EA MAP571 Enseignements d Approfondissement du PA de Mathématiques Appliquées Catalogue des sujets

Transcription

1 EA MAP571 Enseignements d Approfondissement du PA de Mathématiques Appliquées Catalogue des sujets 15 septembre 2014 La dernière version de ce document se trouve sur les ressources pédagogiques de MAP571: 1

2 Table des matières Introduction 3 Objectifs, rapport et soutenance, notation Simulations, calculs, informatique Thématiques proposées et cours correspondants Choix et attribution des sujets Déroulement du projet, encadrement Liste des sujets 8 1 Analyse numérique Imagerie élastique cardiovasculaire Microstructures, homogénéisation et métamatériaux Déformations d un réseau de poutres inextensibles Modèles stochastiques en finance 11 Techniques de valorisation d options Options sur taux d intérêt Options vanille sur actions et dividendes discrets Produits dérivés sur la volatilité et modèle de variance forward Erreurs de couverture Trading discret et erreur de spécification Méthodes numériques de discrétisation et de Monte-Carlo Méthodes asymptotiques pour les options sur panier Options américaines : l approche par conditions aux limites artificielles Options américaines et méthode duale Options barrière et techniques de correction de domaine Modèle à volatilité incertaine et méthode primale pour BSDEs Modèle à volatilité incertaine et méthode duale pour BSDEs Méthodes de différences finies généralisées pour les options avec volatilité stochastique Surface de volatilité et calibration de modèle Asymptotique du smile Prix de marché des Calls et absence d arbitrage statique Calibration d un triangle de taux de change Calibration d un modèle hybrique taux-action par une méthode particulaire Autour du modèle Sabr Risque de Contrepartie CVA sur CDS (ou risque de contrepartie sur un swap de défaut).. 21 Gestion de portefeuille et délit d initié Assurance de portefeuille Délit d initié : modélisation et détection Stratégies haute fréquence, microstructure des marchés

3 2.20 Exécution optimale haute fréquence : ordre limite versus ordre de marché Estimation du Market impact à partir de données haute fréquences Estimation haute fréquence de la volatilité, application au trading d options Corrélation haute fréquence, application au market impact Optimisation et recherche opérationnelle Preferential Bidding Systems pour les pilotes Construction de grilles horaires pour le personnel au sol Affectation optimale des numéros de vol Optimisation de l affectation temps réel des trafics dans un contexte de réseau d accès mobile multi-technologies (2G/3G/LTE) Modélisation de l optimisation de la qualité d expérience pour les services de vidéo streaming dans les réseaux mobiles Distribution de contenus vidéos Conception d un réseau de caches Feasibility Recovery Algorithms for The Unit Commitment Problem of Interconnected Hydro Plants Optimisation du processus de réception et de traitement des appels d urgence bornes pire des cas Optimisation du processus de réception et de traitement des appels d urgence étude probabiliste Des systèmes biologiques à la géométrie tropicale Bases de Graver pour l optimisation entière Falsifier formellement la conjecture de Hirsch Planification de tournées de techniciens Réseaux de communication Stochastic Models of Algorithms for Data Centers Equilibrium states of stochastic neural networks Stochastic Models of Protein Production of Bacteria Cells Capacité des réseaux mobiles Traitement du signal et de l image Synthèse additive : Analyse, resynthèse et transformation de signaux musicaux Segmentation : méthode déterministe ou aléatoire? Débruitage par non-local means Statistique, grandes données, systèmes en interaction On the influence of the seed graph in the preferential attachment model L 2 -Boosting et k-plus proches voisins Régression nonparamétrique lorsque n est grand

4 Introduction Objectifs, rapport et soutenance, notation Objectifs : Le but de ces enseignements d approfondissement (EA) est la réalisation par l élève d un projet, selon la démarche d un mathématicien appliqué, en résumé : comprendre l essence d un problème pertinent et en faire la modélisation ; effectuer une étude mathématique du modèle obtenu ; fournir des résultats qualitatifs et quantitatifs, en particulier grâce à des simulations et des méthodes numériques. Ce projet personnel est effectué en binôme et constitue un véritable travail d équipe. Il porte sur un problème spécifique issu du domaine des applications d un cours suivi par les deux élèves, et il leur permet d y approfondir leurs connaissances et bénéficier d une initiation à la recherche. Il constitue souvent une condition nécessaire pour obtenir un stage de recherche ou une 4 ème Année dans ce domaine, notamment en finance ou à l étranger. Rapport et soutenance : Ce travail se concluera par la remise d un rapport pour le mardi 25 novembre Ce rapport sera à transmettre sous forme de deux copies papier au secrétariat du département de MAP et à envoyer sous forme d un fichier pdf à tous les membres du jury. Il fera l objet d une soutenance orale sur slides le mardi 2 ou vendredi 5 décembre. Dans le rapport comme lors de la soutenance, vous devez considérer que le jury ne connaît rien au problème, et donc le présenter en montrant son importance, expliquer votre approche ainsi que vos résultats analytiques et numériques, et donner vos conclusions sur le sujet en faisant un bilan de votre travail. Une bonne ligne de conduite est de faire comme s il s agissait d une étude que l on vous aurait commandée, à présenter aux commanditaires. Le rapport, de préférence écrit en L A TEX, devra être rédigé et présenté très soigneusement, et comprendre une bibliographie des ouvrages et articles étudiés. Vous êtes fortement encouragés à aller chercher de la documentation sur votre sujet à la bibliothèque. La soutenance orale dure 40 minutes par binôme : un exposé de 30 minutes (partagées équitablement par les élèves) suivi de 10 minutes de questions. Il est extrêmement important de bien la préparer. Elle doit tenir dans le temps imparti. 4

5 Evaluation : Elle tient compte de la qualité du contenu et de la présentation du rapport et de la soutenance, ainsi que des interactions avec l enseignant. Elle prendra également en compte le sens critique sur les résultats obtenus ainsi que la précision de la bibliographie. Une seule note est généralement attribuée au deux membres du binôme. Simulations, calculs, informatique Tous les sujets proposés demanderont d effectuer des simulations et des calculs numériques. Une analyse critique des résultats ainsi obtenus devra être faite dans le rapport et la présentation orale. L informatique devra être utilisée comme outil de compréhension et d expérimentation, et non comme une fin en soi. Notez bien qu il ne s agit pas d un projet d informatique. Logiciels et langages utilisés : On utilisera le plus souvent Python ou le logiciel Scilab, pendant libre de Matlab, qui permet de faire des calculs avec un minimum de programmation. Certains sujets utilisent des logiciels de calcul plus avancés et spécialisés, tels que FreeFem++. Suivant les goûts et compétences, l utilisation de langages de programmation évolués, notamment C, C++, ou Java, est tout à fait envisageable. TP Python : Quatre séances de travaux dirigés Python avec une orientation numérique vous sont proposés. A noter que ces travaux dirigés auront lieu les mardi 23, 30 septembre et 7 et 14 octobre de 13h30 à 15h30 dans les salles informatique 35 et 36. La première séance consistera en une prise en main de Python. Les trois dernières seront consacrées à la réalisation complète d un micro-projet, l accent étant mis sur la programmation, l affichage des résultats et leur inclusion dans un rapport écrit en LaTeX. Ce projet constitue un très bon exercice pour découvrir les besoins (aussi bien en Python qu en LaTeX) que vous aurez au cours de votre EA et pour apprendre à y répondre. Ceux qui le souhaitent pourront effectuer leur projet en Scilab. Ces TP et l encadrement informatique tout au long de votre travail seront assurés par Raphaël Deswarte, Caroline Hillairet et Aldjia Mazari. Notez que vous pourrez joindre ces intervenants par courrier électronique à l adresse [email protected] 5

6 Soutien FreeFem++ : Les élèves qui doivent manipuler FreeFem++ dans le cadre de leur sujet d EA pourront obtenir un soutien en contactant Olivier Pantz [email protected]. Thématiques proposées Liste des thématiques et cours correspondants : La liste des sujets proposés est regroupés en six thèmes correspondant aux cours de période 1 du PA de MAP : 1. Analyse Numérique (MAP559, François Alouges et Bertrand Maury) 2. Modèles en finance et simulations (divisé en sept sous-thèmes) (MAP552, Nizar Touzi) 3. Optimisation et recherche opérationnelle (MAP557, Stéphane Gaubert) 4. Réseaux de communication (MAP554, Philippe Robert) 5. Traitement du signal et de l image (MAP555, Erwan Le Pennec) 6. Statistique, grandes données, systèmes en interaction (MAP553, Alexandre Tsybakov) Contrainte pour le choix des sujets : Pour demander un sujet il faut suivre le cours correspondant dans cette période 1 du PA. Cependant par exception : Modèles en finance et simulations en P2 : les élèves de MAP552 (Modèles stochastiques en finance) pourront effectuer un EA de Modèles en finance et simulations en période 2, sous condition d effectuer un EA sur un autre thème en période 1. Analyse numérique : la plupart des sujets sont accessibles aux élèves ayant suivi MAP431 Statistique, grandes données, systèmes en interaction : un des sujets est accessible aux élèves ayant suivi MAP433 Enseignants référents pour les différentes thématiques : Pour chacune des six thématiques, un enseignant référent est disponible pour répondre à vos questions. Ses coordonnées seront indiqués dans la suite de ce catalogue au début de chaque thématique. Vous pouvez les contacter pour vous aider 6

7 à faire votre choix. Vous pouvez également leur proposer un sujet qui vous intéresse particulièrement, afin d en discuter avec eux, pour voir si votre proposition est raisonnable et convenir d un encadrement. Choix et attribution des sujets Séance de présentation : L EA MAP571 est présenté le mardi 16 septembre 2014 de 14h à 17h30 en amphithéâtre Becquerel avec : une présentation générale sur ses principes, son organisation, et ce que l on attend des élèves la présentation de chaque thème par son responsable durant 15 à 30 minutes enfin, les élèves intéressés pourront discuter plus à fond avec les enseignants responsables de sujet présents. Procédure de choix : Il vous faudra communiquer avant le jeudi 18 septembre 2014 à 17h00 une liste de 3 choix de sujets ordonnés par préférence (en indiquant les numéros des sujets) appartenant à au moins 2 sous-thèmes pour Modèles en finance et simulation par courrier électronique ayant pour sujet «choix sujet EA» adressé à Nathalie Hurel [email protected] (Secrétariat du Département de Mathématiques Appliquées). Attribution des sujets : Elle sera faite au plus vite, en essayant de respecter au mieux les choix des élèves à l heure et respectant les règles de choix. Ceux-ci seront tous traités de façon égalitaire. Les autres seront traités ensuite, et par ordre d arrivée. Déroulement du projet, encadrement Démarrage du projet : Dès que votre sujet vous aura été attribué, vous devrez prendre immédiatement contact avec l enseignant qui en est responsable afin de fixer la date d un premier rendez-vous. Cet enseignant vous précisera les modalités de travail particulières pour votre sujet, puis vous encadrera. 7

8 Déroulement du projet : Ce projet constitue un travail personnel dont l intérêt et la richesse dépendront principalement de votre investissement. L enseignant qui vous encadre vous guidera dans votre démarche. Surtout n hésitez pas à le contacter. C est à vous de le solliciter et à lui de déterminer les modalités de vos rencontres, et non l inverse. Ces rencontres n auront pas nécessairement lieu le mardi, mais vous devez utiliser les créneaux libres ce jour-là à bon escient. Il vous faudra commencer votre travail immédiatement, car vous pouvez vous attendre à être très occupé lors des dernières semaines, par la finition des calculs numériques, la rédaction du rapport, la préparation de votre présentation, les examens des autres cours et les dossiers pour la quatrième année. Lettre de recommandation : Si vous avez besoin d une lettre de recommandation pour des dossiers d admission, notamment pour les universités étrangères, vous pourrez la demander à votre encadrant après la soutenance. 8

9 Liste des sujets 1 Analyse numérique Enseignant référent : Aline Lefebvre-Lepot [email protected] 1.1 Imagerie élastique cardiovasculaire Habib Ammari [email protected] De nombreuses pathologies cardiaques se caractérisent par un changement des paramètres mécaniques du coeur. L objet de ce sujet est de développer un cadre mathématique et numérique à l imagerie visco-élastique du coeur à l aide d une sonde optique. Il aboutirait à la reconstruction en temps réel du module d Young et de la viscosité locale du coeur et des artères. Il s agit là d un enjeu majeur en imagerie cardiaque. [1] H. Ammari, E. Bretin, J. Garnier, H. Kang, H. Lee et A. Wahab, Mathematical Methods in Elasticity Imaging, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University, [2] H. Ammari, E. Bretin, P. Millien, L. Seppecher et J.K. Seo, Mathematical modeling in full-field optical coherence elastography, arxiv : Microstructures, homogénéisation et métamatériaux Antonin Chambolle [email protected] L homogénéisation consiste à déterminer les propriétés macroscopiques d un matériau dont la structure microscopique varie très rapidement. Cette technique permet à la fois de pouvoir faire des calculs numériques macroscopiques plus efficaces que s il fallait résoudre en même temps les échelles microscopiques, mais aussi de concevoir des matériaux inexistants dans la nature (ou métamatériaux ) : composites (le plus souvent, des matériaux légers renforcés par des fibres elastiques très solides), matériaux aux propriétés originales qui se dilatent lorsqu on tire dessus (coefficient de Poisson négatif)... L objet de cette étude sera d implémenter (a priori, en 2D) des calculs de propriétés effectives de matériaux à microstructures périodiques (ou aléatoires si le temps le permet), d abord pour des problèmes de diffusion (scalaire) puis en élasticité linéarisée. On pourra par exemple essayer le motif calculé dans [2] qui donne théoriquement un matériau à coefficient de Poisson négatif (voir Figure 1). [1] Antoine Gloria. Numerical Homogenization : Survey, New Results, And Perspectives. ESAIM : PROCEEDINGS, September 2012, Vol. 37,

10 Figure 1 Matériau à coefficient de Poisson négatif calculé dans [2]. [2] G. Allaire, F. De Gournay, F. Jouve. Méthodes de synthèse et d optimisation de mécanismes compliants, Actes des 5eme journées nationales de recherche en robotique (JNRR 05), Guidel, Octobre 2005, Déformations d un réseau de poutres inextensibles Alexandre Ern [email protected] Les Grid Shells constituent une technique de construction récente et innovante permettant de réaliser des structures coques discrètes aux formes variables et aux propriétés mécaniques particulièrement favorables (grande rigidité notamment et faible densité) ; voir par exemple [1]. Le principe est de déployer un réseau de poutres initialement plan puis de solliciter ce réseau en lui appliquant des efforts ponctuels afin qu il se déforme en une hypersurface de l espace. Les poutres sont élastiques et inextensibles et sont reliées entre elles par des mécanismes permettant le glissement et la rotation, et on s intéresse ici au problème statique. Afin d appréhender la simulation de tels systèmes, on commencera par se concentrer sur les déformations d une unique poutre. On formulera le problème comme la minimisation d une fonctionnelle quadratique (la poutre est élastique) sous des contraintes ponctuelles non-linéaires (la poutre est inextensible). La méthode numérique sera basée sur une formulation par décomposition-coordination et lagrangien augmenté [2] (on pourra également consulter [3] pour la même approche sur un problème différent). On réalisera des simulations sous Scilab en considérant divers types de sollicitations (par exemple, déplacements ou efforts imposés aux extrémités de la poutre). Dans un deuxième temps, on étudiera une extension de la formulation par Lagrangien augmenté au réseau de poutres et, si le temps le permet, on réalisera quelques simulations (toujours sous Scilab) afin d appréhender la réponse statique du réseau à des sollicitations extérieures. 10

11 [1] C. Douthe, O. Baverel, J.-F. Caron, Form-finding of a grid shell in composite materials, J. Int. Assoc. Shell and Spatial Struct., 47(150), [2] R. Glowinski and P. Le Tallec, Augmented Lagrangian and Operator-Splitting Methods in Nonlinear Mechanics, SIAM, [3] D. Doyen, A. Ern et S. Piperno, A three-field augmented Lagrangian formulation of unilateral contact problems with cohesive forces, ESAIM Math. Mod. Numer. Anal., 44(2), (2010). 11

12 2 Modèles stochastiques en finance Enseignant référent : Caroline Hillairet [email protected] Sujets proposés par : Emmanuel Bacry - CMAP-École Polytechnique [email protected] Frédéric Bonnans - INRIA Saclay [email protected] Stefano De Marco - CMAP-École Polytechnique [email protected] Laurent Denis - Université du Mans [email protected] Caroline Hillairet - CMAP-École Polytechnique [email protected] Pierre Henry-Labordère - Société Générale [email protected] Benjamin Jourdain - CERMICS, École des Ponts ParisTech [email protected] Anis Matoussi - Université du Mans [email protected] Mathieu Rosenbaum - LPMA-Université Pierre et Marie Curie [email protected] Peter Tankov - LPMA-Université Paris Diderot [email protected] Techniques de valorisation d options 2.1 Options sur taux d intérêt On commencera par étudier en détail le modèle de Vasicek. On s intéressera au problème d évaluation et de couverture dans ce cadre. On montrera que le formalisme de réplication parfaite est vérifié et conduit à des formules relativement simples pour le prix des zéro-coupons (cf. cours) et des options «vanilles». On vérifiera par simulation l existence d un panier de couverture (diverses stratégies seront envisagées et implémentées). On abordera par la suite les modèles de marché (BGM, Libor Market Model). Ils ont pour avantage d être compatibles avec les formules de valorisation de caps, floors et swaptions. On étudiera la valorisation de ces options dans les modèles de marché par des méthodes analytiques et de simulation Monte Carlo. On cherchera à comprendre les différences avec l approche de type «Heath, Jarrow, Morton». 12

13 [1] D. Brigo, F. Mercurio, Interest rate models - theory and practice, Springer, [2] N. El Karoui, J.C. Rochet, A pricing formula for options on coupon bonds, [3] A. Brace, D. Gatarek, M. Musiela, The market model of interest rate dynamics, Mathematical Finance, 7(2), , [4] A. Kawai, Analytical and Monte Carlo swaption pricing under the forward swap measure, Journal of Computational Finance, 6(1), [5] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Contingent claim valuation with a random evolution of interest rate, Rev. Future Markets, 9, 54-76, [6] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates : A new methodology for contingent claim valuation, Econometrica, 6, , Options vanille sur actions et dividendes discrets Lorsque l actif sous-jacent ne verse pas de dividende, il est possible de donner une formule explicite d une option d achat écrite sur ce sous-jacent, c est la célèbre formule de Black-Scholes. En revanche, si des dividendes sont versées à des dates discrètes (ce qui est le cas pratique pour les actions), il n existe plus de formule exacte possible et il devient nécessaire d avoir recours à des procédures numériques (arbre ou Monte-Carlo) ou des procédures d approximation pour évaluer le prix d options vanille. Dans ce sujet, nous étudions et comparons les différentes approches théoriques et numériques à ce problème. [1] R. Bos, A. Gairat, D. Shepeleva, Dealing with discrete dividends, Risk Magazine, 16, p , [2] H. Buehler, Volatility and dividends - Volatility modeling with cash dividends and simple credit risk, SSRN working paper, TU Berlin, 2009, http ://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract id= [3] P. Etore, E. Gobet, Stochastic expansion for the pricing of call options with discrete dividends, Applied Mathematical Finance, [4] C. Veiga, U. Wystup, Closed formula for options with discrete dividends and its derivatives, Applied Mathematical Finance, 16, , [5] M. Vellekoop, J. Nieuwenhuis, Efficient Pricing of Derivatives on Assets with Discrete Dividends, Applied Mathematical Finance, 13, , Produits dérivés sur la volatilité et modèle de variance forward Les années récentes ont vu l émergence de produits dérivés d un nouveau type, dont le pay-off dépend de la volatilité réalisée par un actif de référence sur une 13

