /P 2, alors les conditions suivantes s appliquent : 1 + K 3 = Z 2 0 K 3 (5.37) 2 = K 2 3 = K(1 + K 2 ) (5.38) ( R = K + 1 ) (5.39) K On obtient le résultat du diviseur de puissance Wilkinson de base si K = 1. De plus, les sorties sont adaptées aux impédances R 2 et R 3, et non à. Il faudra transformer ces impédances pour faire l adaptation. Exemple 2 Faire le design d un diviseur de puissance Wilkinson pour avoir un rapport de 3dB entre les sorties et une impédance de source de 50Ω. Gabriel Cormier 12 GELE5222

Pour 3dB entre les sorties, on obtient : P 3 P 2 = 0.5 K = 0.5 = 0.707 On peut ensuite calculer les impédances de ligne : 1 + K 3 = Z 2 0 K 3 = 103.0Ω 2 = K 2 3 = K(1 + K 2 ) = 51.5Ω ( R = K + 1 ) = 106.1Ω K Les impédances de sortie sont : R 2 = K = 35.35Ω R 3 = /K = 70.72Ω 5.4 Coupleur en quadrature hybride Les coupleurs en quadrature sont des coupleurs directionnels 3dB ayant une différence de phase de 90 entre les sorties transmises et couplées. Ce type de coupleur est souvent fabriqué en microruban ou coplanaire. Un exemple microruban est montré à la figure 5.13. Entrée ➀ / 2 ➁ Transmis λ 4 λ 4 Isolé ➃ ➂ Couplé / 2 Figure 5.13 Géométrie d un coupleur en quadrature Si tous les ports sont adaptés, la puissance qui entre au port 1 est distribuée également entre les ports 2 et 3, avec un déphasage de 90 entre ces sorties. Aucune puissance n est Gabriel Cormier 13 GELE5222

transmise au port 4 (port isolé). La matrice S a la forme suivante : 0 j 1 0 S = j j 0 0 1 2 1 0 0 j 0 1 j 0 (5.40) Le coupleur en quadrature est très symétrique ; n importe quel port peut être utilisé pour l entrée. La sortie sera toujours du côté opposé de l entrée, et le port isolé sera toujours du même côté que l entrée. 5.5 Coupleurs directionnels à lignes couplées Lorsque deux lignes de transmission non blindées sont proches l une de l autre, la puissance peut être couplée d une ligne à l autre à cause de l interaction des champs électromagnétiques. Ces lignes sont nommées des lignes couplées, et sont généralement constituées de trois conducteurs en proximité. On suppose que les lignes couplées fonctionnent en mode TEM. Un exemple est montré à la figure 5.14. Couplé Isolé ➂ ➃ ➀ ➁ Entrée Transmis Figure 5.14 Géométrie d un coupleur à ligne couplées Un schéma à base de lignes de transmission est montré à la figure 5.15. Ce réseau 4 ports est terminé à tous les ports par, et alimenté par une source de tension 2V 0 à l entrée (port 1). On a deux impédances pour les lignes couplées : une pour une excitation paire, et l autre pour une excitation impaire. Il faut généralement utiliser des tableaux ou Gabriel Cormier 14 GELE5222

graphes pour obtenir le lien entre e et o selon le type de ligne (ruban, microruban, etc), la constante diélectrique du substrat, et l épaisseur du substrat (ex : figure 7.29 p. 339 ou figure 7.30 p. 340 du manuel de Pozar). θ I Z 3 I 4 0 ➂ ➃ +V 3 +V 4 2V 0 e, o I 1 I 2 ➀ ➁ +V 1 +V 2 Figure 5.15 Schéma d un coupleur à ligne couplées En utilisant une analyse paire/impaire, on peut démontrer que le facteur de couplage entre les lignes est (si θ = λ/4) : et que C = e o e + o = V 3 V 1 (5.41) e = 1 + C 1 C o = 1 C 1 + C (5.42) (5.43) Exemple 3 Faire la conception d un coupleur à lignes couplées ayant un facteur de couplage de 25dB et une fréquence centrale de 10GHz, dans un système à 75Ω. Utiliser des lignes à ruban coplanaires, avec un substrat ɛ r = 2.5 et b = 0.25cm. Calculer la largeur des rubans et la séparation. Gabriel Cormier 15 GELE5222

