UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L - S3 PROBABILITÉS Examen - Première session - Décembre 0 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Il sera tenu compte de l orthographe et du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice - 7 points On lance un dé bien équilibré tétraédrique (hypothèse d équiprobabilité) dont les faces sont numérotées de à 4. Si k est le nombre obtenu avec le dé, on place k boules numérotées de à k dans une urne, puis on tire au hasard une des boules. (tirages équiprobables) On note X la V.A. égale au numéro obtenu au dé et Y la V.A. égale au numéro de la boule tirée. Tous les résultats de cet exercice seront donnés sous forme de fractions irréductibles.. Préciser la loi de X. Calculer E(X) puis V (X).. Justifier que P(X = 3 Y = ) =. 3. Déterminer dans un tableau la loi conjointe du couple (X, Y ), puis la loi marginale de Y. 4. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant (Y = 3). 5. Calculer E(Y ) et V (Y ). 6. Déterminer la loi de la V.A. Z = X + Y. 7. On admet que V (X + Y ) = 6. En déduire la valeur de cov(x, Y ). 48 Exercice - 5 points En 955, David Wechsler a proposé de mesurer le «quotient intellectuel»(qi) à l aide de tests mesurant les facultés cognitives des personnes testées. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenus par un échantillon représentatif de la population d un âge donné, dont les performances suivent une loi normale de moyenne 00 et d écart-type 5. Dans cet exercice on prendra pour valeurs arrondies : 3 = 0, 33, = 0, 67 etc... et on donnera 3 les solutions arrondies à 0 près en utilisant la table de la loi normale N (0; ) fournie.. Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80?. Quelle est la probabilité d avoir un QI compris entre 05 et 0? 3. En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus? 4. Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d individus les plus «performants»?
Exercice 3-5 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a ln x si x [; e] x f(x) = 0 sinon. Déterminer la valeur de a R de telle sorte que f soit la densité de probabilité d une V.A.R. X.. Déterminer la fonction de répartition F X de X. 3. Calculer P( < X < e). 4. Calculer E(X) et V (X). Exercice 4-3 points Une urne contient n boules numérotées de à n. (n est un entier supérieur ou égal à 3). On tire 3 boules, successivement et avec remise, de cette urne. On note X la V.A.R.D. égale au nombre de valeurs distinctes obtenues. Par exemple, si les numéros des boules sont (, 6, ) alors X = 3 ; si ces numéros sont (4, 4, ), alors X =.. Quel univers peut-on associer à cette expérience aléatoire? Donner une expression de son cardinal. De : Jérôme STEPHAN <jerome.stephan@wanadoo.fr>. Déterminer la Objet loi: de Loi probabilité normale - Wikipédia de X et sa fonction de répartition F. Date : 5 novembre 0 00:3:7 HNEC Table de la loi Normale N (0; ) 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 50000 50399 50798 597 5595 5994 539 5790 5388 53586 0, 53983 54380 54776 557 55567 5596 56356 56749 574 57535 0, 5796 5837 58706 59095 59483 5987 6057 6064 606 6409 0,3 679 67 655 6930 63307 63683 64058 6443 64803 6573 0,4 6554 6590 6676 66640 67003 67364 6774 6808 68439 68793 0,5 6946 69497 69847 7094 70540 70884 76 7566 7904 740 0,6 7575 7907 7337 73565 7389 745 74537 74857 7575 75490 0,7 75804 765 7644 76730 77035 77337 77637 77935 7830 7854 0,8 7884 7903 79389 79673 79955 8034 805 80785 8057 837 0,9 8594 8859 8 838 8639 8894 8347 83398 83646 8389,0 8434 84375 8464 84849 85083 8534 85543 85769 85993 864, 86433 86650 86864 87076 8786 87493 87698 87900 8800 8898, 88493 88686 88877 89065 895 89435 8967 89796 89973 9047,3 9030 90490 90658 9084 90988 949 9309 9466 96 