Enseignements d Approfondissement de Mathématiques Appliquées

Enseignements d Approfondissement de Mathématiques Appliquées Septembre 2009 http://www.enseignement.polytechnique.fr/mathematiques-appliquees/ enseignements/annee3_ea.php Ces enseignements sont l occasion d appliquer, sur un problème particulier, la démarche d un mathématicien appliqué, à savoir, comprendre l essence d un problème, en faire la modélisation, étudier les mathématiques sous-jacentes et calculer les solutions numériques. Compte tenu de l étendue du travail, il est très fortement recommandé d effectuer ce projet en binôme. Sauf exception rare, une note unique est attribuée par binôme, il vous faut donc faire un véritable travail d équipe. Ce travail se terminera par la remise d un rapport le mercredi 9 decembre et par une soutenance orale entre le lundi 14 et le vendredi 18 décembre. Cet enseignement d approfondissement permet aussi de découvrir la recherche dans un domaine spécifique des mathématiques appliquées. De plus, choisir un enseignement d approfondisement dans un domaine, est généralement une condition nécessaire pour obtenir un stage d option à l étranger dans ce domaine. Présentation des sujets Vous trouverez dans ce catalogue la liste des sujets proposés, regroupés en 5 thèmes : Modèles en finance et simulation Réseaux de communication Traitement du signal et de l image Optimisation et recherche opérationelle Analyse numérique Ces sujets, que vous pourrez aussi trouver sur le site dont l adresse est donnée plus haut, seront par ailleurs présentés en détail le mardi 22 septembre 2008 après-midi dans l amphithéâtre Cauchy, selon les horaires suivants (la première partie de la réunion concerne tous les élèves, et il est fortement conseillé d assister à toutes ces présentations, même si vous pensez votre choix déjà fait) : Présentation générale (principe des Enseignements d Approfondissement en Mathématiques Appliquées et informations pratiques) de 13h30 à 14h30 Modèles en finance et simulation de 14h30 à 15h45, Optimisation et recherche opérationelle & Analyse numérique de 15h45 à 16h30, Réseaux de communication & Traitement du signal et de l image de 16h30 à 17h15. Vous pouvez aussi proposer un sujet qui vous intéresse particulièrement, et le discuter avec l un des enseignants participant à ces approfondissements. 1

Choix des sujets Il vous faudra choisir votre sujet avant le lundi 28 septembre et communiquer une liste de 2 choix par courrier électronique (bien indiquer dans le sujet de votre mail, EA + son intitulé, par exemple, EA Réseaux de communication) à : Sandra Schnakenbourg Secrétariat du Département de Mathématiques Appliquées sandra@cmap.polytechnique.fr Les sujets seront attribués dans la semaine, vous devrez alors prendre immédiatement rendez-vous avec votre enseignant qui vous precisera les modalités de travail. Calcul numérique La plupart des sujets proposés demanderont d effectuer des simulations numériques, le plus souvent avec le logiciel Scilab, pendant libre de Matlab, qui permet de faire des calculs avec un minimum de programmation. Suivant les goûts et compétences, l utilisation de langages de programmation, à choisir parmi C, C++ et Java, est également envisageable. Trois travaux dirigés de remise à niveau à Scilab/Matlab avec une orientation numérique vous sont proposés. A noter que ces travaux dirigés auront lieu les mardi 29 septembre, 6 octobre et 13 octobre de 13h30 à 15h30 dans les salles d informatique 33 et 34. Ils seront consacrés à la réalisation complète d un micro-projet, l accent étant mis sur la programmation, l affichage des résultats et leur inclusion dans un rapport en L A TEX. Ce projet constituera un très bon exercice de remise à niveau, aussi bien en Scilab/Matlab qu en L A TEX. Ces cours et l encadrement informatique tout au long de votre travail, seront assurés par Florent Benaych-Georges, Caroline Hillairet, Aline Lefebvre et Aldjia Mazari. Notez que vous pourrez joindre ces intervenants par courrier électronique à l adresse sos@cmap.polytechnique.fr Dans votre travail, il vous faut utiliser l informatique comme outil de compréhension et d expérimentation. Une analyse critique des résultats devra être faite dans le rapport et la présentation orale, montrant comment cet outil a été utilisé au cours du projet. Mais il ne s agit pas d un projet d informatique. Soutenance orale et rapport La soutenance orale dure 40 minutes par binôme. Elle se compose d un exposé de 30 minutes (environ 15 mn par élève) suivi de 10 minutes de questions. Il est extrêmement important de bien préparer cette présentation, qui doit tenir dans le temps imparti, et dont la qualité de l exposé sera notée tout comme le contenu. Il est fortement recommandé de préparer des transparents bien présentés. Vous devez considérer que le jury ne connaît rien au problème et donc le présenter, montrer son importance, expliquer votre approche ainsi que vos résultats analytiques et numériques, avec une conclusion faisant un bilan de votre travail. 2