Le facteur de couplage est C = 10 20 20 = 0.1. On peut alors calculer les impédances : 1 + C 1.1 e = 1 C = 75 0.9 = 82.916Ω 1 C 0.9 o = 1 + C = 75 1.1 = 67.840Ω Pour une ligne à ruban ayant ɛ r = 2.5 : ɛr e = 131.102 ɛr o = 107.265 À l aide de la figure 7.29 (p.339) du manuel de Pozar, on obtient : S b W b 0.4 S = 0.10cm 0.35 W = 0.088cm La longueur d onde dans le substrat est : λ = λ 0 ɛr = 3cm 2.5 = 1.897cm ce qui veut dire que la ligne a une longueur de λ/4 = 0.474cm. 5.6 Coupleur Lange Il est généralement très difficile d obtenir du couplage de 3dB ou 6dB à l aide de lignes couplées. Pour améliorer le couplage, on utilise plusieurs lignes parallèles, de sorte que les champs de frange contribuent au couplage. Le coupleur le plus utilisé est le coupleur de Lange, montré à la figure 5.16. Quatre lignes couplées sont utilisées, avec des interconnexions, pour obtenir un couplage plus élevé. On peut facilement obtenir un couplage de 3dB, avec un octave ou plus de largeur de bande. La fabrication des coupleurs Lange à haute fréquence nécessite une très grande précision, puisque les lignes sont très minces et rapprochées. Le coupleur Lange est un type de coupleur en quadrature ayant une différence de phase de 90 entre les sorties (ports 2 et 3). Si le facteur de couplage est : C = V 3 V 1 (5.44) Gabriel Cormier 16 GELE5222

S Isolé ➃ ➁ Transmis W λ 4 Entrée ➀ ➂ Couplé Figure 5.16 Géométrie d un coupleur Lange on peut démontrer que : où 3 ( Z0e 2 C = ) Z2 0o 3 ( Z0e 2 + ) (5.45) Z2 0o + 2Z0e o e = 4C 3 + 9 8C 2 2C (1 C)/(1 + C) o = 4C + 3 9 8C 2 2C (1 + C)/(1 C) (5.46) (5.47) Exemple 4 Faire le design d un coupleur Lange 6dB à 50Ω à une fréquence de 2GHz. Le coupleur sera fabriqué en microruban, sur un substrat en alumine (ɛ r = 10), de 2.5mm d épaisseur. Pour un coupleur à 6dB, C = 10 6/20 = 0.5012, et on obtient les impédances : e = 4C 3 + 9 8C 2 2C (1 C)/(1 + C) = 142.67Ω o = 4C + 3 9 8C 2 2C (1 + C)/(1 C) = 67.88Ω Gabriel Cormier 17 GELE5222

À partir de la figure 7.30 du manuel de Pozar, S d W d 0.3 S = 0.75mm 0.11 W = 0.275mm Pour obtenir des entrées à 50Ω, on trouve une largeur de 2.391mm (voir chapitre 2 pour les lignes microruban). Les lignes λ/4 auront une longueur de 11.859mm. 5.7 Jonction hybride 180 La jonction hybride 180 est un réseau 4 ports avec un déphasage de 180 entre les sorties. Il peut aussi être utilisé pour que les sorties soient en phase. Le schéma général est montré à la figure 5.17. Un signal appliqué au port 1 sera divisé également en deux composants en phase aux ports 2 et 3, et le port 4 est isolé. Si l entrée est appliquée au port 4, les sorties sont aux ports 2 et 3, avec un déphasage de 180, et le port 1 est isolé. Si on applique 2 signaux aux ports 2 et 3, la somme des signaux sort aux port 1, et la différence sort au port 4. Σ ➀ ➁ ➃ hybride 180 ➂ Figure 5.17 Schéma d une jonction hybride 180 La matrice S de la jonction hybride 180 3dB est : 0 1 1 0 S = j 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 (5.48) qui est une matrice unitaire et symétrique. La jonction hybride 180, aussi appelée rat-race hybrid, peut facilement être construite en forme planaire (microruban ou coplanaire). Un exemple est montré à la figure 5.18. On utilise des tronçons de ligne de λ/4 pour créer la jonction hybride. L analyse de la jonction hybride 180 se fait elle aussi à l aide de la méthode pair/impaire. La largeur de bande de ce coupleur est de l ordre de 20% à 30%. Gabriel Cormier 18 GELE5222

➁ ➀ λ/4 2Z0 λ/4 3λ/4 ➂ λ/4 Figure 5.18 Géométrie d une jonction hybride 180 ➃ Gabriel Cormier 19 GELE5222