14 période à venir. Ces «swaps de variance» ou «swaps de volatilité» permettent à un investisseur de faire un pari sur le niveau futur de la volatilité sans avoir à émettre de vues sur le niveau des prix eux-mêmes. L objectif de ce travail sera d étudier ces instruments et les méthodes proposées pour les évaluer. [1] P. Carr, D. Madan, Towards a theory of volatility trading, in : Volatility, ed. R.A. Jarrow, Risk Publications, [2] K. Demeterfi, E. Derman, M. Kamal, J. Zou, More than you ever wanted to know about volatility swaps, Journal of Derivatives, Summer [3] B. Bühler, Consistent Variance Curve Models, Finance and Stochastics, , Erreurs de couverture 2.4 Trading discret et erreur de spécification La propriété de réplication exacte dans le modèle de Black-Scholes repose sur les hypothèses de rebalancement continu du portefeuille et de connaissance parfaite des paramètres du modèle. Dans les conditions réelles du marché, le trading continu est impossible à cause par exemple des coûts de transaction, ce qui conduit à une erreur de couverture non-négligeable. Par ailleurs, des stratégies mal spécifiées peuvent conduire à des pertes arbitrairement grandes. À partir d exemples, on étudiera mathématiquement et numériquement le comportement de ces différents types d erreurs de couverture. Si le temps le permet l effet de microstructure de marché sera également abordé. [1] D. Bertsimas, L. Kogan, A. W. Lo, When is time continuous?, Journal of Financial Economics, 55, , [2] C. Gallus, Exploding hedging errors for digital options, Finance and Stochastics, 3, , [3] E. Gobet, A. Makhlouf, The tracking error rate of the Delta-Gamma hedging strategy,mathematical Finance, Vol. 22, No. 2 (April 2012), Méthodes numériques de discrétisation et de Monte- Carlo 2.5 Méthodes asymptotiques pour les options sur panier La valorisation des options sur un panier d actifs présente des difficultés à la fois du point de vue de modélisation de la dynamique des actifs et du point de vue de la 14

15 mise en oeuvre de l algorithme de pricing en grande dimension. Du fait de la malédiction de la dimension, les méthodes déterministes (différences finies / éléments finis) ne peuvent pas être utilisées et on est obligé de choisir entre la méthode de Monte Carlo, lente, mais dont la complexité n explose pas avec la dimension, et les méthodes d approximation asymptotique, rapides mais de précision variable. Le but de cet EA est de comparer la performance de ces deux méthodes, dans le cadre d une option sur un panier d actifs. On supposera dans un premier temps que les actifs suivent le modèle de Black-Scholes multidimensionnel. En fonction de l évolution du projet, on s intéressera dans un deuxième temps aux modèles à volatilité locale multidimensionnels. [1] M. Avellaneda, D. Boyer-Olson, J. Busca, and P. Friz, Reconstruction of volatility : Pricing index options using the steepest-descent approximation, RISK Magazine, 15 (2002). [2] C. Bayer and P. Laurence, Asymptotics beats Monte Carlo : The case of correlated local vol baskets, Commun. Pure Appl. Math., 67 (2014), pp Options américaines : l approche par conditions aux limites artificielles La résolution numérique d un problème d évaluation d une option américaine conduit à résoudre une équation aux dérivées partielles (EDP) à frontière libre (la limite de la zone d exercice de l option). En dimension 1 on peut éviter l essentiel des calculs dans la zone où le sousjacent a un prix plus petit que le prix d exercice. Pour cela on utilise la technique de conditions aux limites artificielles décrite dans [2]. L étude commencera par l implémentation de l algorithme standard de différences finies, puis analysera l approche par conditions aux limites artificielles de manière à chercher une implémentation rapide et stable. [1] M. Ehrhardt : Finite difference schemes on unbounded domains. In Advances in the applications of nonstandard finite difference schemes, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, , [2] M. Ehrhardt, R. E. Mickens : A fast, stable and accurate numerical method for the Black-Scholes equation of American options. Int. J. Theor. Appl. Finance, 11(5), , Options américaines et méthode duale Une option américaine peut être exercée à tout instant entre la date de son acquisition et son échéance. Pour comprendre si l option doit être exercée à la date t, il faut comparer le montant récupéré à l exercice avec la valeur de l option condi- 15

16 tionnelle au fait que l acheteur décide de ne pas exercer en t. La nécessitée de calculer les espérances conditionnelles rend l utilisation de la méthode de Monte Carlo particulièrement délicate. Les objectifs de cet EA sont : Comprendre la théorie classique des options américaines et l algorithme de Longstaff- Schwartz. Comparer les méthodes duales. [1] F. A. Longstaff, E. S. Schwartz, Valuing American options by simulation : A simple least-squares approach, Review of Financial Studies, 14, , [2] Rogers, C. : Monte-Carlo valuation of American options, Mathematical finance 12 N03, [3] Broadie, M, Cao, M. : Improved lower and upper bound algorithms for pricing American options by simulation. [4] P. Glasserman, Monte Carlo methods in financial engineering, Chap 8, Springer. 2.8 Options barrière et techniques de correction de domaine Les options barrière sont des options classiques assorties d une clause du type : l option ne peut être exercée que si le sous-jacent a franchi (ou n a pas dépassé) un niveau fixé dans le contrat. Elles représentent actuellement 25% des options de change. Une raison de ce succès est leur prix, moins élevé que celui d une option standard. Dans le cas particulier du modèle log-normal, il existe des formules explicites. Pour une large classe de modèles, la valorisation d une option à barrière avec observations discrètes peut être reliée à celle à observation continue modulo une modification appropriée du domaine associé à l option. Dans le cadre du modèle de Black et Scholes, des arguments de renouvellement ont permis à Broadie et al. [1] de précisément caractériser la modification nécessaire dans le cas où la valeur initiale du sous-jacent est suffisamment loin du bord du domaine par rapport à la fréquence d observation. Dans le cas contraire Howison et Steinberg [2] ont mis en évidence d autres types de corrections. Cette approche a été étendue par Howison [3] au cas des options bermudéennes (i.e. options américaines à observations discrète). Le propos de l EA est dans un premier temps d étudier le cas log-normal puis dans un deuxième temps de comprendre précisément les techniques proposées et de les implémenter de façon efficace. [1] M. Broadie, P. Glasserman, S. Kou, A continuity correction for discrete barrier options, Mathematical Finance, 7, , [2] S. Howison, M. Steinberg, A matched asymptotic expansions approach to continuity corrections for discretely sampled options. Part 1 : Barrier options, Applied 16

17 Mathematical Finance, 14, 63-89, [3] S. Howison, M. Steinberg, A matched asymptotic expansions approach to continuity corrections for discretely sampled options. Part 2 : Bermudan options, Applied Mathematical Finance, 14, , [4] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Stochastic Modelling and Applied Probability, 53, Chapitre 6, Springer. [5] E. Gobet, Advanced Monte Carlo methods for barrier and related exotic options, Handbook of Numerical Analysis, Vol. XV. Elsevier. Special Volume : Mathematical Modeling and Numerical Methods in Finance, , Modèle à volatilité incertaine et méthode primale pour BSDEs Dans le cas où l on suppose que la volatilité n est pas connue, l EDP linéaire de Black-Scholes est remplacée par une EDP non-linéaire. La résolution de cette EDP en grande dimension nécessite des méthodes probabilistes comme les équations stochastiques rétrogrades (BSDEs). Les objectifs de cet EA sont : Comprendre la représentation probabiliste des equations Hamilton-Jacobi-Bellman par des BSDEs. Implémenter un schéma numérique primale pour un modèle à volatilité incertaine. [1] J. Guyon, P. Henry-Labordère : Uncertain volatility model : A Monte-Carlo approach, Journal of computational Finance, [2] A. Fahim, N. Touzi, X. Warin : A probabilistic numerical method for fully nonlinear parabolic PDEs, Ann. Appl. Probab. 21, , [3] E. Gobet, Lemor, X. Warin : A regression-based Monte Carlo method to solve backward stochastic differential equations, Ann. Appl. Probab. 15,3(2005), Modèle à volatilité incertaine et méthode duale pour BSDEs Dans le cas où l on suppose que la volatilité n est pas connue, l EDP linéaire de Black-Scholes est remplacée par une EDP non-linéaire. La résolution de cette EDP en grande dimension nécessite des méthodes probabilistes comme les équations stochastiques rétrogrades (BSDEs). Les objectifs de cet EA sont : Comprendre la représentation probabiliste des equations Hamilton-Jacobi-Bellman par des BSDEs. Implementer un schéma numerique duale pour un modèle à volatilité incertaine. 17

18 [1] C. Bender, N. Schweizer, J. Zhuo : A primal-dual algorithm for BSDEs, arxiv : v1, preprint (2013) Méthodes de différences finies généralisées pour les options avec volatilité stochastique L évaluation d options pour des modèles avec volatilité stochastique [3] peut se faire en résolvant une équation aux dérivées partielles. Comme celle-ci ne satisfait pas les conditions de la méthode classique de différences finies [4], on est amené à utiliser la méthodes de différences finies généralisées DFG [1] et son implémentation rapide en dimension 2 [2]. On comparera l approche de [2] aux approches classiques par Monte-Carlo. Enfin on étudiera l extension de cette approche au cas d options américaines. [1] J. F. Bonnans, H. Zidani, Consistency of generalized finite difference schemes for the stochastic HJB equation. SIAM J. Numerical Analysis, 41, , [2] J. F. Bonnans, E. Ottenwaelter, H. Zidani, Numerical schemes for the two dimensional second-order HJB equation. ESAIM : M2AN, 38, , [3] S. Heston, A closed-form solution for options with stochastic volatility with application to mathematical finance, Rev. Fin. Studies, 6, , [4] P.-L. Lions, B. Mercier, Approximation numérique des équations de Hamilton- Jacobi-Bellman. RAIRO Analyse numérique, 14, , Surface de volatilité et calibration de modèle 2.12 Asymptotique du smile Dans le modèle de Black-Scholes, le prix d une option est déterminé de manière unique à partir d un seul paramètre inobservable : la volatilité. Si on connaît le prix de marché d une option de type Call ou Put, on peut inverser la formule de Black-Scholes et extraire sa volatilité, appelée volatilité implicite de l option. La volatilité implicite devient ainsi une fonction non constante du prix d exercice, phénomène connu sous le nom de «smile de volatilité». Il est alors intéressant d étudier quelques propriétés universelles du smile généré par un modèle stochastique (autre que Black-Scholes), pour le comparer avec le smile de marché. Une certaine attention a été portée au comportement asymptotique : dans une série de travaux récents, on montre que le carré de la volatilité implicite est asymptotiquement linéaire en fonction du logarithme du prix d exercice, la pente asymptotique étant liée au nombre de moments finis de la loi de l actif sous-jacent, voir [1] et [2]. Le but de ce projet est de tester ce résultat dans un modèle paramètrique : étude du modèle de Heston [1] ; 18

19 évaluation théorique de la forme asymptotique de volatilité implicite dans ce modèle [3], [4] ; calcul numérique des prix d options et de la volatilité implicite et comparaison avec le résultat théorique [5]. [1] R. Lee, The moment formula for implied volatility at extreme strike, Mathematical Finance, 14, p , [2] A. Gulisashvili, Asymptotic formulas with error estimates for call pricing functions and the implied volatility at extreme strikes, SIAM Journal on Financial Mathematics, 1, p , [3] S. Heston, A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, Rev. Fin. Studies, 6, , [4] M. Keller-Ressel. Moment explosions and long-term behavior of affine stochastic volatility models. Mathematical Finance, 21, p , [5] H. Albrecher, P. Mayer, W. Schoutens, and J. Tistaert. The little Heston trap. Wilmott Magazine, January issue :83 92, Prix de marché des Calls et absence d arbitrage statique On s intéresse à la surface des prix des Calls portant sur un sous-jacent donné, vus comme une fonction du couple maturité/strike. Les conditions qui assurent l absence d opportunité d arbitrage sur un ensemble de prix correspondant à un nombre fini de couples maturité/strike sont bien connues [1], [2]. Sous ces conditions, on peut construire un modèle stochastique qui permet de reproduire ces prix [1]. En faisant de plus l hypothèse que les prix soient générés par un processus de diffusion (pas forcément Markovien), on peut construire une diffusion unidimensionnelle (ou modèle à volatilité locale) qui permet de reproduire l intégralité de la surface des prix [3]. Cette construction requiert néanmoins de connaitre les prix (et leur dérivées) pour un continuum de strikes et maturités : puisqu en pratique seul un nombre fini de Calls sont cotés sur le marché, une étape d interpolation des données de marché est typiquement nécessaire. En pratique, cette étape est souvent réalisée par la calibration d une forme paramétrique à la surface des prix (ou plutôt à la surface de volatilité implicite) ; il est donc crucial à ce niveau que la paramétrisation choisie respecte les contraintes d absence d arbitrage. L objectif de cet EA est donc d étudier et implémenter à partir de [1] et [2] : les conditions qui assurent qu un ensemble fini de prix de Calls est bien compatible avec l absence d opportunité d arbitrage ; la construction d un modèle stochastique permettant de reproduire ces prix ; et si le temps le permet, à partir de [3], [4] : la construction d un modèle de diffusion à volatilité locale permettant de reproduire les prix. 19

20 [1] H. Buehler, Expensive martingales, Quantitative Finance, 6(3), p , [2] M. Davis, D. Hobson, The range of traded option prices, Mathematical Finance, 17(1), p. 1-14, [3] B. Dupire, Pricing with a smile, RISK, January [4] J. Gatheral, A. Jacquier, Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces, preprint, Calibration d un triangle de taux de change Le modèle simple de Garman-Kohlhagen permet de comprendre le pricing des options portant sur un taux de change. Il est alors facile de généraliser la formule de Dupire [1] pour construire un modèle à volatilité locale qui reproduise les prix de marché des options liquides portant sur ce taux. Lorsque l on considère maintenant deux taux de change impliquant deux fois la même devise, par exemple DOL/EUR et GBP/EUR, le problème de la calibration devient beaucoup plus complexe : en effet le quotient du premier taux par le second est lui-même le taux de change GBP/DOL. Il s agit alors de construire un modèle compatible avec les prix d options liquides portant sur les deux taux de départ DOL/EUR et GBP/EUR mais aussi sur leur rapport GBP/DOL. Le but de cet EA est de comprendre la calibration d un seul taux de change avant d étudier l approche proposée dans [2] pour calibrer deux taux de change. [1] B. Dupire, Pricing with a smile, Risk, January [2] J. Guyon, A new class of local correlation models, preprint SSRN, Calibration d un modèle hybrique taux-action par une méthode particulaire La calibration de modèles diffusifs sur des smiles de marché se formalise comme la résolution numérique d une équation de Fokker-Planck non-linéaire. La résolution de cette EDP en grande dimension nécessite des méthodes probabilistes comme les méthodes particulaires pour les EDS non-linéaires de MCKean. Les objectifs de cet EA sont : Comprendre la théorie classique des EDS non-linéaires de MCKean et l algorithme particulaire. Implémenter un schéma numérique pour la calibration d un modèle hybrique tauxaction. [1] J. Guyon, P. Henry-Labordère : The Smile Calibration Problem Solved, Risk magazine (2012). 20

21 2.16 Autour du modèle Sabr Le modèle diffusif SABR a connu un grand succès dès sa naissance en 2002 [1] en particulier grâce à l existence d une formule explicite pour son smile de volatilité, qui permet une calibration rapide des paramètres aux données de marché. Le SABR est devenu depuis un des modèles de référence pour les marchés de taux d intérêt et de taux d échange. La formule analytique proposée par les fondateurs du modèle n étant qu une formule approchée valide dans certaines conditions, son usage peut conduire à des problèmes de génération d arbitrage. C est pourquoi nombreux travaux récents se sont concentrés sur (i) la recherche de corrections à la formule originaire et (ii) des aspects plus fondamentaux tels la simulation du modèle, à laquelle on fait finalement recours pour obtenir des valeurs fiables, et qui sort du cadre classique de simulation d équations stochastiques à cause de la nature des coefficients (non-lipschitz) du modèle. Les objectifs de cet EA sont : Comprendre et implémenter le schéma numérique présenté dans [2]. Etudier des alternatives à ce modèle qui ne sont pas soumises au même problème de génération d arbitrage, comme celle proposé par [3]. [1] P. Hagan, D. Kumar, A. Lesniewski and D. Woodward, Managing smile risk, Wilmott Magazine, , [2] B. Chen, C. Oosterlee and H. van der Weide. Efficient unbiased simulation scheme for the SABR stochastic volatility model. preprint, [1] P. Balland and Q. Tran, SABR goes normal, Risk Magazine, May Risque de Contrepartie Les crises financières récentes ont mis l accent sur l importance d une bonne gestion par les banques de leur risque de contrepartie, ou risque de pertes liées au défaut d une contrepartie dans des transactions de gré à gré de produits dérivés. De manière générale, les ajustements de crédit ou CVA (Credit Value Adjustment) matérialisent la valeur de marché du risque de crédit. Plus précisément, les CVAs mesurent la différence entre la valeur d un portefeuille de crédit sans risque et la valeur risqué de ce même portefeuille (c est-à-dire la valeur du portefeuille intégrant la probabilité de défaut des contreparties). Le montant de CVA sert à compenser les pertes de marché liées au défaut de la contrepartie. A ce titre, la CVA peut être considérée comme une «provision prospective» du risque de contrepartie. 21

22 2.17 CVA sur CDS (ou risque de contrepartie sur un swap de défaut) On étudiera dans ce sujet le cas de Credit Default Swap (CDS) avec risque de contrepartie, plus précisement le prix et la couverture dynamique de la CVA dans le cadre d un modèle Markovien. Des simulations numériques permettront d étudier l impact de différents facteurs (comme la corrélation entre la contrepartie et la firme sous jacente au CDS, ou bien la qualité de crédit de la contrepartie...) sur l exposition au risque de contrepartie. [1] T. Bielecki, S. Crépey, M. Jeanblanc and B. Zargari. Valuation and Hedging of CDS Counterparty Exposure in a Markov Copula Model. IJTAF, Vol 15, Num 1, [2] T. Bielecki, M. Jeanblanc and M. Rutkowski. Pricing and Trading Credit Default Swaps in a hazard process model, Annals of Applied Probability, Vol. 18, No. 6, pp , [3] S. Crépey, M. Jeanblanc and B. Zargari. Counterparty Risk on a CDS in a Markov Chain Copula Model with Joint Defaults. Forthcoming in Recent Advances in Financial Engineering 2009, M. Kijima, C. Hara, Y. Muromachi and K. Tanaka eds, World Scientific Publishing Co. Pte., Gestion de portefeuille et délit d initié 2.18 Assurance de portefeuille Afin de rassurer leur clientèle, les gestionnaires de portefeuille proposent des fonds avec garantie de capital. Du point de vue du gestionnaire, il s agit d implémenter le meilleure allocation de portefeuille, selon un critère donné, sous la contrainte que la valeur du portefeuille soit supérieure à la garantie à laquelle il s est engagé avec son client. L objectif de cet EA est de comprendre et de comparer différentes stratégies de gestion qui assurent une telle garantie. En particulier, on étudiera : La stratégie qui consiste à acheter une action et une option de vente (Put) portant sur cette action, La stratégie du coussin. [1] P. Bertrand, J.-L. Prigent, Portfolio insurance strategies : A comparison of standard methods when the volatility of the stock is stochastic, International Journal of Business, 8(4), , [2] R. Cont, P. Tankov. Constant Proportion Portfolio Insurance in presence of jumps in asset prices, Mathematical Finance, 19(3), ,