En plus de ces éléments, le rapport devra comprendre une bibliographie des ouvrages et articles étudiés. Vous êtes fortement encouragés à aller chercher de la documentation sur votre sujet à la bibliothèque. Encadrement Cet approfondissement est un travail personnel dont l intérêt et la richesse ne dépendront que de vous-même. Les enseignants vous guideront dans votre démarche. Surtout n hésitez pas à contacter l enseignant qui vous encadre. Il vous faudra commencer vos recherches dès le mois d octobre car vous pouvez vous attendre à être très occupé lors des dernières semaines, par la finition des calculs numériques, l écriture du rapport, la préparation de votre présentation, les examens des autres cours et les dossiers pour la quatrième année. Si vous avez besoin d une lettre de recommandation pour des dossiers d admission dans les universités américaines, vous pourrez éventuellement demander cette lettre à l enseignant qui vous encadre, qui s appuyera pour la faire de manière importante sur la qualité de votre travail en EA. 3

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Table des matières 1 Modèles stochastiques en finance 9 1.1 Ingénierie financière.................................. 10 1.1.1 Étude de cas d ingénierie financière..................... 10 1.2 Techniques de valorisation d options......................... 10 1.2.1 Options sur taux d intérêt.......................... 10 1.2.2 Options de change.............................. 11 1.2.3 Options barrière................................ 11 1.2.4 Options sur minimum ou options lookback................. 12 1.2.5 Options asiatiques.............................. 12 1.2.6 Options américaines............................. 12 1.2.7 Produits dérivés sur la volatilité...................... 13 1.2.8 Valorisation d options Altiplano par copules................ 13 1.2.9 Erreurs de couverture............................. 14 1.2.10 Couverture en temps discret......................... 14 1.3 Volatilité stochastique................................ 14 1.3.1 Marché incomplet et modèles à volatilité aléatoire............. 14 1.3.2 Robustesse de la formule de Black et Scholes................ 15 1.4 Calibration et risque de modèle........................... 15 1.4.1 Extraction de volatilité à partir des prix d options et formule de Dupire. 15 1.4.2 Prix de marché des Calls........................... 16 1.4.3 Problèmes inverses et calibration de modèle................ 16 1.4.4 Smile de volatilité implicite......................... 17 1.4.5 Mouvement brownien fractionnaire et arbitage............... 17 1.5 Gestion de portefeuille................................ 18 1.5.1 Optimisation de portefeuille en présence de sauts............. 18 1.5.2 Assurance de portefeuille........................... 18 1.5.3 Comparaison de deux stratégies avec garantie de capital......... 18 1.5.4 Stratégies d analyse technique........................ 19 1.6 Délit d initié : modélisation et détection...................... 19 1.6.1 Information privée initiale.......................... 20 1.6.2 Information privée progressive........................ 20 1.7 Stratégies haute fréquence, microstructure des marchés.............. 21 1.7.1 Estimation haute fréquence de la volatilité, application au trading d options 21 1.7.2 Corrélation haute fréquence, application au market impact........ 21 5