9774,4 994 9073 90 9364 9507 9647 9785 99 93056 9389,5 9339 93448 93574 93699 938 93943 9406 9479 9495 94408,6 9450 94630 94738 94845 94950 95053 9554 9554 9535 95449,7 95543 95637 9578 9588 95907 95994 96080 9664 9646 9637,8 96407 96485 9656 96638 967 96784 96856 9696 96995 9706,9 978 9793 9757 9730 9738 9744 97500 97558 9765 97670,0 9775 97778 9783 9788 9793 9798 98030 98077 984 9869, 984 9857 98300 9834 9838 984 9846 98500 98537 98574, 9860 98645 98679 9873 98745 98778 98809 98840 98870 98899,3 9898 98956 98983 9900 99036 9906 99086 99 9934 9958,4 9980 990 994 9945 9966 9986 99305 9934 99343 9936,5 99379 99396 9943 99430 99446 9946 99477 9949 99506 9950,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 996 9963 99643,7 99653 99664 99674 99683 99693 9970 997 9970 9978 99736
UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L - S3 PROBABILITÉS Corrigé du partiel - Décembre 0 Exercice - 7 points.,5 point X U [[;4]]. E(X) = 4 + =, 5 et V (X) = 4 = 5 4.. 0,5 point P(X = 3 Y = ) = P(X = 3) P (X=3) (Y = ) = 4 3 = car il y a trois boules dans l urne et donc une chance sur trois d obtenir la boule numéro. 3.,5 point 4. 0,5 point X Y 3 4 Loi de X /4 0 0 0 /4 /8 /8 0 0 /4 3 / / / 0 /4 4 /6 /6 /6 /6 /4 Loi de Y 5/48 3/48 7/48 3/48 X/(Y = 3) 3 4 p 0 0 4/7 3/7 5.,5 point E(Y ) = 7 4 et E(Y ) = 88 48 = 47 donc V (Y ) = E(Y ) 6. point 7. 0,5 point cov(x, Y ) = z i 3 4 5 6 7 8 p i /4 /8 5/4 7/48 7/48 /6 /6 (V (X + Y ) V (X) V (Y )) = 6 60 4 96 (E(Y ) ) = 4 48 Exercice - 5 points Dans tout l exercice on note Y la V.A. définie par Y = X 00, alors Y suit la loi normale 5 centrée réduite N (0; ) 80 00. point P(X < 80) = P(Y < ) = P(Y <, 33) = Φ(, 33) = 5 Φ(, 33) 0, 09 soit environ 9% de la population a un QI inférieur à 80. 0 00. point P(05 < X < 0) = P(X < 0) P(X < 05) = P(Y < ) 5 05 00 P(Y < ) = Φ(0, 67) Φ(0, 33) 0, 75 0, 63 = 0,. 5 La probabilité d avoir un QI compris entre 05 et 0 est d environ 0, 3.,5 point On cherche α tel que P(Y < α) = Φ(α) = 0, 33. Par lecture inverse de la table, on cherche α tel que Φ( α) = Φ(α) = 0, 67 ; on lit Φ(0, 44) 0, 67, i.e. α 0, 44, d où α 0, 44 = 5 8
x 00 On résout : = 0, 44 x = 93, 4. Le tiers de cette population a un QI 5 inférieur à 93, 4. 4.,5 point On cherche α tel que Φ(α) = 0, 95 : par lecture inverse de la table on lit α, 65 On résout x 00 =, 65 x = 4, 75. Le QI minimum des 5% des individus les 5 plus performants est environ 5. Exercice 3-6 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a ln x si x [; e] x f(x) = 0 sinon. points La fonction logarithme népérien est positive sur [; e] donc f est positive si et seulement si a > 0 f est clairement continue sur ] ; [, ]e, + [ (car nulle) et sur ]; e[ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. De plus, lim f(x) = 0 = x x> lim f(x) et lim f(x) = a et lim f(x) = 0 : f est continue en x e x< x e x<e x e x>e et possède une limite réelle à gauche et à droite de e + [ ] e a ln t (ln t) e Enfin f(t)dt = f(t)dt = dt = a t Donc f est une densité de probabilité si et seulement si a =. point F X est définie par : 0 si x x ln t F X (x) = dt = = (ln x) si x [; e] t si x e ( ) = a 0 = a 3. 0,5 point P( < X < e) = F X ( e) F X () = 4 4.,5 points E(X) = tf(t)dt = ln tdt = ([t ln t] e t ) t dt = (e [t] e ) = (I.p.p. vue en cours avec u (t) = et v(t) = ln t) [ ] e E(X ) = t f(t)dt = t ln tdt = t ln t u (t) = t et v(t) = ln t) d où V (X) = E(X ) (E(X)) = e 7 Exercice 4-3 points tdt = = e + (I.p.p. avec. point L univers Ω est l ensemble des 3-listes d éléments de [[; n] et Card(Ω) = n 3. points x i 3 p i n n 3 = 3n(n ) 3(n ) n(n )(n ) (n )(n ) n n 3 = n n 3 = n
La fonction de répartition F de X est alors définie par : F (x) = 0 si x < F (x) = n si x < F (x) = 3n n si x < 3 F (x) = si x 3