23 [3] N. El Karoui, M. Jeanblanc, V. Lacoste, Optimal portfolio management with American capital guarantee, Journal of Economic Dynamics and Control, 29, , [4] R. C. Merton, Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, Journal of Economic Theory, 3, , Délit d initié : modélisation et détection En France, l AMF (Autorité des Marchés Financiers) est chargée de surveiller les opérations boursières. Depuis une dizaine d années, ces autorités de surveillance ont fait beaucoup de progrès dans la détection de comportement initié grâce notamment à de meilleures techniques de surveillance. Un exemple de grande envergure a eu lieu entre novembre 2005 et mars 2006, période durant laquelle 10 millions de titres EADS ont éte vendus, pour une plus value de près de 90 millions d euros. Ces mouvements anormaux ont été décelés par l AMF, et ont conduit à des enquêtes sur 21 hauts dirigeants d EADS. L objectif des deux sujets suivants est d étudier une modélisation d un délit d initié et de mettre en place un test de détection. On se placera dans le cadre d un marché financier dont les prix des actifs sont dirigés par un mouvement brownien. L information minimale dont disposent les agents pour résoudre leur problème d optimisation est celle obtenue par l observation du processus des prix. Cependant, il semble que les agents sont informés de manière hétérogène et reçoivent un flux d information qui leur est propre. Pour de tels initiés, on étudiera : - Les problèmes d arbitrage et de réplication d actifs risqués, - Le gain de l initié (par rapport à un non-initié), - La mise en oeuvre de tests de détection. On peut considérer plusieurs modélisations de l information privée. Nous étudierons le cas où l investisseur possède une information initiale, i.e. il connait, dès l instant t = 0, une fonctionnelle des trajectoires du processus des prix. La clé de cette modélisation est la théorie du grossissement initial de filtration par une variable aléatoire. On étudiera par exemple le cas où l initié connait le ratio du prix terminal de deux actifs, ou bien encore le cas où l initié sait si le prix terminal d un actif sera dans une fourchette donnée ou non. [1] A. Grorud, M. Pontier, Comment détecter le délit d initié, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 324, p , [2] A. Grorud, M. Pontier, Insider trading in a continuous time market model, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1, p , [3] M. Pontier, Modélisation et détection du délit d initié, Matapli 77,

24 Stratégies haute fréquence, microstructure des marchés La disponibilité de données haute fréquence, la multiplication des places de marchés, ainsi qu une compréhension de plus en plus fine des phénomènes de microstructure, ont ouvert de nouvelles perspectives en finance de marché. En particulier, le trading haute fréquence est né de la volonté d optimiser les transactions en profitant de ce nouveau contexte. Son essor récent a nécessité le développement de méthodes originales de mathématiques financières et de statistique des processus. Un nombre grandissant d équipes de trading propriétaires, de salles de marchés et de hedge funds y ont aujourd hui constamment recours Exécution optimale haute fréquence : ordre limite versus ordre de marché De façon générale, lorsque qu un acteur désire acheter ou vendre un certains nombres de contrats sur un marché financier, il envoie à ce marché des ordres d exécution qui peuvent être soit des ordres marchés (market orders) qui sont automatiquement exécutés au meilleur prix disponible, soit des ordres limites (limit orders) qui restent dans le carnet d ordre jusqu au moment où ils sont mis en correspondance avec un ordre de marché. Ce choix (ordre de marché ou limite) implique un choix entre le risque de non exécution (et donc certainement une exécution plus coûteuse plus tard) et un coût à payer pour une exécution immédiate (typiquement de l ordre du bid-ask spread [1]). Dans ce projet, on vise à caractériser le choix optimal, tout d abord dans le cadre d un modèle spécifique pour la dynamique microstructurelle du carnet d ordre [2] puis dans le cadre de généralisations de ce modèle (notamment en modélisant les flux d ordres par des processus de Hawkes [3]). L essentiel du travail sera réalisé sur des données réelles sur lesquelles les paramètres des modèles seront estimés. [1] Madhavan, A, Market microstructure : A survey, Journal of Financial Markets Vol. 3, No 3, [2] Cont, R. and De Larrard, A., Price dynamics in a Markovian limit order market SIAM Journal on Financial Mathematics, Vol. 4, No 1, 2013 [3] Hawkes, A.G., Point spectra of some mutually exciting point processes, J. R. Statist. Soc. B, Vol. 33,

25 2.21 Estimation du Market impact à partir de données haute fréquences L estimation de la courbe de market impact d un meta-ordre (ordre composé de plusieurs petits ordres) est essentielle dans la problématique d exécution optimale. Il s agit de quantifier, la variation moyenne du prix à partir du début de l exécution de ce meta-ordre. Cette courbe présente généralement deux phases : une phase ascendante où le prix monte (dans le cas d un ordre d achat) et, dès que l exécution du meta-ordre est fini, une phase de relaxation. L estimation, généralement obtenue à l aide de données clients (pour identifier le meta-ordre), est excessivement difficile et bruitée. Des modèles (processus ponctuels) de prix et flux d ordres haute fréquence sur des données de marché (anonymes) peuvent être utilisées pour stabiliser grandement cette estimation. Dans le cadre de ce projet, les modèles à base de processus ponctuels auto-excitants seront étudiés. [1] A.G. Hawkes, Point spectra of some mutually exciting point processes, Biometrika, 58 (1971), pp [2] Bershova, N. and Rakhlin, D., The Non-Linear Market Impact of Large Trades : Evidence from Buy-Side Order Flow., Social Science Research Network Working Paper Series [3] E. Bacry, J.F. Muzy, Hawkes model for price and trades high-frequency dynamics Quantitative Finance Vol. 14, Iss. 7, Estimation haute fréquence de la volatilité, application au trading d options Dans cet EA, on se placera dans la situation d un trader haute fréquence souhaitant faire de l arbitrage sur options. L idée est de détecter les anomalies de valorisation en comparant prix d options et mesures de volatilité. On montrera dans un premier temps que le cadre usuel d une modélisation brownienne est insuffisant dans ce contexte de données haute fréquence. On s appuiera ensuite sur différentes extensions de ce cadre pour modéliser la microstructure des marchés et construire des stratégies de trading. [1] Y. Aït-Sahalia, P. A. Mykland, L. Zhang, A tale of two time scales : Determining integrated volatility with noisy high frequency data, JASA 77, 100(472), , [2] F. G. Bandi, J. R. Russell, C. Yang, Realized volatility forecasting and option pricing, Journal of Econometrics, 147(1), 34-46, [3] O. E. Barndorff-Nielsen, P. Hansen, A. Lunde, N. Shephard, Designing realised kernels to measure the ex-post variation of equity prices in the presence of noise, Econometrica,

26 2.23 Corrélation haute fréquence, application au market impact Bien que la présence de corrélations haute fréquence soit un consensus de marché et que de nombreuses stratégies en place (comme le pair trading) optimisent un critère multi-titres, la mesure et l exploitation des dépendances entre les variations des prix de deux titres ont été peu explorées. On montrera tout d abord que, même dans le cadre brownien, la simple asynchronicité des prix (les transactions n ont pas lieu aux mêmes instants pour deux actifs différents) explique en partie l effet Epps, c est à dire une estimation haute fréquence des corrélations systématiquement proche de zéro. On montrera comment corriger cet effet puis on tentera de résoudre le problème dans un cadre plus réaliste, permettant de reproduire les effets de microstructure des marchés. On appliquera les résultats obtenus à l optimisation de la vente d un portefeuille d actifs. [1] R. Almgren, N. Chriss, Optimal execution of portfolio transactions, J. Risk 3, 5-39, [2] T. Hayashi, N. Yoshida, On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion processes, Bernoulli 11(2), , [3] L. Zhang, Estimating covariation : Epps effect, microstructure noise, Journal of Econometrics, 160(1), 33-47,

27 3 Optimisation et recherche opérationnelle Enseignant référent : Xavier Allamigeon [email protected] 3.1 Preferential Bidding Systems pour les pilotes Rémi Pacqueau ([email protected]), Air France Benoit Robillard, Air France Dans le cadre de la construction des plannings des pilotes, la plupart des compagnies aériennes se sont dotées de systèmes permettant aux pilotes d exprimer des souhaits ou préférences sur leurs plannings (destination, période de repos, type d activités, etc.). L un des plus utilisés se nomme PBS (Preferential Bidding System), dont l objectif est de satisfaire au mieux les pilotes ordonnés par priorité, sous contrainte de pouvoir opérer tous les vols et de respecter la réglementation. L objectif de l EA sera d étudier les différentes techniques permettant de résoudre le problème du PBS et d en implémenter une ou plusieurs sur un cas simplifié. 3.2 Construction de grilles horaires pour le personnel au sol Marine Le Touze ([email protected]), Air France Au sein d Air France, la plupart des agents de piste (bagagistes) et de passage (embarquement / enregistrement) ont leurs horaires de travail régis par un système de grilles horaires. Celles-ci consistent en des patterns réguliers de prise et de fin de service, reproduits de manière cyclique tout au long de l année. La problématique de construction des grilles horaires est un enjeu majeur pour les gestionnaires de ressources, puisqu ils doivent couvrir au mieux une charge non lissée (plus d activité aux horaires de pointe) avec un coût pour l entreprise minimum. L objectif de l EA sera d étudier les différentes techniques permettant de résoudre le problème de la construction de grille horaire et d en implémenter une ou plusieurs sur un cas simplifié. 3.3 Affectation optimale des numéros de vol Mathieu Sanchez ([email protected]), Air France Yousra Tourki, Air France Dans un contexte de développement des partenariats avec d autres compagnies et de croissance de l offre, il est nécessaire pour Air France d optimiser l utilisation des numéros de vol disponibles pour ses vols en propre et pour les partages de code avec ses partenaires. Ces numéros de vols sont définis par quatre chiffres et leur utilisation est limitée par IATA afin d éviter par exemple toute confusion dans la communication entre le contrôleur aérien et le commandant de bord. Ainsi les 27

28 numéros de vol sont soumis à des règles du type «tous les numéros sont différents à une permutation près sur une plage horaire donnée». L objectif de l EA est de proposer une solution pour optimiser les plages de numéros de vol, d en libérer pour des partages de code tout en considérant les règles IATA et des critères de stabilité par rapport à leur utilisation actuelle. 3.4 Optimisation de l affectation temps réel des trafics dans un contexte de réseau d accès mobile multi-technologies (2G/3G/LTE) Mustapha Bouhtou ([email protected]), Orange Labs Recherche Les terminaux mobiles actuels (smartphones) sont équipés d interfaces leurs permettant d accéder à plusieurs types de réseaux d accès disponibles (2G, 3G, LTE, WIFI,...). Les usagers peuvent donc se connecter au réseau d accès leur offrant la meilleure connectivité dans la limite de leurs contrats. Cela pourrait à certains endroits et certaines périodes induire des surcharges importantes sur un réseau d accès particulier avec une dégradation de la qualité de service pour les clients. Dans ce contexte, se pose alors la question de comment bien répartir de façon dynamique le trafic des clients d un opérateur entre ces différents réseaux d accès disponible. L objectif étant de permettre à chaque terminal de pouvoir automatiquement se connecter au bon réseau au bon moment et au bon endroit. Les préférences à la fois des utilisateurs et de l opérateur sont à considérer. Dans cet EA on essaiera de modéliser et simuler la dynamique d affectation des flux de trafic en temps réel aux différents réseaux d accès, d étudier l optimisation du système global et de proposer des algorithmes pour le résoudre. Le cas de plusieurs services, avec plusieurs profils de clients sera abordé. Les contraintes sur la mobilité des clients devra aussi être traitée. 3.5 Modélisation de l optimisation de la qualité d expérience pour les services de vidéo streaming dans les réseaux mobiles Mustapha Bouhtou ([email protected]), Orange Labs Recherche Aujourd hui les terminaux mobiles sont de plus performants en termes de puissance de calcul, de mémoire, de taille et de la qualité de l écran. Ces performances ont aussi fortement stimulé la demande de services multimédias notamment le service de vidéo streaming. Les clients sont aussi de plus en plus exigeants quant à la qualité rendue et perçue sur ce type de service. Optimiser la qualité d expérience (QoE) des clients sur les services de vidéo streaming est pour cela un enjeu important pour les opérateurs. Le problème de la modélisation de la QoE a déjà été abordé dans la littérature. Dans ce projet on s intéressera particulièrement à une modélisation basée sur des processus stochastiques (chaines de Markov) pour 28

29 prendre en compte la dynamique des arrivées des clients sur le réseau mais aussi celle des flux de trafics que génèrent leurs demandes en services de streaming. On étudiera comment introduire un critère d optimisation dans cette modélisation et on traitera ensuite comment le résoudre. Des tests numériques seront à effectuer et les résultats devront être comparés à ceux de la simulation. 3.6 Distribution de contenus vidéos Eric Gourdin ([email protected]), Orange Labs OMN/NMP/TRM Contexte Télécom. Le développement considérable d applications multimédias (réseaux sociaux, virtualisation des données et des applications, jeux en lignes,...) conduit les principaux acteurs de l Internet à optimiser de plus en plus les infrastructures pour la diffusion de contenus vidéos, que ce soit les vidéos visionnées en «streaming» délinéarisé ou en live. Pour les contenus live, un très grand nombre de clients souhaitant visionner simultanément le contenu, l infrastructure réseau doit être soigneusement optimisée de manière à éviter de repliquer inutilement des flux ou à mal utiliser les ressources en bande passante. Problématique de distribution de contenus vidéos. On s intéresse au problème qui consiste à définir une architecture permettant de diffuser simultannément un flux vidéo, depuis un serveur origine (source) vers un ensemble de clients (terminaux). On modélise le réseau par un graphe orienté G = (V, A) où V est l ensemble des noeuds et A l ensemble des arcs. On note C a la capacité (débit maximum) de l arc a A. On suppose qu un ensemble C V de clients souhaitent accéder simultanément au même contenu vidéo (vidéo live). Pour cela, on utilise un protocole multicast [1] qui permet à un noeud intermédiaire de répliquer un flux vidéo entrant vers plusieurs arcs en sortie. Le flux vidéo s écoule donc, depuis la source vers les clients, sur un arbre (ou plutôt une arborescence) multicast. Une première question qui se pose est de définir le «meilleur» arbre possible. Une façon de qualifier l arbre multicast est de mesurer le débit maximum qu il permet d écouler, entre la source et les clients : si on suppose qu on écoule un débit d sur l arbre T A, alors le débit maximum est donné par max T T (s,c) min a T C a, où T (s, C) désigne l ensemble des arbres de racine s et couvrant les clients C. Ce problème (P1) consiste à chercher un arbre bottleneck et il peut être calculé en temps polynomial [2]. Pour améliorer le débit offert, on peut choisir d utiliser plusieurs arbres en parallèle, le débit total entrant d étant fractionner sur les différents arbres. La contrainte de capacité sur les arcs impose alors que la somme des débits des différents arbres passant par a soit inférieur à C a. Le problème (P2) consistant à calculer ce débit maximum est un Fractional Steiner Tree Packing problem [3] qui est difficile, la plupart du temps. En pratique, l opérateur réseau préfère ne pas avoir à gérer trop d arbres multicast en parallèle (pour la complexité de gestion et les limitations des équipements). On peut donc s intéresser au même problème, mais en limitant le nombre d arbres 29

30 multicast (P3). On peut aussi envisager une solution où l on utilise des arbres multicast «partiels», c est-à-dire ne couvrant qu un sous-ensemble de terminaux. L objectif est alors d utiliser plusieurs arbres partiels, de manière à ce que chaque client recoive le même débit et que ce débit soit maximal (P4). Enfin, comme tous les noeuds du réseaux ne sont pas nécéssairement pourvus de la fonctionalité de réplication multicast, on peut ne considérer, dans les problèmes ci-dessus, que les arbres où les noeuds de degré sortant supérieur (ou égal) à 2 sont des noeuds multicast (P5). Travail attendu et extensions possibles. Le travail de cet EA consistera à s inspirer des modèles existants dans la litérature pour les problèmes (P1) et (P2) pour proposer des modélisations pour les extentions (P3), (P4) et (P5). On s intéressera également, pour chaque problème considéré, à sa complexité et au liens éventuels entre les modèles. Finalement, on proposera au moins une méthode de résolution pour l un des problèmes étendus que l on testera numériquement sur quelques instances de réseaux typiques (par ex. [1] L. Sahasrabuddhe and B. Mukherjee. Multicast routing algorithms and protocols : A tutorial. IEEE Networks, 14 :90 102, [2] L. Georgiadis. Bottleneck multicast trees in linear time. IEEE Commun. Lett., 7, no. 1 : , Sep [3] K. Jain, M. Mahdian, and M. R. Salavatipour. Packing steiner trees. In In Proc. SODA 03 Proceedings of the fourteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, Conception d un réseau de caches Eric Gourdin ([email protected]), Orange Labs OMN/NMP/TRM Contexte Télécom. La demande toujours plus importante en contenus vidéos délinéarisés (UGC, Web TV, replay,...) oblige les acteurs de l Internet á optimiser le placement et la réplication des contenus dans le réseau de distribution. L un des équipements les plus utilisés dans la conception d architectures de distributions de contenus (CDN pour Content Delivery Network) est le cache. Un cache est un serveur déployé dans le réseau et équipé d un espace de stockage qui stocke de manière temporaire les contenus qui font l objet d une requète par un ou plusieurs clients. Plus précisément, une requète pour un contenu d un client «proche» est aiguillée vers le cache par un proxy. Si le contenu est déjà stocké par le cache, celui-ci le renvoie directement au client. Si le contenu n est pas présent dans le cache, celui-ci va le récupérer depuis un serveur central distant qui stocke tous les contenu. Au passage, le cache en stocke une copie dans son espace de stockage. Le principal paramètre qui va jouer sur l efficacité du cache est sa politique de remplacement : il s agit de l algorithme qui va permettre au cache de décider quel contenu supprimer lorsque son espace de stockage est plein et qu il a un nouveau 30