2 Réseaux de Communication, Algorithmes et Probabilités 23 2.1 Réseaux Pair à Pair.................................. 23 2.2 Capacité des Réseaux Mobiles............................ 23 2.3 Algorithmes de Recherche.............................. 24 2.4 Métastabilité des réseaux............................... 24 3 Traitement du signal et de l image 27 3.1 Échantillonnage comprimé avec des mesures aléatoires............... 27 3.2 Débruitage d images par ondelettes et moyennage non-local............ 27 3.3 Reconnaissance d Images par Support Vector Machine............... 28 3.4 Diminuer l entropie pour séparer des signaux à l aveugle.............. 28 3.5 Peut-on récupérer un fichier zippé corrompu?................... 28 3.6 Quantification optimale en présence de bruit de transmission........... 29 3.7 Comment tatouer des images par codage sur papier sale et quantification hésitante 30 3.8 L information des nombres.............................. 30 4 Optimisation et recherche opérationnelle 31 4.1 Optimisation globale fondée sur le calcul par intervalles (J.-F. Bonnans)..... 31 4.2 Optimisation globale de problèmes polynomiaux (J.-F. Bonnans)......... 32 4.3 Optimisation de réseaux de fluides de grande taille (J.-F. Bonnans)....... 32 4.4 Techniques d optimisation globale.......................... 33 4.5 Optimisation pour l allocation des ressources.................... 33 4.6 Conception d un réseau de contenu (CDN) sécurisé................ 33 4.6.1 Contexte télécom............................... 34 4.6.2 Notations et problème............................ 34 4.6.3 Travail attendu................................ 34 4.7 Algorithmes d agrégation de VPNs (Virtual Private Networks).............................. 35 4.7.1 Contexte télécom............................... 35 4.7.2 Notations et problématique générale.................... 36 4.7.3 Description du problème à traiter...................... 37 4.8 Dimensionnement et planification des ressources (E. Bouzgarrou)........ 38 4.9 Optimisation Robuste dans le Revenue Management (E. Bouzgarrou)...... 38 4.10 Gestion du Revenu dans les réseaux Télécom (M. Bouhtou et S. Gaubert).... 38 4.11 Modélisation d un service d urgences hospitalières (S. Gaubert et Ph. Robert). 38 4.12 Techniques d algèbre commutative en optimisation entière (S. Gaubert)..... 39 5 Analyse numérique 41 5.1 Foules (B. Maury).................................. 41 5.2 Respiration (B. Maury)................................ 41 5.3 Equations aux dérivées partielles paramétriques et problèmes de grandes dimensions (A. Cohen)................................... 42 5.4 Maillages anisotropes optimaux (A. Cohen).................... 42 5.5 Dynamique des chocs élastiques (O. Pantz)..................... 42 5.6 Modèle de contact visqueux : vers une bétonnière 2D (A. Lefebvre-Lepot).... 43 5.7 Equations des eaux peu profondes et préservation des équilibres (F. Coquel).. 43 6

5.8 Comparaison de différents modèles de composites (I. Terrasse).......... 44 5.9 Modélisation de l injection foudre (I. Terrasse)................... 44 5.10 Méthodes de couplage / décomposition de domaine en électromagnétisme (I. Terrasse)........................................ 45 5.11 Etude d estimateurs a posteriori et raffinement de maillage adaptatif (I. Terrasse) 45 7

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Chapitre 1 Modèles stochastiques en finance Sujets proposés par : Caroline Hillairet - CMAP-École Polytechnique e-mail : hillaire@cmapx.polytechnique.fr Benjamin Jourdain - CERMICS, École Nationale des Ponts et Chaussées e-mail : jourdain@cermics.enpc.fr Mathieu Rosenbaum - CMAP-École Polytechnique e-mail : rosenbaum@cmapx.polytechnique.fr Denis Talay - INRIA, Sophia Antipolis e-mail : Denis.Talay@sophia.inria.fr Peter Tankov - CMAP-École Polytechnique e-mail : tankov@cmapx.polytechnique.fr Nizar Touzi - CMAP-École Polytechnique e-mail : touzi@cmapx.polytechnique.fr Les EA (Enseignements d Approfondissement) ont pour objectif de confronter les élèves à un problème de recherche motivé par les applications en finance. Le travail comporte : une phase de modélisation (réalisée en général à partir d un ou deux articles), une phase de résolution théorique du problème, une phase de réalisation numérique, une phase d interprétation des résultats. Chaque phase a son importance et doit être réalisée avec le plus grand soin. Un autre objectif de l EA est d approfondir les outils abordés dans le cours. Le rapport devra inclure le développement d un ou deux points théoriques choisis en accord avec les encadrants. Les points suivants interviendront de manière quasi-équivalente dans la note finale : 9

Assiduité et adéquation au travail demandé, Qualité des preuves théoriques et de leur rédaction, Qualité du travail numérique et de son analyse, Originalité et autonomie, Qualité du rapport et de la soutenance orale. 1.1 Ingénierie financière 1.1.1 Étude de cas d ingénierie financière Des séminaires d ingénierie financière seront animés cette année par Boris Leblanc et Jérôme Lebuchoux, chacun étant responsable d une équipe de recherche (quants) dans une institution financière. L objectif de cet EA est de développer la problématique présentée par l un des intervenants pendant les trois séances qu il animera. Il s agira d un problème d actualité au sein d une équipe de quants. Ainsi, il sera demandé : - D expliquer dans quel contexte ce problème est apparu, - De trouver une modélisation adaptée, - De résoudre et d implémenter le modèle dans la perspective d une utilisation pratique. Ces trois aspects seront discutés et analysés pendant les trois séances que l intervenant animera, et devront être développés par le binome, en discussion avec l intervenant. Le texte final aura vocation à être publié. 1.2 Techniques de valorisation d options 1.2.1 Options sur taux d intérêt On commencera par étudier en détail le modèle de Vasicek. On s intéressera au problème d évaluation et de couverture dans ce cadre. On montrera que le formalisme de réplication parfaite est vérifié et conduit à des formules relativement simples pour le prix des zéro-coupons (cf. cours de N. El Karoui) et des options «vanilles». On vérifiera par simulation l existence d un panier de couverture (diverses stratégies seront envisagées et implémentées). On pourra par la suite aborder des modèles plus complexes à plusieurs facteurs ou de type «Heath, Jarrow, Morton». [1] D. Brigo, F. Mercurio, Interest rate models - theory and practice, Springer. [2] N. El Karoui, Cours de l École Polytechnique, Fascicule Finance. [3] N. El Karoui, J.C. Rochet, A pricing formula for options on coupon bonds, 1989. 10