31 contenu a stocker. Parmi les politiques de remplacement les plus utilisées, on peut citer LRU (Least Recently Used) qui supprime le contenu ayant la plus ancienne requète de lecture, FIFO ou même random (choix aléatoire du contenu). La performance d un cache se mesure par son hit ratio qui est la proportion de requètes auxquelles il peut répondre à partir d un contenu stocké dans sa mémoire. Le hit ratio pour un cache donné va dépendre de la loi de distibution des arrivées de requètes, de la taille de son espace de stockage et de sa politique de remplacement. Il y a eu de nombreux travaux autour des caches et, en particulier, pour analyser la performance de caches utilisant telle ou telle politique de remplacement [1, 2]. Ces travaux sont fortement basés sur les hypothèse faites concernant la distribution des arrivées de requêtes. Pour les contenus vidéos dans l Internet, il est communément admis que les requêtes suivent une distribution en loi de puissance (l essentiel des requêtes est concentré sur un très petit nombre de vidéos), de type Zipf ou I-Weibull (p i = η exp( αi β )). Problématique de localisation de caches. On s intéresse au problème qui consiste à définir une architecture permettant de diffuser de manière optimale des contenus vidéos, depuis un serveur origine (source) vers un ensemble de clients (terminaux). On modélise le réseau par un graphe orienté G = (V, A) où V est l ensemble des noeuds et A l ensemble des arcs. On suppose qu on connait la loi de distribution des requêtes moyennes des clients pour les différents contenus et on note C V l ensemble des clients. On suppose que tous les contenus sont stockés sur un serveur central S V. Le problème consiste à décider sur quels noeuds du réseau on va installer un cache de manière à servir au mieux les clients tout en minimisant un budget B. Dans le budget, on comptera le coût individuel c i de chaque cache installé en i mais aussi le bénéfice obtenu en terme d utilisation de la bande passante (le contenu caché en i ne nécéssite pas d être envoyé depuis le serveur central). Le problème peut s assimiler en partie à un problème de localisation avec des constraintes additionnelles spécifiques au contexte réseau [3, 4, 5]. Ce dernier modèle fait l hypothèse que le hit ratio h [0, 1] est connu à l avance et détermine donc la quantité de trafic qui sera servie par chaque cache. Cette hypothèse n est malheureusement pas très réaliste dans la mesure où le hit ratio qui sera effectivement observé au niveau de chaque cache dépend de sa localisation et de l ensemble des requêtes qui lui seront affectées (donc du résultats du problème d optimisation). Travail attendu et extensions possibles. Le travail de cet EA consistera à analyser les modèles étudiés dans la litérature et proposer des extensions ou des variantes pour mieux prendre en compte l aspect dynamique du hit ratio. On testera le modèle proposé sur quelques instances de réseaux typiques (par ex. de). [1] Dan Asit and Don Towsley. An approximate analysis of the lru and fifo buffer replacement schemes. SIGMETRICS Perform. Eval. Rev., 18(1) : , [2] Erol Gelenbe. A unified approach to the evaluation of a class of replacement 31

32 algorithms. IEEE Trans. Comput., 22(6) : , [3] S. L. Hakimi. Optimum locations of switching centers and the absolute centers and medians of a graph. Operations Research, 12 : , [4] S.L. Hakimi and E.F. Schmeichel. Locating replicas of a database on a network. Networks, 30(1) :31 36, [5] P. Krishnan, Danny Raz, and Yuval Shavitt. The cache location problem. IEEE/ACM Transactions on Networking, 8(5) : , Feasibility Recovery Algorithms for The Unit Commitment Problem of Interconnected Hydro Plants Claudia D Ambrosio ([email protected]), CNRS & LIX, École Polytechnique Raouia Taktak ([email protected]), LIX, École Polytechnique We aim at investigating the computational complexity of the optimization problem that identifies the best unit commitment (UC) of interconnected hydro plants by minimizing the production cost. The UC is a crucial problem in energy management, see [1], and the presence of combinatorial elements leads to hard hydro valley problems. This is especially true for some of the larger French Hydro valleys. Typical approaches like relaxing the combinatorial aspects and rounding the fractional value don t work and lead to infeasible solutions. A feasibility recovery algorithm is needed so as to find a good quality solution starting from an infeasible solution of the problem. Moreover, this type of algorithm can be useful also in the context of decomposition methods. In [2], the authors propose a genetic algorithm with a recovery phase to deal with infeasibility for the thermal UC problem. Interest of this project is survey the state-of-the-art of UC of feasibility recovery algorithm, develop, and compare them with new ideas to find good quality solutions for hard hydro valleys problems in the context of rounding techniques or decomposition methods. [1] G. Hechme-Doukopoulos, S. Charousset-Brignol, J. Malik, C. Lemarechal. The short-term electricity production management problem at EDF, OPTIMA 84, pp. 2-6, [2] J.M. Arroyo and A.J. Conejo. A parallel repair genetic algorithm to solve the unit commitment problem, IEEE Transactions on Power Systems, 17(4), pp , Optimisation du processus de réception et de traitement des appels d urgence bornes pire des cas Stéphane Gaubert ([email protected]), INRIA École Polytechnique 32

33 Le but de cet EA est d étudier un problème d évaluation de performance, posé par la brigade des Sapeurs Pompiers de Paris et sa tutelle (la Préfecture de Police), concernant la nouvelle organisation du centre d appel situé à l État Major de la BSPP (Porte de Champeret). Il est prévu d intégrer au sein d un même centre d appels le traitement des urgences relevant des pompiers (18) et celles relevant de la police (17), dans Paris et sa petite couronne. L une des motivations est le remplacement progressif des numéros d appels historiques spécialisés par un seul numéro identique pour les différents pays (112). La BSPP a bien évidemment défini un ensemble de mécanismes de traitement des appels basés sur des règles éprouvées. Elle souhaiterait une étude théorique des mécanismes possibles, en complément des études qu elle a déjà réalisées. Il s agit notamment de mieux prédire le comportement de la chaîne de réponse dans des situations anormales ou critiques, et le cas écheant de faire des propositions d amélioration de cette chaîne. Par exemple, une première difficulté à prendre en compte est le nombre d appels injustifiés ou redondants au 112 (qui a augmenté à cause de la facilité d alerte au moyen de téléphone portable). Ceci amène typiquement à avoir un traitement à deux étages, avec un premier filtrage, puis un traitement par un expert. Il s agit par exemple de savoir comment un tel système se comporterait dans une situation de violent orage urbain, avec une superposition de multiples appels sérieux mais peu critiques (innondations simples) et de vraies urgences plus rares, et de voir s il serait possible de quantifier le seuil de criticité au dela duquel une reconfiguration du système (pré-filtrage par automate associé à la mise en place d un numéro vert) deviendrait pertinent. Dans cet EA, on se propose de partir du modèle de logigrammes de la BSPP, de le décliner en réseau de Petri (par exemple), de l affiner si nécessaire, et d obtenir si possible des bornes rigoureuses sur la qualité de service, en s attachant particulièrement à un modélisation «pire des cas». Une piste de modélisation envisagée est le «calcul d enveloppe» dans les réseaux, ou «network calculus». Il s agit d une collection d outils analytiques, qui, supposant des bornes déterministes sur les arrivées, permettent de calculer des bornes sur les temps de service où les débits. On pourra aussi utiliser des outils de programmation linéaire ou des modèles de jeux à somme nulle. La masse de données statistiques dont dispose la BSPP sera accessible pour cette étude. Des contacts pour ce sujet seront le Cdt Stéphane Raclot (BSPP) ainsi que Régis Reboul (Préfecture de Police de Paris). Vu l importance du sujet et ses prolongements potentiels, outre le responsable d EA, d autres chercheurs du CMAP impliqués dans la collaboration avec la BSPP (M. Akian, X. Allamigeon), ainsi qu un doctorant, Vianney Boeuf (ENPC, CMAP et INRIA), pourront être associés à l encadrement. Ce sujet demandera des déplacements à la BSPP. On se propose de traiter ce thème par 2 binômes d EA au lieu d un (soit 4 élèves en tout). Un binôme traitera particulièrement l analyse du comportement pire des cas, par des méthodes déterministes, c est ce travail qui est décrit dans la présente section («pire des cas»). L autre binôme s attachera à développer un modèle 33

34 stochastique, comme décrit dans la section suivante («étude probabiliste»). Nota bene. Cet EA sera couvert par une convention entre la Préfecture de Police/BSPP et l École Polytechnique. Vu la nature du travail projeté, cette convention ne peut concerner que des élèves de nationalité française. [1] C.-S. Chang : Performance Guarantees in Communications Networks, Springer, [2] J.-Y. Le Boudec and P. Thiran : Network Calculus : A Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet, Springer, LNCS, [3] A. Bouillard, Algorithms and efficiency of network calculus, habilitation thesis, Optimisation du processus de réception et de traitement des appels d urgence étude probabiliste Stéphane Gaubert ([email protected]), INRIA École Polytechnique Philippe Robert ([email protected]), INRIA École Polytechnique Cet EA porte sur le même thème général que l EA précédent auquel on renvoie, et s effectuera dans des conditions semblables. À la différence de l EA précédent (analyse pire des cas), celui-ci portera sur la modélisation probabiliste de la chaîne de réponse, et fera donc appel à la fois aux outils du cours «Recherche Opérationnelle» et à ceux du cours «Réseaux de communication». On cherchera ici à effectuer une étude probabiliste, en modélisant la chaîne de réponse aux appels par un réseau de files d attentes, afin d évaluer des paramètres de performance tels que les temps d attente ou le débit maximal de la chaîne de traitement. Nota bene. Cet EA sera couvert par une convention entre la Préfecture de Police/BSPP et l École Polytechnique. Vu la nature du travail projeté, cette convention ne peut concerner que des élèves de nationalité française Des systèmes biologiques à la géométrie tropicale Xavier Allamigeon ([email protected]), INRIA École Polytechnique Stéphane Gaubert ([email protected]), INRIA École Polytechnique L étude des systèmes biologiques amène à considérer de grands réseaux de réactions biochimiques, gouvernés par des équations différentielles ordinaires dont le second membre est un terme polynomial dans lequel apparaissent les concentrations des différentes espèces. On cherche à étudier ces systèmes d un point de vue structurel : les coefficients de ces systèmes sont en général mal connus, et l on s intéresse plutôt à des propriétés de nature plus qualitatives, robustes par perturbation des paramètres, telles que l existence d un point fixe, la convergence des 34

35 orbites vers une sous-variété, etc. Ceci amène à résoudre des problèmes de nature algébrique portant sur de gros systèmes d équations polynomiales sur les réels. Ces derniers ont été très recemment abordés via la géométrie tropicale. Celle-ci regarde l ensemble des solutions d un système d équations polynômiales avec des «lunettes logarithmiques». L image d un tel ensemble par ces lunettes est appelé amibe archimédienne, on sait, au moins dans de bons cas, qu il est «proche» d un complexe polyédral (variété tropicale) qui peut être déterminé directement de manière combinatoire (sans avoir à résoudre les équations polynômiales, mais de manière parfois coûteuse). Intuitivement, cette méthode formalise la démarche consistant à effectuer des hypothèses sur les ordres de grandeur des concentrations, et à les vérifier à posteriori. Ceci motive l étude des variétés tropicales réelles et plus généralement des ensembles semi-algébriques tropicaux, qui sont définis par des système d inégalités sur le vecteur x R n de la forme : max α S (c α + α x) max β T (c β + β x) où S, T N n sont des ensembles disjoints, et c α, c β R { }. Dans cet EA, on s intéresse à la conception de techniques permettant de déterminer si un tel système admet une solution ou non. On propose d aborder ce problème par l introduction de variables de relèvement associées à chaque terme α x, et d exprimer l ensemble des solutions du système comme une intersection de polyèdres convexes au sens usuel et au sens tropical. Plusieurs algorithmes existent pour manipuler ces deux types de polyèdres. L objectif de l EA est d étudier comment les combiner afin d obtenir des méthodes effectives sur les semi-algébriques tropicaux. On peut penser pour cela à des stratégies de pivotage dans des complexes polyédraux, ou bien à des algorithmes à base de projection cyclique. [1] Martin Avendano, Roman Kogan, Mounir Nisse, and J. Maurice Rojas. Metric estimates and membership complexity for archimedean amoebae and tropical hypersurfaces, arxiv: [2] O. Radulescu, A. N. Gorban, A. Zinovyev, and V. Noël. Reduction of dynamical biochemical reaction networks in computational biology. Frontiers in Genetics. To appear, available from [3] H. Attouch, J. Bolte, P. Redont, and A. Soubeyran. Proximal Alternating Minimization and Projection Methods for Nonconvex Problems : An Approach Based on the Kurdyka-Lojasiewicz Inequality, Mathematics of Operations Research, vol. 35, n 2, mai 2010, p doi : /moor Bases de Graver pour l optimisation entière Xavier Allamigeon ([email protected]), INRIA École Polytechnique De nombreux problèmes de recherche opérationnelle conduisent à optimiser une fonction, linéaire ou non, sur l ensemble des points entiers d un polytope. Ces 35

36 problèmes sont en général NP-difficiles. Pour les résoudre, on recourt souvent à des techniques qui consistent intuitivement à explorer de manière efficace l ensemble des points entiers (par exemple branch-and-bound). On s intéresse ici à une technique très différente, de nature algébrique, qui se fonde sur les bases de Graver [1, 2]. Etant donné un point entier d un polytope et une fonction objectif, la base de Graver associée fournit une direction d amélioration vers un autre point entier du polytope, ou certifie que le premier point est optimal. C est pourquoi les bases de Graver sont utilisées dans des algorithmes dits «d augmentation». Ceux-ci consistent en la répétition de plusieurs étapes d amélioration de la fonction objectif jusqu à atteindre un optimum. L intérêt des bases de Graver est que l on peut borner polynomialement le nombre d étapes d amélioration [3]. L inconvénient est que ces bases sont difficiles à calculer, car elles peuvent contenir beaucoup d éléments. On se propose dans cet EA d étendre ces algorithmes à des problèmes d optimisation avec un très grand nombre de contraintes. L objectif est en particulier de définir une méthode calculant de manière incrémentale les bases de Graver, par ajout successif de coupes. L idée sous-jacente est que seul un petit nombre de coupes peut suffire pour déterminer un optimum pour le problème d optimisation complet. L EA comprendra également une implémentation de cette technique, et des expérimentations sur des problèmes d optimisation en nombres entiers de grande taille. [1] Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke, Matthias Köppe, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization. MOS-SIAM Series on Optimization. [2] Shmuel Onn, Nonlinear Discrete Optimization. Zurich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society. ~onn/book/ndo.pdf [3] Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke, Jon Lee, Augmentation Algorithms for Linear and Integer Linear Programming. arxiv: Falsifier formellement la conjecture de Hirsch Xavier Allamigeon ([email protected]), INRIA École Polytechnique Le diamètre d un polyèdre est défini comme la distance maximale entre deux sommets du polytope par des chemins ne passant que par des arêtes. Cette notion revêt une importance toute particulière en optimisation car elle est notamment reliée à la complexité de l algorithme du simplexe (question encore ouverte et très regardée dans le cadre du 9 ème problème de Smale). Hirsch avait conjecturé en 1957 que le diamètre d un polytope de dimension d avec n faces était borné par n d. En 2009, Francisco Santos a réussi la prouesse de trouver un contre-exemple à cette conjecture [1]. 36

37 L EA s inscrit dans un projet qui vise à prouver formellement que le polytope trouvé par Santos est bien un contre-exemple. La preuve formelle consiste à démontrer des résultats mathématiques à l aide d outils informatiques, les assistants de preuve. L intérêt est d élever très significativement le niveau de confiance en les preuves. Par exemple, l assistant de preuve Coq [2, 3] s est illustré dans la preuve du théorème des quatres couleurs, ou plus récemment du théorème de Feit et Thompson. Afin de falsifier formellement la conjecture de Hirsch, il est nécessaire de fabriquer une preuve différente de celle de Santos. Certains assistants de preuve comme Coq se fondent en effet sur des logiques dans lesquelles les résultats doivent être montrés de manière constructive. Cependant, on peut se permettre de construire une preuve très longue et calculatoire, impossible à vérifier par un humain en pratique, mais tout à fait abordable pour une machine. L objet de cet EA est en premier lieu d étudier comment écrire une telle preuve du contre-exemple de Santos, ce qui nécessite de bien comprendre la théorie des polytopes. En parallèle, l EA comprendra un développement des différents éléments de la preuve en Coq. [1] Francisco Santos, A counterexample to the Hirsch conjecture, Ann. Math., vol. 176, no 1, 2012, p [2] The Coq Proof Assistant, [3] Yves Bertot, Pierre Castéran. Coq Art : The Calculus of Inductive Constructions Planification de tournées de techniciens Bayram Kaddour ([email protected]), EDF R&D La planification des tournées d interventions des techniciens du gestionnaire du réseau de distribution électrique représente chaque année un enjeu important en termes d agents et matériels mobilisés et de kilomètres parcourus. Cette planification est élaborée en plusieurs étapes coordonnées dans le temps et résumées ci-après (le projet se focalisera sur l axe 3) : 1. La planification stratégique est l optimisation du placement de sites. 2. La planification tactique est le découpage des zones d intervention des agents dans l optique d optimiser les tournées. 3. La planification opérationnelle est la détermination des tournées journalières d interventions des techniciens d une agence de conduite régionale. Cette planification vise à satisfaire les demandes d interventions reçues (changement de puissance souscrite, rétablissement des coupures,...) en fonction de plusieurs critères (distances à parcourir, matériel à prendre dans le véhicule de l agent en début de journée, qualifications de l agent pour effectuer les interventions,...). 4. La planification en temps réel est l ajustement du planning d interventions des techniciens en tournée suite à des aléas (annulation d un client, intempéries, embouteillages,...). 37

38 4 Réseaux de communication Enseignant référent : Philippe Robert [email protected] 4.1 Stochastic Models of Algorithms for Data Centers Philippe Robert [email protected] Some 96% of current Internet traffic is currently generated by users retrieving content of one form or another, according to Cisco Visual Networking Forecasts in 2011, it is decomposed as follows. UGC stands for User Generated Content (example Youtube videos), B is byte and VoD is Video on Demand. traffic share population mean object overall size size volume Web B B File sharing B B UGC B B VoD B B The data centers of the various operators of the Internet like Orange Labs, Google, Microsoft, Apple, Amazon,... have to be designed so that users can retrieve quickly the contents they propose. The easiest way of achieving this goal that is by installing in each country/region a memory with a copy of all possible contents so that users can access locally these contents. This solution is hardly possible for the moment. According to the numbers above, the architecture required should be composed of large number of memories whose size is of the order of the Peta-Byte (10 15 Bytes). Such a system is almost impossible for several reasons : the im plied costs and the complexity of managing multiple copies of a large number of contents. The solution which is used consists in using a local memory, a cache memory, for each region where the most popular contents are stored. When a requested content is not in the cache, it is retrieved in a distant server and, therefore, with some delay. In an architecture with a fixed cache memory, one has to define the policy to determine which contents are kept in the cache and to evaluate its performances : what is the miss ratio? i.e. the fraction of requested contents which are fetched in the distant server. It is assumed that the contents is a finite set of objects S = {1,..., N} and that contents are requested at random accoridng to some probability distribution (p i, 1 i N). This is the Independent Reference Model (IRM) which is used in most of the Markovian analyses. The recent evolutions of data centers (their increasing sizes of contents stored in particular) show that this architecture with one memory cache turns out to have limited performances. The work proposed here consists in designing and analyzing with stochastic models an architecture where several cache memories for a hierarchical network with multiple access points. A simple ring network will be analyzed in a first step. The key quantity to investigate is the global miss ratio of 38

39 such a system at equilibrium. A stochastic model of such a system will be used : the Markov chain describing the contents of the various cache memories of the network. [1] Christine Fricker, Philippe Robert, and James Roberts, A versatile and accurate approximation for cache performance, 24th International Teletraffic Congress (Kraków), IEEE Communications Society, September [2] Phillipa Gill, Martin Arlitt, Zongpeng Li, and Anirban Mahanti, Youtube traffic characterization : a view from the edge, Proceedings of the 7th ACM SIG- COMM conference on Internet measurement (New York, NY, USA), IMC 07, ACM, 2007, pp [3] P. R. Jelenkovic, Approximation of the move-to-front search cost distribution and least-recently-used caching fault probabilities, Annals of Applied Probability 9 (1999), no. 2, Equilibrium states of stochastic neural networks Philippe Robert [email protected] In this proposal, one investigates the dynamics of networks of connected excitatory and inhibitory integrate-and-fire neurons. The integrate-and-fire neuron model describes the state of a neuron in terms of its membrane potential, which is determined by the synaptic inputs and the injected current that the neuron receives. When the membrane potential reaches a threshold, an action potential (spike) is generated. It is believed that a rich repertoire of states are possible : synchronous states in which neurons fire regularly ; asynchronous states with stationary global activity and very irregular individual cell activity ; and states in which the global activity oscillates but individual cells fire irregularly, typically at rates lower than the global oscillation frequency. We propose to analyze through simulations and analytical models simple models of such networks. The model will be the following : a neuron with potential state x > 0 will spike at rate b(x) where b( ) is some non-decreasing function, after the spike its potential is 0 and the potential of its neighbors is increased by some random quantity with the same distribution as some random variable W. In a first step the simple case of a completely connected network with a constant functon b is considered, and in a second step a function b with a thereshold a 0. In a final step, the equilibrium states of grid topologies will be considered. 39

40 [1] Nicolas Brunel and David Hansel, How noise affects the synchronization properties of recurrent networks of inhibitory neurons., Neural computation 18 (2006), no. 5, [2] Erwan Ledoux and Nicolas Brunel, Dynamics of networks of excitatory and inhibitory neurons in response to time-dependent inputs., Frontiers in computational neuroscience 5 (2011). 4.3 Stochastic Models of Protein Production of Bacteria Cells Philippe Robert [email protected] The gene expression is the process by which the genetic information is synthesised into a functional product, the proteins. The production of proteins is the most important cellular activity, both for the functional role and the high associated cost in terms of resources (in prokaryotic cells it can reach up to 85% of the cellular resources). In a E. Coli bacterium for example there are about proteins of approximately 2000 different types with a large variability in concentration, depending on their types : from a few dozen up to The gene expression is a highly stochastic process and results from the realization of a very large number of elementary stochastic processes of different nature. For example, the thermal excitation affects many processes, since it implies for example the random diffusion in the cytoplasm of the various components of the cell. One of the important questions is of understanding the mechanisms by which the cell manages to produce different types of proteins with different, fixed, concentrations. Due to random nature of the production process, the variance of the number of proteins in the cell is a key indicator for the efficiency of a production strategy, since it gives a measure of the fluctuation of resources of the cell consumed by the production process. The work proposed here consists in the analysis of a simple stochastic model describing the evolution of the number of proteins of different types. One will be interested in particular in the equilibrium properties of the fraction of the number of proteins of given type. Mathematically, in a first step, it will consist in the analysis of a sequence of simple Markov processes indexed by a scaling parameter which converges to infinity. One will investigate the asymptotic properties (as N and time go to infinity) of these processes. The second step will consider similar problems but in a more general setting where the key components of the production process are taken into account. 40

41 [1] J. Paulsson, Models of stochastic gene expression, Physics of Life Reviews 2 (2005), no. 2, [2] Peccoud, J. and Ycart, B. Markovian modeling of gene-product synthesis, Theoretical Population Biology 48 (1995), no. 2, [3] D. Rigney and W. Schieve, Stochastic model of linear, continuous protein synthesis in bacterial populations, Journal of Theoretical Biology 69 (1977), no. 4, Capacité des réseaux mobiles Philippe Robert [email protected] Un réseau mobile est vu ici comme un ensemble de ressources distribuées géographiquement auxquelles des utilisateurs peuvent accéder sous réserve de proximité. Les capacités de calcul d un nœud sont attribuées de façon égalitaire à tous les mobiles de la zone géographique concernée. Un mobile utilise ainsi les ressources qui sont à sa disposition sur son parcours. Il est important de pouvoir estimer la capacité de calcul globale d un tel système, la mobilité permettant d utiliser éventuellement des nœuds peu chargés. On se propose dans cette étude d estimer les caractéristiques suivantes : Délais de transmission d un message dans un tel réseau. Étude de la stabilité du réseau (débit maximal de sortie). Conception d algorithmes d allocation de bande passante dans un tel réseau. P.R. Jelenkovic and P. Momcilovic and M. S. Squillante. Scalability of wireless networks http ://comet.columbia.edu/ predrag/mypub/wirelessscaling2006.pdf M. Grossglauser and D. Tse Mobility increases the capacity of ad-hoc wireless networks. http ://citeseer.ist.psu.edu/article/grossglauser01mobility.html 41

42 5 Traitement du signal et de l image Enseignant référent : Stéphanie Allassonnière [email protected] 5.1 Synthèse additive : Analyse, resynthèse et transformation de signaux musicaux Emmanuel Bacry [email protected] La synthèse additive" de signaux sonores consiste à modéliser un signal par un ensemble de générateurs sinusoïdaux (appelés partiels) dont l amplitude et la fréquence varient en fonction du temps. Afin d obtenir, à chaque instant, les paramètres de chacun des partiels, le signal est analysé à l aide d une transformation de Fourier à fenêtre glissante. On étudiera ce type d analyse/synthèse dans le cadre de signaux musicaux et l on s attachera plus particulièrement à l étude des algorithmes de suivi" des partiels en fonction du temps. On s intéressera aux transformations que permettent ce type de représentation : soustraction de la partie harmonique d un signal (utilisation ultérieure pour un instrument synthétique hybride), dilatation/contraction temporelle sans modification du timbre (recalage d une partie rythmique), ajustement de la hauteur d un son sans modification de timbre (correction d un chanteur qui chante faux, ou harmonisation d une ligne mélodique),... C est un modèle extrèmement populaire, il existe de très nombreuses extensions. [1] Speech Analysis/Synthesis based on a sinusoidal representation, R.J. McAulay et T.F. Quatieri, IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Proc. Vol. ASSP-34, No 4, [2] Musical signal processing in Studies on New Music Research, X. Serra, editors Swets and Zeitlinger, 1997 [3] Sinusoidal Modeling, Summer 2006 lecture on analysis, modeling and transformation of audio signals, A. Robel, 2006, available at ircam.fr/anasyn/roebel/amt_audiosignale/vl6.pdf 5.2 Segmentation : méthode déterministe ou aléatoire? Stéphanie Allassonnière [email protected] L idée de ce projet est de tester et comparer plusieurs méthodes de segmentation. La segmentation est l extraction d objets dans une image où cet objet n est pas seul (le plus simple des cas étant un objet sur un fond non informatif). Ces techniques sont très utilisée en imagerie médicale pour la détection d organe, et 42

43 l analyse de leur forme. Nous étudierons dans ce projet plusieurs méthodes de recalage : l une déterministe basée sur le gradient de l image et la seconde stochastique appelée le "Random walker". Figure 2 caption 5.3 Débruitage par non-local means Stéphanie Allassonnière [email protected] Le but de cet EA sera de comprendre les avantages de la méthode des Nonlocal means pour le débruitage d images. Lorque l on possède plusieurs fois la même image et que l on suppose que le bruit observé est additif gaussien, la loi des grands nombres nous assure que la moyenne empirique sera une image débruitée. Le problème est souvent qu il est impossible d avoir plusieurs copies de la même image. La méthode étudiée ici tient compte de la redondance de l information contenue dans une seule image pour débruiter toute la scène. Ceci pourra aussi être appliqué à des séquences de film pour sa restauration. Figure 3 caption 43

44 6 Statistique, grandes données, systèmes en interaction Enseignant référent : Guillaume Lecué [email protected] 6.1 On the influence of the seed graph in the preferential attachment model Djalil Chafaï [email protected] Description : Les graphes aléatoires constituent des structures très courantes dans la nature : réseaux sociaux, word wide web, régulation de protéines, citations scientifiques, etc. Le fameux modèle d Erdös-Rényi constitue à la fois le modèle le plus connu, le plus simple, et le moins réaliste. Le but du stage est la lecture de l article de recherche récent http ://arxiv.org/abs/ qui concerne un modèle de Barabasi-Albert, plus réaliste. On the influence of the seed graph in the preferential attachment model. Sébastien Bubeck, Elchanan Mossel, Miklós Z. Rácz. http ://arxiv.org/abs/ L 2 -Boosting et k-plus proches voisins Eric Matzner-Løber [email protected] L objectif de cet EA est de d analyser le comportement de l estimateur du L 2 - Boosting quand l estimateur de base est l estimateur des k-plus proches voisins (k-ppv). Le boosting a été à l origine de nombreuses publications en discrimination. En régression (lorsque la variable à expliquer est continue), les publications sont moins nombreuses mais on peut citer [1] par exemple. Le principe général du boosting est de commencer avec un lisseur biaisé S 1 [2], de lisser les résidus avec le même (ou un autre) lisseur S 2, de corriger l estimateur initial, et d itérer. Le critère d arrêt est en général fournit par un critère classique de choix de modèle (AIC, BIC,...). Après k 1 itérations, l estimateur obtenu s écrit de la façon suivante : ˆm k = S 1 Y + S 2 (I S 1 )Y + + S k (I S k 1 ) (I S 1 )Y = [I (I S k )(I S k 1 ) (I S 1 )]Y. Si le même estimateur est utilisé à chaque étape on obtient une forme simplifiée ˆm k = [I (I S) k ]Y. 44

45 Ces estimateurs ont été étudiés dans [2] par exemple. Considérons l estimateur des k-plus proches voisins qui datent des années 1950 et qui a été énormément étudié. La matrice de lissage admet pour terme général S kppv ij = { 1 k si X j appartient au k-ppv de X i 0 sinon. (1) Remarquons que Comme d(x i (X i ), X i ) = 0, nous avons S kppv ii = 1/k La matrice S kppv n est pas symétrique La matrice M = ks kppv peut-être vue comme la matrice d adjacence sur le graphe orienté sur X 1,..., X n enfin si la somme des lignes de M vaut bien 1, il n en ait rien de la somme des colonnes. Ainsi H j = n i=1 M ij compte le nombre de fois où X j appartient à un voisinage. Lorsque ce nombre est important on parle de hub ce qui peut poser des problèmes dans certaines applications (classification par exemple). Pour remédier à ce problème, il a été introduit les voisins mutuels [3]. On dit que X i et X j sont mutuels k-ppv si X j appartient aux k-ppv de X i et réciproquement. La matrice d adjacence M des mk-ppv se calcule aisément via : M ij = M ij M t ij. Le nombre de mk-ppv de chaque X i, K i = n j=1 M ij est une variable aléatoire. Il est possible que K i = 0 et il est aussi possible de définir le mk-ppv lisseur via où W = diag(k 1 1,..., K 1 n ). S Mppv = W M, (2) Nous souhaitons étudier l estimateur du L 2 -boosting en utilisant dans un premier temps le lisseur de k-ppv S kppv puis celui de mk-ppv. De manière surprenante ces estimateurs ne sont pas adaptés au l 2 -Boosting. [1] Bühlmann, P. et YU, B. Boosting with the l 2 loss : regression and classification, JASA, , [2] Cornillon, P-A. et Hengartner, N. et Matzner-Løber, E. Recursive bias estimation for multivariate regression smoothers, ESAIM, [3] Gowda, K. et Krishna, G. Agglomerative clustering using the concept of mutual nearest neighbourhood, Pattern Recognition, ,

46 6.3 Régression nonparamétrique lorsque n est grand Eric Matzner-Løber [email protected] L objectif de cet EA est de se confronter aux différentes possibilités de travail que l on rencontre lorsque le nombre de données n est important. Considérons un problème classique de régression Y = m(x) + ε où nous souhaitons estimer la fonction inconnue m à partir des données (X i, Y i ) i=1,,n. Les lisseurs classiques nonparamétriques peuvent s écrire sous forme matricielle (aux points de l échantillon) de la façon suivante ˆm(X) = S λ,x Y où S est la matrice de lissage de taille n n qui dépend du design X et d un paramètre λ. Ce dernier est la fenêtre pour l estimateur à noyau, le nombre de voisin pour les estimateurs de k-plus proches voisins, la pénalité pour les splines de lissage... Dans beaucoup de domaines, n peut être de plusieurs milliers et il est donc difficile de travailler avec la matrice S directement. Plusieurs stratégies sont alors possibles utiliser des estimateurs récursifs travailler avec des données moyennes (binning) travailler avec des blocs de données (aléatoires ou séquentiels) dont la taille permet le calcul. Ces blocs peuvent être séquentiels (les l premières lignes, puis les suivantes...), aléatoires. Il est aussi possible de classer les données dans une première étape (clustering des X)... Il semble intéressant de comparer ces différentes stratégies pour estimer la fonction inconnue. Il est aussi important de proposer une procédure permettant la prévision de nouvelles observations. On peut penser à donner une prévision en cherchant les données les plus proches de la nouvelle observation, en cherchant le bloc ou les blocs concernés (les plus proches en un sens à définir). Là encore, il semble intéressant de comparer ces différentes stratégies Prérequis : MAP433 46

47 EA MAP581 Enseignements d Approfondissement du PA de Mathématiques Appliquées Catalogue des sujets 9 décembre 2014 La dernière version de ce document se trouve sur les ressources pédagogiques de MAP581: 1

48 Table des matières Introduction 3 Objectifs, rapport et soutenance, notation Simulations, calculs, informatique Thématiques proposées et cours correspondants Choix et attribution des sujets Déroulement du projet, encadrement Liste des sujets 8 1 Analyse numérique Propagation d un fluide dans un milieu poreux Optimisation de forme : Formulation ligne de niveau et maillage conforme Modélisation en acoustique Automatique Optimal Control for a 3-level molecule driven by external fields Time Optimal Control for a UAV Drone Modélisation et simulations aléatoires Modèle stochastique transient et système dynamique Modèles proies prédateurs et réponses fonctionnelles Processus de naissances et morts avec compétition Effet de la recombinaison sur l arbre généalogique Comportement des fourmis : modélisation par renforcement Formation de groupes dans une famille d animaux sociaux Du sexe chez les bactéries! Evolution et taille des mutations Discrétisation d EDS : étude du schéma de Ninomiya et Victoir Simulation exacte des EDS en dimension Transport optimal et vitesse faible trajectorielle du schéma d Euler Échantillonnage de diffusions conditionnelles Analyse et simulation de risques financiers Simulation des diffusions en milieu discontinu Simulations d équations différentielles stochastiques rétrogrades ε-strong simulation of multi-dimensional SDE Improved diffusion Monte-Carlo [New] EDS avec terme de temps local pondéré [New] Calibration de modèles stochastiques et mesures de risque Statistique et apprentissage Graphe implicite d un réseau social Kaggle competition - Forest Cover Type Prediction

49 4.3 Clustering en grande dimension Complétion de grandes matrices Estimation pour les problèmes inverses linéaires par méthodes de Galerkin et ondelettes Régression logistique, volume de données et temps de calcul L 2 -Boosting et Cobra Séries chronologiques et simulation Modélisation de ruptures Filtage du bruit de microstructure pour estimer la volatilité à partir de données haute fréquence Test de linéarité dans un modèle a volatilité stochastique L 2 -Boosting et prévision de séries temporelles

50 Introduction Objectifs, rapport et soutenance, notation Objectifs : Le but de ces enseignements d approfondissement (EA) est la réalisation par l élève d un projet, selon la démarche d un mathématicien appliqué, en résumé : comprendre l essence d un problème pertinent et en faire la modélisation ; effectuer une étude mathématique du modèle obtenu ; fournir des résultats qualitatifs et quantitatifs, en particulier grâce à des simulations et des méthodes numériques. Ce projet personnel est effectué en binôme et constitue un véritable travail d équipe. Il porte sur un problème spécifique issu du domaine des applications d un cours suivi par les deux élèves, et il leur permet d y approfondir leurs connaissances et bénéficier d une initiation à la recherche. Il constitue souvent une condition nécessaire pour obtenir un stage de recherche ou une 4ème Année dans ce domaine, notamment en finance ou à l étranger. Rapport et soutenance : Ce travail se concluera par la remise d un rapport pour le mardi 3 mars 2015 à 17h. Ce rapport sera à transmettre sous forme de deux copies papier au secrétariat du département de MAP et à envoyer sous forme d un fichier pdf à tous les membres du jury. Il fera l objet d une soutenance orale sur slides la semaine du 9 au 13 mars Dans le rapport comme lors de la soutenance, vous devez considérer que le jury ne connaît rien au problème, et donc le présenter en montrant son importance, expliquer votre approche ainsi que vos résultats analytiques et numériques, et donner vos conclusions sur le sujet en faisant un bilan de votre travail. Une bonne ligne de conduite est de faire comme s il s agissait d une étude que l on vous aurait commandée, à présenter aux commanditaires. Le rapport, de préférence écrit en L A TEX, devra être rédigé et présenté très soigneusement, et comprendre une bibliographie des ouvrages et articles étudiés. Vous êtes fortement encouragés à aller chercher de la documentation sur votre sujet à la bibliothèque. La soutenance orale dure 40 minutes par binôme : un exposé de 30 minutes (partagées équitablement par les élèves) suivi de 10 minutes de questions. Il est extrêmement important de bien la préparer. Elle doit tenir dans le temps imparti. 4

51 Evaluation : Elle tient compte de la qualité du contenu et de la présentation du rapport et de la soutenance, ainsi que des interactions avec l enseignant. Elle prendra également en compte le sens critique sur les résultats obtenus ainsi que la précision de la bibliographie. Une seule note est généralement attribuée au deux membres du binôme. Simulations, calculs, informatique Tous les sujets proposés demanderont d effectuer des simulations et des calculs numériques. Une analyse critique des résultats ainsi obtenus devra être faite dans le rapport et la présentation orale. L informatique devra être utilisée comme outil de compréhension et d expérimentation, et non comme une fin en soi. Notez bien qu il ne s agit pas d un projet d informatique. Logiciels et langages utilisés : On utilisera le plus souvent Python ou le logiciel Scilab, pendant libre de Matlab, qui permet de faire des calculs avec un minimum de programmation. Certains sujets utilisent des logiciels de calcul plus avancés et spécialisés, tels que FreeFem++. Suivant les goûts et compétences, l utilisation de langages de programmation évolués, notamment C, C++, ou Java, est tout à fait envisageable. Soutien FreeFem++ : Les élèves qui doivent manipuler FreeFem++ dans le cadre de leur sujet d EA pourront obtenir un soutien en contactant Olivier Pantz [email protected]. 5

52 Thématiques proposées Liste des thématiques et cours correspondants : La liste des sujets proposés est regroupée en cinq thèmes dont les quatre premiers correspondent aux cours de période 2 du PA de MAP : 1. Analyse Numérique MAP562, MAP Automatique MAP Modélisation et simulations aléatoires MAP563, MAP Séries chronologiques et simulations MAP Statistique et Apprentissage MAP433, MAP553 Contrainte pour le choix des sujets : Pour demander un sujet il faut suivre l un des cours correspondant. Cependant par exception : Modèles en finance et simulations en P2 : les élèves ayant suivi MAP552 (Modèles stochastiques en finance) peuvent effectuer un EA de Modèles en finance et simulations en période 2, sous condition d avoir effecté un EA sur un autre thème en période 1. Analyse numérique : le sujet 1.3 est accessible aux élèves ayant suivi MAP431 ou MAP559 Enseignants référents pour les différentes thématiques : Pour chacune des cinq thématiques, un enseignant référent est disponible pour répondre à vos questions. Ses coordonnées seront indiquées dans la suite de ce catalogue au début de chaque thématique. Vous pouvez les contacter pour vous aider à faire votre choix. Vous pouvez également leur proposer un sujet qui vous intéresse particulièrement, afin d en discuter avec eux, pour voir si votre proposition est raisonnable et convenir d un encadrement. 6