[4] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Contingent claim valuation with a random evolution of interest rate, Rev. Future Markets, 9(1), p. 54-76, 1990. [5] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates : A new methodology for contingent claim valuation, Econometrica, 6, p. 77-106, 1992. 1.2.2 Options de change Le but de ce travail sera de voir comment l on peut valoriser des options portant sur des cours de change. L approche traditionnelle repose sur le modèle de Garman-Kohlagen qui est une variante du modèle de Black-Scholes. On commencera par étudier la valorisation et la couverture des puts et des calls dans ce modèle. Puis, on vérifiera dans ce cadre l intérêt de la notion de changement de numéraire en prouvant l invariance du prix par changement de devise. Par la suite, on pourra étudier des options plus compliquées introduites pour faire face au risque de change comme les options quanto. [1] T. Cherif, N. El Karoui, Arbitrage multidevise, applications aux options quanto, 1993. [2] N. El Karoui, Cours de l École Polytechnique, Fascicule Finance. [3] M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer, 1997. 1.2.3 Options barrière Les options barrière sont des options classiques assorties d une clause du type : l option ne peut être exercée que si le sous-jacent a franchi (ou n a pas dépassé) un niveau fixé dans le contrat. Elles représentent actuellement 25 % des options de change. Une raison de ce succès est leur prix, moins élevé que celui d une option standard. Dans le cas particulier du modèle log-normal, il existe des formules explicites. La couverture de telles options est délicate. Points à aborder : - Formule explicite dans le cas log-normal, - Obtention de l EDP régissant les options barrière, - Approximation numérique par Monte Carlo, - Gestion de la couverture. [1] P. Carr, K. Ellis, V. Gupta, Static hedging of exotic options, The Journal of Finance, 53, p. 1165-1190, 1998. [2] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Stochastic Modelling and Applied Probability, 53, Chapitre 6, Springer. [3] S. Metwally, A. Atiya, Using Brownian bridge for fast simulation of jump-diffusion processes and barrier options, The Journal of Derivatives, p. 43-54, Fall 2002. 11

1.2.4 Options sur minimum ou options lookback Les options classiques (modèle de Black-Scholes) portent sur des flux ne dépendant que de la valeur de l actif à l échéance de l option. Néanmoins, de nombreux produits financiers prennent désormais en compte des flux qui dépendent de toute la trajectoire du cours. Les options lookback qui portent sur la valeur minimum (ou maximum) du cours sur un intervalle de temps sont un exemple de telles options. Points à aborder : - Formule explicite dans le cas log-normal, - Obtention de l EDP régissant les options lookback, - Approximation numérique par Monte Carlo, - Gestion de la couverture. [1] P. Buchen, O. Konstandatos, A new method of pricing lookback options, Mathematical Finance, 15, p. 245-260, 2005. [2] A. Conze, R. Viswanathan, Path dependent options : the case of lookback options, Journal of Finance, 46, p. 1893-1907, 1991. [3] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Stochastic Modelling and Applied Probability, 53, Chapitre 6, Springer. 1.2.5 Options asiatiques On s intéresse à la valorisation d une option asiatique qui donne le droit à son détenteur de gagner la différence entre la moyenne arithmétique continue des cours du sous-jacent et un prix d exercice donné. Il n y a pas de formule explicite pour calculer le prix d une telle option. L approximation numérique peut être abordée par la méthode de Monte Carlo ou par la méthode des différences finies. [1] B. Lapeyre, E. Temam, Competitive Monte Carlo methods for the pricing of Asian Options, Journal of Computational Finance, 5, p. 39-59, 2001. [2] L.C.G Rogers, Z. Shi, The Value of an Asian Option, Journal of Applied Probability, 32, p. 1077-1088, 1995. 1.2.6 Options américaines Une option américaine peut être exercée à tout instant entre la date de son acquisition et son échéance. Pour trouver le prix de cette option on doit optimiser (sur des temps d arrêt) le moment d exercice. Même dans les cas les plus simples, on ne connaît pas de formule explicite donnant le prix de l option et le recours à une méthode numérique est indispensable. L optimisation sur les temps d arrêt peut se ramener à une maximisation sur les temps d atteinte de frontière de l actif sous-jacent. Dans [2], ce principe d optimisation de la frontière est 12