53 Choix et attribution des sujets Séance de présentation : L EA MAP581 est présenté le mardi 9 décembre 2014 de 13h30 à 16h en amphithéâtre Monge avec : une présentation générale sur ses principes, son organisation, et ce que l on attend des élèves la présentation de chaque thème par son responsable durant 15 à 30 minutes enfin, les élèves intéressés pourront discuter plus à fond avec les enseignants responsables de sujet présents. Procédure de choix : Il vous faudra communiquer avant le jeudi 11 décembre 2014 à 17h. une liste de 3 choix de sujets ordonnés par préférence (en indiquant les numéros des sujets) par courrier électronique ayant pour sujet choix sujet EA adressé à Nathalie Hurel [email protected] (Secrétariat du Département de Mathématiques Appliquées). Attribution des sujets : Elle sera faite au plus vite, en essayant de respecter au mieux les choix des élèves à l heure et respectant les règles de choix. Ceux-ci seront tous traités de façon égalitaire. Les autres seront traités ensuite, et par ordre d arrivée. Déroulement du projet, encadrement Démarrage du projet : Dès que votre sujet vous aura été attribué, vous devrez prendre immédiatement contact avec l enseignant qui en est responsable afin de fixer la date d un premier rendez-vous. Cet enseignant vous précisera les modalités de travail particulières pour votre sujet, puis vous encadrera. 7

54 Déroulement du projet : Ce projet constitue un travail personnel dont l intérêt et la richesse dépendront principalement de votre investissement. L enseignant qui vous encadre vous guidera dans votre démarche. Surtout n hésitez pas à le contacter. C est à vous de le solliciter et à lui de déterminer les modalités de vos rencontres, et non l inverse. Ces rencontres n auront pas nécessairement lieu le mardi, mais vous devez utiliser les créneaux libres ce jour-là à bon escient. Il vous faudra commencer votre travail immédiatement, car vous pouvez vous attendre à être très occupé lors des dernières semaines, par la finition des calculs numériques, la rédaction du rapport, la préparation de votre présentation, les examens des autres cours et les dossiers pour la quatrième année. Lettre de recommandation : Si vous avez besoin d une lettre de recommandation pour des dossiers d admission, notamment pour les universités étrangères, vous pourrez la demander à votre encadrant après la soutenance. 8

55 Liste des sujets 1 Analyse numérique Enseignant référent : Aline Lefebvre-Lepot [email protected] 1.1 Propagation d un fluide dans un milieu poreux Xavier Blanc [email protected] Cours associé : MAP567. La propagation d un fluide dans un milieu poreux (typiquement de l eau dans de la roche) peut être modélisée par l équation de diffusion non linéaire u t div (c(u) u) = 0, où u 0 est la densité du fluide, et c(u) le coefficient de diffusion. Cette équation est assortie de conditions de bord adéquates. L étude de cette équation sous des hypothèses du type c(u) = u p, p 0 met en évidence l existence de solutions à support compact, et de propagation de front à vitesse finie. L objectif du sujet est l étude de telles solutions et de leurs propriétés qualitatives, puis l analyse de certains schémas numériques qui reproduisent plus ou moins bien ce phénomène de propagation de front. 1.2 Optimisation de forme : Formulation ligne de niveau et maillage conforme Olivier Pantz [email protected] Cours associé : MAP562. Deux approches classiques en optimisation de forme sont l optimisation dite géométrique d une part et l optimisation dite ligne de niveau d autre part. Dans le cas de l optimisation géométrique, la forme est décrite par un maillage de l ouvert de référence. Le problème de cette approche est qu elle ne permet pas (ou difficilement) de gérer les modifications de topologie de la forme qui peuvent intervenir au cours de l optimisation. La méthode de ligne de niveau consiste à décrire la forme par l intermédiaire d une fonction ψ définie sur l ensemble du domaine de travail D et à valeurs réelles. La forme est alors obtenue comme l ensemble des éléments x de D tels que ψ(x) < 0. L avantage de cette approche est qu elle autorise les modifications de topologie de la forme sans traitement particulier. Dans les deux cas, il est usuel d utiliser le même maillage pour décrire la géométrie de la forme et pour effectuer le calcul de l état primal (et éventuellement dual). Ceci soulève quelques problèmes, notamment dans l approche ligne de niveau, où cela contraint à l introduction d un solide mou virtuel pour combler les trous. 9

56 Ce projet consistera à combiner les deux approches : Utiliser la formulation ligne de niveau pour décrire la forme et effectuer le calcul de l état dual et primal par une méthode conforme (en utilisant un maillage conforme de la forme proprement dite). Toutes les simulations seront effectuées en utilisant le logiciel d éléments finis FreeFem++ et nous nous limiterons au cas bidimensionnel. 1.3 Modélisation en acoustique : état de l art et nouvelles tendances des outils de simulation numérique dans les domaines de l aéronautique et de l automobile Isabelle Terrasse [email protected] Toufic Abboud [email protected] Sujet accessible aux étudiants ayant suivi MAP431 ou MAP559. La méthode des équations intégrales est largement utilisée pour résoudre certaines équations de la physique. L approximation par éléments finis de ces équations est connue dans la littérature sous le nom de BEM pour Boundary Element Methods. Utilisant explicitement la fonction de Green, et travaillant avec un maillage de la surface de l objet simulé - ce qui en domaine non borné a le grand avantage de ne pas avoir à tronquer le domaine de calcul-, les méthodes BEM sont plus précises et moins exigeantes par rapport à la qualité du maillage que les méthodes volumiques (éléments finis, différences finies,...) qui approchent directement l équation aux Dérivées Partielles (EDP). En domaine fréquentiel, les méthodes BEM se sont largement imposées pour des applications aussi bien civiles que militaires comme : l acoustique (par exemple pour des problèmes de confort des passagers et impact sur l environnement dans l automobile, l aéronautique...) ; l élastodynamique (par exemple en contrôle non-destructif par ultrasons, sismique...) ; l électromagnétisme (furtivité, antennes, compatibilité électromagnétique (CEM),...). Si N désigne le nombre d inconnues sur la surface de l objet, les besoins en mémoire sont en O(N 2 ) et le coût de résolution est soit en O(N 2 ) dans les bons cas pour les méthodes itératives soit en O(N 3 ) pour les méthodes directes. Comme 10

57 N croît comme le carré de la fréquence, les méthodes BEM ont longtemps été cantonnées aux basses fréquences jusqu à l avènement de la méthode des multipôles rapides (FMM) et des très gros ordinateurs parallèles. La méthode FMM permet d effectuer un produit matrice-vecteur en O(N log N) au lieu de O(N 2 ) opérations ce qui accélère considérablement les méthodes itératives : on parle de méthode itérative rapide. Depuis quelques années, se développent de nouvelles méthodes directes rapides pour la résolution de ce type d équations : les H-matrices. Leur maîtrise et leur implémentation parallèle restent des enjeux pour la recherche. Une autre révolution concerne le développement des ces méthodes en domaine temporel. L objet de cet enseignement d approfondissement est d abord de se familiariser avec ces méthodes en menant des expériences numériques avec des codes industriels représentatifs de l état de l art du moment. Dans un deuxième temps, il s agit d évaluer les possibilités des nouveaux solveurs sur des applications acoustiques venant des domaines de l automobile et de l aéronautique. [1] Isabelle Terrasse - Toufic Abboud, Electromagnétisme et Acoustique dans l industrie aéronautique et automobile : de la modélisation au calcul haute performance. Cours de master de l Ecole Polytechnique. 2 Automatique Enseignant référent : Ugo Boscain [email protected] 2.1 Optimal Control for a 3-level molecule driven by external fields A 3-level molecule driven by 2 externals fields can be modelled through the Schroedinger equation : i ψ(t) = E 1 Ω 1 (t) 0 Ω 1 (t) E 2 Ω 2 (t) 0 Ω 2 (t) E 3 ψ(t). (1) Here ψ( ) = (ψ 1 ( ), ψ 2 ( ), ψ 3 ( )) : [0, T ] C 3 describes the state of the system evolving in the unit sphere of C 3. The quantities E 1, E 2, E 3 R represent the 3 energy levels of the system. The controls u 1 ( ) and u 2 ( ), that are functions from [0, T ] C, describe the action of the external fields. The purpose is to steer the system from the first level (i.e., ψ 1 2 = 1) to the third level, i.e., ψ 3 2 = 1) in fixed time T, by minimizing the energy given to the system : T ( Ω1 (t) 2 + Ω 2 (t) 2) dt min. 0 11

58 By using controls that are in resonance with the difference of the energy levels i.e. Ω 1 (t) = u 1 (t)e [i(e 2 E 1 )t+ξ 1 ] Ω 2 (t) = u 1 (t)e [i(e 3 E 2 )t+ξ 2 ] (2) (3) where ξ 1 and ξ 2 are suitable phases, the problem can be reduced to ψ(t) = T 0 0 u 1 (t) 0 u 1 (t) 0 u 2 (t) 0 u 2 (t) 0 ( u1 (t) 2 + u 2 (t) 2) dt min. ψ(t). (4) The problem is then studied via the Pontryagin Maximum Principle and techniques of geometric control. E 3 E 2 E 1 Ω 2 (t) Ω 1 (t) [1] U. Boscain, T. Chambrion, G. Charlot, Nonisotropic 3-level Quantum Systems : Complete Solutions for Minimum Time and Minimal Energy, Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 5, pp , Ugo Boscain [email protected] 2.2 Time Optimal Control for a UAV Drone We consider the problem of controlling an unmanned aerial vehicle (UAV) flying at a constant altitude (HALE type) to provide a target supervision. We make the following assumptions on the UAV : the velocity of the UAV is assumed to be constant ; the UAV is assumed to be kinematically restricted by its minimum turning radius r > 0, or equivalently, its yaw angle is assumed to be constrained by an upper positive bound. The UAV is modeled as a Dubins vehicle (i.e. a planar vehicle with constrained turning radius and constant forward velocity, see [1]). ẋ = cos θ ẏ = sin θ θ = u(t). (5) 12

59 with (x, y, θ) R 2 S 1 being the state (where (x, y) R 2 is the UAV s coordinate in the constant altitude plane, and θ the yaw angle), and u : [0, T ] [ u max, u max ] being the control variable. Note that the yaw angle θ is the angle made by the aircraft direction with respect to the x-axis. These equations express that the drone evolves on a perfect plane (perfect constant altitude), at perfect constant speed 1, moves in the direction of its velocity vector, and is able to turn right and left with a minimal turning radius r = 1/u max. The purpose here is to find the time-optimal trajectory tracking the UAV from its initial position (x 0, y 0, θ 0 ) to a circle of minimal radius centred on the target (that is assumed to be placed at the origin) : C = {(x, y, θ) x = r sin θ, y = r cos θ}. y θ r C x target [1] A. A. Agrachev and Y. L. Sachkov. Control theory from the geometric viewpoint, volume 87 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin, Control Theory and Optimization, II. Ugo Boscain [email protected] 3 Modélisation et simulations aléatoires Enseignant référent : Vincent Bansaye [email protected] 3.1 Modèle stochastique transient et système dynamique On s intéressera à un modèle de croissance aléatoire pouvant intégrer l effet d une immigration ou de la limitation des ressources. Nous chercherons en parti- 13

60 culier à comparer la croissance d un processus de la forme X t+1 = X t + g(x t ) + ξ t avec E(ξ t F t ) = 0, au système dynamique x t+1 = x t + g(x t ). Pour que le comportement (déterministe) de x reflète bien celui de X (qui est lui aléatoire), il faut que X et x deviennent grands et que les fluctuations de X ne soient pas trop grandes. On cherchera ici à établir que X t = x t + o(x t ) en s appuyant sur [1]. On se demandera également comment définir des analogues en temps continu de ces processus et déduire des résultats analogues dans ce cadre. On pourra ajouter dans un second temps une structure spatiale ou une inhomogénité temporelle et s appuyer sur un processus de branchement multitype et des simulations. Une autre ouverture possible est l extension d un tel modèle à deux populations en intéraction. [1] G. Kersting A law of large numbers for stochastic difference equations. Stochastic Process. Appl. 40 (1992), no. 1, Vincent Bansaye [email protected] 3.2 Modèles proies prédateurs et réponses fonctionnelles Les équations différentielles de Lotka-Volterra décrivent des modèles de type proie-prédateur en limite grande population. Dans l équation de type Holling ou Rosenzweig-MacArthur, l interaction proie prédateur n est pas linéaire en la taille de chacune des populations pour prendre en compte la satiété et le temps de manipulation par les prédateurs. L objectif de cet EA est de construire des modèles individus centrés probabilistes en temps continu et d obtenir de telles équations différentielles comme limite en grande population. Pour cela, on pourra suivre en particulier [1]. Les simulations permettront d illustrer ces limites et d en construire d autres. On pourra aussi essayer de quantifier l écart entre le modèle probabiliste individu centré et la limite déterministe et construire des limites diffusives. Dans un second temps, on cherchera à voir l effet d une inhomogénéité spatiale dans la répartition de la population dans de tels modèles, notamment en s aidant de simulations. [1] J. H. P. Dawes. M. O. Souza. A derivation of Holling s type I, II and III functional responses in predator-prey systems. Journal of Theoretical Biology 327 (2013) Vincent Bansaye [email protected] 14

61 3.3 Processus de naissances et morts avec compétition Dans ce sujet, on s intéressera à des processus de naissance et mort en temps continu. Le taux de mort par individu pourra augmenter avec l effectif de la population, pour modéliser une compétiton entre les individus. Pour des exemples et motivations en écologie, on consultera par exemple [1]. Nous chercherons déjà à déterminer dans quels cas le processus s éteint p.s. en temps fini. On pourra ensuite estimer ce temps d extinction (mathématiquement et/ou par simulation). Dans un second temps, on s intéressera à la façon dont un tel processus décroit quand il part d une grande valeur. Ceci nous aménera à déterminer quand un processus descend de l infini, et avec quelle vitesse. Cette question est liée à (l unicité de) la loi de la population conditionnellement à sa survie en temps long et à la survie dans environnement fortement fluctuants. Pour cela, on s appuiera sur [2,3]. Enfin, en ouverture, les fluctuations proches de l infini et la question des évenéments rares peuvent être abordées, notamment à l aide simulations. [1] R. M. Sibly, D. Barker, M. C. Denham (2005). On the regulation of populations of mammals, birds, fish and insects. Science Vol 309. [2] Erik A Van Doorn. Quasi-stationary distributions and convergence to quasistationarity of birth-death processes (1991). Adv. in Appl. Probab. 23, no. 4, [3] V. Bansaye, S. Méléard, M. Richard (2013). How do birth and death processes come down from infinity? Preprint. Vincent Bansaye [email protected] 3.4 Effet de la recombinaison sur l arbre généalogique On considère un modèle classique en génétique des populations basé sur le modèle de Wright-Fisher qui tienne compte de possibles recombinaisons (reproduction sexuée), voir [1,4,8] ainsi que [2,3] pour l estimation de du taux de recombinaison. Ces hypothèses sont les suivantes : 1. On considère des générations discrètes et de durée unitaire. La population totale est de taille constante égale à N. 2. Chaque individu possède un gamète ou brin d ADN (population haploïde). La longueur du brin d ADN est m. 3. À chaque génération, les N individus choisissent 2 parents (ou gamètes) de manière uniforme dans la génération précédente (reproduction sexuée). 4. Pour chaque choix de paire de gamètes, avec probabilité r il y a recombinaison, et celle-ci est uniforme sur le brin d ADN ; seul l un des deux gamètes (après éventuelle recombinaison) est conservé. On souhaite étudier l évolution de l arbre généalogique le long du brin d ADN. Cet arbre n est pas constant à cause de la recombinaison ; l ensemble des arbres 15

62 ainsi obtenu forme le graphe de recombinaison ancestral (ARG). On souhaite simuler l ARG pour n individus pris au hasard dans la population actuelle. Dans le cas de grande population (N + ), on peut recourir à un modèle continu, voir [5] en l absence de recombinaison et [1] chap. 3.4 en général. Cependant si m est grand, la simulation de l ARG est complexe. On préfère alors regarder l évolution de l arbre généalogique le long de l ADN. Ce processus à valeurs arbres n est pas markovien (en particulier car un point de branchement de l arbre généalogique peut être effacé par une recombinaison mais retrouvé ultérieurement par une autre recombinaison). Cependant il peut être approché par des processus markoviens, voir les algorithmes SMC et SMC développés dans [6,7,9,10]. L objectif du projet est de : comprendre les mécanismes biologiques en jeu, dont la recombinaison ; utiliser des simulations sur le modèle discret pour voir les effets du taux de recombinaison r (et de la longueur m de l ADN) par exemple sur la date de l ancêtre commun le plus récent (MRCA) ou sur la longueur totale de l arbre généalogique ou encore (ce qui est très similaire) sur le nombre de mutations neutres observées pour n individus pris dans la population actuelle dans le régime N +, recourir aux approximations SMC et SMC et vérifier leurs pertinences. [1] Rick Durrett. Probability models for dna sequence evolution, rtd/gbook/pm4dna_0317.pdf [2] Paul Fearnhead and Peter Donnelly. Estimating recombination rates from population genetic data. Genetics, 2001, 159 : [3] Robert C Griffiths and Paul Marjoram. Ancestral inference from samples of dna sequences with recombination. Journal of Computational Biology, 1996, 3 : [4] Richard R. Hudson. Gene genealogies and the coalescent process. Oxford Surveys in Evolutionary Biology, [5] J.F.C. Kingman. The coalescent. Stochastic Processes and their Applications, 1982, 13 : [6] Paul Marjoram and Jeff D. Wall. Fast coalescent simulation. BMC Genetics, 2006, 7 :16. rtd/gbook/pm4dna_0317.pdf [7] Gilean A. T. McVean and Niall J. Cardin. Approximating the coalescent with recombination. Philosophical Transactions of the Royal Society B, 2005, 360 : [8] Sylvie Méléard. Modèles aléatoires en ecologie et evolution, rtd/gbook/pm4dna_0317.pdf [9] Carsten Wiuf and Jotun Hein. Recombination as a point process along sequences. Theoretical Population Biology, 1999, 55 : [10] Carsten Wiuf and Jotun Hein. The ancestry of a sample of sequences subject to recombination. Genetics, 1999, 151 : Jean-François Delmas [email protected] 16