développé pour évaluer le prix d options américaines : l objet de l EA est de comprendre cette approche et de l implémenter sur certains exemples. Points à aborder : - Comprendre la théorie classique des options américaines, - Comprendre et implémenter la méthode de [2]. [1] G. Barone-Adesi, R. Whaley, Efficient analytic approximation of American option values, Journal of Finance, 42, p. 301-320, 1987. [2] D. Garcia. Convergence and biases of Monte Carlo estimates of American option prices using a parametric exercise rule, 2001. [3] R. Myneni, The pricing of American options, Annals of Applied Probability, 2, p. 1-23, 1992. 1.2.7 Produits dérivés sur la volatilité Les années récentes ont vu l émergence de produits dérivés d un nouveau type, dont le pay-off dépend de la volatilité réalisée par un actif de référence sur une période à venir. Ces «swaps de variance» ou «swaps de volatilité» permettent à un investisseur de faire un pari sur le niveau futur de la volatilité sans avoir à émettre de vues sur le niveau des prix eux-mêmes. L objectif de ce travail sera d étudier ces instruments et les méthodes proposées pour les évaluer. [1] P. Carr, D. Madan, Towards a theory of volatility trading, in : Volatility, ed. R.A. Jarrow, Risk Publications, 1998. [2] K. Demeterfi, E. Derman, M. Kamal, J. Zou, More than you ever wanted to know about volatility swaps, Journal of Derivatives, Summer 1999. 1.2.8 Valorisation d options Altiplano par copules Les copules sont des fonctions permettant de capturer les dépendances entre différents actifs. D un point de vue temps de calcul, leur utilisation peut parfois être une alternative intéressante à celle de méthodes de Monte Carlo, notamment dans le cas d options multi sous-jacents. On illustrera ceci en étudiant une technique basée sur les propriétés des copules pour la valorisation d options Altiplano (options multi sous-jacents dont le pay-off dépend du nombre d actifs ayant franchi certaines barrières entre certaines dates). [1] M. Overhaus, A. Bermudez, H. Buehler, A. Ferraris, C. Jordison, A. Lamnouar, Equity Hybrid Derivatives, Wiley. 13

1.2.9 Erreurs de couverture Des stratégies de couverture erronées peuvent conduire à des pertes arbitrairement grandes. À partir d exemples, on étudiera mathématiquement et numériquement les lois des profits et pertes de stratégies mal spécifiées. [1] C. Gallus, Exploding hedging errors for digital options, Finance and Stochastics, 3, p. 187-201, 1999. 1.2.10 Couverture en temps discret La propriété de réplication parfaite dans le modèle de Black-Scholes repose sur l hypothèse de rebalancement continu du portefeuille. Dans les conditions réelles du marché, le trading continu est impossible à cause par exemple des coûts de transaction, ce qui conduit à une erreur de couverture non-négligeable. Dans ce projet on étudiera cette erreur et son comportement asymptotique lorsque le nombre de dates de trading tend vers l infini, avec et sans coût de transaction. Si le temps le permet l effet de microstructure de marché sera également abordé. [1] D. Bertsimas, L. Kogan, A.W. Lo, When is time continuous?, Journal of Financial Economics, 55, p. 173-204, 2000. 1.3 Volatilité stochastique 1.3.1 Marché incomplet et modèles à volatilité aléatoire Dans le modèle de Black et Scholes, l actif est supposé avoir un prix solution de : ds t = S t (bdt + σdw t ). Le marché est alors complet : ceci signifie que l on peut couvrir exactement des options portant sur S t. Cette propriété, qui joue un rôle essentiel pour donner un prix aux options, n est pourtant que rarement vérifiée. Le but de cet EA sera d étudier des modèles d actifs incomplets pour lesquels on doit renoncer à cette hypothèse. Ce phénomène d incomplétude apparait, par exemple, lorsque la volatilité σ est supposée être un processus aléatoire et indépendant du brownien W. On parle alors de modèle à volatilité aléatoire. Ces modèles sont souvent considérés en pratique car ils permettent de mieux rendre compte des prix d options constatés sur les marchés. Points à aborder : - On commencera par vérifier dans le modèle de Black et Scholes, la propriété de couverture parfaite, - On poursuivra le travail en traitant le cas où la volatilité est une chaîne de Markov à temps continu à 2 états, indépendante de W, 14

- On vérifiera la propriété d incomplétude par simulation et éventuellement par une approche théorique : on mettra en évidence le fait que le prix n est alors pas défini de façon indiscutable et que la couverture de l option ne peut pas être exacte. Il est envisageable d étendre l étude à d autres modèles incomplets : volatilités solutions d équations différentielles stochastiques, modèles avec sauts, couverture à temps discret. [1] C.A. Ball, A. Roma, Stochastic volatility option pricing, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 29(4), p. 584-607, 1994. [2] N. El Karoui, Cours de l École Polytechnique, Fascicule Finance. [3] J. Hull, A. White. The pricing of options on assets with stochastic volatilities, Journal of Finance, 42(2), p. 281-300, 1987. [4] M. Romano, N. Touzi, Contingent claims and market completeness in a stochastic volatility model, Mathematical Finance, 7, p. 399-412, 1997. 1.3.2 Robustesse de la formule de Black et Scholes La formule de Black et Scholes est utilisée largement en pratique, non parce que le marché évolue exactement conformément au modèle, mais parce que la formule est robuste aux erreurs de modélisation. Par exemple, des stratégies fondées sur un modèle mal spécifié de volatilité peuvent néanmoins assurer d excellentes couvertures. On étudiera cette question dans des contextes divers d un point de vue théorique et d un point de vue numérique à partir de simulations. [1] N. El Karoui, M. Jeanblanc-Picqué, S. Shreve. Robustness of the Black and Scholes formula, Mathematical Finance, 8(2), p. 93-126, 1998. [2] S. Romagnoli, T. Vargiolu. Robustness of the Black-Scholes approach in the case of options on several assets, Finance and Stochastics, 4, p. 325-341, 2000. [3] A. Shied, M. Stadje, Robustness of delta hedging for path-dependent options in local volatility models, J. App. Prob., 44, p. 865-879, 2007. 1.4 Calibration et risque de modèle 1.4.1 Extraction de volatilité à partir des prix d options et formule de Dupire Si on connait les prix de marché des Calls portant sur un sous-jacent en fonction de l échéance et du strike, on peut construire un modèle de diffusion avec fonction de volatilité locale pour le sous-jacent qui permet de retrouver cette nappe de prix de marché. La fonction de volatilité locale est donnée par la formule de Dupire [1]. L objectif de cet EA est d établir la formule de Dupire et d implémenter la résolution de l équation aux dérivées partielles qui lui est associée. 15

[1] B. Dupire, Pricing with a smile, RISK, January 1994. 1.4.2 Prix de marché des Calls On s intéresse aux prix des Calls portant sur un sous-jacent donné. Les conditions qui assurent l Absence d Opportunité d Arbitrage sur la nappe de ces prix pour toutes les valeurs du couple maturité/strike sont bien connues. Sous ces conditions, on peut construire un modèle de diffusion avec fonction de volatilité locale pour le sous-jacent qui permet de reproduire cette nappe de prix [1]. Mais, en pratique, seuls les prix de Calls correspondant à un nombre fini de couples maturité/strike sont cotés sur le marché. L objectif de cet EA est d étudier à partir de [1] et [2] : - Les conditions qui assurent qu un tel ensemble fini de prix est bien compatible avec l Absence d Opportunité d Arbitrage, - La construction d un modèle permettant de reproduire ces prix. [1] H. Buehler. Expensive martingales, Quantitative Finance, 6(3), p. 207-218, 2006. [2] M. Davis, D. Hobson, The range of traded option prices, Mathematical Finance, 17(1), p. 1-14, 2007. [3] B. Dupire, Pricing with a smile, RISK, January 1994. 1.4.3 Problèmes inverses et calibration de modèle Alors que la théorie des options propose des méthodes pour évaluer et couvrir les options étant donné la connaissance du processus stochastique qui décrit le sous-jacent, en pratique ce processus n est pas connu et doit être identifié. La disponibilité des prix d options sur le marché permet de les utiliser comme source pour extraire des informations sur ce processus. Ce problème inverse, connu sous le nom de calibration de modèle, est typiquement mal posé et peut admettre beaucoup de solutions, d où la nécessité d un critère supplémentaire pour en choisir une. Un critère utilisé par plusieurs auteurs dans ce cadre est l entropie de la distribution de l actif relative à une loi a priori. Le projet consiste à étudier cette approche d abord dans un cadre statique, implémenter numériquement les algorithmes proposés et les appliquer à des données empiriques d options. [1] M. Avellaneda, R. Buff, C. Friedman, N. Grandchamp, L. Kruk, J. Newman, Weighted Monte Carlo : A new technique for calibrating asset pricing models, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 4, p. 91-119, 2001. [2] P.W. Buchen, M.F. Kelly, Asset price distributions inferred from linear inverse theory, Journal of Computational Finance, 3, p. 53-69, 2000. 16