63 3.5 Comportement des fourmis : modélisation par renforcement Pour modéliser certains phénomènes biologiques, on est parfois obligé de considérer des modèles non-markoviens. Un exemple de modèle relativement simple est celui des marches aléatoires renforcées : la probabilité qu un individu emprunte un chemin donné est une fonction croissante du nombre de fois où ce chemin a été utilisé dans le passé. Ce modèle est par exemple utilisé pour comprendre le comportement des fourmis (qui déposent des phéromones à chaque passage). Nous proposons dans cet EA les pistes suivantes : Étudier les premières propriétés des processus de renforcement, voir par exemple l Urne de Polya dans [1], ou plus généralement [3]. Étudier les performances d un estimateur proposé récemment dans [2] pour évaluer les paramètres de renforcement. Discuter de la modélisation et des résultats expérimentaux obtenus sur des fourmis et décrits dans [2]. [1] Th.Bodineau. Promenade aléatoire : Chaînes de Markov et martingales. Cours de l École Polytechnique (2014). [2] L.Le Goff, Ph.Soulier. Of ants and urns : estimation of the parameters of a reinforced random walk and application to ants behavior (2014). Téléchargeable à fr.arxiv.org/abs/ [3] R.Pemantle. A survey of random processes with reinforcement. Probability surveys vol.25 (2007). Lucas Gerin (Ecole Polytechnique, CMAP) [email protected] 3.6 Formation de groupes dans une famille d animaux sociaux La plupart des grands mammifères adoptent un comportement social en vivant en groupes. L avantage pour les espèces carnivores est de coopérer pour chasser ; pour les herbivores il s agit de mieux se défendre. La formation de ces groupes est un phénomène assez complexe à modéliser, une hypothèse est que les animaux ont tendance à se regrouper lorsqu ils ont un patrimoine génétique proche. 17

64 Répartition de la taille des groupes dans différentes espèces (voir [2]). Dans [2] il a été introduit un modèle simple pour tenir compte de cette hypothèse qui est une perturbation du coalescent de Kingman vu dans le cours Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution. On peut alors, sous ce modèle, faire des calculs explicites qui permettent notamment de développer des tests statistiques. On peut envisager pour cet EA plusieurs objectifs : Comprendre le modèle et les résultats obtenus dans [2]. Mettre en oeuvre les simulations et les calculs numériques proposés dans cet article. Discuter de la modélisation. [1] D.J.Aldous. Stochastic models and descriptive statistics for phylogenetic trees, from Yule to today. Statistical Science, vol.16 (2001) n.1 p [2] E.Durand, M.G.Blum, O.François. Prediction of group patterns in social mammals based on a coalescent model. Journal of Theoretical Biology vol.249 (2007) n.2 p [3] E.Durand, O.François. Probabilistic analysis of a genealogical model of animal group patterns. Journal of Mathematical Biology vol.60 (2009) n.3 p Lucas Gerin (Ecole Polytechnique, CMAP) [email protected] 3.7 Du sexe chez les bactéries! Le transfert horizontal de gènes est un processus dans lequel un organisme reçoit du matériel génétique d un autre organisme sans que cela soit par hérédité. Des recherches récentes montrent que ce transfert horizontal est un phénomène extrêmement important, en particulier chez les bactéries. Le transfert horizontal de gènes joue un rôle fondamental dans l acquisition de résistance aux antibiotiques ou de facteurs de virulence, ce qui justifie de nombreuses études biologiques. Il a souvent lieu par l intermédiaire de plasmides, de petites molécules d ADN capables d être injectées d une bactérie à une autre. Ce projet porte autour de la modélisation mathématique et numérique du transfert de gènes. La première tâche sera de comprendre quelques travaux de modélisation existants (modèle d équations intégro-différentielles, système d équations différentielles ou modèle probabiliste). La deuxième partie consistera à simuler un 18

65 modèle de transfert de plasmides à partir d un modèle stochastique construit sur les individus et d observer l impact des différents paramètres, taux de naissance des cellules, taux de transfert, impact de l environnement. [1] S.J. Tazzyman, S. Bonhoeffer. Fixation Probability of mobile genetic elements such as plasmids. Theoretical Population Biology 90 (2013) [2] K.R. Philipsen, L.E. Christiansen, H. Hasman, H. Madsen. Modelling conjugation with stochastic differential equations Journal of Theoretical biology 263 (2010), [3] P. Hinow, F. Le Foll, P. Magal, G.F. Webb. Analysis of a model for transfer phenomena in biological populations. SIAM Journal of Applied Mathematics, 70 (2009), n 1, Sylvie Méléard [email protected] 3.8 L évolution est-elle conduite par une accumulation de petites mutations ou par quelques grandes mutations? Cette question est très débattue par les biologistes de l évolution. Nous nous intéresserons à un modèle de population où chaque individu est caractérisé par un type (phénotype, génotype...) variant dans un intervalle borné. Le modèle prend en compte la compétition entre les individus (pour le partage des ressources par exemple) et intègre des mutations, qui peuvent avoir lieu au moment des naissances. Tous les paramètres démographiques et écologiques dépendent des types des individus. Nous étudierons les approximations de ces processus stochastiques de naissance et mort dans le cas d une grande population, c est à dire en faisant tendre le nombre initial d individus vers l infini. Nous verrons deux régimes apparaître, l un correspondant à une limite déterministe, l autre à une limite aléatoire [1]. L accent sera mis sur les différences significatives liées à la taille des mutations dans le modèle, en comparant l effet de petites mutations dans les processus limites à celui de grandes mutations, grâce à [2]. Cette dernière partie en particulier pourra reposer sur des simulations. [1] N. Champagnat, R. Ferrière, and S. Méléard. From individual stochastic processes to macroscopic models in adaptive evolution. Stoch. Models 24, Suppl. 1, 2-44 (2008). [2] S. Méléard, B. Jourdain, and W.A. Woyczynski. Lévy flights in evolutionary ecology. Journal of Mathematical Biology, 65 (4) (2012), Sylvie Méléard [email protected] 19

66 3.9 Discrétisation d EDS : étude du schéma de Ninomiya et Victoir L écart entre la loi de la solution X T à l instant T d une Équation Différentielle Stochastique et celle de son approximation XT n obtenue par un schéma de discrétisation comportant n pas sur [0, T ] est mesurée par l erreur faible : sup f F E(f(X T )) E(f(XT n )) où F est un ensemble de fonctions régulières. Le but de cet EA est d étudier le schéma récemment introduit par Ninomiya et Victoir [1] et dont l erreur faible converge en C (contre C pour le schéma d Euler qui est le schéma de n 2 n discrétisation le plus classique). Il s agira d une part de comprendre la preuve de ce résultat théorique de convergence et d autre part de mener une étude numérique du comportement du schéma. [1] S. Ninomiya and N. Victoir. Weak approximation of stochastic differential equations and application to derivative pricing, Applied Mathematical Finance, 15(2), , Benjamin Jourdain [email protected] 3.10 Simulation exacte des équations différentielles stochastiques en dimension 1 L objectif de cet EA est de comprendre et d implémenter la technique de simulation exacte de la solution d une équation différentielle stochastique de dimension 1 proposée récemment dans [1]. [1] A. Beskos, O. Papaspiliopoulos and G. Roberts. Retrospective exact simulation of diffusion sample-paths, Bernoulli 12 (6), , Benjamin Jourdain [email protected] 3.11 Transport optimal et vitesse faible trajectorielle du schéma d Euler Dans l approximation de la solution de l équation différentielle stochastique par son schéma d Euler Xt h forte) tandis que E[f(X T )] E[f(X (h) T dx t = σ(x t )dw t + b(x t )dt, de pas h, on a E[sup t [0,T ] X t X (h) t ] = O( h) (vitesse )] = O(h) (vitesse faible). La convergence de E[F ((X t ) t [0,T ] )] E[F ((X (h) t ) t [0,T ] )] (vitesse faible trajectorielle), pour une fonctionnelle F : C([0, T ], R) R Lipschitzienne, a lieu a une vitesse intermédiaire entre O( h) et O(h) mais inconnue. Le but de cet EA est de comprendre comment la théorie du transport optimal permet d étudier cette vitesse. 20

67 [1] A. Alfonsi, B. Jourdain and A. Kohatsu-Higa. Pathwise optimal transport bounds between a one-dimensional diffusion and its Euler scheme, Annals of Applied Probability, 24(3), , 2014 [2] A. Alfonsi, B. Jourdain, A. Kohatsu-Higa, Optimal transport bounds between the time-marginals of a multidimensional diffusion and its Euler scheme, preprint Hal Benjamin Jourdain [email protected] 3.12 Échantillonnage de diffusions conditionnelles L échantillonnage de la loi µ x de solution X d une Équation Différentielle Stochastique de la forme dx t = b(x t )dt + db t, X 0 = x est un problème très bien compris qui est normalement résolu par moyen d une approximation de la dynamique stochastique avec des methodes similaires a ceux utilisés par les Équation Différentielles Ordinaires (par exemple la méthode d Euler ou la méthode plus moderne dit de Cubature). Mais lors qu on s interesse à échantillonner la loi µ x,y de X conditionnellement à un point d arrivée X 1 = y donné ces méthodes numérique ne sont plus, en général, très efficaces. Cependant la loi µ sur l espace de trajectoires Ω = C([0, 1]; R d ) a encore une structure relativement simple : par le théorème de Girsanov elle est absolument continue par rapport à une mesure Gaussienne γ x,y (la loi du pont Brownien de x à y en temps 1) : µ x,y (dω) = e Φ(ω) dγ x,y (ω). Cela suggère que soit possible résoudre le problème de l échantillonnage conditionnel (au point final X 1 de la diffusion (X t ) t [0,1] ) par MCMC (Monte-Carlo Markov chain) : on simule une nouvelle dynamique stochastique sur l espace des trajectoires Ω qu a comme mesure invariante la loi conditionnelle µ x,y. En pratique on discrétise le temps t [0, 1] et on se ramène à étudier l échantillonnage d une mesure approchée π x,y définie sur espace Euclidien R n fini dimensionnel. La mesure π est alors absolument continue par rapport à Lebesgue avec densité ρ donnée par ρ(x) e Ψ(x). Et une dynamique stochastique (dite de Langevin) qui admet π x,y comme mesure stationnaire est donnée par l EDS d σ Y σ = log Ψ(Y σ )dσ + 2dW σ. (où l on note le temps fictif avec σ pour remarquer le fait que il n a rien a voir avec le temps physique associé à notre processus de diffusion de depart). Cette equation est une version discrétisée d une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique qui, au moins formellement, a comme loi stationaire la loi conditionnelle µ x,y de depart. 21

68 L objectif de cette EA sera donc de comprendre le cadre théorique de cette demarche et l implementation concrete de l algorithme en suivant les articles [1] et [2]. En particulier on s intéressera aux problèmes posés par la discrétisation : on montrera comme un choix spécifique de discrétisation permet le passage à la limite de temps continu et que le même choix est aussi le meilleur (parmi une classe de discrétisation naturelles) par rapport à l efficacité de l algorithme pour un pas de discrétisation temporelle fini. [1] Alexandros Beskos, Gareth Roberts, Andrew Stuart et Jochen Voss. MCMC methods for diffusion bridges. Stochastics and Dynamics, 08(03) : , sep [2] Martin Hairer, Andrew Stuart et Jochen Voß. Sampling conditioned diffusions. Dans Trends in Stochastic Analysis, London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Massimiliano Gubinelli [email protected] 3.13 Analyse et simulation de risques financiers L analyse et la gestion des risques financiers est l un des défits majeurs posés par la crise économique actuelle. Dans ce contexte, la quantification des incertitudes conduisant à des niveaux de pertes d investissements critiques est fondée sur des techniques modernes de modélisation et de simulation stochastique. L objectif de cet EA est d étudier théoriquement et numériquement une méthode de simulation d événement rares introduite dans [1]. L article de synthèse [3] offre une description des méthodes de simulation particulaires dans le cadre des mathématiques financières. Les articles [2, 4] fournissent des exemples d implémentation numérique. [1] Del Moral, P., Garnier J. Genealogical Particle Analysis of Rare events. Annals of Applied Probability, vol. 15, no. 4, (2005). [disponible à arxiv.org/pdf/math/ pdf]. [2] R. Carmona, J.-P. Fouque and D. Vestal. Interacting Particle Systems for the Computation of Rare Credit Portfolio Losses. Finance and Stochastics, vol. 13, no. 4, 2009 pp (2009). [disponible à fouque/publifm/cfv-revised.pdf] [3] R. Carmona, P. Del Moral, P. Hu, N. Oudjane An introduction to particle methods in finance in Numerical Methods in Finance Springer New York, Series : Proceeding in Mathematics, (46p.) Volume 12 (2012). [disponible à math.u-bordeaux1.fr/ pdelmora/survey-cdpo.pdf] [4] R. Carmona, S. Crépey. Particle Methods for the Estimation of Markovian Credit Portfolios Loss Distribution. Forthcoming in International Journal of Theoretical and Applied Finance, vol 13, no. 4, p (2010). [disponible à http: // Massimiliano Gubinelli [email protected] 22

69 3.14 Simulation des diffusions en milieu discontinu L objectif de cet EA est de comprendre et d implémenter les différentes techniques de simulation proposées en [1] et [2] pour les diffusions dans un milieu avec une diffusivité a(x) qui est constante par morceau. Cela permet de résoudre, par des techniques aléatoires, différents problèmes (elliptiques, paraboliques et problèmes de valeur propres principales) liés à l opérateur de deuxième ordre en forme divergence donnée par Lf(x) = 1 2 (a(x) f(x)). [1] A. Lejay and G. Pichot. Simulating diffusion processes in discontinuous media : a numerical scheme with constant time steps, Journal of Computational Physics, 231, (2012) [disponible à fr/hal ] [2] A. Lejay and S. Maire. New Monte Carlo schemes for simulating diffusions in discontinuous media, Journal of Computational and Applied Mathematics, 245, (2013) [disponible à Massimiliano Gubinelli [email protected] 3.15 Simulations d équations différentielles stochastiques rétrogrades Les équations différentielles stochastiques rétrogrades (voir cours MAP564) apparaissent naturellement pour résoudre des problèmes de contrôle stochastique. Si la théorie sous-jacente est plutôt maintenant bien comprise, la simulation efficace de ces équations reste délicate car les paramètres de réglage sont multiples et rentrent parfois en compétition. L objectif de cet EA est d étudier et de tester numériquement une des principales approches (ou les deux si le temps le permet), basées sur des régressions empiriques [1] ou sur des processus de branchement [2, 3]. [1] J.P. Lemor, E. Gobet, and X. Warin. Rate of convergence of an empirical regression method for solving generalized backward stochastic differential equations. Bernoulli, 12(5) : , [2] H.P. McKean. Application of Brownian motion to the equation of Kolmogorov- Petrovskii-Piskunov. Comm. Pure Appl. Math., 28(3) : , [3] A. Rasulov, G. Raimova, and M. Mascagni. Monte Carlo solution of Cauchy problem for a nonlinear parabolic equation. Math. Comput. Simulation, 80(6) : , Massimiliano Gubinelli [email protected] 23

70 3.16 ε-strong simulation of multi-dimensional SDE Dans ce sujet nous proposons d étudier un algorithme de simulation de solutions déquations différentielles stochastiques multi-dimensionnelles avec des techniques de rough paths (chemins rugueux) ; le résultat de l algorithme est la construction d un processus X ε qui presque sûrement satisfait sup t [0,1] X ε (t) X(t) ε, où X est la solution que l on veut approcher. La technique présentée dans cet article permet de considérer des équations génerales multi-dimensionnelles avec coefficient de diffusion non-constant. L algorithme est basé sur une simulation du mouvement brownien sous-jacent et de son aire de Lévy, ce qui constitue une difficulté bien connue dans ce genre d approche. Du point de vue mathématique, la théorie des rough paths assure que la solution X de l EDS est une fonctionnelle continue (dans une métrique appropriée) de la trajectoire du mouvement brownien sous-jacent et de son aire de Lévy. La discrétisation de ces objets est faite avec une décomposition en ondelettes. Dans ce sujet on propose d implémenter cette technique et de tester son efficacité dans des exemples. [1] ε strong simulation of multi-dimensional stochastic differential equations via rough path analysis, By Jose Blanchet, Xinyun Chen and Jing Dong, http ://arxiv.org/abs/ Lorenzo Zambotti [email protected] 3.17 Improved diffusion Monte-Carlo Dans ce sujet nous proposons d étudier une modification de l algorithme de simulation DMC (Diffusion Monte Carlo), proposée dans les deux publications [1] et [2]. DMC est une technique de simulation qui utilise des systèmes de particules branchantes pour représenter des espérances associées à des formules de Feynman- Kac. Dans des situations intéressantes, comme dans la simulation d événements rares, l algorithme standard a un coût computationnel très élevé et le nombre de particules branchantes nécessaires tend vers l infini à vitesse exponentielle. La modification proposée (appelée TDMC, Ticketed DMC) sert à pallier ce problème. Le premier article décrit et compare les deux algorithmes ; le deuxième donne une étude rigoureuse d un processus de branchement associé à TDMC. Ce sujet propose d étudier en détail le premier article en implémentant les deux techniques de simulations et en les comparant dans des exemples ; le deuxième article pourrait servir comme lecture ultérieure et comme source d inspiration. [1] Improved diffusion Monte Carlo, By Martin Hairer and Jonathan Weare, http ://arxiv.org/abs/ [2] The Brownian fan, By Martin Hairer and Jonathan Weare, http ://arxiv.org/abs/

71 Lorenzo Zambotti 3.18 [New] EDS avec terme de temps local pondéré [New] Equations différentielles stochastiques avec terme de temps local pondéré L EA a pour but de se familiariser avec une nouvelle classe d équations différentielles stochastiques qui généralisent le Skew Brownian motion aux EDS multi-dimensionnelles à coefficients non localement constants. Ces EDS sont au coeur de travaux récents ou en cours par Bossy-Champagnat-Talay, Niklitschek-Soto et Talay, Talay et Touzi, avec des motivations venant de l analyse probabiliste d EDP paraboliques à coefficients discontinus ou du contrôle de stratégies de régulation. On s attachera à comprendre la construction des solutions et de tester des méthodes numériques d approximation. Au passage, on apprendra la notion d EDS réfléchies au bord d un convexe. M. BOSSY, N. CHAMPAGNAT, S. MAIRE, D. TALAY. Probabilistic interpretation and random walk on spheres algorithms for the Poisson-Boltzmann equation in Molecular Dynamics. ESAIM :M2AN, 44(5), , Denis Talay [email protected] 3.19 [New] Calibration de modèles stochastiques et mesures de risque La calibration de modèles stochastiques est un vaste sujet au carrefour des statistiques, de l optimisation, et de l analyse numérique, qui pose de grandes difficultés mathématiques et de simulation. L EA a pour but d aborder de nouvelles techniques qui tentent de combiner toutes les informations disponibles sur la dynamique de prix à calibrer ainsi que des mesures de risque dynamiques des performances des strategies d investissement issues de la calibration. Réferences J. BION-NADAL. Dynamic risk measures : time consistency and risk measures from BMO martingales. Finance Stoch. 12 (2008), no. 2, 219?244. J. BION-NADAL, D. TALAY. Travail en cours. O. HOUNKPATIN. Volatilité du Taux de Swap et Calibrage d un Processus de Diffusion, thèse de l université Paris 6, D. TALAY. Around model risk in finance. Courses of the 2007 CIMPA-UNESCO- MAROCCO School on Stochastic Models in Mathematical Finance, M. Eddahbi, S. Hamadéne, Y. Ouknine (Eds.), , Travaux en Cours 77, Hermann, Denis Talay [email protected] 25