1.4.4 Smile de volatilité implicite Dans le modèle de Black-Scholes, le prix d une option est déterminé de manière unique à partir d un seul paramètre inobservable : la volatilité. Si on connaît le prix de marché d une option, on peut inverser la formule de Black-Scholes et calculer sa volatilité, qui s appelle dans ce cas, la volatilité implicite de cette option. La volatilité implicite peut être définie et constitue une représentation très utile du prix même si ce prix est calculé dans un modèle autre que Black- Scholes. La volatilité implicite devient ainsi une fonction de strike de l option : phénomène connu sous le nom de «smile de volatilité implicite». Il est alors intéressant d étudier le comportement de ce smile. Dans un article récent, Roger Lee [2] montre que le carré de la volatilité implicite est asymptotiquement linéaire en fonction du logarithme de strike. Le but de ce projet est de tester ce résultat dans le cadre du modèle de Heston [1]. Le travail se déroulera en trois étapes : - Etude du modèle de Heston, - Calcul théorique de la forme asymptotique de volatilité implicite dans le modèle de Heston, - Simulation numérique des prix d options dans le modèle de Heston et calcul numérique de la volatilité implicite. [1] S. Heston, A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, Rev. Fin. Studies, 6, p. 327-343., 1993. [2] R. Lee, The moment formula for implied volatility at extreme strike, Mathematical Finance, 14, p. 69-480, 2004. 1.4.5 Mouvement brownien fractionnaire et arbitage Le mouvement brownien fractionnaire est un processus Gaussien dont la régularité est paramétrisée par un indice H (0, 1) appelé indice de Hurst. Le cas H = 1/2 correspond au cas usuel en finance du mouvement brownien standard. On montrera que si la dynamique de l actif est dirigée par un mouvement brownien fractionnaire d indice de Hurst H différent de 1/2, alors il est possible d arbitrer le marché. On s intéressera aussi à des méthodes de détection de ces éventuels arbitrages grâce à l estimation de l indice de Hurst. Enfin, on étudiera éventuellement la remise en cause de cette possibilité d arbitrage en présence de coûts de transaction. [1] P. Guasoni, M. Rasonyi, W. Schachermayer, The fundamental theorem of asset pricing for continuous processes under small transaction costs, Preprint, 2008. [2] L.C.G. Rogers, Arbitrage with fractional Brownian motion, Mathematical Finance 7(1), p. 95-105, 1997. 17

1.5 Gestion de portefeuille 1.5.1 Optimisation de portefeuille en présence de sauts La charge d un gestionnaire de fond consiste à trouver la meilleure allocation dynamique de portefeuille au sens d un certain critère faisant intervenir les préférences du gestionnaire (ou de sa hiérarchie), ainsi que l horizon temporelle de l investissement. Le modèle de Merton suppose que la dynamique des actifs échangeables est définie par un modèle de Black-Scholes et donne une solution explicite du problème de gestion de portefeuille pour une maturité donnée et un critère de type puissance. De nombreuses extensions ont été développées depuis. Nous proposons ici d étudier l effet de présence de sauts dans la dynamique des prix. [1] Y. Aït Sahalia, J. Cacho-Diaz, T. Hurd, Portfolio choice with jumps : a closed-form solution, Preprint. [2] R. Cont, P. Tankov, Financial Modelling with Jump Processes. Chapman and Hall, CRC Press, 2003. [3] R.C. Merton, Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, Journal of Economic Theory, 3, p. 373-413, 1971. 1.5.2 Assurance de portefeuille Afin de rassurer leur clientèle, les gestionnaires de portefeuille proposent des fonds avec garantie de capital. Du point de vue du gestionnaire, il s agit d implémenter le meilleure allocation de portefeuille, selon un critère donné, sous la contrainte que la valeur du portefeuille soit supérieure à la garantie à laquelle il s est engagé avec son client. La technique d assurance de portefeuille propose d obtenir cette garantie par l achat d un put sur le fonds lui-même. Cette stratégie se révèle optimale dans un certain cadre simple, mais n est pas optimale dans le cas général... [1] N. El Karoui, M. Jeanblanc, V. Lacoste, Optimal portfolio management with American capital guarantee, Journal of Economic Dynamics and Control, 29, p. 449-468, 2005. [2] R.C. Merton, Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, Journal of Economic Theory, 3, p. 373-413, 1971. 1.5.3 Comparaison de deux stratégies avec garantie de capital Pour inciter les acheteurs à acheter des produits structurés, les banques proposent souvent une garantie portant sur la totalité ou une proportion du montant investi. L objectif de cet EA est de comprendre et de comparer deux stratégies de gestion qui assurent une telle garantie. Il s agit de : 18