72 4 Statistique et apprentissage Enseignant référent : Stéphane Gaïffas [email protected] 4.1 Graphe implicite d un réseau social Stéphane Gaïffas [email protected] Les graphes jouent un rôle central en analyse de données modernes, pour l étude des interactions entre utilisateurs et/ou utilisateurs et produits. Dans la plupart des cas, les arêtes du graphe sont données, et représentent un lien d amitiés, d achat de produit, de like, de retweet, etc. Dans de nombreux cas, il est difficile, ou non pertinent, de mesurer directement le graphe : les déclarations d amitiés ne sont plus à jour, les informations renseignées sont fausses, et ne reflettent pas l action réelle des utilisateurs. Partant de ce constat, de nombreuses approches ont été proposées récemment dans la littérature pour la modélisation de données de réseaux sociaux en temps continu. Le but est alors d exploiter les instants d action des utilisateurs sur le réseau, pour reconstruire le graphe d interaction implicite entre utilisateurs. Une approche possible est l utilisation de modèles de graphes aléatoires par blocs, qui ont tendance à regrouper les utilisateurs en groupes latents, et à utiliser le graphes ainsi généré comme meta-paramètre du modèle générant les instants d action des utilisateurs. Il est possible d estimer les paramètres de ce modèle par inférence variationnelle, et de tester différentes structures et paramétrisations possibles du modèle. Des expériences numériques pourront être effectuées sur des données de mailing et.ou des données twitter. [1] DuBois, C. et al Stochastic blockmodeling of relational event dynamics. AISTAT [2] Linderman, S. W. and Adams, R. P. Discovering latent network structure in point process data, arxiv preprint 2014 [3] Lloyd J. R. et al, Random function priors for exchangeable arrays with applications to graphs and relational data, NIPS Kaggle competition - Forest Cover Type Prediction Erwan Le Pennec [email protected] L objectif de cet EA est de proposer une méthode de prédiction de type de forêt à partir d indices relevés sur le terrain dans le cadre d un concours Kaggle. Il faudra pour celà mettre en compétition différents algorithmes (régression logistique, boosting, forêts aléatoires,...) ainsi que de proposer le meilleur choix de variables, voir même de représentation dans ce cadre. Le travail combinera une étude théorique des modèles avec leur implémentation pratique sur un jeu de donnée d apprentissage de taille modérée (15120 observations de 11 variables). 26

73 4.3 Clustering en grande dimension Marc Hoffmann ceremade.dauphine.fr Le problème de sélection de variables pour la classification non-supervisée ou clustering est fondamental en apprentissage statistique. La motivation principale vient du fait qu en grande dimension, un bon choix de variables permet d améliorer le clustering final, tout en proposant des centroides sparses et plus facilement interprétables. Il y a bien moins de travaux sur ce sujet que dans le cadre supervisé, et les résultats théoriques sont encore assez rares. Les applications sont nombreuses, notamment en biologie, concernant le clustering d expression de gènes pour déterminer leur fonction, ou pour déterminer des sous-types de cancers à partir de séquenã ages sur différents patients ou tissus, voir par exemple [1], [2]. Le but de cet EA est d explorer les algorithmes de clustering sparse sur des données, tels que des algorithmes EM (pour estimer des mélanges gaussiens) utilisant une pénalisation de type l 1 (ou des variantes plus sophistiquées), ou des versions sparses de l algorithme K-means. Une étude théorique de l approche par pénalisation l 1 pour les mélanges gaussien est disponible dans [3] dans le cadre supervisé, une telle étude dans le cadre non-supervisé est également envisageable. [1] Michael B. Eisen, Paul T. Spellman, Patrick O. Brown, and David Botstein. Cluster analysis and display of genome-wide expression patterns. Proceedings of the National Academy of Sciences, 95(25) :14863, [2] T.R. Golub, D.K. Slonim, P. Tamayo, C. Huard, M. Gaasenbeek, J.P. Mesirov, H. Coller, M.L. Loh, J.R. Downing, M.A. Caligiuri, et al. Molecular classification of cancer : class discovery and class prediction by gene expression monitoring. science, 286(5439) :531, [3] Nicolas Städler, Peter Bühlmann, and Sara van de Geer. l 1 -penalization for mixture regression models. TEST, 19(2) : , Complétion de grandes matrices Stéphane Gaïffas [email protected] Le 2 octobre 2006, l entreprise américaine Netflix 1 créait le Netflix Prize 2 qui récompensera 5 ans plus tard d un prix de 1 million de dollars une équipe d informaticiens, statisticiens et mathématiciens pour avoir amélioré d un peu plus de 10% l algorithme maison de Netflix de Plus de 5000 équipes de 150 nationalités différentes ont participé à ce challenge statistique. Le prix Netflix a mis en avant la problématique déjà bien connue des systèmes de recommandation et de la complétion de matrices. Sur une base de données utilisateurs/produits (des films dans le cas de Netflix), l objectif d un système de recommandation est de proposer des produits pertinents

74 à un utilisateur à partir des produits qu il a acheté mais aussi (et surtout) à partir de ceux achetés par les autres utilisateurs (d ou le nom collaborative filtering ). L objectif de cet EA est d implémenter et de tester des algorithmes de recommandation sur des bases de données et d en comprendre la théorie sous-jacente, basée sur l optimisation convexe et la théorie des matrices aléatoires, voir par exemple [1, 2] et [3]. [1] Emmanuel J. Candes and Benjamin Recht. Exact matrix completion via convex optimization. Found. Comput. Math., 9(6) : , [2] Emmanuel J. Candes and Terence Tao. The power of convex relaxation : nearoptimal matrix completion. IEEE Trans. Inform. Theory, 56(5) : , [3] D. Gross. Recovering low-rank matrices from few coefficients in any basis. Information Theory, IEEE Transactions on, 57(3) : , Estimation pour les problèmes inverses linéaires par méthodes de Galerkin et ondelettes Marc Hoffmann [email protected] On considère un modèle prototype en problème inverse linéaire : on observe g ε = Kf + εẇ où f L 2 (Ω X ) est le signal d intérêt, et K : L 2 (Ω X ) L 2 (Ω Y ) est un opérateur linéaire compact ((Ω X et Ω Y sont deux domaines bornés de R d et R q respectivement), Ẇ est un bruit blanc gaussien et ε > 0 un niveau de bruit. Le problème est mal posé : l estimateur K 1 g ε n a pas de sens en géneral. Etant donnés deux sous-espaces linéaires X h L 2 (Ω X ) et Y h L 2 (Ω Y ) avec dim(x h ) = dim(y h ), une approche standard consiste à régulariser le problème, en cherchant un estimateur f ε X h comme la solution de Kf ε, g h = g ε, g h, g h Y h, ce qui revient numériquement à résoudre un problème linéaire. Lorsque Ω X = Ω Y et K est auto-adjoint positif, le système devient particulièrement simple en prenant X h = Y h. C est le contexte de la méthode de Galerkin. Traditionellement, on utilise pour X h des espaces d éléments finis. Ce projet consiste à étudier, sur un cas particulier d opérateur, le cadre où le choix du pas de discrétisation h peut dépendre des données pour obtenir ainsi de l adaptativité, et lorsque l espace X h = Y h est lié à une analyse multirésolution. Ceci permettra de faire le lien avec l estimation non-paramétrique en statistique, et notamment le lien avec le seuillage d ondelettes et les moindres carrés pénalisés lorsque l on sort du cadre de la méthode de Galerkin proprement dit. On pourra développer des aspects théoriques ou numériques, et on envisagera une implémentation sur des données réelles en fonctions du temps et des souhaits du groupe. Il est 28

75 très utile d avoir suivi le cours d Apprentissage Statistique et d estimation nonparamétrique [1] A. Cohen, M. Hoffmann and M. Reiß. Adaptive wavelet Galerkin methods for linear inverse problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 42, , [2] F. Natterer. The Mathematics of Computerized Tomography, Classics Appl. Math. 32, SIAM, Philadelphia, [3] V. Dicken and P. Maass. Wavelet-Galerkin methods for ill-posed problems. J. Inverse Ill-Posed Probl., 4 (1996), pp. 203D221. [4] D. Donoho. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition. Appl. Comput. Harmon. Anal., 2 (1995), pp. 101D Régression logistique, volume de données et temps de calcul Erwan Le Pennec [email protected] L objectif de cet EA est de comprendre la problématique du passage à l échelle du Big Data à travers l exemple de la régression logistique. Dans un premier temps, la régression logistique et des algorithmes de résolution numérique seront étudiés dans le cas de donnés tenant en mémoire dans un seul ordinateur et sans contrainte de temps sur les caluls. La seconde partie de l étude sera consacré aux moyens de résoudre le même problème lorsque le volume de données augmente, lorsque le temps de calcul pour la minimisation est contraint et, si le temps le permet, lorsque le temps de calcul pour la prise de décision est contraint. Le travail combinera des aspects théoriques, algorithmiques et d implémentation 4.7 L 2 -Boosting et Cobra Eric Matzner-Løber [email protected] L objectif de cet EA est de comprendre les méthodes de L 2 -Boosting ainsi que la méthode COBRA [1] qui définit une nouvelle faã on de combiner des estimateurs. Le boosting a été à l origine de nombreuses publications en discrimination. En régression (lorsque la variable à expliquer est continue), les publications sont moins nombreuses mais on peut citer [2] par exemple. Le principe général du boosting est de commencer avec un lisseur biaisé S 1 [2], de lisser les résidus avec le même (ou un autre) lisseur S 2, de corriger l estimateur initial, et d itérer. Le critère d arrêt est en général fournit par un critère classique de choix de modèle (AIC, BIC,...). 29

76 Après k 1 itérations, l estimateur obtenu s écrit de la faã on suivante : ˆm k = S 1 Y + S 2 (I S 1 )Y + + S k (I S k 1 ) (I S 1 )Y = [I (I S k )(I S k 1 ) (I S 1 )]Y. Si le même estimateur est utilisé à chaque étape on obtient une forme simplifiée ˆm k = [I (I S) k ]Y. Ces estimateurs ont été étudiés dans [3] par exemple. Dans [1], une nouvelle méthode d agrégation est présentée tant du point de vue théorique que pratique. Dans toutes les méthodes d agrégation, il est intéressant d avoir des estimateurs admettant des comportements différents. L objectif de cet EA est d analyser numériquement l apport de méthode du type L 2 -Boosting (additif [2] ou multivarié [3]) dans le cadre de COBRA. [1] Biau, G., Fischer, A., Guedj, A. et Malley, J. COBRA : A combined regression strategy, submitted [2] Bühlmann, P. et YU, B. Boosting with the l 2 loss : regression and classification, JASA, , [3] Cornillon, P-A. et Hengartner, N. et Matzner-Løber, E. Recursive bias estimation for multivariate regression smoothers, ESAIM, Séries chronologiques et simulation Enseignant référent : Stéphane Gaïffas [email protected] 5.1 Modélisation de ruptures Erwan Le Pennec [email protected] L objectif de cet EA est de comprendre la problématique du passage à l échelle du Big Data à travers l exemple de la régression logistique. Dans un premier temps, la régression logistique et des algorithmes de résolution numérique seront étudiés dans le cas de donnés tenant en mémoire dans un seul ordinateur et sans contrainte de temps sur les caluls. La seconde partie de l étude sera consacré aux moyens de résoudre le même problème lorsque le volume de données augmente, lorsque le temps de calcul pour la minimisation est contraint et, si le temps le permet, lorsque le temps de calcul pour la prise de décision est contraint. Le travail combinera des aspects théoriques, algorithmiques et d implémentation Olivier Cappé [email protected] L analyse de séries chronologiques qui présentent des ruptures ou changements brusques est une question rencontrée dans de nombreux domaines d application. Le modèle le plus usuel pour ce type de phénomènes consiste à postuler un 30

77 comportement très simple (bruit blanc, processus ARMA d ordre faible,...) auquel vient se superposer un processus de saut constant par morceaux (éventuellement linéaire par morceaux), les instants de sauts étant considérés comme des paramètres inconnus du modèle. La complexité de ce modèle vient du fait que si on considère un signal observé de longueur T et un nombre de ruptures égal à r, le nombre de configurations possibles du processus de sauts est de l ordre de T r, ce qui interdit clairement toute approche exhaustive du problème lorsque r augmente. Il s avère néanmoins qu il est possible de déterminer directement les configurations les plus vraisemblables du processus de sauts avec un algorithme utilisant un principe algorithmique fondamental, dit de programmation dynamique, dont la complexité algorithmique est de l ordre de T 2 opérations. Cette approche décrite par (Bai & Perron, 2003) permet de calculer la vraisemblance des configurations les plus vraisemblables du processus de sauts pour différentes valeurs du nombre r de ruptures. Pour déterminer le nombre de ruptures, il est nécessaire d avoir recours à une forme de pénalisation de la vraisemblance et on adoptera ici un critère de type BIC, pour Bayesian Information Criterion (Schwarz, 1978), BIC = log-vraisemblance (Y 1,..., Y T ; T 1,..., T r, δ 1,..., δ r+1 ) + 1 n(r) log(t ) 2 δ 1,..., δ r+1 sont les paramètres définissant les caractéristiques des r + 1 segments délimités par les r instants de rupture et n(r) est le nombre de paramètres dans le modèle lorsque l on considère r segments. La justification intuitive du terme de pénalisation consiste à éviter la sélection de modèles plus complexes (ici pour des grandes valeurs de r) qui tendent à être systématiquement préférés aux modèles plus simples du fait d un nombre plus élevé de paramètres disponibles. Les objectifs du projet consistent à comprendre le modèle et la procédure algorithmique décrits dans (Bai & Perron, 2003) ; implémenter l algorithme de programmation dynamique ; analyser différents jeux de données en utilisant la procédure BIC pour sélectionner le nombre de ruptures ; on discutera en particulier de la robustesse de l approche vis à vis de choix de modélisation (par ex., durée minimale des segments) ainsi que de l existence ou non de corrélation dans le signal résiduel (on pourra utiliser un test de blancheur vu en cours). [1] Bai & Perron (2003). Computation and Analysis of Multiple Structural Change Models, Journal of Applied Econometrics, 18(1):1 22. [2] Schwarz (1978). Estimating the Dimension of a Model, The Annal of Statistics, 6(2):

78 5.2 Filtage du bruit de microstructure pour estimer la volatilité à partir de données haute fréquence Marc Hoffmann La modélisation des séries financières conduit naturellement à proposer comme estimateur de la volatilité intégrée (ou réalisée ) un estimateur de variance pour les modèles à temps discret (ou bien la variation quadratique pour un point de vue à temps continu) qui s écrit simplement V R := c( ) t ( ) ( ) 2, h t où h ( ) t est le rendement de l actif considéré lorsque l on échantillonne les données à l échelle temporelle, et c( ) est une constante de normalisation (en général, d annualisation de la volatilité). En principe, l estimateur V R comporte de l ordre de 1 données et approche la volatilité à une précision 1/2, d autant meilleure donc que est petit. Cependant, la pratique montre que l estimateur V R se comporte mal lorsque devient trop petit, en pratique lorsque l on échantillonne les données à une échelle inférieure à quelques dizaines de minutes. Plusieurs explications ont été proposées par les économètres et la finance statistique, toutes liées au frictions de marché dans les petites échelles. Ces explications se recourpent dans le contexte du bruit de microstructure. Dans ce projet, on étudiera comment certains modèles (de type ARMA modifiés par exemple) permettent de rendre compte des observations empiriques, et de la correction de microstructure que l on doit apporter à V R afin d estimer de manière optimale la volatilité. On appliquera (dans la mesure du possible) ces résultats sur des données réelles de contrats futurs sur obligations (zone Euro) ou sur change (Euro-Dollar) Bien que ce projet soit traité dans le cadre des modèles à temps discret, on pourra faire des incursions dans les modèles à temps continu (sans demander toutefois de connaissance approfondies en calcul stochastique). [1] Y. Ait-Sahalia and J. Jacod. High-Frequency Financial Econometrics (2014). Princeton University. [2] Mykland, P.A., and Zhang, L. (2012). The Econometrics of High Frequency Data (in Statistical Methods for Stochastic Differential Equations, M. Kessler, A. Lindner, and M. Serensen, eds.) p Test de linéarité dans un modèle a volatilité stochastique Marc Hoffmann [email protected] 32

79 Les modèles à volatilité stochastique (discrets) sont largement utilisés en finance de marché pour rendre compte des fluctations statistiques de la volatilité. Dans ce projet, on part de la représentation standard (proposée notamment par exemple Taylor, 1986) des rendements logarithmiques h t := log(s t /S t 1 ) du cours d un actif, avec h t = exp(y t /2)ξ t (avec (ξ t ) est un processus d innovation) où le processus de volatilité Y t suit sous l hypothèse nulle un forme auto-régressive d ordre 1 : Y t = θy t 1 + ε t (avec (ε t ) un second processus d innovation), comme un certain nombre de travaux d économétrie l ont proposé. On construit un test et on étudie sa puissance pour une famille d alternatives locales de la forme Y t = m(y t 1 ) + ε t où la fonction m( ) est à une certaine distance du modèle linéaire dans un sens à préciser qui dépend implictement de la qualité des observations. On utilisera ce test pour analyser une gamme de séries financières et l on verra comment se comporte l hypothèse de linéarité dans la volatilité stochastique. (Il s agit d un article de recherche toutefois relativement élémentaire en ce qui concerne le traitement mathématique.) [1] D. Feldmann, W. Haerdle, C. Hafner, M. Hoffmann, O. Lepski et A. Tsybakov (2003). Testing linearity in an AR errors-in-the-variables model with application to stochastic volatility. Applicationes Mathematicae, 30, L 2 -Boosting et prévision de séries temporelles Eric Matzner-Løber [email protected] L objectif de cet EA est d appliquer des méthodes de boosting à la prévision de séries temporelles. Le boosting a été à l origine de nombreuses publications en discrimination. En régression (lorsque la variable à expliquer est continue), les publications sont moins nombreuses mais on peut citer [1] par exemple. Le principe général du boosting est de commencer avec un lisseur biaisé S 1 [2], de lisser les résidus avec le même (ou un autre) lisseur S 2, de corriger l estimateur initial, et d itérer. Le critère d arrêt est en général fournit par un critère classique de choix de modèle (AIC, BIC,...). Après k 1 itérations, l estimateur obtenu s écrit de la faã on suivante : ˆm k = S 1 Y + S 2 (I S 1 )Y + + S k (I S k 1 ) (I S 1 )Y = [I (I S k )(I S k 1 ) (I S 1 )]Y. 33

80 Si le même estimateur est utilisé à chaque étape on obtient une forme simplifiée ˆm k = [I (I S) k ]Y. Ces estimateurs ont été étudiés dans [2] par exemple. La prévision de séries temporelles peut-être vue comme un problème de régression (méthodes classique d autorégression) et des modélisations nonparamétriques ont été proposées. Lorsque le nombre de variables explicatives est élevé des hypothèses structurelles : additivité, single index... sont en général supposées. On pourra consulter les articles de Y. Goude comme [3] par exemple. Dans [4], la méthode issue d ibr a été appliquée au données de consommation d électricité. L objectif de cet EA est d analyser numériquement la méthode du L 2 -Boosting dans le cadre des séries temporelles et de la comparer avec les méthodes classiques de prévision. [1] Bühlmann, P. et YU, B. Boosting with the l 2 loss : regression and classification, JASA, , [2] Cornillon, P-A. et Hengartner, N. et Matzner-Løber, E. Recursive bias estimation for multivariate regression smoothers, ESAIM, [3] Goude, Y. Nedellec, R et Kong, N. Local short and middle term electricity load forecasting with semi-parametric additive models. [4] Cornillon P-A., Hengartner N., Lefieux V. et Matzner-Løber, E. (2014) Fully nonparametric short term forecasting electricity consumption, sous presse Lecture Notes in Statistics : Modeling and Stochastic Learning for Forecasting in High Dimension 34