- La stratégie qui consiste à acheter une action et une option de vente (Put) portant sur cette action, - La stratégie du coussin. [1] P. Bertrand, J.-L. Prigent, Portfolio insurance strategies : A comparison of standard methods when the volatility of the stock is stochastic, International Journal of Business, 8(4), p. 461-472, 2003. [2] P. Bertrand, J.-L. Prigent, Portfolio insurance strategies : OBPI versus CPPI, Finance, 26(1), p. 5-32, 2005. [3] R. Cont, P. Tankov. Constant Proportion Portfolio Insurance in presence of jumps in asset prices, Preprint, 2007. 1.5.4 Stratégies d analyse technique Un grand nombre de transactions sont effectuées à l aide de stratégies fondées sur des caractéristiques géométriques d historiques de cours. Des travaux récents et en cours tentent de préciser les propriétés de telles stratégies en les confrontant aux stratégies fondées sur des modèles stochastiques du marché. On s intéressera, mathématiquement et numériquement, à une situation assez simple qui permet d étudier une stratégie fondée sur un indicateur de rupture du rendement d une action. [1] C. Blanchet, A. Diop, R. Gibson, D. Talay, E. Tanré, Technical analysis compared to mathematical models based methods under parameters mis-specification, Journal Banking and Finance, 31, p. 1351-1373, 2007. [2] A.N. Shiryaev, Quickest detection problem in the technical analysis of the financial data, Mathematical Finance, Bachelier Congress (2000), Springer Finance, Springer, p. 487-521, 2002. 1.6 Délit d initié : modélisation et détection En France, l AMF (Autorité des Marchés Financiers) est chargée de surveiller les opérations boursières. Depuis une dizaine d années, ces autorités de surveillance ont fait beaucoup de progrès dans la détection de comportement initié grâce notamment à de meilleures techniques de surveillance. Un exemple récent et de grande envergure a eu lieu entre novembre 2005 et mars 2006, période durant laquelle 10 millions de titres EADS ont éte vendus, pour une plus value de près de 90 millions d euros. Ces mouvements anormaux ont été décelés par l AMF, et ont conduit à des enquêtes sur 21 hauts dirigeants d EADS. L objectif des deux sujets suivants est d étudier une modélisation d un délit d initié et de mettre en place un test de détection. On se placera dans le cadre d un marché financier dont les prix des actifs sont dirigés par un mouvement brownien. L information minimale dont disposent les agents pour résoudre leur problème d optimisation est celle obtenue par l observation du processus des prix. Cependant, il semble que les agents sont informés de manière hétérogène et 19

reçoivent un flux d information qui leur est propre. Pour de tels initiés, on étudiera : - La viabilité et la complétude du marché (des problèmes d arbitrage se posent), - Le gain de l initié (par rapport à un non-initié), - La mise en oeuvre de tests de détection. On peut considérer plusieurs modélisations de l information privée. 1.6.1 Information privée initiale On dit qu un agent possède une information initiale s il connait, dès l instant t = 0, une fonctionnelle des trajectoires du processus des prix. La clé de cette modélisation est la théorie du grossissement initial de filtration par une variable aléatoire. On étudiera par exemple le cas où l initié connait le ratio du prix terminal de deux actifs, ou bien encore le cas où l initié sait si le prix terminal d un actif sera dans une fourchette donnée ou non. [1] A. Grorud, M. Pontier, Comment détecter le délit d initié, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 324, p. 1137-1142, 1997. [2] A. Grorud, M. Pontier, Insider trading in a continuous time market model, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1, p. 331-347, 1998. [3] M. Pontier, Modélisation et détection du délit d initié, Matapli 77, 2005. 1.6.2 Information privée progressive On dit qu un agent possède une information progressive s il connait une fonctionnelle des trajectoires du processus des prix, perturbée par un bruit indépendant qui décroît au cours du temps. L information devient donc de plus en plus précise. La clé de cette modélisation est la théorie du grossissement progressif de filtration. On étudiera par exemple le cas où l initié connait le prix terminal d un actif, perturbé par un bruit. [1] J. M. Corcuera, P. Imkeller, A. Kohatsu-Higa, D. Nualart, Additional Utility of insiders with imperfect dynamical information, Finance and Stochastics, 8, p. 437-450, 2004. [2] A. Grorud, M. Pontier, Comment détecter le délit d initié, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 324, p. 1137-1142, 1997. [3] M. Pontier, Modélisation et détection du délit d initié, Matapli 77, 2005. 20